División de polinomios - Universidad de Costa Rica

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA
MA-0125:
MATEMÁTICA ELEMENTAL
División de polinomios
Debemos recordar el algoritmo de la división euclidiana estudiado en la escuela.
Ejemplo 1: Resuelva la operación 151
7
Solución:
Para dar la respuesta seguimos los siguentes pasos:
151
-14
11
-7
4
7
21
donde
151 es el dividendo, 7 es el divisor
21 es el cociente y 4 es el residuo
Además, para comprobar que la división estaba correcta hacíamos las operaciones: 7 21 + 4 = 151
A continuación vamos a explicar un ejemplo de cómo se realiza este tipo de división cuando el dividendo
y el divisor son polinomios.
Ejemplo 2: Efectúe la división
x2
5 + x3
x2 + 2x + 1
Solución:
Podemos seguir los siguientes pasos:
1. El dividendo y el divisor deben estar ordenados en forma descendente (del mayor exponente de
la variable al menor), de no ser así completamos con un cero la expresión que falte.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer monomio del divisor y el resultado que
se obtiene será el primer término del cociente.
3. Se multiplica el resultado del paso 2 por el divisor y se coloca debajo del dividendo para proceder
a realizar la resta. Para ello tome en cuenta que se deben cambiar los signos al restar un polinomio
de otro.
4. El resultado de la resta es el nuevo dividendo con el cual vamos a repetir los pasos 2 y 3.
5. La división concluye hasta que el grado del polinomio obtenido en el residuo sea menor que el
grado del polinomio del cociente.
K. Rodríguez
2
Como el dividendo no está ordenado en forma descendente lo ordenamos así:
x3
x3
x2 + 0 x
2
x2
x2 + 2x + 1
5
x
3 x2
x
x
3
Pasos:
x3
1. 2 = x
x
2. x(x2 + 2x + 1)
5
3.
3
x2
+ 6x + 3
5x
4.
3 x2
= 3
x2
2
3(x + 2x + 1)
2
x3
x2 + 0 x
Primer término del cociente.
Multiplicamos cociente por divisor,
colocamos debajo del dividendo con
signo contrario para restar.
Segundo término del cociente.
Multiplicamos y el resultado lo colocamos
debajo del cociente con signo contrario
para restar.
La división no se sigue porque el grado del
residuo es "1" y el del divisor es "2"
Por lo tanto tenemos:
Cociente: x 3
Residuo: 5 x 2
Ahora si queremos veri…car que la división está correcta podemos resolver
cociente div isor + residuo = dividendo
Así tenemos que:
(x
3) x2 + 2x + 1 + 5 x
x3
x2
5x
x3
x2
5
3+5x
2
2=
x2
5 + x3
=
x2
5 + x3
Resolver la multiplicación
=
x2
5 + x3
Simpli…car términos semejantes
Ejercicio 1: Determine el cociene y residuo de la división
5
4x + 8x3 + 3
x2
2x + 3