La falsa moneda - Ciencia sin seso…locura doble

La falsa moneda
Hoy vamos a seguir jugando con monedas. De hecho, vamos a jugar con dos
monedas, una de ellas legal y la otra más falsa que Judas Iscariote,
cargada de forma que dé más caras que cruces cuando la lanzamos. Os
aconsejo que os pongáis cómodos antes de empezar.
Resulta que tenemos una moneda trucada. Por definición, la probabilidad
de sacar cara con una moneda legal es 0,5 (50%). Por otra parte, nuestra
moneda trucada saca cara el 70% de las veces (probabilidad 0,7), lo cual
nos viene muy bien porque la usamos cada vez que queremos sortearnos alguna
tarea desagradable. No tenemos más que ofrecer nuestra moneda, pedir cruz y
confiar un poco en que la suerte de nuestra falsa moneda nos beneficie.
Ahora supongamos que hemos sido tan despistados como para guardar la
moneda trucada con las demás. ¿Cómo podemos saber cuál es la falsa?. Y aquí
es donde se nos ocurre el juego. Vamos a imaginar qué pasaría si tirásemos
la moneda al aire 100 veces seguidas. Si la moneda es legal esperamos sacar
cara unas 50 veces, mientras que con la trucada esperamos sacar unas 70.
Así que vamos a escoger una moneda, la lanzamos 100 veces y, basándonos en
el número de caras, decidiremos si está trucada o no. Así que, de forma
arbitraria elegimos un valor entre 50 y 70, pongamos que 65 y decimos: si
obtenemos 65 caras o más diremos que nuestra moneda está trucada, pero si
sacamos menos de 65 diremos que es legal.
Pero cualquiera se da cuenta en seguida que este método no es infalible.
Por una parte, podemos sacar 67 caras con una moneda legal y concluir que
está trucada, cuando no lo está. Pero es que también puede dar la
casualidad que saquemos 60 con la trucada y nos creamos que es una moneda
legal. ¿Podemos solucionar este problema y evitar equivocarnos?. Pues, la
verdad es que no podemos, pero lo que sí podemos es medir la probabilidad
que tenemos de equivocarnos.
Si utilizamos una calculadora de probabilidad binomial (los más
valientes pueden hacer los cálculos a mano), la probabilidad de sacar 65
caras o más con una moneda legal es del 0,17%, mientras que la probabilidad
de sacarlas con nuestra moneda cargada es del 88,4%. Así que se pueden
presentar cuatro situaciones que os represento en la tabla adjunta.
En este caso, nuestra hipótesis nula dice que la moneda es legal,
mientras que la alternativa dice que la moneda está trucada a favor de las
caras.
Empecemos por los casos en que la prueba concluye que la moneda es legal
(sacamos menos de 65 caras). La primera posibilidad es que la moneda sea,
en efecto, legal. Pues habremos acertado. No tenemos más que decir de este
supuesto.
La segunda posibilidad es que, a pesar de lo que dice nuestra prueba, la
moneda sea más falsa que el beso de una suegra. Pues esta vez hemos
cometido un error que alguien con muy poca imaginación bautizó como error
de tipo II. Hemos aceptado la hipótesis nula de que la moneda es legal
cuando en realidad está trucada.
Vamos a suponer ahora que nuestra prueba concluye que la moneda está
trucada. Si la moneda es, en realidad, legal, habremos vuelto a
equivocarnos, pero esta vez lo que habremos cometido es un error de tipo I.
En este caso hemos rechazado la hipótesis nula de que la moneda es legal
siendo cierto que es legal.
Por último, si concluimos que es falsa y realmente está trucada,
habremos acertado una vez más.
Vemos en la tabla que la probabilidad de cometer un error de tipo I es,
en este ejemplo, del 0,17%. Esta es la significación estadística de nuestra
prueba, que no es más que la probabilidad de rechazar nuestra hipótesis
nula de que la moneda es legal (decir que es falsa) cuando en realidad lo
es (es legal). Por otra parte, la probabilidad de acertar cuando la moneda
es falsa es del 91%. A esta probabilidad se le llama potencia, que no es
más que la probabilidad de acertar cuando la prueba dice que está trucada
(acertar cuando rechazamos la hipótesis nula).
Si pensáis un poco veréis que el error de tipo II es el complementario
de la potencia. Cuando la moneda es falsa, la probabilidad de aceptar que
es legal cuando no lo es (error de tipo II) más la probabilidad de acertar
y decir falsa debe sumar el 100%. Así, el error de tipo II es igual a 1 –
potencia.
Esta significación estadística que hemos visto es el famoso valor de la
p. La significación estadística no es más que la probabilidad de cometer un
error de tipo I. Por convenio, se suele aceptar como tolerable el 0,05
(5%), ya que, en general, es preferible no aceptar como buenas hipótesis
que son falsas. Por eso en los estudios científicos se buscan valores bajos
de significación y altos de potencia, aunque los dos están relacionados,
por lo que al aumentar la significación disminuye la potencia, y viceversa.
Y aquí terminamos. Al que haya llegado hasta aquí a través de este
galimatías sin perderse del todo, mi más sincera enhorabuena, porque la
verdad es que esta entrada parece un juego de palabras. Y eso que podríamos
haber comentado algo sobre significación y cálculo de intervalos de
confianza, tamaños muestrales, etc. Pero esa es otra historia…