Tema 4 Interpolación Polinómica Tema 4

MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Tema 4
Interpolación Polinómica
OBJETIVOS
Familiarizarse con los métodos numéricos de
interpolación con polinomios uni y multivariados
Aprender
problemas
polinómica
a
usar Matlab para resolver
que
involucren
interpolación
Tema 4
Interpolación Polinómica
TEMAS
Necesidad
de
aproximación
de
funciones.
Interpolación, objetivo, detalles a tener en cuenta,
tipos
de
interpolantes.
Funciones
base.
Interpolación polinómica: base monomial, métodos
de Newton y Lagrange. Error y selección de la
función de interpolación polinómica. Interpolación de
Hermite, formulación de Lagrange y Newton, error
de
truncación.
Interpolación
de
funciones
bivariadas, tipos y error en la estimación.
Interpolación multivariable. Funciones de Matlab.
1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION
Problema Básico
p2
p1
p1
p2
p2
p4
p1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
p3
p3
INTERPOLACION
Problema Básico
Datos los datos:
(xi,yi),
Se dispone de
un conjunto de
datos (x,y),
que provienen
de experiencias
y se quiere
encontrar una
función que
“pase” por esos
puntos.
p2
p4
p1
p3
i = 1, 2, ..., n
con x1,< x2, < ... < xn, determinar la función f,
tal que:
f(xi) = yi ,
i = 1, 2, ..., n
f es llamada la Función de Interpolación o Función
Interpolante o Interpolante a secas.
En forma adicional, dependiendo del tipo de interpolación,
se pueden imponer otras restricciones como pendiente en
determinados puntos, concavidad, etc.
2
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INTERPOLACION
Objetivo
p2
p4
p1
p3
Tener una curva suave que pase a través de
puntos discretos
Disponer una forma fácil para la evaluación de una
función que pasa a través de puntos
Reemplazar una función “difícil” por otra “fácil” de
evaluar y manipular
Leer “entre líneas” una tabla
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Diferenciar o integrar datos tabulados
INTERPOLACION
vs REGRESION
Por definición, la Función
de interpolación ajusta
exactamente los datos.
En regresión
regresión, se busca la
curva que “más se aproxime”
a los datos
La interpolación, entonces,
es apropiada cuando se
manejan datos con errores
experimentales despreciables
3
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACIÓN
vs
EXTRAPOLACIÓN
La interpolación esta
pensada para trabajar
entre los datos.
La predicción que se
hace extrapolando debe
tomarse con sumo
recaudo.
INTERPOLACION
Detalles a tener en
cuenta
p2
p4
p1
p3
La Función de interpolación NO ES UNICA.
UNICA La
elección de esta función debe tener en cuenta
el grupo de datos.
¿Qué forma deberá tener la función?
¿Cómo debe comportarse la función entre
datos?
¿Deberá respetar determinadas características
como monotonía, concavidad o periodicidad?
Si la función junto con los datos debe ser
graficada, ¿debe tener una forma agradable?
4
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION
Elección y tipos de
interpolantes
p4
p1
p3
La elección de la Función de interpolación se hace
para facilitar:
- La determinación de los parámetros
- La evaluación de la función
- La diferenciación e integración
Polinomios
TIPOS
Polinomios
a tramos
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
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p2
Racionales
Exponenciales
Funciones
trigonométricas
INTERPOLACION
Funciones base
p2
p4
p1
p3
La familia de Funciones de Interpolación se puede
expresar por un conjunto de Funciones Base:
Base
φ1 (x), φ 2 (x), ..., φ n (x)
y la Función de Interpolación se expresa como una
combinación lineal de las Funciones Base:
n
f(x)   a jφ j (x)
Se debe cumplir que:
n
j1
f(x i )   a jφ j (x i )  y i
i 1,2, ..., n
j1
5
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION
POLINOMIAL
p2
p4
p1
p3
Los polinomios son las funciones más simples
y comunes para la interpolación.
Existe un único polinomio de grado n-1 que
pasa a través de n puntos (xi,yi).
Hay muchas formas de representar o computar el
polinomio de interpolación, pero en teoría, todas
las formas deben conducir al mismo resultado.
INTERPOLACION POLINOMIAL
Base monomial
En este caso:
φ j (x)  x j-1
con lo que la función polinomial de interpolación
resulta:
f(x)
Pn1(x)a1 a2xa3x2 anxn1
6
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION POLINOMIAL
Base monomial
Los coeficientes se pueden evaluar resolviendo el
sistema lineal que resulta de remplazar los valores de
x e y en la función polinómica y = f(x), donde las
incógnitas son los valores de los coeficientes a:
Matriz de
Vandermonde
1

1
.

