rentas y anualidades – matemática financiera

Walter Orlando Gonzales Caicedo
RENTAS Y ANUALIDADES
En el campo de las finanzas, se presentan diversas modalidades o formas de
pago de una deuda, de acuerdo a la naturaleza de la misma. Cuando usamos
el término anualidad, nos da la impresión de que los pagos son anuales pero
en un sentido más amplio, significa una serie de pagos iguales en periodos de
tiempo también iguales, que no necesariamente tienen que ser años sino que
pueden ser semestres, trimestres o de series de tiempo de cualquier otra
duración.
1 DEFINICIÓN: Se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales
realizados a intervalos iguales de tiempo; no siempre se refiere a periodos
anuales de pago.
2 TIPOS DE ANUALIDADES.
La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace
que existan diferentes tipos de ellas. Entre las cuales tenemos:
 Tiempo:
1. Ciertas
2. Contingentes
 Intereses:
3. Simples
4. Generales
 Pagos:
5. Vencidas
6. Anticipadas
 Iniciación:
7. Inmediatas
8. Diferidas
A) De acuerdo a las fechas de iniciación y de terminación de las
anualidades son:
1) ANUALIDADES CIERTAS: Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano.
Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe
hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago.
2) ANUALIDAD CONTINGENTE: La fecha del primer pago, la fecha del último
pago, o ambas no se fijan de antemano.
Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro.
El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente
cuándo.
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B) De acuerdo a los intereses, o mejor dicho, a su periodo de
capitalización, las anualidades se clasifican en:
3) SIMPLES: Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de
los intereses.
Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable
mensualmente.
4) GENERALES: Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el
periodo de capitalización.
Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual
capitalizable trimestralmente.
C) De acuerdo con los pagos las anualidades son:
5) VENCIDAS. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los
pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
6) ANTICIPADAS. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo.
D) De acuerdo al momento en que se inician:
7) INMEDIATAS. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos
tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato.
Ejemplo: se compra un articulo a crédito hoy, que se va a pagar con
mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o
un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o
vencida).
8) DIFERIDAS. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después
de la formalización del trato (se pospone).
Ejemplo: Se adquiere hoy un articulo a crédito para pagar con abonos
mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida a
la mercancía.
PROBLEMAS DE ANUALIDADES VENCIDAS U ORDINARIAS
FORMULAS:
VF
P
(1 i ) n 1
i
VA
P
(1 i ) n 1
i(1 i) n
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(1
VF
P
i n.m
)
1
m
i
m
i n.m
)
1
m
P
i
i n.m
(1
)
m
m
(1
VA
Donde:
VF = Valor Futuro de una anualidad
P = Pago periódico de una anualidad
VA = Valor Actual o presente de una anualidad
n = número de periodos de pago
i = tasa de interés
m = números de capitalizaciones al año
1. Un señor decide depositar US$1.500 en una cuenta que abona el 8%;
dicha cantidad la consigna para cada cumpleaños de su hija. Calcular la
suma que tendrá a disposición cuando ella tenga 18 años.
SOLUCIÓN:
Tenemos:
P = US$1.500
i = 8% = 0,08
n = 18 años
VF = ?
Entonces:
(1 i ) n 1
i
VF
P
VF
1.500
VF
US $ 56.175,37
(1 0,08)18 1
0,08
2. Una persona deposita S/ 1.000 al final de cada mes en una cuenta que
abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la
cuenta, al cabo de 20 años.
Tenemos:
P = S/ 1.000
i = 6% = 0,06
m = 12
n = 20 años
VF = ?
Entonces:
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i n.m
)
1
m
VF P
i
m
0,06 12( 20)
(1
)
1
(1,005 ) 240 1
12
VF 1.000
1.000
0,06
0,005
12
VF S / 462 .040 ,895
3. Una mina en explotación tiene una producción anual de US$ 8’000.000,00 y
se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la
producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.
(1
Tenemos:
P = US$ 8’000.000,00
i = 8% = 0,08
n = 10 años
VA = ?
Entonces:
VA
P
(1 i ) n 1
i(1 i) n
VA 8'000 .000 ,00
(1 0,08)10 1
0,08(1 0,08)10
VA US $ 53'680.651 ,19
4. Calcular el valor presente de una serie de pagos de S/ 5.000,00 cada uno,
efectuados ordinariamente y en forma semestral durante 7 años y 6 meses
al 16% anual con capitalización semestral.
