Cabo San Lucas Baja California Sur, a 23 de Junio del

APUNTES DE APOYO PARA ALGEBRA
Tema: Aritmética
Subtema: Operaciones básicas de los números enteros.
-Leyes de la adición (suma).- Sean 𝑎 𝑦 𝑏 dos números cualesquiera, entonces:
a) Propiedad conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎. Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 3, 𝑏 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑆𝑖 𝑎 = 7, 𝑏 = 20, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
3+5=5+3
7 + 20 = 20 + 7
b) Propiedad asociativa: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐 ). Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 7, 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: ( 7 + 3 ) + 5 = 7 + ( 3 + 5 )
𝑆𝑖 𝑎 = 6, 𝑏 = 13 𝑦 𝑐 = 9, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶
( 6 + 13 ) + 9 = 6 + ( 13 + 9 )
c) Dado un número ( 𝑎 ) existe otro número ( − 𝑎 ) tal que 𝑎 + ( − 𝑎 ) = 0 , a este número ( − 𝑎 ) se le conoce
como recíproco aditivo. Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 3, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 3 + ( − 3 ) = 0
𝑆𝑖 𝑎 = 15, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 15 + ( −15 ) = 0
-Leyes del producto (multiplicación).- Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 tres números cualesquiera, entonces:
a) Propiedad conmutativa: 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 3, 𝑏 = 5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: (3)(5) = (5)(3)
𝑆𝑖 𝑎 = 7, 𝑏 = 20, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: (7)(20) = (20)(7)
b) Propiedad asociativa: (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎( 𝑏𝑐 ). Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 7, 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = 5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: ( (7)(3) )5 = 7((3)(5) )
𝑆𝑖 𝑎 = 6, 𝑏 = 13 𝑦 𝑐 = 9, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: ( (6)(13) )9 = 6(( 13)(9) )
c) Propiedad distributiva: 𝑎 ( 𝑏 + 𝑐 ) = ( 𝑎 )( 𝑏 ) + ( 𝑎 )( 𝑐 ). Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 5, 𝑏 = 7 𝑦 𝑐 = 15, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 5 ( 7 + 15 ) = ( 5 )( 7 ) + ( 5 )( 15 )
𝑆𝑖 𝑎 = 9, 𝑏 = 12 𝑦 𝑐 = 24, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 9 ( 12 + 24 ) = ( 9 )( 12 ) + ( 9 )( 24 )
Las operaciones de substracción (resta) y división se definen por las siguientes relaciones:
A)
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + ( −𝑏 ), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ( −𝑏 ) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑏. Ejemplos:
1.2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 8, 𝑏 = 5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 8 − 5 = 8 + ( −5 ),
𝑆𝑖 𝑎 = 7, 𝑏 = 15, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 7 − 15 = 7 + ( −15 ),
1
B)
𝑎
𝑏
1
1.-
𝑆𝑖 𝑎 = 5, 𝑏 = 8, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2.-
𝑆𝑖 𝑎 = 10, 𝑏 = 3, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
= 𝑎 (𝑏) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦
5
8
1
𝑏
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑏. Ejemplos:
1
= 5 (8)
10
3
1
= 10 (3)
En matemáticas hay una convención en cuánto al signo: si el primer número de una operación tiene signo
positivo, así como el resultado, el signo puede omitirse.
Al realizar operaciones con números enteros, positivos y negativos, es necesario considerar el signo de cada
número, más la operación que se pretende realizar, de lo que derivan algunas reglas para observar:
A) Suma algebraica.
- Para sumar dos o más cantidades del mismo signo, se realiza la suma de los números en su valor absoluto (Valor
absoluto de un número es el valor del número independientemente de su signo) y se conserva el signo que es
igual. Ejemplos:
1.-
8 + 7 = 15
2.-
4 + 2 + 13 = 19
3.-
− 8 − 7 = − 15
4.-
− 4 − 6 − 10 = −20
5.-
− 8 − 10 − 2 − 5 = −25
- Para sumar dos o más cantidades con diferente signo, primero se suman los números que tiene el mismo signo y
se restan los resultados correspondientes a cada signo, el signo del resultado será el de cantidad mayor. Ejemplos:
1.-
9−5=4
2.-
4 − 7 = −3
3.-
3 − 2 + 5 − 4 = (3 + 5) − (2 + 4) = 8 − 6 = 2
4.-
− 8 + 5 + 5 − 4 − 6 = (5 + 5) − (8 + 4 + 6) = 10 − 18 = −8
5.-
− 8 − 10 + 2 − 5 + 7 + 6 − 10 + 15 = (2 + 7 + 6 + 15) − (8 + 10 + 10) = 30 − 28 = 2
- Cuando se tienen dos signos para un mismo número (el del número y el de la operación que se va a realizar) se
reduce a un solo signo aplicando la ley de los signos de la suma: De dos signos iguales resulta signo positivo y de
dos signos diferentes resulta signo negativo. Ejemplo:
1.-
7 − (−8) = 7 + 8 = 15
2.-
− 8 + (5) = −8 + 3 = −5
3.-
− 8 − (− 9) = −8 + 9 = 1
4.-
− 4 − ( −6 ) + (−10 ) = −4 + 6 − 10 = 6 − ( 4 + 10 ) = 6 − 14 = −8
5.-
8 + ( −10 ) + (−2) − ( −5 ) = 8 − 10 − 2 + 5 = ( 8 + 5 ) − (10 + 2 ) = 13 − 12 = 1
2
Ejercicios:
Siguiendo las reglas establecidas anteriormente, encuentra el resultado de las sumas algebraicas que se
indican, no utilices la calculadora.
1.-
7 + 15 + 7 + 8 + 10 =
2.-
− 8 − 8 − 10 − 4 − 10 =
3.-
− 8 + 10 − 15 + 10 =
4.-
− 9 − 3 + 5 + 15 =
5.-
15 − 5 + 10 − 12 + 13 − 17 =
6.-
− 1 − 12 + 15 + 5 − 10 − 4 =
7.-
5 − ( −8 ) + (−10 ) =
8.-
4 + ( −8 ) + (−2) − ( −7 ) =
9.-
−10 − ( −3 ) + (2) − ( −8 ) + (−3) =
10.-
10 − ( 4 ) + (2) + ( −8 ) − (−3) − (−10) =
-Suma algebraica con signos de agrupación de los números reales.
Cuando se utilizan los signos de agrupación normalmente se escriben de la siguiente forma: { [ ( ) ] }, de
tal forma que primero se resuelve lo que está dentro del paréntesis, luego los corchetes y por último las
llaves. Ejemplos:
1.-
10 − {4 + [5 − 8 + (−3 + 4)]} =
10 − {4 + [ 5 − 8 + (1)]} =
2.-
[5 − (3 − 8)] + 10 − (20 − 10) =
10 − {4 + [5 − 8 + 1]} =
[5 − (− 5)] + 10 − (10) =
10 − {4 + [− 2] } =
[ 5 + 5 ] + 10 − 10 =
10 − {4 − 2 } =
10 + 10 − 10 = 10
10 − {2} = 10 − 2 = 8
3.-
[− 15 − (− 3 − 2)] + {5 − [2 − (3 + 1)]} + 1 =
[− 15 − (− 5)] + {5 − [2 − (4)]} + 1 =
[− 15 + 5 ] + {5 − [2 − 4]} + 1 =
[− 10 ] + {5 − [− 2 ]} + 1 =
− 10 + {5 + 2} + 1 =
− 10 + { 7 } + 1 =
− 10 + 7 + 1 = −2
3
Ejercicios:
Siguiendo las reglas establecidas anteriormente, encuentra el resultado de las sumas algebraicas que se
indican, no utilices la calculadora.
1.-
7 + [15 + (4 − 12)] =
2.-
7 + [15 − (4 − 12)] =
3.-
− {− 5 + [8 + (−2 − 3)]} =
4.-
{− 5 + [8 − (−2 − 3)]} =
5.-
− { 5 − [8 + (−2 + 3)]} =
6.-
20 + {3 − [− 5 − (2 + 6)] + 2} − 3 =
7.-
20 − {3 − [− 5 + (2 + 6)] + 2} − 3 =
8.-
20 + {3 + [ 5 − (2 + 6)] + 2} + 3 =
9.-
20 + {3 − [− 5 − (2 − 6)] − 2} − 3 =
10.-
−10 − ( 4 − 14 ) + [8 − (5 − 3)] + ( −8 ) =
4
Tema: Aritmética
Subtema: Operaciones básicas de los números fraccionarios.
Suma algebraica de fracciones.
A) Si dos fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.
1.2.3.-
1
4
+
3
9
4
=
10
4
+
7
5
=
7
8
4
1
3
9
−
9
=
=
5
2
7
9
=
1
3
B) Si las fracciones tienen distinto denominador se multiplican los denominadores y para encontrar el numerador
se multiplican de forma cruzada el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción
más la multiplicación del numerador de la segunda fracción por el denominador de la segunda fracción, o bien, se
reducen al mínimo común denominador y se suman los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es
posible se simplifica.