.
1

n1
x1 . . x1  a1 y1
 
n1  
x2 . . x2  a2 y2
 .  . 
. . .
   
. . .
 .  . 
n1
xn . . xn  an yn
[A] a   y 
INTERPOLACION POLINOMIAL
Base monomial
1
Para base monomial,
resulta una matriz A
que en general estará
mal condicionada,
especialmente para
polinomios de alto
grado (grado 5 en
adelante).
0.9
φ1 (x)  1
0.8
0.7
0.6
0.5
φ 2 (x)  x
0.4
0.3
0.2
φ3 (x)  x 2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
Por eso, no es
recomendable esta
forma de abordar el
problema.
La función f es suma de
monomios
f(x)
Pn1(x)a1 a2xa3x2 anxn1
7
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
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INTERPOLACION POLINOMIAL
Base monomial
Para hacer menor el problema
de mal condicionamiento se
puede recurrir a un escalado
de la variable independiente x:
z
x c
d
x x
c 1 n el punto medio
2
xnx1
y d
la mitad del rango de los datos
2
con
De esta forma la nueva variable independiente
z cae en el intervalo [-1,1]
j1
xc

 d
La base monomial queda entonces j(x)
De todos modos, siguen los problemas de un pobre condicionamiento, sumado a una gran esfuerzo de cómputo o(n3)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE LANGRANGE
También se usa un polinomio como función de
interpolación, pero:
n
n
j 1
j 1
f(x)  Pn 1 (x)   L j (x)f(xi)   L j (x)yi
con: Lj (x)
n
x  xk
x x
k1
kj
j
lo que significa que para
k
la base de Lagrange
 1 si i  j
Lj(xi )  
 0 si i  j
Lo que significa que la matriz del sistema lineal para
obtener los coeficientes de la función resulta ser la
matriz identidad. DETERMINACION PRECISA.
8
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE LANGRANGE
El polinomio de la interpolación de Lagrange para los
puntos dados resulta:
Pn 1 (x)  y 1L1 (x)  y 2 L 2 (x)  ...  y n L n (x)
Orden 1:
P1 (x) 
P2 (x) 
Orden 2:

x  x2
x  x1
y1 
y2
x1  x 2
x 2  x1
(x  x 2 )(x  x 3 )
y1 
(x 1  x 2 )(x 1  x 3 )
(x  x 1 )(x  x 3 )
(x  x 1 )(x  x 2 )
y2 
y3
(x 2  x 1 )(x 2  x 3 )
(x 3  x 1 )(x 3  x 2 )
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE LANGRANGE
Funciones de
Lagrange
Los coeficientes de la función de interpolación de
Lagrange son muy fáciles de evaluar, pero la evaluación
de la función para un dado argumento es más costosa.
Además, la forma de Lagrange resulta más difícil para
emplearla en diferenciación e integración.
9
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INTERPOLACION DE LANGRANGE
L3(x)f(x3)
L1(x)f(x1)
Funciones
de Lagrange
para
3 Puntos
x1
x2
P2(x)
x3
L2(x)f(x2)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE LANGRANGE
EJEMPLO
Use un polinomio de Lagrange de primer y segundo
orden para para evaluar el ln(2) en base a los datos
x1  1
f(x 1 )  ln(1)  0
x2  4
f(x 2 )  ln(4)  1.386294
x3  6
f(x 3 )  ln(6)  1.791760
Para interpolación lineal (orden 1):
P1 (2) 
24
2 1
0
1.386294  0.4620981
14
4 1
10
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE LANGRANGE
Para
interpolación
de orden 2:
(2
(1
(2  1)(2