Tenemos:
P = S/ 5.000,00
i = 16% = 0,16
n = 7 años y 6 meses =7,5 años
m=2
VA = ?
Entonces:
i n.m
)
1
m
P
i
i n.m
(1
)
m
m
(1
VA
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0,16 7,5( 2)
)
1
2
5.000
0,16
0,16 7,5( 2)
(1
)
2
2
S / 42.797,39
(1
VA
VA
5.000
(1 0,08)15) 1
0,08(1 0,08)15)
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº03
Resolver los siguientes problemas
1) Hallar el monto de una serie de cuatro pagos de S/. 56.000 al final de
cada año, colocado al 20% de interés compuesto con capitalización
anual.
Rpta: S/. 300.608
2) ¿Cuál será el capital acumulado al cabo de 10 años, mediante pagos al
final de cada semestre de S/. 23.500 a la tasa de interés compuesto del
15% anual con capitalización semestral?
Rpta: S/. 1’017.660
3) Una persona espera recibir, ordinariamente, durante los próximos 8 años
la cantidad de S/. 12.000 nuevos soles anuales, por concepto de
dividendos que una empresa le adeuda; pero nuestro personaje desea
negociar actualmente dicha renta al 18% anual de interés compuesto.
Determinar a cuánto asciende la cantidad a recibir. Rpta: S/. 48.930,79
4) Calcular el valor presente de una serie de pagos de S/. 8.000 cada uno,
efectuados ordinariamente y en forma semestral durante 5 años y 6
meses al 13 % anual con capitalización semestral.
5) Se desea saber el valor de la cuota, para acumular S/. 27.000 en ocho
entregas ordinarias anuales, capitalizable anualmente al 25% de interés
anual.
Rpta: S/.1.360,76
6) Se desea saber cuál será el valor de la cuota ordinaria semestral para
acumular la cantidad de S/. 1’017.660 en un período de 10 años, a una
tasa de interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral.
Rpta: S/. 23.500
7) Supongamos que usted, obtiene un préstamo de S/. 10.000 al 16% de
interés compuesto anual para ser devuelto en 10 pagos al final de cada
año. ¿Cuánto deberá abonar en cada pago?
Rpta: S/. 2.069
8) ¿Cuántos pagos semestrales de S/. 600 deberán hacerse para cancelar
una deuda de S/.4.500 al 7% anual con capitalización semestral?
Rpta: 4,4255 años equivalente a 8,853 períodos semestrales.
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9) Una persona desea saber a cuánto ascenderá el monto de sus
depósitos de cada fin de año de S/. 1.400 anuales durante 5 años, al
18% anual con capitalización bimestral.
Rpta: S/. 66.605,58
10) ¿Cuánto deberá depositarse trimestralmente en una cuenta de ahorros,
que paga el 16% convertible trimestralmente, durante 3 años para
comprar un automóvil que cuesta US$ 8.000 al tipo de cambio de S/.
2,85.
11) Calcular el valor presente de una serie de depósitos de S/.500,00
nuevos soles mensuales, durante 3 años, a la tasa del 2% mensual.
12) Un préstamo de S/. 5.000 debe cancelarse en un plazo de un año, con
cuotas ordinarias mensuales al 36% anual capitalizable mensualmente.
Calcular el valor de cada cuota.
13) ¿Cuántas cuotas ordinarias de S/. 1.650 serán necesarias para cancelar
un préstamo de S/. 8.500, al 24% anual con capitalización mensual.
14) Un comerciante después de 20 años después de haber depositado en
un banco la cantidad de S/. 1.000 al final de cada año, desea retirar
totalmente su dinero para invertirlo en un negocio si el banco paga el
22% anual capitalizable trimestralmente. ¿A cuánto ascenderá el monto
a recibir?
PROBLEMAS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS O DE
IMPOSICIÓN
FORMULAS:
(1 i ) n 1
VF P
(1 i )
i
(1
VF
P
i n.m
)
1
i
m
(1
)
i
m
m
VA
(1 i ) n 1
P
(1 i )
i (1 i ) n
i n.m
)
1
i
m
P
(1
)
i
i n.m
m
(1
)
m
m
(1
VA
Donde:
VF = Valor Futuro de una anualidad
P = Pago periódico de una anualidad
VA = Valor Actual o presente de una anualidad
n = número de periodos de pago
i = tasa de interés
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m = números de capitalizaciones al año
1 ¿Qué monto se acumulara al término del cuarto mes, si el día de hoy y
durante 3 meses consecutivos se depositan US$ 100 en una cuenta de
ahorros percibiendo una TNM del 2%?