1.2.3.4.-
1
4
6
11
1
4
3
4
3
4
5.-
+
7
8
7
8
+
3
5
=
8
5
+
3
+
5
+
5
−
5
−
5
5
6
6
4
4
=
(1)(5)+ (3)(4)
(4)(5)
(6)(5)+ (8)(11)
(11)(5)
=
(1)(5)+ (3)(4)
=
(3)(6)+ (5)(4)
=
(3)(3)+ (5)(2)
=
(7)(4)− (5)(8)
=
=
(4)(5)
(4)(6)
12
(8)(4)
(7)(1)− (5)(2)
8
5+12
20
=
17
= 20
30+88
=
55
=
5+12
=
18+20
=
9+10
=
28−40
=
7−10
20
32
8
55
17
= 20
24
12
118
38
= 24 =
19
12
, tomando mínimo común denominador será:
19
= 12
=
=
−12
32
=
−3
8
, tomando mínimo común denominador será:
−3
8
Ejercicios:
Siguiendo las reglas establecidas anteriormente, encuentra el resultado de las sumas algebraicas que se indican, no
utilices la calculadora.
1.-
2.-
1
+
5
11
6
−
14
5
5
6
=
=
5
3.-
4.-
5.-
3
4
+
15
2
3
1
6
5
−
2
+
7
7
3
=
=
=
Multiplicación y división de números enteros.
Para multiplicar o dividir dos números enteros, se realiza la multiplicación o división correspondiente y los signos
se van comparando de dos en dos, aplicando la ley de los signos: La multiplicación o división de dos signos
iguales el resultado es positivo y de dos signos diferentes resulta signo negativo. Ejemplos:
Multiplicación:
1.-
(8) (7) = 56
5.-
(3) (−7) (−4) = 84
2.-
(8) (−7) = − 56
6.-
(−5) (−1)(−2) = − 10
3.-
(− 8) (7) = − 56
7.-
(−2) (−4)(−2)(−1) = 16
4.-
(− 8) (−7) = 56
División:
1.2.3.4.-
8
=2
4
−8
4
8
−4
−8
−4
= −2
= −2
5.-
−5
5
= −4
4
Nota: En este tipo de división el resultado sería = − 1.25, pero se
necesita la fracción y no el decimal.
6.-
5
5
= −4
−4
=2
Ejercicios:
Siguiendo las reglas establecidas anteriormente, encuentra el resultado de las operaciones algebraicas que se
indican, no utilices la calculadora.
1.-
(−5)(2)(−3) =
2.-
(−3)(−2)(−4)(−1) =
3.-
4.5.-
(−1)(2)(−5)(−1)(3) =
−9
3
=
−25
5
=
6.7.8.9.-
−45
−9
54
6
=
−15
8
9
−4
=
=
=
6
Ejercicios mixtos
Resuelve las siguientes operaciones algebraicas aplicando tus conocimientos adquiridos durante el curso.
1.-
2.-
−12−[(3)(2)]
(3)(3)
(7−3)(2−5)
[(3)(−2)]
=
=
(5+4)
3.-
10 − {2 [
4.-
(2) {
5.-
[9 − (3 + 5)] {
3
]} =
−12−[(3)(2)]
−8
}
−
(
)
(3)(3)
2
[(−1)(3)(2)]
[(−6)(2)]
=
−1
}−( ) =
2
7
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo
denominador es el producto de los denominadores. Ejemplos:
1
5
(1)(5)
(4)(3)
(4) (3) =
2.-
(2) (− 5) = − (2)(5) = − 10 = − 5
3.-
(3) (− 5) (− 4) =
3
4
2
3
=
5
12
1.-
(3)(4)
3
12
(2)(3)(3)
(3)(5)(4)
6
18
9
= 60 = 30
El cociente de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción
por el denominador de la segunda fracción y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera
fracción por el numerador de la segunda fracción. Ejemplos:
1
5
(1)(3)
(4)(5)
(4) ÷ (3) =
2.-
( ) ÷ (− ) = − (2)(4) = −
3.-
(− ) ÷ (− ) =
3
2
(3)(5)
4
5
3
5
=
3
20
1.-
3
4
(3)(4)
(5)(3)
=
12
15
15
8
=
4
5
Ejercicios:
Siguiendo las reglas establecidas anteriormente, encuentra el resultado de las operaciones algebraicas que se
indican, no utilices la calculadora.
3
5
4
3
1.-
( )( ) =
2.-
(− ) (− ) =
3.-
(− ) (− ) (− ) =
1.-
( )÷( )=
2.-
(− ) ÷ ( ) =
3.-
(−
3
3
2
5
2
4
3
3
5
4
5
5
4
3
3
1
7
2
10
7
3
) ÷ (− ) =
4
8
Tema: Aritmética
Subtema: Operaciones básicas con exponentes de los números reales.
Se llama exponente al número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma y se escribe en la parte
superior derecha de la base. Ejemplos:
1.2.3.4.-
54 , indica que el 5 se multiplica 4 veces, = (5)(5)(5)(5) = 625
26 , indica que el 2 se multiplica 6 veces, = (2)(2)(2)(2)(2)(2) = 64
(−2)3 , indica que el - 2 se multiplica 3 veces, = (−2)(−2)(−2) = −8
(−3)4 , indica que el - 3 se multiplica 3 veces, = (−3)(−3)(−3)(−3) = 81
Un exponente puede ser cualquier número: positivo o negativo, cero, entero o fraccionario. Por convencionalismo
matemático, cuando el exponente de un número es uno, éste se omite, por lo tanto si un número “no tiene”
exponente, se considera que su exponente es 1.
Nota: Todo valor (número o letra) que tenga exponente cero es igual a 1.
Ejemplos:
- Multiplicaciones con la misma base:
1.-
(3)3 (3)4 = (3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) = 37
2.-
(2)4 (2)2 = (2)(2)(2)(2)(2)(2) = 26
3.-
(5)2 (5)4 (5) = (5)(5)(5)(5)(5)(5)(5) = 57
4.-
(8)2 (8)5 (8)3 (8)2 = (8)(8)(8)(8)(8)(8)(8)(8)(8)(8)(8)(8) = 812
Conclusión: La multiplicación de dos o más números que tienen la misma base, es igual a la base elevada a la
suma de los exponentes.
1.-
(3)3 (3)4 = (3)3+4 = 37
2.-
(2)4 (2)2 = (2)4+2 = 26
3.-
(5)2 (5)4 (5) = (5)2+4+1 = 57
4.-
(8)2 (8)5 (8)3 (8)2 = (8)2+5+3+2 = 812
5.-
(4)−3 (4)5 = (4)−3+5 = 42
6.-
(4)3 (4)−2 (4)−4 = (4)3+(−2)+(−4) = (4)3−2−4 = 4−3
Ejercicios: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con exponentes
1.-
(3)8 (3)5 = _____________________________________
2.-
(9)5 (9)2 = _____________________________________
3.-
(7)2 (7)(7)8 = ______________________________________
4.-
(8)−2 (8)5 (8)3 (8)2 = ___________________________________
5.-
(2)−3 (2)−5 = ______________________________________
6.-
(4)−3 (4)6 (4)−4 = ____________________________________
- División de la misma base:
9
1.2.-
25
23
47
44
=
(2)(2)(2)(2)(2)
=
(4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)
(2)(2)(2)
2
2
2
= (2) (2) (2) (2)(2) = (1)(1)(1)(2)(2) = 22
(4)(4)(4)(4)
4
4
4
4
= (4) (4) (4) (4) (4)(4)(4) = (1)(1)(1)(1)(4)(4)(4) = 43
Conclusión: La división de dos números que tienen la misma base, es igual a la base elevada a la resta de los
exponentes, el exponente del numerador menos el exponente del denominador.
1.2.-
25
23
47
44
= (2)5−3 = 22
= (4)7−4 = 43
En el caso de que el exponente del denominador sea mayor que el del numerador, se tiene que el exponente queda
negativo:
1.2.-
32
35
= (3)2−5 = 3−3
54
510
= (5)4−10 = 5−6
En los casos de que alguno de los exponentes o ambos sean negativos, se aplica la regla de la suma algebraica:
1.2.3.-
3−2
35
= (3)−2−5 = 3−7
54
5−10
7−3
7−2
= (5)4−(−10) = 54+10 = 514
= (7)−3−(−2) = 7−3+2 = 7−1
Ejercicios: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con exponentes
1.2.3.-
39
37
= ____________________________________
215
24
2−6
24
4.-
= ___________________________________
5.-
= ___________________________________
6.-
2−6
2−4
56
5−2
= ___________________________________
= ___________________________________
10−6
10−8
= ___________________________________
Cualquier número con exponente positivo es igual a su inverso con exponente negativo:
1.-
1
43 = 4−3
2.-
1
96 = 9−6
3.-
1
3−7 = 37
3.-
1
10−5 = 105
Ejemplos mixtos: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con
exponentes, si el resultado es con exponente negativo aplica su inverso.
10
1.-
(5)−3 (7)−5 (3)4
(3)−2 (7)2(5)4
5−3
7−5
1
1
34
= ( 54 ) ( 72 ) (3−2 ) = (5)−3−4 (7)−5−2 (3)4−(−2) = (5)−7 (7)−7 (3)4+2 =
= ((5)7 ) ((7)7 ) (3)6 =
2.-
(3)−3 (2)5 (3)−4
(3)3 (2)−5 (5)4
(3)−3 (3)−4
= (
(3)3
(3)6
(5)7 (7)7
(2)5
1
(3)−7
1
) ((2)−5 ) ((5)4 ) = ( (3)3 ) (2)5−(−5) ((5)4 ) =
1
1
1
(2)10
(2)10
= (3)−7−3 (2)5+5 ((5)4 ) = (3)−10 (2)10 ((5)4 ) = ((3)10 ) ( (5)4 ) = ((3)10 (5)4 )
Ejercicios: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con exponentes.
