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Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: La Condicional Departamento de Matemáticas ITESM Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 1/24 Introducción La forma proposicional más importante es la condicional. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 2/24 Introducción La forma proposicional más importante es la condicional. También es la que motiva más errores en su interpretación. Esta forma condicional es la relacionada con la inferencia lógica. Revise en su libro de texto con detenimiento todos los conceptos relacionados con las condicionales. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 2/24 Definición de Forma Condicional Una forma condicional o simplemente una condicional es una proposición de la forma: Si P, entonces Q Donde P y Q son proposiciones. A P se le llamará la hipótesis de la condicional o antecedente de la proposicional y a Q se le llamará conclusión de la condicional o consecuente de la proposicional. En notación matemática la condicional será representada por: Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario P → Q Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 3/24 Ejemplos ■ Si n = m, entonces n + m es par. ■ Si n = 0, entonces n + m = m. ■ Si n es múltiplo de 4, entonces n es par. ■ Si Juan pasa con 80 todos los exámenes de Discretas, entonces Juan acredita Discretas. ■ Si el programa de Juan está correcto, entonces al ejecutarlo con los datos del profesor producirá la salida esperada. ■ Si Tomás resolvió correctamente el problema de mate, entonces Tomás obtendrá la respuesta correcta. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 4/24 Alternativas para enunciar P → Q ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Si P , entonces Q. Si P , también Q. Si P , Q. P implica Q. P es suficiente para Q. Q cuando P . Q cada vez que P . Q, si P . A fin de que Q, basta que P . Q es requerido para que P . P sólo si Q. Sólo si se cumple Q, se cumple P . Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 5/24 Observe las construcciones Q si P y P sólo si Q la palabra sólo cambia la posición de los elementos de la implicación P → Q. Si P : Tener a tiempo el depósito Q: Ir a McAllen En las afirmaciones: ■ Noel dijo: Iré a McAllen si tengo a tiempo el depósito (P → Q). P es una condición suficiente para Q. Noel posiblemente tiene otras maneras de llegar. ■ León dijo: Iré a McAllen sólo si tengo a tiempo el depósito (Q → P ). P es una condición necesaria para Q. León tiene solo una manera de hacerlo. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 6/24 Jerarquía de Operadores Mayor Jeraquía ¬ ∧ ∨ → Menor Jerarquía Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 7/24 Tabla de Verdad de la Condicional p q p→q F F T T F T F T T T F T Note que ■ Si la hipótesis es falsa, la implicación es verdadera. ■ Si la hipótesis es verdadera, la única posibilidad de que la implicación sea verdadera es que la conclusión sea verdadera. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 8/24 Proposicionales complejas con condicionales Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q. p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q F F T T T T F T T F F T T F F T T T T T F F T F Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 9/24 Proposicionales complejas con condicionales Determine la tabla de verdad de: p → q ∨ r. p q r q∨r p→q∨r F F F F T T T T F F T T F F T T Módulo I: La Condicional F T F T F T F T F T T T F T T T T T T T F T T T Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 10/24 Equivalencia Básica de la Condicional Compruebe la equivalencia básica de la condicional: p → q ≡ ¬p ∨ q p q p→q ¬p ¬p ∨ q F F T T F T F T T T F T T T F F T T F T Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 11/24 La Negación de la Condicional La negación de la Condicional: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q p q p→q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q F F T F T F F T T F F F T F F T T T T T T F F F Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 12/24 Casos en la Condicional: Compruebe la equivalencia: p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r) p q r p∨q F F F F F F (p → r) ∧ (q → r) p∨q →r p→r q→r F T T T T T F T T T T T F T F T F F F T T T T T