(6  1)(6
P 2 (x) 
 4)(2  6)
(2  1)(2  6)
0
1.38629
 4)(1  6)
(4  1)(4  6)
 4)
1.791760
 0.5658444
 4)

MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
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INTERPOLACION DE NEWTON
La función polinómica de interpolación de Newton tiene
para n datos la forma:
f(x)
Pn1(x)a1 
a2(xx1)
a3(xx1)(xx2)
...
an(xx1)(xx2)...(x
xn1)
La base
monomial es
j1
j(x)(xxk)
k1
Se ve que los coeficientes a se pueden calcular fácilmente.
11
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE NEWTON
La interpolación de Newton tiene un mejor balance
entre costo de computación del interpolante y costo
de la evaluación de esta función.
Funciones
Monomiales
j1
j(x)(xxk)
k1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
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INTERPOLACION DE NEWTON
Los coeficientes se pueden evaluar resolviendo el sistema
lineal que resulta de remplazar los valores de x e y donde
las incógnitas son los valores de los coeficientes a:
0
0
1
1 x x
0
2
1

1 x3 x1 (x3 x1)(x
3 x2)

.
.
.
1 (xn x1) (xn x1)(x
n x2)

...
...
.
.
.
 a1 y1
   
0
 a2 y2
 .  . 
   
 .  . 
(xn xk) an yn
La matriz del sistema es triangular
inferior y se puede resolver por
sustitución hacia adelante
0
[A] a   y 
12
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE NEWTON
De lo anterior, se puede ver que resulta también fácil
cambiar de orden del polinomio de interpolación
Pj1(x) Pj(x) aj1 j1(x)
La interpolación de Newton empieza
con un polinomio que es una constante:
P1(x) a1
Y sucesivamente se pueden ir incorporando el resto
de los datos pasando a grado 1, 2 , … hasta n-1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE NEWTON
Para un conjunto de puntos:
(x1,y1), (x2,y2), & (x3,y3)
se definen las Diferencias d 0  y1
Dividas en forma recursiva: d  y2  y1
 x2  x1 
 y3  y2    y2  y1 
 x  x   x2  x1   d 2  d1
dd1  3 2
 x3  x1 
 x3  x1 
1
La función de interpolación puede escribirse entonces:
Pn 1 x   d 0  d1 x  x1 
 dd1 x  x1 x  x2   
 dddd n -1 x  x1 x  x2  x  xn 1 
13
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION
DE NEWTON
Ejemplo
X
Y
0
1
d
dd
X
Y
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
ddd
dddd
y2  y1 2  1

1
x2  x1 1  0
1
d 2  d1 2  1

 0.5
x3  x1 2  0
2
dd2  dd1 1  0.5

 0.1667
x4  x1
30
y3  y2 4  2

2
x3  x2
2 1
2
d3  d 2 4  2

1
x4  x2 3  1
4
y4  y3 8  4

4
x4  x3 3  2
3
ddd2  ddd1 0.33  0.167

 0.04167
x5  x1
40
dd3  dd2 2  1

 0.3333
x5  x2
4 1
d 4  d3 8  4

2
x5  x3 4  2
8
y5  y4 16  8

8
x5  x4
43
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
4
16
X
Y
INTERPOLACION DE
NEWTON - Ejemplo
0
1
1
2
2
4
P4(x)a1 a2(xx1)a3(xx1)(xx2)
3
8
4
16
a3(xx1)(xx2)(xx3)a4(xx1)(xx2)(xx3)(xx4)
X
Y
0
1
d
dd
ddd
dddd
y2  y1 2  1