1.-
28360 = ____________
2.-
𝑏 0 = __________
3.-
(2)7 (2)4 (2)2 = _________________________________________________
4.-
(5)−3 (5)5 (2)2 = _________________________________________________
5.-
(6)4 (6)−2 (2)−2 = _________________________________________________
6.-
(10)−1 (10)−4 (10)2 (10)−1 (10) = _________________________________________________
7.8.9.10.11.12.13.14.15.-
5−2
5−5
34
3−8
7−2
75
= ___________________________________
= ___________________________________
= __________________________________
(6)7 (6)2
6
= ____________________________________________________________________________
(3)−3 (3)5
(3)−2
= ____________________________________________________________________________
(2)2 (2)−5 (2)
(2)−4 (2)2
= __________________________________________________________________________
(3)−3 (2)5 (3)4
(3)−3 (2)5 (3)4
= _________________________________________________________________________
(3)−3 (2)5 (3)−4
(3)3 (2)−5 (3)4
(7)5 (4)−5 (6)−2
(6)−5 (7)3 (4)−2
= _________________________________________________________________________
= _________________________________________________________________________
- Números enteros con exponente elevado a otro exponente.
Ejemplos:
11
1.-
((5)3 )2 = (5)3 (5)3 = (5)3+3 = (5)6
2.-
((−2)4 )3 = (−2)4 (−2)4 (−2)4 = (−2)4+4+4 = (−2)12
Conclusión: Un base con un exponente, elevado a su vez a otra potencia, es igual a la base elevada a la
multiplicación de los exponentes:
1.-
((5)3 )2 = (5)(3)(2) = (5)6
2.-
((−2)4 )3 = (−2)(4)(3) = (−2)12
3.-
((2)−4 )5 = (2)(−4)(5) = (2)−20
4.-
((−6)−4 )−8 = (−6)(−4)(−8) = (−6)32
Ejercicios: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con exponentes.
1.-
((6)5 )3 = _________________________________________________
2.-
((−8)−2 )4 = ____________________________________________________
3.-
((10)2 )−5 = ____________________________________________________
4.-
((−1)−3 )−6 = _____________________________________________________
- Números fraccionarios con exponente elevado a otro exponente.
Ejemplos:
(2)3 2
(2)3
(2)3
(2)3 (2)3
(2)3+3
(2)6
1.-
((3)5) = ((3)5) ((3)5) = ((3)5(3)5) = (3)5+5 = (3)10
2.-
((2)6 ) = ((2)6 ) ((2)6 ) ((2)6 ) ((2)6 ) ((2)6 ) = ((2)6 (2)6 (2)6 (2)6 (2)6 ) = (2)6+6+6+6+6 = (2)30
(5)4 5
(5)4
(5)4
(5)4
(5)4
(5)4
(5)4 (5)4 (5)4 (5)4 (5)4
(5)4+4+4+4+4
(5)20
Conclusión: Una división de dos números de distinta base y exponente, elevada a su vez a otra potencia, es igual a
la división de las bases multiplicadas por el exponente:
Ejemplos:
1.-
(2)3 2
(2)(3)(2)
(2)6
(5)4 5
(5)(4)(5)
(5)20
((3)5) = ((3)(5)(2)) = (3)10
2.-
((2)6) = ((2)(6)(5)) = (2)30
3.-
( (4)3 ) = ( (4)(3)(4) ) =
4.-
((3)−2) = ((3)(−2)(3)) = (4)−6 = (6)15 (4)6
(2)−3 4
(6)5
3
(2)(−3)(4)
(6)(5)(3)
(2)−12
(4)12
1
= (2)12(4)12
(6)15
12
5.-
(10)−2 4
(10)(−2)(4)
( (9)−2 ) = ( (9)(−2)(4) ) =
(8)−3 7
(8)(−3)(7)
(10)−8
(9)−8
(8)−21
(9)8
= (10)8
(9)35
6.-
((9)−5 ) = ((9)(−5)(7) ) = (9)−35 = (8)21
7.-
((2)−5)
(1)3
−3
(1)(3)(−3)
= ((2)(−5)(−3)) =
(1)−9
(2)15
1
= (2)15(1)9
Ejercicios: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con exponentes.
(1)4 4
1.-
((3)6) = ____________________________________________________________________
2.-
((9)7 )
3.-
( (3)5 ) = ___________________________________________________________________
4.-
((5)−6)
5.-
6.-
(8)6 −7
=__________________________________________________
(1)−3 6
(2)−4 −5
= __________________________________________________________________
(11)8 −5
= __________________________________________________________________
((7)−5)
(6)8 −3
((8)5)
= ___________________________________________________________________
Ejemplos mixtos: Aplicando los conceptos vistos, simplifica las siguientes operaciones algebraicas con
exponentes, si el resultado es con exponente negativo aplica su inverso.
1.-
2.-
3.-
((2)5 (3)3 )
3
= __________________________________________________________________________
(3)(2)4
((3)5 (2)5 )
5
= ____________________________________________________________________________
((2)2 (3)2 )2
(4)5 (6)3
(
(6)5
−2
)
= __________________________________________________________________________
13
Tema: Algebra
I
Subtema: Lenguaje algebraico.
) LENGUAJE ALGEBRAICO
Definición de Álgebra: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general
posible. ( A. Baldor )
Expresión Algebraica.- Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y letras.
También podemos decir que una expresión algebraica es la combinación de números, literales (variables o
constantes) y signos de operación ( +, -, x, ÷ ).
Ejemplos:
𝑥 + 1, 𝑎 + 𝑏 − 𝑐,
4𝑥 3 ,
𝑎2 + 𝑚,
𝑒𝑡𝑐.
Terminología: A las combinaciones de números variables y signos de operaciones las llamamos expresiones
algebraicas, y a las partes que las forman y están separadas por los signos de sumar (+) o restar (-) las llamamos
términos. Ejemplos:
a)
4𝑥 3 , es una expresión algebraica compuesta de 1 términos.
b)
4𝑥 3 + 3, es una expresión algebraica compuesta de 2 términos.
c)
2𝑥 3 + 5 − 1 , es una expresión algebraica compuesta de 3 términos.
Así, sucesivamente.
Los términos, entonces, están formados por factores, mismos que pueden ser numéricos o literales. Se dice que un
factor o varios factores pueden ser el coeficiente del resto de los factores que forman a ese término.
Ejemplos:
En el término 6𝑎𝑥:
𝑎𝑥:
6𝑎:
6𝑥:
es el coeficiente para el producto ax.
es el coeficiente para x.
es el coeficiente para a.
Generalmente se utiliza la palabra coeficiente a secas para señalar al coeficiente numérico (incluyendo el signo.
Ejemplo:
- En el término −5𝑎𝑥𝑦: −5 es el coeficiente numérico de la parte literal 𝑎𝑥𝑦.
- En el término 2𝑚𝑛 : 2 es el coeficiente numérico de la parte literal 𝑚𝑛.
- En el término
4𝑥 2 : 4 es el coeficiente numérico de la parte literal 𝑥 2 .
Ejercicios:
Describir las partes que componen una Término
Expresión
8𝑎𝑏 2
−4𝑚5
3𝑥 3 𝑦 4
Signo
+
+
Coeficiente
8
4
3
Literal
𝑎𝑏
𝑚
𝑥3𝑦4
Exponente (s)
1,2
5
3,4
14
Se dice que dos o más términos son semejantes cuando difieren únicamente en el coeficiente, el resto de los
factores deben ser idénticos. Ejemplos:
1)
Los términos
semejantes para 𝑎𝑥 2 .
5𝑎𝑥 2
𝑦
6𝑎𝑥 2 , los coeficientes son 5 y 6 respectivamente, entonces son términos
2)
Los términos −5𝑛𝑚3 , 8𝑛𝑚, 3𝑛4 𝑚, no tienen términos semejantes porque las literales y los exponentes
son diferentes.
Reducción de términos semejantes.- Operación que tiene por objeto agrupar en uno solo dos o más término que
sean semejantes. Ejemplos:
1.-
3𝑎 + 2𝑎 = 5𝑎
2.-
5𝑚 − 3𝑚 + 4𝑚 = 6𝑚
3.-
−2𝑛 + 3𝑛 − 4𝑛 = −3𝑛
4.-
5𝑥 3 − 2𝑥 3 + 3𝑥 3 = 6𝑥 3
5.-
−4𝑥 3 𝑦 − 6𝑥 3 𝑦 + 8𝑥 3 𝑦 = −2𝑥 3 𝑦
Signos de agrupación de términos.- Para agrupar términos o expresiones algebraicas se utilizan los paréntesis
( ), los corchetes [ ], o las llaves { }; generalmente las expresiones contenidas entre paréntesis se consideran
como una sola cantidad. No existe una regla para dar importancia a un tipo de paréntesis con respecto a los otros,
sin embargo, es usual utilizar los paréntesis (
) como expresiones interiores, después los corchetes [ ] y
finalmente las llaves { }. Ejemplo:
4𝑥 + {2[3 (3 − 8)]}
¿Cuándo suprimir signos?
En ocasiones se requiere de quitar los símbolos de agrupación para lo que se tienen algunas normas:
Cuando una expresión algebraica esta agrupada mediante un paréntesis y éste está precedido de un signo positivo
se puede quitar el paréntesis sin modificas los términos de la expresión. Por el contrario si el paréntesis esta
precedido de un signo menos, se puede quitar el paréntesis cambiando el signo a cada uno de los términos.