T T T F F T F F T F T F T T T T T T T T F T F F F F T T T T T T T T Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 13/24 Variantes de una Condicional Suponga una condicional P → Q. Otras condicionales importantes construidas a partir de ella son: ■ La recírpoca (converse): Q→P ■ La contrapositiva (contrapositive): ¬Q → ¬P ■ La inversa (inverse): Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario ¬P → ¬Q Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 14/24 Ejemplos de las variantes de una condicional Si P : Hoy es viernes santo. Q : Mañana es día sábado. y supongamos que R representa P → Q. Entonces ■ La contrapositiva de R es: Si mañana no es día sábado, entonces hoy no es viernes santo. ■ La recíproca de R es: Si mañana es día sábado, entonces hoy es viernes santo. ■ La inversa de R es: Si hoy no es viernes santo, entonces mañana no es día sábado. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 15/24 Ejemplos de las variantes de una condicional Si P : ABCD es un cuadrado. Q : ABCD es un rectángulo. y supongamos que R representa P → Q. Entonces ■ La contrapositiva de R es: Si ABCD no es un rectángulo, entonces ABCD no es un cuadrado. ■ La recíproca de R es: Si ABCD es un rectángulo, entonces ABCD es un cuadrado. ■ La inversa de R es: Si ABCD no es un cuadrado, entonces ABCD no es un rectángulo. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 16/24 Ejemplos de las variantes de una condicional Si P : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones. Q : Tomás llegó a su destino. y supongamos que R representa P → Q. Entonces ■ La contrapositiva de R es: Si Tomás no llegó a su destino, entonces Tomás no siguió al pie de la letra las instrucciones. ■ La recíproca de R es: Si Tomás llegó a su destino, entonces Tomás siguió al pie de la letra las instrucciones. ■ La inversa de R es: Si Tomás no siguió al pie de la letra las instrucciones, entonces Tomás no llegó a su destino. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 17/24 Tabla de verdad de una Condicional y su variantes p q ¬p ¬q p→q q→p ¬p → ¬q ¬q → ¬p F F T T T T T T F T T F T F F T T F F T F T T F T T F F T T T T La condicional y su contrapositiva sı́ son equivalentes: p → q ≡ ¬q → ¬p La condicional y su recíproca no son equivalentes: p → q 6≡ q → p Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 18/24 Segunda vista de es requisito para Cuando se dice A es un requisito para B Se está diciendo que: Si no se cumple A, entonces no se cumple B Es decir, ¬A → ¬B Esta es la contrapositiva de B→A Por ello es que A es un requisito para B se convierte en B→A Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 19/24 Segunda vista de sólo si Cuando se dice A sólo si B Se está diciendo que: Si no se cumple B, entonces no se cumple A Es decir, ¬B → ¬A Esta es la contrapositiva de A→B Por ello es que A sólo si B se convierte en A → B Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 20/24 La Bicondicional Una forma bicondicional es una proposición de la forma: P si y solamente si Q donde P y Q son proposiciones. Esta proposición será representada con la notación: P ↔Q Esta proposición es verdadera si P y Q tienen los mismos valores de verdad (verdadero o falso). Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 21/24 Tabla de Verdad de la Bicondicional Módulo I: La Condicional p q p↔q F F T T F T F T T F F T Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 22/24 Variantes de estilo de la bicondicional ■ ■ ■ ■ ■ ■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Q entonces P . Si P entonces Q, y recíprocamente. Si P , y sólo entonces, Q. P si Q, y sólo entonces. P si y sólo si Q. A fin de que P es necesario y suficiente que Q. Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 23/24 Temas Vistos ■ ■ ■ ■ ■ La proposición condicional Conversión de Texto a FBF con la condicional Equivalencias de la condicional Variantes de la condicional: La contrapositiva, la recíproca y la inversa. La bicondicional Módulo I: La Condicional Introducción La Condicional Ejemplos 1 Alternativas Jerarquı́a de nuevo Tabla de Verdad Ejemplo 2 Ejemplo 3 Equivaencia Negación Variantes Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo Estilos sólo si de nuevo La Bicondicional Tabla Bicondicional Variantes Bicondicional Sumario Matemáticas Discretas - p. 24/24