1
x2  x1 1  0
1
d 2  d1 2  1

 0.5
x3  x1 2  0
2
dd2  dd1 1  0.5

 0.1667
x4  x1
30
y3  y2 4  2

2
x3  x2
2 1
2
d3  d 2 4  2

1
x4  x2 3  1
4
y4  y3 8  4

4
x4  x3 3  2
3
ddd2  ddd1 0.33  0.167

 0.04167
x5  x1
40
dd3  dd2 2  1

 0.3333
x5  x2
4 1
d 4  d3 8  4

2
x5  x3 4  2
8
y5  y4 16  8

8
x5  x4
43
4
16
P4 (x)  1  1.0(x  0)  0.5(x  0)(x  1) 
 0.1667(x  0)(x  1 2 )(x  2)  0.042167(x  0)(x  1)(x  2)(x  3)
14
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
ERROR EN INTERPOLACION
POLINOMICA
La interpolación puede interpretarse como la operación
que permite inferir cual es la función continua f (real) a
partir de información discreta. La discrepancia es el
Error de Interpolación.
Interpolación
Si f es derivable, se puede demostrar que:
f(x)  Pn 1 (x) 
(x  x 1 )...(x  x n ) (n)
f (ξ )
n!
y ξ  [x 1 , x n ]
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Esta expresión no es particularmente útil, salvo si se
conoce f, que no será el caso general. Sin embargo es sirve
para conocer los factores que influyen en la precisión de la
aproximación polinómica.
ERROR EN INTERPOLACION
POLINOMICA
En la gráfica
se representa
el factor del
Error de
Interpolación
para datos
equiespaciados
1.2
1
0.8
Rango de Interpolación
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
Queda claro
el problema
de realizar
extrapolación
fuera del
intervalo en el
que se
encuentran los
datos.
15
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
ERROR EN INTERPOLACION
POLINOMICA
“Mirando” dentro del intervalo de interpolación
(datos equiespaciados), se puede concluir que los
Errores de interpolación son menores en el centro
del intervalo [x1,xn].
0.03
0.02
Rango de Interpolación
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
0
1
2
3
4
5
6
7
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Factor del Error
INTERPOLACION POLINOMICA
Grado del polinomio
La interpolación polinomial de alto grado es costosa para
la determinación de lo coeficientes de la función.
En algunas bases, el polinomio queda pobremente deter
determinado debido a que los coeficientes se calculan con
sistemas mal condicionados
condicionados.
Los polinomio de
alto grado necesariamente
tienen
“mucha oscilación”,
lo que genera una
función de interpolación que no refleja la relación de
los datos.
16
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION POLINOMICA
Localización de los puntos
Si los datos están equi
equi-espaciados
espaciados, puede surgir una
fuerte oscilación polinómica cuando el número de datos
(y por lo consiguiente el grado del polinomio) crece.
2.5
Un ejemplo
clásico es el
de la función
de Runge:
2
1.5
1
0.5
0
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
-0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
INTERPOLACION POLINOMICA
Localización de los puntos
Como los datos equi-espaciados, no dan a menudo resultados
satisfactorios en los extremos del intervalo de interpolación,
se puede emplear otro espaciamiento (mayor densidad en los
extremos).
Una posibilidad es usar los Puntos de Chebyshev:.
x *k 
ab ba
 (2k  1) π 