Ejemplos:
Expresión algebraica con agrupaciones
Expresión algebraica sin agrupaciones
+ (9𝑥 + 𝑏)
9𝑥 + 𝑏
2𝑥𝑦 + (𝑚 − 𝑛)
2𝑥𝑦 + 𝑚 − 𝑛
18𝑥 − (2𝑟 + 𝑘 − 𝑛)
18 − 2𝑟 − 𝑘 + 𝑛
Cuando una expresión cuenta con más de un paréntesis que agrupa expresiones, se comienza por los paréntesis
interiores hasta llegar a los exteriores.
15
EJERCICIOS
A)
En los siguientes problemas identifique los coeficientes (numéricos) de los términos de cada expresión.
1.-
12𝑝3 − 8𝑝
R=_________________________________
2.-
2𝑚𝑛 + 𝑝 − 5
R=__________________________________
3.-
−𝑥𝑦 + 𝑚 − 𝑛
R=__________________________________
B)
En cada uno de los problemas siguientes, elimínense los paréntesis y redúzcanse los términos semejantes.
4.-
x – ( 2y + 3x ) – 2y =
5.-
3x – ( 2y – 4x ) + 6y =
6.-
( 2x – 3y ) + ( y – 4w ) – ( w – 3x ) =
7.-
3x – [ 2x + 3y – ( 2y – 3x ) ] + 4y =
8.-
9x – ( 2y – 3x ) – [ y – ( 2y – x )] – [ 2y + ( 4x – 3y )] =
9.-
x – ( 5y + 8x ) – 7y =
10.-
7x – ( 4y – 4x ) + 6y =
11.-
( 8x – 4y ) + ( y + 4w ) – ( 2w – 3x ) =
12.-
-2 x – [ 2x - 3y + ( 2y – 3x ) ] - 8y =
13.-
5x – ( 7y – 3x ) – [ 2 y – ( 2y – 3x )] + [ 2y + ( 5x – 3y )] =
16
Tema: Algebra
Subtema: Clasificación de las expresiones algebraicas
Una expresión con un término se llama monomio, una expresión con dos términos es un binomio y una expresión
con tres términos es un trinomio. Multinomio o Polinomio se refiere a cualquier expresión que contenga dos o
más términos. Ejemplos:
𝑥
2𝑦
3 2
Monomios.-
3𝑎, −5𝑚, 7𝑎3 , −2𝑚𝑛2 ,
, (3𝑧)2
Binomios.-
3𝑎𝑏 + 2, 5𝑥 + 6𝑦 , 7𝑎 𝑏 − 3𝑛𝑝5 ,
3
5𝑥 4
− 3𝑝
− 7𝑎3 + 7𝑥 − 2, 2𝑚𝑛2 +
Trinomio.-
4𝑚 + 2𝑣 − 5𝑤,
Polinomio.-
7𝑥𝑦 − 3𝑥 4 + 3𝑦 − 6
𝑥
2𝑦
a
− (3𝑧)2
EJERCICIOS
Marca las expresiones algebraicas siguientes con una “X” según las categorías: monomio, binomio,
trinomio o polinomio.
Expresión
Monomio
binomio
Trinomio
Polinomio
3y3z
2x2+5x–3
4𝑥 2 𝑦
5
x+z
a + b + c3 – 3abc
3
3
4
5𝑥 2 + ( )
𝑦
Identifica cada una de las expresiones algebraicas (monomio, binomio, trinomio o polinomio) y complementa
correctamente la siguiente tabla según las partes de cada una de ellas:
Término
Clasificación
Coeficientes
Variables
Exponentes
4 x2 y z3 v u + 4x
2 3 1
x y z +2m + 1
5
3men3
1
2
0.3w y  2 z
4p – 4 r4 – 5 + v
17
Tema: Algebra
Subtema: Operaciones fundamentales de las expresiones algebraicas.
Suma y resta de monomios y polinomios.- Si un monomio o polinomio se encuentra dentro de un
paréntesis precedido por el signo +, al suprimir los paréntesis el monomio o polinomio conservan su
signo.
En cambio, si el paréntesis está precedido por el signo - , el monomio o polinomio cambiarán de signo
cuando se supriman los paréntesis.
Finalmente, se simplifica la expresión reduciendo términos semejantes.
Ejemplos:
1.-
(3𝑎 − 5𝑏 + 6) + (7𝑎 − 3𝑏) = 3𝑎 − 5𝑏 + 6 + 7𝑎 − 3𝑏 = 10𝑎 − 8𝑏 + 6
2.-
(5𝑥 2 − 7𝑦 + 2) − (−3𝑥 2 − 𝑦) = 5𝑥 2 − 7𝑦 + 2 + 3𝑥 2 + 𝑦 = 8𝑥 2 − 6𝑦 + 2
3.-
− (5𝑥 2 − 7𝑦 + 2) − (3𝑥 2 − 𝑦) = −5𝑥 2 + 7𝑦 − 2 − 3𝑥 2 + 𝑦 = −8𝑥 2 + 8𝑦 − 2
Ejercicios:
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta de polinomios.
1.-
(4𝑥 + 𝑦) + (5𝑦 − 2𝑥) =
2.-
−(5 + 4𝑥 − 5𝑦) − (3𝑥 + 8𝑦 − 2) =
3.-
6𝑤 + 7𝑥 − (7𝑦 − 7𝑥 + 𝑤) =
4.-
{4𝑥 + (𝑤 − 𝑦 − 3𝑥)} + {5𝑦 − ( 3𝑤 − 4𝑥 + 2𝑦)} =
5.-
−{−𝑥𝑦 2 + [2𝑥𝑦 − (3𝑥𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 5)]} − (4𝑥𝑦 2 + 1) =
18
Tema: Algebra
Subtema: Ley de los exponentes.
Exponentes . Son herramientas para reducir a su mínima expresión las expresiones algebraicas.
Ley de los exponentes:
m n
1.-
(a )(a )  a
2.-
(a m ) n  a ( m)( n)
3.-
(ab) n  (a n )(b n )
4.-
an
a
   n
b
b
m
n
5.-
6.-
am
 a mn
n
a
a n 
1
an
7.-
a0=1
8.-
𝑎 𝑛 = √𝑎 𝑚
n
𝑚
𝑛
Ejemplos:
1.-
(x4)(x3) = x 4+3 = x 7
2.-
(x3)6 = x
3.-
( 5x ) 3 = (5 3 )( x 3) = 125 x3
4.-
(𝑦) = 𝑦4
5.6.-
𝑥 4
𝑥5
𝑥2
𝑥3
𝑥7
(3) ( 6)
= x 18
𝑥4
= 𝑥 5−2 = 𝑥 3
= 𝑥 3−7 = 𝑥 −4 =
1
𝑥4
7.-
3 x0 = 3 ( 1 ) = 3
8.-
(3 x ) 0 = (3 0 ) ( x 0 ) = 1* 1 = 1
19
Ejercicios :
1.-
(4 𝑥 𝑦)3 =
2.-
(𝑥 3 )(𝑥 7 )(𝑥 −2 ) =
3.-
(2𝑥 2 )3 =
4.-
5.-
6.-
7.-
𝟑
𝟐
(𝒙) =
6𝑥 4
2𝑥
4𝑥
𝑥3
=
=
𝑥4𝑦
2𝑥𝑦
=
1
8.-
(5𝑥𝑦)2 =
Regla de multiplicación de monomios.1.- Signos iguales dan +; diferentes, dan - .
2,.- Los coeficientes se multiplican.
3.- Se anotan las literales que intervienen sumando los exponentes.
Ejemplos:
(-3a)(-2a2)= 6a3
( - 5 x 2 y ) ( 2 x 3 y 5 ) = - 10 x 5 y 6
( 2 m ) ( 3 m ) ( - 2 m 2) = - 12 m 4
20
División de monomios.- Regla:
1.- Signos iguales dan +; diferentes dan -.
2.- Los coeficientes se dividen. Si la división no es exacta se deja indicada como fracción.
3.- Los exponentes de cada literal se restan, si alguna literal resulta con exponente cero no se escribe en
el resultado.
Ejemplos:
1.2.-
3.-
−8 𝑚4 𝑛2
2𝑚𝑛
−10𝑥 6 𝑦 6
−5𝑥 5 𝑦
3𝑥 3
4𝑥 7
=
= −4 𝑚4−1 𝑛2−1 = −4𝑚3 𝑛
= 2𝑥 6−5 𝑦 6−1
3
4
𝑥 3−7 =
3
4
𝑥 −4 =
3
4𝑥 4
Ejercicios: Aplicar las reglas de los exponentes y simplifica si se puede, las expresiones algebraicas
siguientes.
1.-
(5𝑥 4 )(3𝑥 −6 ) =
2.-
(2𝑦 2 )(−3𝑦 4 )(𝑦) =
3.-
4𝑥 3 𝑦 6
2𝑥 2 𝑦 4
=
2𝑥 3
4.-
(𝑦) =
5.-
( 3𝑥𝑦−2 ) =
6.-
(
7.-
(
2𝑎−1 𝑏2
27𝑥 2 𝑦 −1
9𝑥 2 𝑦 0
𝑚5 𝑛3
𝑛2
3
0
) =
𝑛2
) (𝑚4 )=
21
Tema: Algebra
Subtema: Multiplicación de monomios y polinomios.
