1 C´ODIGOS CORRECTORES

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CÓDIGOS CORRECTORES
Piensa en un número entre 0 y 15. Si siempre dices la verdad, yo podrı́a adivinar
tu número con 4 preguntas, cuyas posibles respuestas son: ”sı́” o ”no”. ¿Por
qué?
Un truco para justificar lo anterior es representar cada número n entre 0 y
15 en sistema binario: n = a · 23 + b · 22 + c · 2 + d, donde a, b, c, d son o 0 o 1.
Es decir, comunicar n es lo mismo que comunicar los cuatro bits a, b, c, d. Por
tanto, se requieren de cuatro preguntas para determinar el número.
Ejercicio 1: ¿Cuáles podrı́an ser las preguntas?
Pero si ahora complicamos un poco más el problema y se permite mentir una
(sola) vez. ¿Cuántas preguntas te tendrı́a que hacer para detectar si mientes?
¿Cuántas en el caso de que quiera corregir tu mentira (o error) y adivinar el
número que realmente pensaste?
Canal binario perfecto
Un canal binario es un canal para comunicar bits. En el primer problema,
tenemos un canal binario perfecto para comunicar bloques de 4 bits entre tú y
yo. ”Perfecto” porque el canal transmite el mensaje sin cambiarlo.
Canales con ruido
En la práctica, los canales binarios no son perfectos, y pueden cambiar un 1
en un 0, o viceversa, con cierta probabilidad (Teorı́a de Shannon). El segundo
problema, cuando se permite una mentira, es un ejemplo de esta situación: la
mentira intercambia los bits. La teorı́a de los codigos correctores de error, o
teorı́a de la codificación, trata de métodos de procesar mensajes para proteger
contra errores introducidos por el canal.
La idea fundamental es introducir cierta estructura o información redundante
en el mensaje que se envı́a. Si esa estructura no está en el mensaje que se recibe,
se sabe que ha habido cambios en el canal; una estructura lo suficientemente rica
permite recuperar el mensaje original, siempre que no haya habido demasiados
cambios. Es muy parecido a lo que ocurre en lenguaje natural: piensa en cómo
funcionan los programas correctores de ortografı́a. Imaginemos que recibimos
el siguiente mensaje de texto:
”En un lular de la Mancha”
Nos damos cuenta inmediatamente de que se han producido errores en la
transmisión, porque ”lular” no es una palabra del castellano. Ésta es una idea
importante: no todas las combinaciones de letras son palabras válidas de nuestro
diccionario y esto nos permite detectar en este caso el error.
Pero vayamos más allá: supongamos que transmitimos la palabra “Zaragoza”
y recibimos, por ejemplo, “Zatagoza”. Por supuesto, detectamos que se ha
producido algún error; pero aún más, cualquiera se sentirı́a en disposición de
corregir el error: se ha producido en el tercer sı́mbolo, y era una r en lugar de
una t. La razón es clara: no hay palabras en castellano “cerca” (en el sentido
de “parecidas”) de Zaragoza. Pero si transmitimos “casa” y recibimos “cusa”,
1
pese a que detectamos el error, ya no está tan claro cómo corregirlo: podrı́amos
haber emitido lusa, musa, cuna, etc. Peor aún, podrı́amos haber recibido “tasa”
en lugar de “casa” y ni siquiera podrı́amos detectar el error. La razón, la misma
de antes, pero al revés: ahora hay muchas palabras semejantes (”muy cerca”) a
“casa”.
Enumeremos las enseñanzas de estos ejemplos:
• La estructura: un conjunto de sı́mbolos (el abecedario) y unas palabras
formadas con ellos (el diccionario).
• Las palabras del diccionario deben estar separadas (para detectar errores)
. . . y si están muy separadas, hasta nos atreveremos a corregir.
Volviendo a nuestro problema de adivinar un número, un caso más fácil es
reconocer un mentiroso, sin intentar recuperar su número. Para esto, en vez de
mandar 4 bits [a, b, c, d], se mandan 5, [a, b, c, d, e] donde e se escoge de manera
que el número total de 1’s en el vector sea par. Si los bits del mensaje que llega
no satisfacen la condición de paridad, se detecta que ha habido errores, pero no
hay manera de corregirlos.
Ejercicio 2: Continuando con el ejercicio 1, ¿cuál serı́a la pregunta para
determinar e?
Para corregir, y no solamente detectar, errores, hay que introducir aún más
estructura en el mensaje.
1.1
Códigos de Hamming
Un código lineal de longitud n y rango k es un subespacio lineal C con dimensión k del espacio vectorial F2n , donde F2 = {0, 1} (es el cuerpo finito con 2
elementos). Tal código se denomina código binario. Los vectores en C se llaman
palabras de código. El tamaño de un código es el número de palabras del código
y es igual a 2k.
El peso w de una palabra del código es el número de sus elementos que son
distintos de cero y la distancia entre dos palabras del código es la distancia de
Hamming entre ellos, es decir, el número de elementos en los que difieren. La
distancia d de un código lineal es el peso mı́nimo de sus palabras del código
distintas de cero, o de forma equivalente, la distancia mı́nima entre palabras del
código diferentes. Un código lineal de longitud n, dimensión k, y distancia d se
denomina [n, k, d] código.
Más definiciones: Una matriz G de orden k × n cuyas filas forman una base
de C se llama matriz generadora. Una matriz H de orden (n − k) × n tal que
el producto de H por cualquier elemento de C resulte el vector nulo de llama
matriz de comprobación de paridad. Todo elemento del código C es de la forma
xG, donde x es un vector en F2n .
Las demostraciones de las siguientes propiedades de los códigos lineales se
pueden encontrar en cualquier libro introductorio de Teorı́a de Códigos:
2
1. Existe una matriz generadora G de C de la forma (Ik , A) donde Ik es la
matriz identidad de orden k y A es una matriz de orden k × (n − k).
2. Existe una matriz de comprobación de paridad H para C de la forma
(B, In−k ), donde B es una matriz de orden (n − k) × k. Más aún, B = At .
3. Un código de distancia mı́nima d detecta d−1 errores y corrige [(d − 1) /2]
errores.
En nuestro problema de adivinar un número, consideraremos el código de
Hamming [7, 4, 3] (el hecho que d = 3 es una consecuencia de la definición del
código). Según la propiedad 3, detecta dos errores y corrige uno. Una matriz
generadora serı́a


