Ejercicios

Ejercicios
1)
Determinar si las siguientes relaciones satisfacen cada una de las siguientes propiedades: completa, transitiva y re‡exiva
a)
Sea X = f1; 2; 3g y %= f(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (2; 3) ; (3; 1)g
b)
Sea X = R y % la relacion: x % y si jx
yj > 1
c)
Sea X = R y % la relacion: x % y si x
y es multiplo de 2.
2)
Una relacion binaria % es:
negativamente transitiva si para todo x; y; z 2 X; (x; y) 2%
= y (y; z) 2%
= implican que (x; z) 2%
= :
asimetrica si para todo x; y 2 X; x % y implica que (y; x) 2%
=
Dar un ejemplo de una relacion negativamente transitiva
Dar un ejemplo de una relacion asimetrica
Dar un ejemplo de una relacion negativamente transitiva que no sea asimetrica
Dar un ejemplo de una relacion asimetrica que no sea negativamente transitiva
3)
Demostrar que % es negativamente transitiva si y solo si, para todo x; y; z 2 X; x % z implica que para todo y; x % y o y % z
4)
Presentamos ahora un falso teorema, con una demostracion incorrecta.
Falso Teorema: Si una relacion binaria B X X es simetrica y transitiva, entonces es re‡exiva.
Demostracion incorrecta: Tomo x 2 X y cualquier y 2 X tal que xBy. Por simetria, obtengo que yBx. Ahora, xBy
y yBx implican, por transitividad, xBx, como queriamos demostrar.
a)
Encontrar el error en la demostracion.
b)
Encontrar un contraejemplo al teorema. Es decir, encontrar o inventar una relacion B tal que B es simetrica y transitiva,
pero no re‡exiva.
5)
R es circular si para todo x; y; z 2 X; xRy y yRz implican zRx: Demostrar que R es re‡exiva y circular si y solo si es re‡exiva,
simetrica y transitiva.
1
6)
Demuestre que si una relacion de preferencias es convexa, entonces para cualquier conjunto convexo C;
el conjunto fx 2 C : x % y para todo y 2 Cg es convexo
7)
Demuestre que si una relacion de preferencias es estrictamente convexa, entonces para cualquier conjunto convexo C, el
conjunto fx 2 C : x % y para todo y 2 Cg consiste de un solo elemento.
8)
Demostrar que si A; B son convexos, entonces A \ B es convexo.
9)
Sea X = R+ . Suponga que 0
x para todo x 6= 0 y que para todo x; y 2 R++ x
y si y solo si x > y
a)
Demuestre que estas preferencias no son continuas
b)
Encuentre una funcion de utilidad que represente a estas preferencias
c)
La funcion de utilidad del apartado anterior, podria ser continua?
10)
Suponga que X = R2+ y que x % y ()
Si (1; 3) ~ (2; 2), cuanto es u (2; 6)?
x % y para todo
> 0: Suponga tambien que u representa a % y que u (s; s) = s:
11)
Sea X = R2 : La relacion de preferencias % esta de…nida por
x % y ()
x1 x2
x1 + x2
>
y1 y2
y1 + y2
Determinar cuales de las siguientes propiedades satisface esta relacion de preferencias: completa, transitiva y continua.
Para cada propiedad que se cumpla, de una demostracion. Para las que no se cumplan, de un contraejemplo.
2
12)
Sean % unas preferencias de…nidas sobre X = R2+ con la propiedad que
(a; 0) ~ (0; 2a)
para todo a > 0; tal que (a; 0)
2 [0; 1]
(b; 0) si y solo si a > b: Tambien, asuma que son transitivas y que para todo x; y 2 X;
x~y () x~ x + (1
)y
Encuentre una funcion de utilidad para estas preferencias.
Sugerencia: para cada x encuentre un numero u (x) tal que u (x) (1; 0) ~x
13)
Sea X = R2+ : Las preferencias % de un individuo se pueden describir de la siguiente manera. Dados x e y; si x1 y y1 son
"similares" (la diferencia es menor que 1) y x2 y y2 son similares, el individuo elige la canasta con mas unidades del bien 1 e
ignora al bien 2. Asi, si por ejemplo, jx1 y1 j 6 1, jx2 y2 j 6 1 y x1 > y1 ; tenemos que x y; si x1 = y1 ; x~y:
Si las canastas son similares en una sola dimension y no en la otra, el individuo elige la que tiene mas bienes en la
dimension que no es similar. Asi, si por ejemplo, jx1 y1 j 6 1, y2 > x2 + 1; tenemos que y
x: Si ninguna de las dos
dimensiones son similares, tenemos que x~y: Demostrar que estas preferencias no se pueden representar con una funcion de
utilidad.
14)
Sea X = R+ y sean las preferencias % en X de…nidas por x % y () sen (x) > sen (y) : Indique cual de las siguientes
funciones de utilidad representan a % : En cada caso demuestre su respuesta.
a)
2
v (x) = [sen (x)]
b)
w (x) = asen (x) + b
,a > 0
c)
f (x) = sen (x) (sen (x)
1)
d)
g (x) =
p
sen (x)
15)
Sea X = fx; y; zg y sea E = (B; C ( )) una estructura de eleccion. En cada uno de tres dias consecutivos, vemos al tomador
de decisiones elegir una sola canasta de B1 = fx; yg, B2 = fy; zg ; y B3 = fx; y; zg : Como esta persona es una inconformista,
sabemos que si un dia elige una canasta, no la elegira en ningun dia futuro.
a)
Demuestre que para cualquiera de los tres posibles tripletes de elecciones que haya hecho el individuo, se viola el ADPR.
3
b)
Encuentre tres restricciones presupuestales Bi ; distintas a las del enunciado, y una funcion C; con las cuales el inconformista
igual cumpliria con el ADPR
c)
Demuestre su respuesta del apartado anterior.
16)
Sean X = R+ ; B = f[a; b] : a; b 2 R+ ; a < bg y C de…nida mediante C [a; b] = fbg
a)
Demuestre que para la estructura de eleccion E = (B; C ( )) la relacion de preferencia revelada %E es completa y transitiva
b)
Demuestre que %E =
17)
Sean X = fx; y; zg y B = ffx; yg ; fy; zg ; fx; zgg ; C (fx; yg) = fxg ; C (fy; zg) = fyg y C (fx; zg) = fzg
Sea E = (B; C ( )) una estructura de eleccion.
La estructura de eleccion, satisface el ADPR?
Existe una relacion de preferencias que racionaliza a E?
18)
Suponga que E = (B; C ( )) es una estructura de eleccion en la cual C es generada por una relacion de preferencias % que se
puede representar por una funcion de utilidad u que mapea el espacio X (que contiene a todos los B 2 B) a R. Se puede
asegurar que C satisface el ADPR?
4
19)
20)
Ejercicio 15.B.6 del libro de Mas-Colell
21)
Supongamos que la funcion u representa a la relacion de preferencias % : Asuma que u es continua y estrictamente cuasiconcava. Muestre entonces que la demanda esta bien de…nida (que existe y que es una funcion) y que es continua para todo
p >> 0:
5
22)
6
23)
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