- Multiplicación de un monomio por un polinomio.- Se multiplica el monomio por cada uno de los
términos del polinomio (aplicando la ley de los exponentes dada anteriormente). Ejemplos:
(5𝑎)(2𝑎 − 3𝑎2 ) = (5𝑎)(2𝑎) − (5𝑎)(3𝑎2 ) = 10𝑎2 − 15𝑎3
(8𝑚2 )(2𝑚2 − 5𝑚5 + 2𝑛) = (8𝑚2 )(2𝑚2 ) − (8𝑚)(5𝑚5 ) + (8𝑚)(2𝑛) = 16𝑚4 − 40𝑚6 + 16𝑚2 𝑛
(3𝑥 3 𝑦)(−2𝑥 + 4𝑥 2 − 5𝑦) = (3𝑥 3 𝑦)(−2𝑥) + (3𝑥 3 𝑦)(4𝑥 2 ) − (3𝑥 3 𝑦) = −6𝑥 3 𝑦 + 12𝑥 5 𝑦 − 15𝑥 3 𝑦 2
- Multiplicación de polinomios.- Cada uno de los términos de uno de los polinomios se multiplica por cada uno de
los términos del otro polinomio. Después se reducen términos semejantes. Se acostumbra escribir la operación en
forma horizontal. Ejemplos:
(𝑥 + 𝑦) (2𝑥 − 𝑦) = (𝑥)(2𝑥) − (𝑥)(𝑦) + (𝑦)(2𝑥) − (𝑦)(𝑦) = 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 2𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2
(3𝑥 2 − 2𝑦) (2𝑥 − 𝑦) = (3𝑥 2 )(2𝑥) − (3𝑥 2 )(𝑦) − (2𝑦)(2𝑥) + (2𝑦)(𝑦) = 6𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 − 4𝑥𝑦 + 2 𝑦 2
(2𝑥 + 𝑦) (𝑥 − 𝑦 + 3𝑤) = 2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 6𝑥𝑤 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 3𝑦𝑤 = 2𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 6𝑥𝑤 + 3𝑦𝑤
Ejercicios:
1.-
(4𝑦)(𝑥 + 2𝑦 4 − 5𝑥𝑦 + 2) =
2.-
(2𝑥 − 4) (7𝑥 + 1) =
3.-
(2𝑥 + 𝑦 2 )(𝑥 3 − 2𝑦) =
4.-
(𝑦 − 8)(𝑦 + 3) =
5.-
(4𝑚𝑛)(5𝑚𝑛 − 2𝑚3 𝑛4 + 1) =
6.-
(3𝑝)(4𝑝−1 + 2) =
7.-
(7𝑥 + 4)(2𝑥 + 1) =
8.-
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) =
9.-
(𝑚 + 3)(𝑚 + 3) =
10.-
(2𝑛2 + 3𝑝)(2𝑛2 + 3𝑝) =
22
División de monomios y polinomios.- Se divide cada término del polinomio entre el monomio y se
aplica la ley de los exponentes anteriormente descrita. Ejemplos:
6 𝑎6 − 8 𝑎4 + 4 𝑎2
6𝑎6 8 𝑎4 4 𝑎2
=
−
+
= 3 𝑎5 − 4 𝑎3 + 2 𝑎
2𝑎
2𝑎
2𝑎
2𝑎
5 𝑚4 𝑛3 + 10 𝑚6 𝑛6 − 15 𝑚3 𝑛4
= 𝑚 𝑛2 + 2 𝑚3 𝑛5 − 3 𝑚0 𝑛3 = 𝑚𝑛2 + 2 𝑚3 𝑛5 − 3 𝑛3
5 𝑚3 𝑛
5 𝑚4 𝑛3 + 10 𝑚6 𝑛2 − 15 𝑚3 𝑛4
5
10 0 −1 15 −3
5
10 15 𝑛
= 𝑚−2 𝑛0 +
𝑚 𝑛 −
𝑚 𝑛=
+
−
6
3
2
7𝑚 𝑛
7
7
7
7𝑚
7𝑛
𝑚3
Ejercicios:
(Resultado con exponentes positivos)
1.-
2.-
3.-
4.-
3 𝑥 𝑦4− 4 𝑥 7 𝑦3
2 𝑥 𝑦4
=
7 𝑚 2 𝑛 5 + 9 𝑚7 𝑛 4 − 𝑚3 𝑛 4
7 𝑚 3 𝑛5
16𝑎−2 𝑏2 𝑐 −4 −24𝑎𝑏𝑐 4
4𝑎2 𝑏2 𝑐 −1
𝑎3 𝑏2 𝑐 2 +5𝑎𝑏𝑐 3
4𝑎2 𝑏2 𝑐 −1
=
=
=
23
Tema: Algebra
Subtema: Evaluación numérica de las expresiones algebraicas.
En las expresiones algebraicas que se presentan, sustituye los valores dados y realiza las operaciones que
se indican.
Evaluar lo que sigue, dado que 𝑥 = −1 , 𝑦 = 2,
𝐴=3, 𝐵 =1
1.-
4𝑥 − 5𝑦 = 4(−1) − 5(2) = −4 − 10 = −14
2.-
𝑦 − 8𝑥 + 20 = (2) − 8(−1) + 20 = 2 + 8 + 20 = 30
3.-
𝐴 +𝐵𝑦−𝑥𝑦
𝐵−𝑥𝑦
(3)+(1)(2)−(−1)(2)
=
(1)−(−1)(2)
=
3+2+2
1+2
=
8
3
4.-
𝑥 3 − 2𝐴𝑦 − 2𝑦 2 = (−1)3 − 2(3)(2) − 2(2)2 = −1 − 12 − 8 = −21
5.-
𝐴(𝑥 − 6𝑦) − 𝐵(3𝑥 − 2𝑦) = (3)((−1) − 6(2)) − (1)(3(−1) − 2(2)) = (3)(−1 − 12) − (1)(−3 − 4) =
(3)(−13) − (1)(−7) = −39 + 7 = −32
6.-
2
2
√(15𝐵 + 12𝑥)2 + (3𝑥 − 𝐵)2 = √(15(1) + 12(−1)) + (3(−1) − (1)) = √(15 − 12)2 + (−3 − 1)2 =
√(3)2 + (−4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
Ejercicios: En las expresiones algebraicas que se presentan, sustituye los valores dados y realiza las
operaciones que se indican (No usar calculadora).
Evaluar lo que sigue, dado que 𝑎 = 3 , 𝑏 = −2, 𝑐 = −1 , 𝑥 = 1
1.-
𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 2 𝑥 =
2.-
𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏 2 =
3.-
𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3 =
4.-
4𝑐 3 + 2𝑎 − 𝑐 + 𝑥 4 =
5.-
𝑐(𝑎 + 𝑏) − 𝑥 (𝑐 + 𝑎)3 =
6.-
7.-
𝑎+𝑏−𝑐+𝑥 5
3𝑥
(3𝑎−2𝑐)𝑏
𝑎 −𝑐
=
=
24
Tema: Algebra
Subtema: Productos Notables.
- El cuadrado de un binomio.
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2 = El cuadrado del primer término 𝑥 2 , más el doble producto del primer término por
el segundo 2𝑥𝑦 , más el cuadrado del segundo término 𝑦 2 . De tal forma que:
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 .
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2 = El cuadrado del primer término 𝑥 2 , menos el doble producto del primer término
por el segundo 2𝑥𝑦 , más el cuadrado del segundo término 𝑦 2 . De tal forma que:
(𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 .
Ejemplos:
Binomio al
cuadrado
(3𝑎 + 4𝑏)2 =
1er Término
al cuadrado
(3𝑎)2
2
mas
2do Término
al cuadrado
+
2(3𝑎)(4𝑏)
+
(4𝑏)2
+
2
+
24𝑎𝑏
1er Término
al cuadrado
menos
El doble producto del
primer término por el
segundo
mas
2do
Término al
cuadrado
(2𝑥)2
-
2(2𝑥)(3𝑦)
+
(3𝑦)2
9𝑎
Binomio al
cuadrado
2
mas
El doble producto del
primer término por el
segundo
16𝑏
(2𝑥 − 3𝑦) =
-
12𝑥𝑦
1er Término
al cuadrado
(𝑝2 )2
4𝑥
Binomio al
cuadrado
(𝑝2
− 3𝑞
3 )2
2
2
+
9𝑦
menos
El doble producto del
primer término por el
segundo
mas
2do
Término al
cuadrado
-
2(𝑝2 )(3𝑞3 )
+
(3𝑞 3 )2
=
𝑝4
-
6𝑝2 𝑞3
+
9𝑞 6
Resultado
9𝑎2 + 24𝑎𝑏 + 16𝑏 2
Resultado
4𝑥 2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2
Resultado
𝑝2 − 6𝑝2 𝑞 3 + 9𝑞 6
25
EJERCICIOS
Desarrolla los siguientes binomios cuadrados:
1.- (𝑚 + 5𝑛)2 =
2.- (2𝑣 − 𝑤 4 )2 =
3.- (4𝑎3 + 6𝑏 5 )2 =
4.- (3𝑥 − 4𝑦)2 =
- El cubo de un binomio
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)3 .- El cubo del primer término 𝑥 3 más el triple producto del cuadrado
del primer término por el segundo 3𝑥 2 𝑦, más el triple producto del primer término por el cuadrado del
segundo 3𝑥𝑦 2 , más el cubo del segundo término 𝑦 3 . De tal forma que:
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
Ejemplo:
(2𝑥 + 3)3 = (2𝑥)3 + 3(2𝑥)2 (3) + 3(2𝑥)(3)2 + (3)3 = 8𝑥 3 + 3(4𝑥 2 )(3) + 3(2𝑥)(9) + 27 =
8𝑥 3 + 36𝑥 2 + 54𝑥 + 27
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)3 .- El cubo del primer término 𝑥 3 menos el triple producto del
cuadrado del primer término por el segundo 3𝑥 2 𝑦, más el triple producto del primer término por el
cuadrado del segundo 3𝑥𝑦 2 , menos el cubo del segundo término 𝑦 3 . De tal forma que:
(𝑥 − 𝑦)3 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 − 𝑦 3
Ejemplo:
(3𝑦 − 2𝑥)3 = (3𝑦)3 − 3(3𝑦)2 (2𝑥) + 3(3𝑦)(2𝑥)2 + (2𝑥)3 = 27𝑦 3 − 3(9𝑦 2 )(2𝑥) + 3(3𝑦)(4𝑥 2 ) − 8𝑥 3 =
27𝑦 3 − 54𝑦 2 𝑥 + 36𝑦𝑥 2 − 8𝑥 3
26
EJERCICIOS
1.- (𝑤 + 2)3 =
2.- (2𝑢 − 3𝑡)3 =
3.- (𝑥 2 + 1)3 =
4.- (3𝑚4 − 4𝑛3 )3 =
- El producto de dos binomios con un término en común.- Da como resultado el cuadrado del término
común más el producto de la suma de los términos no comunes por el término común más el producto
de los términos no comunes.