SOLUCIÓN:
Tenemos:
VF = ?
P = US$100
TNA = i = 2% = 0,02
n = 4 meses
Entonces:
VF
P
VF
(1 i ) n 1
(1 i )
i
100
(1 0,02 ) 4 1
(1 0,02)
0,02
VF US $ 420,40
2 Si deposito US$ 150 mensualmente empezando el día de hoy, a una
tasa del 40% anual capitalizable trimestralmente ¿Cuanto tendrá dentro
de 3 años?
SOLUCIÓN:
Tenemos:
VF = ?
P = US$150
i = 40% = 0,40
n = 3 años
m=4
Entonces:
i n.m
(1
)
1
i
m
VF P
(1
)
i
m
m
0,4 3( 4)
)
1
0,4
(1 0,1)12 1
4
150
(1
) 150
(1 0,1)
0,4
4
0,1
4
US $ 3.528 ,41
(1
VF
VF
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3 Un departamento es alquilado por 4 meses con pagos adelantados de
US$ 500. ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo aplicando
una TEM del 3%?
SOLUCIÓN:
Tenemos:
VA = ?
P = US$ 500
TEM = i = 3% = 0,03
n = 4 meses
Entonces:
VA
(1 i ) n 1
P
(1 i )
i (1 i ) n
VA
(1 0,03) 4 1
500
(1 0,03)
0,03(1 0,03) 4
VA US$ 1.914,31
4 Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de
plazo, con pagos de US$ 3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa
de interés es del 12% convertible mensualmente.
SOLUCIÓN:
Tenemos:
VA = ?
P = US$ 3.000
i = 12% = 0,12
m = 12
n = 15 años
Entonces:
i n.m
(1
)
1
i
m
VA P
(1
)
i
i n.m
m
(1
)
m
m
0,12 12(15)
)
1
0,12
12
3.000
(1
)
0,12
0,12 12(15)
12
(1
)
12
12
US$ 252.464,64
(1
VA
VA
3.000
(1 0,01)180 1
(1 0,01)
0,01(1 0,01)180
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº04
Resolver los siguientes problemas
1. Una compañía deposita a principio de cada año S/. 20.000 en una
cuenta de ahorros que paga el 12% de interés compuesto anual. ¿A
cuánto ascenderá los depósitos al cabo de 5 años? Rpta: S/. 142.303,78
2. ¿Cuál será el monto de una serie de uniforme de pagos de S/. 2.000 al
inicio de cada semestre durante 3 años al 16% anual con capitalización
semestral?
Rpta: S/. 15.845,60
3. Una empresa pesquera, alquila un edificio para el funcionamiento de sus
oficinas administrativas por S/. 4.000 nuevos soles mensuales y propone
al propietario pagar el alquiler en forma anual y por adelantado, si la tasa
de interés compuesto es del 12% anual con capitalización mensual.
¿Cuánto pagará la empresa anualmente?
Rpta: S/. 45.470,51
4. Hallar el valor de la cuota anticipada que nos permita acumular S/.
27.000 en 8 entregas anuales, impuestas al 25% de interés compuesto
anual.
Rpta: S/. 1.088,61
5. Se desea saber cuál será el valor de la cuota anticipada semestral, para
acumular la cantidad de S/. 1’017.660 en un período de 10 años a una
tasa de interés compuesto del 15% anual con capitalización semestral.
Rpta: S/. 21.860,46
6. Supongamos que usted, obtiene un préstamo de S/. 10.000 al 16 % de
interés compuesto anual para ser devuelto en 10 pagos al principio de
cada año. ¿Cuánto deberá abonar en cada pago?
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Rpta: S/. 1.783,63
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7. Una empresa obtiene un préstamo de S/. 850.000 y desea saber el valor
de la cuota anticipada trimestral que le permita liquidar dicho préstamo
en 5 años, si la tasa de interés es del 22% anual con capitalización
trimestral.
