Resolución del CASO 5.1 - Universidad de Extremadura

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
Dpto. de INGENIERÍA ELÉCTRICA, Electrónica y Automática
MÁQUINAS ELÉCTRICAS
ENUNCIADO DEL CASO 4.1. CÁLCULO DE UN ROTOR DE POLOS LISOS
El rotor cilíndrico de un turbo-alternador tiene 14
ranuras que ocupan el 60% del entrehierro. El número
de espiras de la bobina es 100 repartidas
sinusoidalmente. La corriente de excitación debe ser
la necesaria para obtener 1200 V en bornes con el
inducido en estrella formado por fases de 243 espiras
con factor de bobinado 0,97. ¿Qué corriente es ésta?
Datos: lax = 45 cm; rg = 22 cm; g = 3 mm.
RESOLUCIÓN
El aspecto del rotor de polos lisos de 14 ranuras (se
entiende que es de 2 polos mientras no se diga lo
contrario) es el de la figura 1. El desarrollo se muestra
en la figura 2.
Las ranuras ocupan a cada lado del eje del campo el
60% del espacio, luego, si hay 7, habrá 6 espacios
entre la primera y la última con lo que el paso de
ranura, πk será:
πk =
0, 6π
= 0,1π
6
Fig. 2. Desarrollo del rotor
Fig. 1. Sección axial del rotor
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Si indexamos las ranuras llamando ranura 0 a la que está en θ = 0, ranuras 1, 2, y 3 a las
siguientes y ranuras -1, -2, y -3 a las anteriores, las posiciones angulares de las ranuras
del grupo situado alrededor de θ = 0 se calculan como:
θ i = 0,1π i,
siendo i el índice de la ranura.
[Hagamos una tabla en la que aparezca el índice i en la primera
columna y θ i en la segunda]
El número de conductores Zi en cada ranura i sigue un patrón de distribución sinusoidal
con el número máximo de conductores, Zp en la ranura central del grupo, es decir, en la
ranura 0. En ese caso, Zi se pueden expresar como:
Zi = Zp cos(θ i),
Zp es el máximo de la distribución, que se calcula sabiendo que la suma de todos los Zi a
un lado del eje de los polos (i = -3, -2… 2 y 3) es igual al número total de espiras, Nex =
100:
4
4
i =−4
i =−4
∑ Z p cos(θi ) = Z p ∑ cos(θi ) = Nex ⇒
Zp =
N ex
4
∑ cos(θ )
i =−4
i
[Ampliemos la columna de índices, i, desde -3 hasta +3 y a
partir de ella ampliemos la de θ i. Construyamos la columna
cos(θ i) a partir de θ i, sumémosla y luego calculemos Zp
mediante la última ecuación]
Con el dato Zp podemos establecer el número de conductores en todas las ranuras del
rotor.
[Construyamos la columna Zi mediante la ecuación:
Zi = Zp cos(θ i).
Aunque no es necesario para el cálculo inicial, se puede
redondear el número de conductores a números enteros. Los
resultados, sin embargo, no varían significativamente]
Las corrientes magnetizantes del rotor serán proporcionales al número de conductores
en las ranuras y el signo será el correspondiente al sentido del campo dado en el
enunciado, es decir, entrantes (negativas) alrededor de θ = 0 y salientes (positivas)
alrededor de θ = π.
Para cada punto θ, aplicando el principio de concatenación, resulta:
F(θ) =
θ +π
1 ⎡π / 2
⎤
I ex ⎢ ∑ Z (θ ) − ∑ Z (θ ) ⎥
2 ⎣θ
π /2
⎦
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Esta función nos permite obtener la curva de caída de tensión magnética en función de
Iex, aún desconocida.
[Construyamos la curva F(θ)/Iex como se hizo en la práctica
nº 2, y sigamos el proceso de dicha práctica hasta llegar al flujo
por polo]
El resultado es la curva de la Figura 3 con los resultados de la ordenada izquierda. Estos
resultados se precisan en la segunda columna de la Tabla I, para un paso polar.
Fig 3. Curva de caída magnética (escala izquierda, adimensional) y curva de
inducción (escala derecha, en T/A). Abcisa en radianes.
TABLA I
0
0,1 π
0,2 π
0,3 π
0,7 π
0,8 π
0,9 π
θ
<θ<
<θ<
<θ<
<θ<
<θ<
<θ<
<θ<
0,1π
0,2π
0,3π
0,7π
0,8π
0,9π
π
F(θ)/Iex
B(θ)/Iex [T/A]
9
0,00376991
26
0,01089085
40
0,01675516
50
0,02094395
40
0,01675516
26
0,01089085
9
0,00376991
A partir de estos resultados podemos calcular la curva de inducción (dividida por la
corriente de excitación, claro):
B(θ ) F (θ ) μ0
=
I ex
I ex g
Esta es la curva de la Figura 3 para la ordenada de la derecha. Los resultados precisos
están en la 3ª columna de la Tabla 1.
A partir de esta curva se puede calcular el flujo máximo:
Φ max = lax rg AB(θ ) = lax rg I ex A⎡ B(θ )
⎣
I ex ⎤⎦
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A partir de la Tabla I se puede calcular A[B(θ)/Iex], que, multiplicada por lax y rg nos da el
valor de:
Φ max
Wb
= 0, 00455976
I ex
A
[Construyamos la curva B(θ)/Iex a partir de la curva F(θ)/Iex y
luego construyamos una columna en la que se calculen las áreas
incrementales de la curva B(θ)/Iex en cada uno de los escalones
de un polo. La suma de todas las áreas debe darnos el resultado
anterior]
Puesto que la onda de campo es prácticamente sinusoidal, el valor eficaz de la fem en la
fase es:
E = 4, 44ξb Nf Φ max
y si sustituimos en esta ecuación el flujo despejado de la anterior, tenemos:
E = 4, 44ξb Nf ( 0, 00455976 I ex )
Despejando, por último, la corriente de excitación queda:
I ex =
1200 / 3
= 2,9 A
4, 44 · 0,97 · 243 · 50 · 0, 00455976
[Implemente las últimas ecuaciones en la hoja de cálculo y
tendrá el resultado del problema]