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑎)(𝑏)
Ejemplos:
1.-
(𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 𝑥 2 + (2 + 5)𝑥 + (2)(5) = 𝑥 2 + 7𝑥 + 10
2.-
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 𝑥 2 + (−2 + 5)𝑥 + (−2)(5) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 10
3.-
(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) = 𝑥 2 + (2 − 5)𝑥 + (2)(−5) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10
4.-
(𝑥 − 2)(𝑥 − 5) = 𝑥 2 + (−2 − 5)𝑥 + (−2)(−5) = 𝑥 2 − 7𝑥 + 10
27
Nota: El término común puede ser cualquier literal.
5.-
(𝑚 + 3)(𝑚 + 1) = 𝑚2 + (3 + 1)𝑚 + (3)(1) = 𝑚2 + 4𝑚 + 3
6.-
(𝑚 − 3)(𝑚 + 1) = 𝑚2 + (−3 + 1)𝑚 + (−3)(1) = 𝑚2 − 2𝑚 − 3
7.-
(𝑚 + 3)(𝑚 − 1) = 𝑚2 + (3 − 1)𝑚 + (3)(−1) = 𝑚2 + 2𝑚 − 3
8.-
(𝑚 − 3)(𝑚 − 1) = 𝑚2 + (−3 − 1)𝑚 + (−3)(−1) = 𝑚2 − 4𝑚 + 3
Ejercicios: Obtener directamente el producto aplicando la regla establecida anteriormente en los
productos de binomios siguientes:
1.- (𝑎 + 4)(𝑎 + 2) =
2.- (𝑥 − 5)(𝑥 − 4) =
3.- (𝑦 + 1)(𝑦 − 4) =
4.- (𝑚 − 8)(𝑚 + 2) =
5.- (𝑛 + 3)(𝑛 − 5) =
28
Tema: Algebra
Subtema: Productos Notables.
Cuando el término común esté acompañado de un coeficiente numérico se utiliza el siguiente método:
Se multiplican los primeros términos de los binomios para encontrar el primer término del trinomio
resultante, se multiplican los valores extremos de los binomios y los valores internos para después
sumarlos quedándonos el segundo término del trinomio resultante, finalmente para encontrar el tercer
término multiplicamos los segundos términos de los binomios. Ejemplos:
1.- ( 2y + 6 ) ( y + 2 ) =
2 y2 + 10 y 12
Primer término del trinomio resultante: ( 2y )( y ) = 2 y2
Segundo término del trinomio resultante: ( 2y ) ( 2 ) + ( 6 ) ( y ) = 4y + 6y = 10 y
Tercer término del trinomio resultante: ( 6 ) ( 2 ) = 12
2.- ( 2 x + 1 ) ( 3 x - 4 ) =
6 x2 – 5 x – 4
Primer término del trinomio resultante: ( 2 x )( 3 x ) = 6 x2
Segundo término del trinomio resultante: ( 2 x ) ( - 4 ) + ( 1 ) ( 3 x ) = -8 x + 3 x = - 5 x
Tercer término del trinomio resultante: ( 1 ) ( - 4 ) = - 4
Éste método también se puede utilizar en los binomios con un término en común:
(y+6)
(y–2)=
y2 + 4y - 12
Primer término del trinomio resultante: (y)(y) = y2
Segundo término del trinomio resultante: (y ) (-2) + (6) (y) = -2y + 6y = 4y
Tercer término del trinomio resultante: (6) (-2) = - 12
Ejercicios: Obtener directamente el producto aplicando la regla establecida anteriormente en los
productos de binomios siguientes:
1.- (2𝑎 + 4)(5𝑎 + 2) =
2.- (3𝑥 − 5)(𝑥 − 4) =
3.- (𝑦 + 1)(6𝑦 − 4) =
29
4.- (2𝑚 − 8)(7𝑚 + 2) =
5.- (5𝑛 + 3)(8𝑛 − 5) =
- Binomios conjugados.- El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
1.- (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 𝑥 2 − (1)2 = 𝑥 2 − 1
2.- (𝑦 + 3)(𝑦 − 3) = 𝑦 2 − (3)2 = 𝑦 2 − 9
3.- (2𝑚 − 𝑛)(2𝑚 + 𝑛) = (2𝑚)2 − (𝑛)2 = 4𝑚2 − 𝑛2
4.- (3𝑥 2 − 2𝑦 3 )(3𝑥 2 + 2𝑦 3 ) = (3𝑥 2 )2 − (2𝑦 3 )2 = 9𝑥 4 − 4𝑦 6
Ejercicios: Obtener directamente el producto aplicando la regla establecida anteriormente en los
productos de binomios conjugados siguientes:
1.- (5𝑥 + 2)(5𝑥 − 2) =
2.- (𝑦 + 6)(𝑦 − 6) =
3.- (4𝑚 − 𝑛)(4𝑚 + 𝑛) =
4.- (2𝑝2 − 3𝑞 3 )(2𝑝2 + 23) =
5.- (7𝑤 4 + 5𝑣 5 )(7𝑤 4 − 5𝑣 5 ) =
30
Tema: Algebra
Subtema: Factorización.
- Factorización simple.
Factores.- Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que
multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión.
Descomponer en factores o facturar una expresión algebraica es convertirla en el producto
indicad de sus factores. Ejemplos:
a2b=a(a)(b)
24 = 6 x 4
2x3x2x2
2x3x4
12 x 2
8 x 3 …….
I
)
15 a b3 = 3 ( 5 ) a b ( b ) ( b )
Factor común monomio:
A)
Cuando se tenga un polinomio sin coeficientes, basta con observar que letra se encuentra en
todos los términos del polinomio y se escoge la de menor exponente; esa letra será nuestro factor común.
Para obtener el segundo factor, dividimos cada uno de los términos del polinomio entre nuestro factor
común. Ejemplo:
Factorizar:
1.- 𝑎2 𝑥 + 𝑏𝑥𝑎3 − 𝑐𝑎 =
Observamos que 𝑎, es la literal que se encuentra en todos los términos de la expresión algebraica y
tomamos la de menor exponente, por lo tanto es nuestro factor común; para encontrar el otro factor
dividimos cada uno de los términos de la expresión algebraica entre 𝑎 , que es nuestro factor común,
resultando:
𝑎2 𝑥
𝑎
= 𝑎𝑥,
𝑏𝑥𝑎3
𝑎
= 𝑏𝑥𝑎2 ,
𝑐𝑎
𝑎
= 𝑐; Entonces tenemos que: 𝑎2 𝑥 + 𝑏𝑥𝑎3 − 𝑐𝑎 = 𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥𝑎2 − 𝑐)
2.- 𝑥𝑦 3 𝑧 − 𝑥𝑦 5 𝑧 4 − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 =
Observamos que 𝑥𝑦𝑧, son las literales que se encuentran en todos los términos de la expresión
algebraica y tomamos las de menor exponente 𝑥𝑦 2 𝑧, por lo tanto es nuestro factor común; para
encontrar el otro factor dividimos cada uno de los términos de la expresión algebraica entre 𝑥𝑦 2 𝑧 , que
es nuestro factor común, resultando:
𝑥𝑦 3 𝑧
𝑥𝑦2 𝑧
= 𝑦,
𝑥𝑦 5 𝑧 4
𝑥𝑦2 𝑧
= 𝑦 3𝑧 3,
𝑥3𝑦2𝑧 5
𝑥𝑦2 𝑧
= 𝑥 2 𝑧 4 ; Entonces tenemos que:
𝑥𝑦 3 𝑧 − 𝑥𝑦 5 𝑧 4 − 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 5 = 𝑥𝑦 2 𝑧 (𝑦 − 𝑦3 𝑧3 − 𝑥2 𝑧4 )
31
B)
Cuando existan coeficientes en el polinomio se verán 3 casos:
1.- Si todos los valores de los coeficientes son divisibles entre el valor menor de éstos coeficientes, éste
será nuestro factor común junto con las literales que se encuentran en todos los términos de la expresión
algebraica tomando la de menor exponente. Ejemplo:
Factorizar:
4𝑥 3 𝑏 + 8𝑥𝑐 + 2𝑥 2 𝑎 =
Observamos que los coeficientes 8 y 4 son divisibles entre 2, por lo tanto este coeficiente menor será
nuestro factor común junto con las literales que se encuentren en todos los términos de la expresión
algebraica, en este caso la literal 𝑥, tomando la de menor exponente. Para encontrar el otro factor
dividimos cada uno de los términos de la expresión algebraica entre nuestro factor común.