Rpta: S/. 67.419,36
8. Una persona deposita en una cuenta de ahorros US$ 150 al principio de
cada mes. Si la cuenta le paga un 3% mensual de interés. ¿Cuánto
habrá ahorrado durante el primer pago?
9. Cuanto tendrá que depositar mensualmente durante un año empezando
hoy para juntar S/. 7.300 si se considera una taza interés de 3%
capitalizable mensualmente.
10. Se obtuvo un monto de US$ 730.80 en pagos mensuales de US$ 50,00
durante un año ¿Qué tasa de interés se aplico?
PROBLEMAS DE ANUALIDADES DIFERIDAS Y RENTAS
PERPETUAS
Formulas para anualidades diferidas son las mismas que las
anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de
gracia.
1 Calcule el valor presente de una renta ordinaria de S/. 1.200 mensual
a recibirse después de transcurridos tres meses y durante el plazo de
un año, a una TEM del 4%
SOLUCIÓN:
P P P
0
1
2 3 1 2
k
Plazo diferido
Tenemos:
3
P … P P P
4 …
P
9 10 11 12
n
Plazo de la anualidad
Fecha focal
VA = ?
P = S/. 1.200
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TEM = i = 4% = 0,04
n = 1 año = 12 meses
k = 3 mese
Entonces:
(1 i ) n 1
P
(1 i ) -k
n
i (1 i )
VA
(1 0,04)12 1
VA 1.200
(1 0,04) -3
12
0,04(1 0,04)
VA
S / . 10.011,96
2 Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de
ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso
demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación
rendirán una ganancia anual de US$ 2.400.000. suponiendo que la tasa
comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15
años continuos de explotación, calcular el valor futuro de la renta que
espera obtenerse.
SOLUCIÓN:
P
0
1
2 3 4 5 6
k
Plazo diferido
Tenemos:
P P P P P
1 2
3 4
5
VF = ?
P = US$ 2.400.000
i = 8% = 0,08
n = 15 años
k = 6 años
Entonces:
P
(1 i ) n 1
i
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P
7 … 15
n
Plazo de la anualidad
Fecha focal
VF
6
P
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(1 0,08)15 1
0,08
VF
2.400.000
VF
65 .165 .073,43
3 ¿Qué capital debe colocarse hoy en un banco a una tasa de TEM del 4%, para
disponer, después de transcurrido un año, una renta mensual de US$ 500 al
comienzo de cada mes, durante los cinco años siguientes?
SOLUCIÓN:
P P
0
1
P P P P P
2 3 …. 11 12 1 2
k
Plazo diferido
3 4
5
6
7 … 60
n
Plazo de la anualidad
Tenemos:
Fecha focal
VA = ?
P = US$ 500
TEM = 4% = 0,04
n = 5 años = 60 meses
k = 1 año = 12 meses
k
P… P
(1 i ) n 1
i (1 i) n
VA
P(1 i )1
VA
500 (1 0,04 )1 13
12
(1 0,04 ) 60 1
0,04 (1 0,04 ) 60
(1,04 ) 60 1
0,04 (1,04 ) 60
VA
500 (1,04 )
VA
US$ 7.347 ,89
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº05
Resolver los siguientes problemas
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1 Calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria de S/. 5.000 cada
semestre, si el primer pago debe efectuarse dentro de 2 años y se
continua por espacio de 4 años más, a la tasa de interés compuesto
del 12% anual con capitalización semestral.
Rpta: S/. 57.456,58
2 Calcular el valor futuro de una anualidad anticipada de S/. 5.000 cada
semestre, si el primer pago debe efectuarse dentro de 2 años y se
continúa por espacio de 4 años más, a la tasa de interés compuesto
del 12% anual con capitalización semestral.
Rpta: S/. 60.903,97
3 Con los datos del ejercicio anterior (1) determinar el valor actual de la
anualidad diferida.
Rpta: S/. 30.267,41
4 Un ahorrista deposita S/. 60.000 en un banco que paga el 14% de
interés anual para que, dentro de 5 años empiece a recibir una renta
semestral durante 10 años más. Hallar la renta semestral a recibir.
Rpta: S/. 10.180,17
5 Un ahorrista deposita S/. 60.000 en un banco que paga el 14% de
interés anual con capitalización semestral, para que dentro de 5 años
empiece a recibir una renta a principio de cada semestre durante 10
años más. Hallar la renta semestral a recibir.
Rpta: S/. 9.514,18
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