algoritmo de compresión de huffman

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PACHUCA
ALGORITMO DE COMPRESIÓN DE HUFFMAN
En 1952, David Huffman propuso un método estadístico que permitía asignar un
código binario a los diversos símbolos a comprimir (píxeles o caracteres, por ejemplo).
La longitud de cada código no es idéntica para todos los símbolos: se asignan códigos
cortos a los símbolos utilizados con más frecuencia (los que aparecen más a menudo),
mientras que los símbolos menos frecuentes reciben códigos binarios más largos. La
expresión Código de Longitud Variable (VLC) se utiliza para indicar este tipo de código
porque ningún código es el prefijo de otro. De este modo, la sucesión final de códigos
con longitudes variables será en promedio más pequeña que la obtenida con códigos
de longitudes constantes.
El codificador Huffman crea una estructura arbórea ordenada con todos los símbolos y
la frecuencia con que aparecen. Las ramas se construyen en forma recursiva
comenzando con los símbolos menos frecuentes.
La construcción del árbol se realiza ordenando en primer lugar los símbolos según la
frecuencia de aparición. Los dos símbolos con menor frecuencia de aparición se
eliminan sucesivamente de la lista y se conectan a un nodo cuyo peso es igual a la
suma de la frecuencia de los dos símbolos. El símbolo con menor peso es asignado a la
rama 1, el otro a la rama 0 y así sucesivamente, considerando cada nodo formado
como un símbolo nuevo, hasta que se obtiene un nodo principal llamado raíz.
El código de cada símbolo corresponde a la sucesión de códigos en el camino,
comenzando desde este carácter hasta la raíz. De esta manera, cuanto más dentro del
árbol esté el símbolo, más largo será el código.
Se trata de un algoritmo que puede ser usado para compresión o encriptación de
datos.
Esta compresión es mayor cuando la variedad de caracteres diferentes que aparecen
es menor. Por ejemplo: si el texto se compone únicamente de números o mayúsculas,
se conseguirá una compresión mayor.
Para recuperar el fichero original es necesario conocer el código asignado a cada
carácter, así como su longitud en bits, si ésta información se omite, y el receptor del
fichero la conoce, podrá recuperar la información original. De este modo es posible
utilizar el algoritmo para encriptar ficheros.
Mecanismo del algoritmo:
•
•
•
•
Contar cuantas veces aparece cada carácter en el fichero a comprimir. Y crear
una lista enlazada con la información de caracteres y frecuencias.
Ordenar la lista de menor a mayor en función de la frecuencia.
Convertir cada elemento de la lista en un árbol.
Fusionar todos estos árboles en uno único, para hacerlo se sigue el siguiente
proceso, mientras la lista de árboles contenga más de un elemento:
o Con los dos primeros árboles formar un nuevo árbol, cada uno de los
árboles originales en una rama.
o Sumar las frecuencias de cada rama en el nuevo elemento árbol.
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Insertar el nuevo árbol en el lugar adecuado de la lista según la suma
de frecuencias obtenida.
Para asignar el nuevo código binario de cada carácter sólo hay que seguir el
camino adecuado a través del árbol. Si se toma una rama cero, se añade un
cero al código, si se toma una rama uno, se añade un uno.
Se recodifica el fichero según los nuevos códigos.
o
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•
EJEMPLO
La tabla describe el alfabeto a codificar, junto con las frecuencias de sus símbolos. En
el gráfico se muestra el árbol construido a partir de este alfabeto siguiendo el
algoritmo descrito.
Símbolo Frecuencia
A
0,15
B
0,30
C
0,20
D
0,05
E
0,15
F
0,05
G
0,10
Se puede ver con facilidad cuál es el
código del símbolo E: subiendo por el
árbol se recorren ramas etiquetadas
con 1, 1 y 0; por lo tanto, el código es
011. Para obtener el código de D se
recorren las ramas 0, 1, 1 y 1, por lo
que el código es 1110.
La operación inversa también es fácil de realizar: dado el código 10 se recorren desde
la raíz las ramas 1 y 0, obteniéndose el símbolo C. Para descodificar 010 se recorren
las ramas 0, 1 y 0, obteniéndose el símbolo A.
Limitaciones
Para poder utilizar el algoritmo de Huffman es necesario conocer de antemano las
frecuencias de aparición de cada símbolo, y su eficiencia depende de lo próximas a las
frecuencias reales que sean las estimadas. Algunas implementaciones del algoritmo de
Huffman son adaptativas, actualizando las frecuencias de cada símbolo conforme
recorre el texto.
La eficiencia de la codificación de Huffman también depende del balance que exista
entre los hijos de cada nodo del árbol, siendo más eficiente conforme menor sea la
diferencia de frecuencias entre los dos hijos de cada nodo.
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Ejemplos:
•
•
La codificación binaria es un caso particular de la codificación de Huffman que
ocurre cuando todos los símbolos del alfabeto tienen la misma frecuencia. Se
tiene pues que la codificación binaria es la más eficiente para cualquier número
de símbolos equiprobables.
El algoritmo de Huffman aplicado sobre un alfabeto de dos símbolos asignará
siempre un 1 al primero y un 0 al segundo, independientemente de la
frecuencia de aparición de dichos símbolos. En este caso nunca se realiza
compresión de los datos, mientras que otros algoritmos sí podrían conseguirlo.
Una manera de resolver este problema consiste en agrupar los símbolos en palabras
antes de ejecutar el algoritmo. Por ejemplo, si se tiene la cadena de longitud 64
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB
El algoritmo de Huffman aplicado únicamente a los símbolos devuelve el código:
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110
También de longitud 64. Sin embargo, si antes de utilizar el algoritmo, se agrupan los
símbolos en las palabras "AA", "AB" y "B" (que se codifican como 1, 01 y 00), el
algoritmo devuelve la siguiente cadena: 111111111111111111111111111111101; que
tiene longitud 32, la mitad que si no se hubiera agrupado. Si observa el árbol de
Huffman, se puede comprobar que la diferencia de frecuencias entre las ramas del
árbol es menor que en el caso anterior.
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