4𝑥 3 𝑏
2𝑥
= 2𝑥 2 𝑏,
8𝑥𝑐
= 4𝑐 ,
2𝑥
2𝑥 2 𝑎
2𝑥
= 𝑥𝑎; Entonces tenemos que:
4𝑥 3 𝑏 + 8𝑥𝑐 + 2𝑥 2 𝑎 = 2𝑥 (2𝑥 2 𝑏 + 4𝑐 + 𝑥𝑎)
2.- En el caso de que algún valor de los coeficientes no sea divisible entre el valor menor, entonces estos
coeficientes se factorizan de todas las maneras posibles y se buscará el factor de mayor valor que se
encuentre en todos los productos de los coeficientes. Ejemplo:
1.- Factorizar:
45𝑥 2 𝑦 + 15𝑥𝑤 − 9𝑥 3 𝑧 =
45 = (15)(3)
15 = (5)(3)
9 = (3)(3)
Observamos que el 3, es el factor de mayor valor que se encuentra en todas las factorizaciones de los
coeficientes, por lo tanto es nuestro factor común junto con las literales que se encuentren en todos los
términos de la expresión algebraica.
Siguiendo las indicaciones anteriores tenemos que:
45𝑥 2 𝑦
3𝑥
= 15𝑥𝑦,
15𝑥𝑤
3𝑥
= 5𝑤,
9𝑥 3 𝑧
3𝑥
= 3𝑥 2 𝑧 ; Entonces tenemos que:
45𝑥 2 𝑦 + 15𝑥𝑤 − 9𝑥 3 𝑧 = 3𝑥 (15𝑥𝑦 + 5𝑤 − 3𝑥 2 𝑧 )
32
2.- Factorizar:
28𝑚5 𝑛4 − 36 𝑚3 𝑛6 − 32𝑚7 𝑛8 + 40𝑚5 𝑛7 =
Factorizando los coeficientes:
28 = (14)(2),
28 = (7)(4)
36 = (18)(2),
36 = (9)(4)
32 = (16)(2),
32 = (8)(4)
40 = (8)(5),
40 = (10)(4)
El factor de mayor valor y que se encuentra en todos los términos de la expresión es 4, por lo tanto
tenemos:
28𝑚5 𝑛4 − 36 𝑚3 𝑛6 − 32𝑚7 𝑛8 + 40𝑚5 𝑛7 = 4𝑚3 𝑛4 (7𝑚2 − 9𝑛2 − 8𝑚4 𝑛4 + 10𝑚2 𝑛3 )
3.- Cuando los coeficientes no sean divisibles no se factorizarán y pasaran al segundo factor.- Ejemplo:
Factorizar:
3𝑝𝑞 3 − 5𝑟𝑞 2 + 7𝑠𝑞 4 = 𝑞 2 (3𝑝𝑞 − 5𝑟 + 7𝑠𝑞 2 )
Nota : Si en los términos del polinomio no se encuentra algún valor o letra que esté en todos los
términos , éste polinomio no se podrá factorar.
Ejercicios:
1.-
𝑎2 + 2𝑎 =
2.-
10𝑏 − 30 𝑎𝑏 2 =
3.-
10𝑎2 − 5𝑎 + 15𝑎3
5.-
𝑏 + 𝑏2 =
4.-
2𝑎2 𝑥 + 6𝑎𝑥 2 =
5.-
8𝑚2 − 12𝑚𝑛 =
6.-
24𝑎2 𝑥𝑦 2 − 36𝑥 2 𝑦 4 =
7.-
2𝑎2 𝑥 + 2𝑎𝑥 2 − 3𝑎𝑥 =
8.-
3𝑎2 𝑏 + 6𝑎𝑏 − 5𝑎3 𝑏 2 + 8𝑎2 𝑏𝑥 + 4𝑎𝑏 2 𝑚 =
9.-
16 x 3 y 2 – 8 x 2 y – 24 x 4 y 2 – 40 x 2 y 3 =
10.-
9 a 2 – 12 a b + 15 a 3 b 2 – 24 a b 3 =
33
Tema: Algebra
Subtema: Factorización.
- Trinomio Con Factores Distintos.
A ) Trinomios de la forma x 2 + b x + c .- son trinomios de ésta forma :
𝑥 2 + 5𝑥 + 6
𝑚2 + 5𝑚 − 2
𝑎2 − 2𝑎 + 1
𝑦 2 − 8𝑦 + 15
Que cumplen con las condiciones siguientes:
1.- El Coeficiente del primer término es 1.
2.- El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3.- El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4.- El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
La factorización de este tipo de trinomios da como resultado el producto de dos binomios con un
término en común. Es decir:
𝑥 2 + (𝑑 + 𝑒)𝑥 + (𝑑)(𝑒) = (𝑥 + 𝑑)(𝑥 + 𝑒) , siendo 𝑏 = 𝑑 + 𝑒 y 𝑐 = (𝑑)(𝑒), se tiene:
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑑)(𝑥 + 𝑒)
Ejemplos: Facturar o descomponer en 2 factores los siguientes trinomios:
1.-
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
𝑏 =5=3+2
𝑐 = 6 = (3)(2)
2.-
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3)
𝑏 = −7 = −4 − 3
𝑐 = 12 = (−4)(−3)
3.-
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
𝑏 =2=5−3
𝑐 = −15 = (5)(−3)
4.-
𝑎2 − 5𝑎 − 14 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 2)
𝑏 = −5 = −7 + 2
𝑐 = −14 = (−7)(2)
34
Ejercicios: Facturar o descomponer en 2 factores los siguientes trinomios:
1.-
𝑎2 − 13𝑎 + 40 =
2.-
𝑚2 − 11𝑎 − 12 =
3.-
𝑛2 + 28𝑛 − 29 =
4.-
𝑥 2 + 7𝑥 + 10 =
5.-
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 =
6.-
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 =
B ) Trinomios de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , son trinomios como :
2𝑥 2 + 11𝑥 + 5
3𝑥 2 − 2𝑥 + 7
5𝑥 2 + 10𝑥 − 13
2𝑥 2 − 𝑥 + 1
Que se diferencian de los trinomios estudiados anteriormente en que el primer término tiene un
coeficiente distinto de 1.
La factorización de este tipo de trinomios da como resultado el producto de dos binomios con un
término en común y el coeficiente puede ser diferente. Es decir:
𝑎𝑥 2 + (𝑚𝑒 + 𝑛𝑑)𝑥 + (𝑑)(𝑒) = (𝑚𝑥 + 𝑑)(𝑛𝑥 + 𝑒), siendo 𝑎 = (𝑚)(𝑛), 𝑏 = 𝑚𝑒 + 𝑛𝑑 y 𝑐 = (𝑑)(𝑒),
se tiene:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑚𝑥 + 𝑑)(𝑛𝑥 + 𝑒)
Ejemplos: Facturar o descomponer en 2 factores los siguientes trinomios:
1.-
6𝑥 2 − 7𝑥 − 3 = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)
𝑎 = 6 = (3)(2)
𝑐 = −3 = (1)(−3)
𝑏 = −7 = (3)(−3) + (1)(2)
35
2.-
20𝑥 2 + 7𝑥 − 6 = (4𝑥 + 3)(5𝑥 − 2)
𝑎 = 20 = (4)(5)
𝑐 = −6 = (3)(−2)
𝑏 = 7 = (4)(−2) + (3)(5)
3.-
18𝑎2 − 13𝑎 − 5 = (𝑎 − 1)(18𝑎 + 5)
𝑎 = 18 = (1)(18)
𝑐 = −5 = (−1)(5)
𝑏 = −13 = (1)(5) + (−1)(18)
Ejercicios: Facturar o descomponer en 2 factores los siguientes trinomios:
1.-
2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 =
2.-
3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 =
3.-
6𝑥 2 + 7𝑥 + 2 =
4.-
5𝑥 2 + 13𝑥 − 6 =
5.-
6𝑥 2 − 5𝑥 − 6 =
6.-
12𝑥 2 − 𝑥 − 6 =
7.-
4𝑎2 + 15𝑎 + 9 =
8.-
10𝑎2 + 11𝑎 + 3 =
9.-
12𝑚2 − 13𝑚 − 35 =
10.-
20𝑦 2 + 𝑦 − 1 =
36
C ) Trinomios de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 .- son trinomios cuadrados perfectos si cumplen
con las siguientes condiciones:
1.- El primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta.
2.- El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es el doble
del producto de las raíces obtenidas, positivo o negativo.
Ejemplos:
1.-
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 =
Primer término = √𝑥 2 = 𝑥
Tercer Término = √4 = 2
Segundo término = 2(𝑥)(2) = 4𝑥
Si cumple con las condiciones dadas, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es:
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)2
2.-
𝑥 2 − 8𝑥 + 16 =
Primer término = √𝑥 2 = 𝑥
Tercer Término = √16 = 4
Segundo término = 2(𝑥)(4) = 8𝑥
Si cumple con las condiciones dadas, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es:
𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 4) = (𝑥 − 4)2
3.-
4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 =
Primer término = √4𝑥 2 = 2𝑥
Tercer Término = √1 = 1
Segundo término = 2(2𝑥)(1) = 4𝑥
Si cumple con las condiciones dadas, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es:
4𝑥 2 − 8𝑥 + 1 = (2𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)2
4.-
25𝑥 2 + 30𝑥 + 9 =
Primer término = √25𝑥 2 = 5𝑥
Tercer Término = √9 = 3
Segundo término = 2(5𝑥)(3) = 30𝑥
Si cumple con las condiciones dadas, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es:
25𝑥 2 + 30𝑥 + 9 = (5𝑥 + 3)(5𝑥 + 3) = (5𝑥 + 3)2
37
Ejercicios: Encuentra la factorización de los trinomios cuadrados perfectos siguientes.
