Leyes del Seno

Ley del Seno
Precálculo
5/21/2014
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
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Actividades 3.2
• Referencia: Capítulo 6 - Sección 6.4 Ley de los
senos Sección 6.5 Ley de cosenos
• Ejercicios de Práctica: Páginas 506 - 507: Impares
1– 39;
• Asignación 3.3: Khan Academy. Acceder La Ley de
cosenos y la Ley de senos y ver videos Ley de Seno;
La Ley de senos para ángulos faltantes. Hacer
ejercicios de Ley de Senos.
• Referencias del Web:
– The Math Page – Trigonometry: The Law of Sines
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Ley del Seno
B
• Para un triángulo ABC con lados
opuestos a, b, c respectivamente.
“El Seno de cualquiera de sus ángulos
a su lado opuesto es proporcional al
Seno de cualquier otro ángulo y su
lado opuesto”
A
𝑐
𝑎
C
𝑏
𝑆𝑖𝑛 𝐴
𝑆𝑖𝑛 𝐵 𝑆𝑖𝑛 𝐶
=
=
𝑎
𝑏
𝑐
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Ejemplo 1
• Determine el valor desconocido en los siguientes triángulos.
Redondee a la milésima más cercana.
𝑆𝑖𝑛 35° 𝑆𝑖𝑛 45°
=
10
𝑥
10 𝑆𝑖𝑛 45°
𝑥 =
𝑆𝑖𝑛 35°
45°
10
35°
𝑥
𝑥 ≈ 12.32803052 ≈ 12.328
Por la suma de ángulos interiores, el tercer ángulo tiene que ser:
180° − 26° − 124° = 30°
𝑆𝑖𝑛 26° 𝑆𝑖𝑛 30°
=
12
𝑥
12 𝑆𝑖𝑛 30°
𝑥 =
𝑆𝑖𝑛 26°
12
124°
26°
𝑥
𝑥 ≈ 13.6870322 ≈ 13.687
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Ejemplo 1 – Caso SAA
• Resuelva el triángulo. Redondee al entero más cercano.
• Solución:
Calcule primero el tercer ángulo: 180  70  30  80
A
sin 30 sin 70

5
b
5 sin 70
b
sin 30
30°
𝑐
𝑏
80
C
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70°
B
sin 30 sin 80

5
c
5 sin 80
c
sin 30
b  9.396926208
c  9.84807753
b9
c  10
5
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Ejemplo 2 – Caso ASA
• Resuelva el triángulo. Redondee al entero más cercano.
• Solución:
• Calcule primero el tercer ángulo: 180  60  20  100
A
sin 100
sin 20

12
a
12 sin 20
a
sin 100
20°
12
𝑏
100°
C
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60°
𝑎
sin 100
sin 60

12
b
12 sin 60
b
sin 100
a  4.16755624
b  10.5526229
a4
b  11
B
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Ejemplo 3 – Caso SSA
• Cuando se conoce sólo un ángulo opuesto a uno de
los lados, tres situaciones pueden resultar:
1. Un triángulo es identificado
2. Dos posibles triángulos son identificados
3. Ningún triángulo es posible
• Por esto se conoce como el “caso ambiguo”
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Ejemplo 3 – Caso SSA (1 triángulo)
• Determine los posibles valores del ángulo 𝛾 que puedan definir
un tríangulo. Redondee al entero más cercano.
• Solución:
30°
3
sin 30
sin 

5
3
3 sin 30
sin  
5
Como el Seno es positivo en el
cuadrante II, hay otro posible
ángulo con el mismo seno.
 2  180  17 
 163
sin   0.3
𝛾°
5
sin
1
0.3  17.45760312
 1  17 
Pero esto no es posible,
por que …
30  163  193  180
Sólo es posible un triángulo. Esto ocurre cuando 𝛾 = 17°
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Ejemplo 4 - Caso SSA (2 triángulos)
• Determine los posibles valores del ángulo 𝛾 que puedan definir un
triángulo. Si hay más de uno resuelva los triángulos. Redondee al
entero más cercano.
• Solución:
sin 45
sin 

8
10
10
8
10 sin 45
sin  
 0.88
8
sin 1 0.88  61.64236342
45°
𝛾°
Como el Seno es positivo en el cuadrante II, hay dos
posibles ángulos que comparten el mismo seno.
 1  62 ó  2  118
Ambos conducen a dos posibles triángulos por que:
45  62  180
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45  118  180
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Ejemplo 4 …
Triángulo 1:
Triángulo 2:
 1  62
 2  118
𝛼°

10
8
 2  180  45  118  17
1  180  45  62  73
45°


sin 73
sin 45

a1
8
a1 
𝛾°
𝑎
sin 17 
sin 45

a2
8
8 sin 17 
a2 
3

sin 45
8 sin 73
 11
sin 45
a1  11, b  8, c  10
a2  3, b  8, c  10
1  73 ,   45 ,  1  62
 2  17  ,   45 ,  2  118
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Ejemplo 5 - Caso SSA (0 triángulo)
• Resuelva el triángulo (SSA):
sin 50
sin 

3
5
5 sin 50
sin  
3
3
sin   1.28
5
¡No hay un ángulo con seno valor que 1!
50
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a
¡No hay un triángulo con estas medidas!
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Ejemplo 6
• Para medir el ancho de un río se establece tres
puntos de referencia como se resume en le diagrama
siguiente. Se determina que C = 117.2°, A = 28.8°,
and b = 75.6 pies. Encuentre la distancia a.
𝛽 = 180° − 28.8° − 117.2°
𝛽 = 34°
sin 34
sin 28.8

75.6
a
75.6 sin 28.8
a
sin 34
a  65.1306151
a  65.1 pies
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