cos 

2
2
2n


k  1, 2, ..., n
Corresponden a las raíces de
los polinomios ortogonales de
Chebyshev
17
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION
POLINOMICA
Localización de
los puntos
Usando datos
equi-espaciados
(5 y 10 puntos)
Localización de
los nodos según
los Puntos de
Chebyshev
(5 y 10 puntos)
INTERPOLACION POLINOMICA
Localización de los puntos
Otro ejemplo de localizacion de los nodos. La función es
f(x) = xn. Ahora se ve el efecto sobre el error.
Equiespaciados
n = 8 puntos
Puntos de Chebyshev
n = 12 puntos
18
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE HERMITE
En algunas aplicaciones se requieren métodos de
interpolación que verifiquen ciertos puntos y sus
correspondientes derivadas. En esta idea se apoya
la Interpolación de Hermite
Dada la tabla
(xi, yi, yi’) i=1,..,n,
existe un único polinomio H(x) de grado a
lo más 2n-1 tal que:
H n 1 (x i )  y i  f(xi)
dH n 1 (x i )
 y i '  f' (xi)
dx
i  1, 2, ... , n
Esta idea puede extenderse con derivadas de
orden superior y genéricamente se las designa
como Interpolación Hermítica
INTERPOLACION DE HERMITE
Fórmula de Lagrange
Se puede construir estos polinomios
estructura de los polinomios de Lagrange,
n
n
i 1
i 1
usando
la
~
f(x)  Pn 1 (x)   H i (x)f(xi)   H i (x)f' (xi)
Los multiplicadores H de Hermite están basados en los
multiplicadores de Lagrange:
H i (x)  1  2(x  x i )L i ' (x)  L i (x)
2
~
H i (x)  (x  x i )L i (x)
2
Así se puede construir un polinomio con determinación
precisa de sus coeficientes, aunque su elaboración
resulta algo compleja.
19
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE HERMITE
Fórmula de Newton
Una forma alternativa de encontrar el interpolante
de Hermite es a través de diferencias divididas
siguiendo la idea del método de Newton.
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Se puede construir una tabla. Lo que se llamó d en
la Tabla del Método de Newton, aquí se nota con
[x0 x1] (notación muy difundida).
INTERPOLACION DE HERMITE
Fórmula de Newton
La Tabla de diferencias divididas queda:
Y el polinomio resulta:
20
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE HERMITE
Error de Interpolación
Puede probarse que el Error de Truncación con
interpolación hermítica vale
vale::
Si f es derivable, se puede demostrar que:
(x  x 1 ) 2 ...(x  x n ) 2 (2n)
f(x)  H 2n 1 (x) 
f ξ 
2n !
y ξ  [x 1 , x n ]
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Esta expresión permite valorar los factores que
influyen en la precisión de la aproximación hermítica.
INTERPOLACION DE FUNCIONES
BIVARIADAS
La interpolación polinómica de funciones multivariadas
se hacen mediante procedimientos que son extensio
extensiones de los métodos vistos
vistos.. La situación más simple es
el caso de funciones de dos variables
variables..
La Función de Interpolación se expresa como una
combinación lineal de las Funciones Base
Base::
n
m
f(x, y)   a ijΦ i (x) Ψ j (y)
i 1 j1
Se debe cumplir en los nodos:
n
m
f(x k , y k )   a ijΦ i (xk ) Ψ j (y k )
k 1, 2, ....
i 1 j1
21
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION BILINEAL
A igual que en el caso univariado
univariado,, las funciones base
más usadas son las monomiales
monomiales.. En particular si se
consideran monomios hasta grado 1 (n = 1; m = 1),
la interpolación se denomina bilineal
bilineal..
f(x, y)  a11  a12 x  a 21 y  a 22 xy
Se considera que se dispone
de una grilla de puntos
puntos..
x1, ym
xn, ym
x , y 
i
j
xn, y1
x1, y1
El Punto a interpolar (x,y
x,y))
queda dentro de la celda
rectangular
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION BILINEAL
Para minimizar los errores
de redondeo, se recurre a
un escalado de las variables
variables::
p
x  xi
x i 1  x i
q
f(x,y)
y  yi
y i 1  y i
f(x, y)  (1  p)(1  q)f i, j 
 p(1  q)f i 1, j  (1  p)qf i, j1  pqf i 1, j1
Esta forma de escribir la función permite el cálculo
preciso de los coeficientes, de acuerdo con la idea
de la interpolación de Lagrange
Lagrange..
22
