Matemática Intermedia 3 JORNA

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO:
Matemática Intermedia 3
JORNADA:
Matutina
SEMESTRE:
1er. Semestre
AÑO:
2013
TIPO DE EXAMEN:
2° Examen Parcial
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN:
Gerardo Sebastián De León Salazar
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISÓ EL EXAMEN:
Ing. Vera Marroquín
TEMARIO
Segundo Examen Parcial
11 de marzo de 2013
Tema 1 [20 puntos]
Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6 horas
esa cantidad disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier momento,
es proporcional a la cantidad de la sustancia presente. (a) Calcule la cantidad que
queda después de 2 horas. (b) Calcule el período de vida media de la sustancia
radiactiva.
Tema 2 [20 puntos]
Un tanque de 500 galones está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2 lb
de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque con
la misma razón. (a) Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque al
tiempo t. (b) ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque después de un tiempo muy
largo?
Tema 3 [20 puntos]
Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los
fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0° C y a 100°C respectivamente. Una
pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100°C, se sumerge dentro del
tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90 °C. Después de 2
minutos se saca e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto
en el tanque B la temperatura se eleva 10°C. ¿Cuánto tiempo medido desde el
comienzo de todo el proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9° C?
Tema 4 [20 puntos]
Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razón con que
decrece su intensidad I es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor, en
pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies debajo de la superficie
es 25% de la intensidad inicial Io del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a
15 pies debajo de la superficie?
Tema 5 [20 puntos]
Un tanque en forma de cono recto invertido (el vértice apunta hacia arriba) le sale
agua por un agujero circular con un radio de dos pulgadas en el centro de su base
circular. El tanque tiene 20 pies de altura y la base tiene 8 pies de radio. Si
inicialmente el tanque estaba lleno ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse?
SOLUCIÓN DEL EXAMEN
TEMA 1
Datos obtenidos del enunciado
De esto tenemos que:
Valuando en los puntos dados
Del sistema tenemos
(
)
Se evalúa la función en el tiempo solicitado
Luego se calcula la vida media
(
)
TEMA 2
Los datos obtenidos del enunciado son:
Entonces tenemos
Resuelve la ED de primer orden
∫
∫
Modelo
El comportamiento al final del tiempo es:
TEMA 3
Se resuelve para el tanque A
Se resuelve el modelo de Newton
El modelo queda:
Se resuelve para el tanque B
Se resuelve el modelo de Newton
El modelo queda:
(
)
Entonces para encontrar cuando pasa por 99.9 evaluamos en ambos modelos
(
)
Entonces se encuentra que la barra pasar por 99.9°C en 0.009496 minutos y 9.0221
minutos luego de iniciado el proceso.
TEMA 4
Del problema tenemos que
Resuelve el modelo
∫
Se evalúa en el punto que se pide
∫
TEMA 5
Por semejanza de triángulos se modela el área transversal del cono (triángulo)
Luego se modela un diferencial de volumen en base a esta semejanza para este cono
de base circular como:
El área de salida se calcula como:
Luego se utiliza la ley de Torricelli
√
- √
√
Se Igualan las expresiones:
√
Se resuelve la ecuación diferencial
√
Se resuelve por variables separables
∫
√
∫
(
)
Se evalúa en la condición inicial
(
El tanque estará vacío cuando y=0
(
)
)