1.-
𝑥 2 − 14𝑥 + 49 =
2.-
𝑥 2 + 18𝑥 + 81 =
3.-
16𝑥 2 − 8𝑥 + 1 =
4.-
49𝑥 2 + 112𝑥 + 64 =
5.-
25𝑥 2 − 40𝑥 + 16 =
-Diferencia de cuadrados.- Su factorización da como resultado el producto de dos binomios conjugados.
Para encontrar su factorización se saca raíz cuadrada de cada término y su multiplican conjugadamente.
Ejemplos:
1.-
𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
2.-
4𝑥 2 − 9𝑦 2 = (2𝑥 + 3𝑦)(2𝑥 − 3𝑦)
3.-
4𝑎2 − 25 = (2𝑎 + 5)(2𝑎 − 5)
4.-
49 − 𝑚2 = (7 + 𝑚)(7 − 𝑚)
5.-
64𝑥 4 − 𝑚2 = (8𝑥 2 + 𝑚)(8𝑥 2 − 𝑚)
6.-
𝑦 6 − 4𝑧 8 = (𝑦 3 + 2𝑧 4 )(𝑦 3 − 2𝑧 4 )
Ejercicios: Encuentra la factorización de las diferencias de cuadrados siguientes.
1.-
𝑚 2 − 𝑛2 =
2.-
81𝑥 2 − 1 =
3.-
1 − 25𝑎2 =
4.-
100𝑝4 − 𝑚2 =
5.-
16𝑏10 − 𝑐 2 =
38
Tema: Algebra
Subtema: Ecuaciones.
I) ECUACIONES LINEALES
IGUALDAD: Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo
igual (=).
Ejemplo:
Igualdad numérica
12 + 2 = 9 + 5
1er miembro
2do miembro
La expresión del primer término que está a la izquierda se le llama primer término, y la de la
derecha se le llama segundo término.
DEFINICION DE ECUACION: una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y
números relacionados por operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas.
Ejemplos:
a) x + 3 = 7
x = 4, pues
4+3=7
b) y – 2 = 4
x = 6, pues
6–2=
c) 3 ( x ) = 21
x = 7, pues
3 ( 7 )= 21
ECUACION DE PRIMER GRADO:
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con un
exponente 1.
Las ecuaciones tienen, generalmente, una o más letras que se consideran como desconocidas y se les
llama incógnitas, las cuáles se indican, en minúsculas, con las últimas letras del alfabeto. El grado de
una ecuación lo determina el exponente de mayor grado de la incógnita. Ejemplos:
3𝑥 + 2𝑦 = 6 , es una ecuación de primer grado porque el exponente mayor de las variables es 1.
𝑥 2 + 2𝑦 − 6 = 0, es una ecuación de segundo grado porque el exponente mayor de las variables es 2.
6𝑦 3 + 2𝑥𝑦 2 + 8𝑦 = 6, es una ecuación de tercer grado porque el exponente mayor de las variables es 3.
Y así sucesivamente.
39
- Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Para resolver una ecuación de primer grado es preciso los siguientes pasos:
A.B.C.D.E.-
Efectuar, si las hay, las operaciones indicadas.
Reunir en un miembro todos los términos que contenga la incógnita y en el otro miembro todas
las cantidades conocidas.
Reducir los términos semejantes en cada miembro.
Despejar la incógnita.
Los resultados se comprueban sustituyendo en los dos miembros de la ecuación la incógnita por
el valor obtenido, si éste es correcto la ecuación se convertirá en una identidad.
Ejemplos:
Encontrar el valor de la variable que satisfaga la igualdad en las siguientes ecuaciones de
primer grado:
6𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 − 5 = 30
7𝑥 − 5 = 30
7𝑥 = 30 + 5
35
𝑥=
7
𝑥=5
Comprobación:
1.-
2.-
−3𝑥 − 5 = 𝑥 − 21
−5 + 21 = 𝑥 + 3𝑥
16 = 4𝑥
16
= 4𝑥
4
Comprobación:
−3(4) − 5 = 4 − 21
6(5) + 2(5) − (5) − 5 = 30
30 + 10 − 5 − 5 = 30
30 = 30
−12 − 5 = −17
−17 = −17
(5 − 3𝑦) − (−4𝑦 + 6) = (8𝑦 + 11) − (10𝑦 − 6)
5 − 3𝑦 + 4𝑦 − 6 = 8𝑦 + 11 − 10𝑦 + 6
𝑦 − 1 = 17 − 2𝑦
𝑦 + 2𝑦 = 17 + 1
3𝑦 = 18
18
𝑦= 3 =6
Comprobación:
(5 − 3(6)) − (−4(6) + 6) = (8(6) + 11) − (10(6) − 6)
(5 − 18)— (−24 + 6) = (48 + 11) − (60 − 6)
−13 − (−18) = 59 − (54)
−13 + 18 = 5
5=5
3.-
40
(𝑥−8)
=4
𝑥 − 8 = 3(4)
𝑥 = 12 + 8
𝑥 = 20
Comprobación:
4.-
3
((20)−8)
3
=4
12
=4
4=4
3
5.-
(𝑥−3)
4
=
(8+𝑥)
15
15(𝑥 − 3) = 4(8 + 𝑥)
15𝑥 − 45 = 32 + 4𝑥
15𝑥 − 4𝑥 = 32 + 45
11𝑥 = 77
77
𝑥 = 11 = 7
Comprobación:
((7)−3)
4
4
4
=
(8+(7))
=
15
15
15
1=1
Encontrar el valor de la variable que satisfaga la igualdad en las siguientes ecuaciones de primer grado y
comprobar los resultados.
x  7  3x  9
1.Desarrollo:
2.-
Comprobación:
( ) + 7 + 3(
)=9
6  x   4
Desarrollo:
3
Comprobación:
))
(6 − (
=4
3
41
3.-
3 y  2   y  8
4
2
Desarrollo:
5 y  7  6  2 y  2
4.Desarrollo:
Comprobación:
(3(
) + 2) ((
=
4
) + 8)
2
Comprobación:
) − 7 = 6 + 2((
5(
) + 2)
Encontrar el valor de la variable que satisfaga la igualdad en las siguientes ecuaciones de primer
grado y comprobar los resultados.
1.-
2x = 6
3.-
9–x=6
2.-
x + 7 = 9 – 3x
4.-
3x - 5 = x + 1
42
5.-
5m+4=3  4(m+2)
6.-
2 (2x – 3 ) = 6 + x
8.-
9.-
7.-
x  1  x  3  1
6
2
3
2 x  4  x  19
4
2x – 3 = 6 + x
10.-
4x  10  62  x  6x
43
Tema: Algebra
Subtema: Ecuaciones
- Ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas
• Toda ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
• Los puntos que representan todas las soluciones de una ecuación de primer grado con dos
incógnitas forman una línea recta.
Ejemplos:
1.- Para cada una de las siguientes ecuaciones, encuentre la recta que representa a todas las
soluciones:
a) –x + y = 4
b) x + y + 2 = 0
Despejamos “y”, quedando:
Despejamos “y”, quedando:
𝑦 = 4+𝑥
𝑦 = −2 − 𝑥
Damos valores a “x” para obtener “y”,
Formando una coordenada (x, y).
Damos valores a “x” para obtener “y”,
Formando una coordenada (x, y).
x
-1
0
1
2
3
4
y
4 + (−1) = 4 − 1 = 3
4 + (0) = 4 + 0 = 4
4 + (1) = 4 + 1 = 5
4 + (2) = 4 + 2 = 6
4 + (3) = 4 + 3 = 7
4 + (4) = 4 + 4 = 8
Coordenada
(-1, 3)
(0, 4)
(1, 5)
(2, 6)
(3, 7)
(4, 8)
x
-4
-3
-2
-1
0
1
y
−2 − (−4) = −2 + 4 = 2
−2 − (−3) = −2 + 3 = 1
−2 − (−2) = −2 + 2 = 0
−2 − (−1) = −2 + 1 = −1
−2 − (0) = −2
−2 − (1) = −2 − 1 = −3
12
7
11
y=x+4
y = -x - 2
10
6
5
9
4
8
3
7
2
6
1
5
0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0
4
3
2
-3
1
-4
0
-1-1 0
1
-2
2
-2
Coordenada
(-4, 2)
(-3, 1)
(-2,0)
(-1, -1)
(0, -2)
(1, -3)
1
2
3
4
5
6
7
8
-5
-2
44
c) 2x – y + 3 = 0
b) x + 4y = –2
Despejamos “y”, quedando:
Despejamos “y”, quedando:
𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑦=
Damos valores a “x” para obtener “y”,
Formando una coordenada (x, y).
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
2(−2) + 3 = −4 + 3 = −1
2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
−2 − 𝑥
4
Damos valores a “x” para obtener “y”,
Formando una coordenada (x, y).
Coordenada
x
-4
y
Coordenada
-3
-2
-1
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-5 -4 -3 -2 -1
-1 0
-2
-3
-4
1
2
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
0
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
-2
-3
-4
-5
-6
45
Ejercicios
Para cada una de las siguientes ecuaciones, encuentre la recta que representa a todas las
soluciones:
1.- y = 3x – 4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3 -2 -1
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.- 3x – 5y + 5 = 0
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
0
-1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
46
47
48