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION BILINEAL
La interpolación bilineal conduce a funciones que son
continuas con discontinuidades en la primera
derivada en las líneas de la grilla
Baja
Resolución
Media
Resolución
Alta
Resolución
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Los errores de redondeo son de orden Δ2x o Δ2y
INTERPOLACION DE FUNCIONES
BIVARIADAS
Para mejorar la precisión se puede incrementar el
orden de las funciones base
base.. Una interpolacion
bicuadrática implica un interpolante de la forma
forma::
f(x, y)  α 1  α 2 x  α 3 y  β1xy  β 2 x 2 
 β 3 y 2  γ 1x 2 y  γ 2 xy 2  γ 3 x 2 y 2
Como son 9 los coeficientes
que hay que calcular, se
requiere la información de
cuatro celdas adyacentes
(nueve nodos)
nodos)..
23
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION BICUADRÁTICA
Para emplear menos coeficientes (y menos nodos)
como base del interpolante
interpolante,, se proponen diversas
estructuras para interpolación cuadrática, como
como::
f(x, y)  α 1  α 2 x  α 3 y  β1 xy  β 2 x 2  β 3 y 2
Hay distintas alternativas
para la selección de los
nodos 6 que se requieren
requieren..
A modo de ejemplo, la
propuesta de Abramowitz y
Según (1972
1972)). se muestra en
la figura
figura..
Se
logra
errores
de
3
truncación de orden Δ x o Δ3y
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION BICUADRÁTICA
Si se dispone de una grilla
uniformemente espaciada
(Δx y Δy del mismo
valor), se aplican las
fórmulas::
fórmulas
p
x  xi
x i 1  x i
q
y  yi
y i 1  y i
1
1
f(x, y)  q(q  1)f i, j1  p(p  1)f i 1, j  (1  pq  p 2  q 2 )f i, j 
2
2
1
1
 p(p  2q  1)f i 1, j  q(q  2p  1)f i, j1  pqf i 1, j1
2
2
24
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE FUNCIONES
BIVARIADAS
INTERPOLACIÓN DE ALTO ORDEN
Hay varias posibilidades de interpolantes de órdenes
mayores.. Los más aceptados son de orden 3. Los
mayores
métodos más usados son aquellos desarrollados para
gráficos en computadoras
computadoras..
USO DE OTRAS GRILLAS
Hay una cantidad de métodos
numéricos
para
integrar
ecuaciones
diferenciales
parciales a partir de mallas no
estructuradas
de
triángulos
(Elementos Finitos, Volúmenes
Finitos, Elementos Espectrales
Espectrales)).
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE FUNCIONES
MULTIVARIADAS
Las ideas anteriores pueden generalizarse para más
dimensiones.. Para funciones de tres variables
dimensiones
INTERPOLACION TRILINEAR
Método de interpolación sobre una grilla regular de 3
dimensiones.. Evalúa la función en un punto intermedio (x,
dimensiones
y, z) dentro de un prisma rectangular usando datos ´de
los vértices (nodos)
(nodos)..
p
x  xi
x i 1  x i
q
y  yi
y i 1  y i
r
z  zi
z i 1  z i
f(x, y, z)  (1  p)(1  q)(1  r)fi, j,k  p(1  q)(1  r)fi 1, j,k 
 pq(1  r)fi 1, j1,k  p(1  q)rf i 1, j,k 1  (1  p)(1  q)rf i, j,k 1 
 (1  p)q(1  r)fi, j1,k  (1  p)qrf i 1, j,k  pqrf i, j,k
25
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION DE FUNCIONES
MULTIVARIADAS
INTERPOLACION TRICÚBICA
Método para obtener valores en puntos del espacio de
3D de una función definida sobre una malla regular
regular.. La
aproximación se hace con una función de la forma
forma::
3
3
3
f(x, y, z)   a ijk x i y jz k
i  0 j 0 k  0
Implicando 64 coeficientes
coeficientes.. Se han ensayado funciones
con menor número de coeficientes
coeficientes..
INTERPOLACION AL ADYACENTE MÁS PRÓXIMO
El algoritmo comúnmente es usado por la simpleza con la
que se pone en práctica, sobre todo en el procesamiento
de imágenes
imágenes..
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
FUNCIONES DE MATLAB
interp1 – interp1q
Realiza la interpolación de 1
variable
Sintaxis
yi = interp1(x,y,xi)
yi = interp1(x,y,xi,'method')
interp3
Realiza la interpolación de 3
dimensiones
interp2
Realiza la interpolación de 2
dimensiones
Sintaxis
zi = interp2(x,y,z,xi,yi)
zi = interp2(x,y,z,xi,yi,method)
Sintaxis
zi = interp2(x,y,z,w,xi,yi,zi)
zi = interp2(x,y,z, w,xi,yi,zi,method)
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