1 0 0 0 1 1 0
 0 1 0 0 1 0 1

G=
 0 0 1 0 0 1 1 .
0 0 0 1 1 1 1
Observa que si x = a b c d , entonces


a

 

b


1 0 0 0 1 1 0


c

0 1 0 0 1 0 1 
,



d
=
xG = a b c d 

0 0 1 0 0 1 1 
a + b + d


0 0 0 1 1 1 1
 a + c + d
b+c+d
que es una relación que nos será útil para construir explı́citamente el código.
Veamos cómo la matriz G genera las palabras del código que incluye los (tres)
3
dı́gitos redundantes para cada número del 0 al 15:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
α
20
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
a
21
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
b
23
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
c
24
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
d
25
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
e
26
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
f
27
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
g
P1
P2
P3
P4
1
3
2
3
5
−→
7
6
7
11
10
11
13
15
y1
14
15
y2
12
13
14
15
y3
P6
1
2
1
3
4
4
5
6
7
9
P5
5
6
8
9
10
11
12
13
14
15
y4
8
8
9
10
11
12
13
15
y5
15
y6
Aplicaciones
La teorı́a de códigos correctores es una de las aplicaciones más recientes del
álgebra. En los años cuarenta del siglo XX, Richard Hamming, uno de los inventores de la teorı́a de códigos, contaba la siguiente anécdota. Cuando trabajaba para la compañia Bell Laboratories tenı́a acceso a los ordenadores sólo los
fines de semana. Solı́a dejar corriendo en el ordenador sus programas y cuando
4
2
3
4
5
6
verificándose: e = a + b + d, f = a + c + d y g = b + c + d.
Ası́, las columnas P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 son los conjuntos que nos determinan las preguntas que vimos en el demo del juego de la adivinanza, e
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 son las respuestas ”Sı́ = 1” o ”N o = 0”. Si llamamos
α = a b c d e f g e y = y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 , pueden
suceder dos casos: que sean idénticos o que se diferencien en una sola componente. Equivalentemente, w(α + y) = 0 o 1, respectivamente. Si w(α + y) = 0,
el participante dijo la verdad. Si w(α + y) = 1, el participante mintió una vez,
y la posición i donde se encuentra el 1 en α + y corresponde a la pregunta Pi ,
en la cual mintió.
Ejercicio 3: Convéncete que si hay dos errores, corrige mal.
Ejercicio 4: Halla una octava pregunta, que permita hacer lo siguiente:
detectar la cantidad de mentiras, si ésta es menor o igual que dos. Si hay una
o ninguna mentira se recupera el número. Si hay dos mentiras, se detecta pero
no se puede recuperar el número.
1.2
P7
14
15
y7
volvı́a, el fin de semana siguiente, encontraba que alguno de los programas que
más necesitaba no habı́an sido ejecutados (cuando el ordenador detectaba un
error en un programa, detenı́a su realización y pasaba a otro que estaba en la
lista de espera). Esto ocasionaba importantes atrasos en su trabajo y le llevó
a plantearse el problema de acondicionar de algún modo la información que
maneja el ordenador de tal suerte que pudiera corregir los errores.
Imaginemos que se desea enviar información digital (una cadena de ceros y
unos) a través de un canal de comunicación de una forma rápida y segura. El
canal de comunicación puede ser una lı́nea telefónica, comunicación vı́a satélite,
fibra óptica, almacenamiento de datos en un disco, cinta de computadora, etc.
A veces ocurre que el mensaje que se recibe no concuerda con el enviado, principalmente debido a algún error humano, interferencias, deficiencias del equipo,
situaciones atmosféricas, etc. Se suele decir que la comunicación se hace a través
de un canal con ruido.
Los códigos de Hamming no son tan útiles en la actualidad, pero hay otros
como los códigos de Reed-Muller (corrige 5 errores por cada secuencia de 32 bits)
o códigos de Golay extremadamente útiles en diversos ámbitos. La transmisión
de información desde naves espaciales o a través de satélites de comunicaciones
es uno de los paradigmas de la teorı́a de códigos. Los impresionantes avances
tecnológicos, en tecnologı́a digital, que en la actualidad son normales y que
consideramos parte de nuestra vida cotidiana, como el teléfono móvil, la televisión digital, los sistemas de navegación aérea y marı́tima, los CD-R, los DVD,
en buena medida (pero no totalmente) no serı́an posibles sin el desarrollo de
los códigos detectores-correctores de error. Estos códigos aparecen, además, en
medicina (tomografı́a), en los códigos de barras, en las transacciones comerciales y bancarias, en sistemas de grabación y reproducción de imágenes, audios
y vı́deos y, en consecuencia, la importancia de su estudio y de la obtención de
resultados originales en este contexto está fuera de discusión.
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