Líneas de transmisión

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Juan Manuel Orduña Huertas
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Líneas de transmisión
Contenido
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Líneas de transmisión
Definiciones. Conceptos básicos
Propagación de las ondas en las líneas de transmisión
Líneas adaptadas: ZL = Z0
Líneas no adaptadas: ZL 6= Z0
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Propagación de las ondas en las líneas de transmisión
Líneas adaptadas: ZL = Z0
Líneas no adaptadas: ZL 6= Z0
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Líneas adaptadas: ZL = Z0
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Motivación
VA = VB ∀ t
¿ VA = VB ∀t?
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Modelo de parámetros distribuidos
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Velocidad de propagación
QC1 = Ce
QB = it
Ce
t
et
=
L
QC1 = QB −→ Ce = it −→ iC1 =
iL2 = iC1
i
eCE = L −→ iL2
t
et
Ce
⇒
=
⇒ t 2 = LC
L
t
√
tp =
LC vp =
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1
tp
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Velocidad de propagación: conceptos asociados
Factor de propagación fp : Relación entre vp en la línea y
la velocidad de la luz en el vacío
vp
(5)
c
Longitud de onda λ: distancia recorrida por una onda
durante un intervalo de 1 ciclo
fp =
vp
(6)
f
Longitud eléctrica: longitud física partido por la longitud
de onda
λ=
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Modelo
v (z, t) > v (z + ∆z, t)
∂i(z + ∆z, t)
∂t
∂v (z, t)
i(z, t) − i(z + ∆t, t) = v (z, t)G∆z + C∆z
∂t
v (z, t) − v (z + ∆z, t) = i(z + ∆z, t)R∆z + L∆z
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Desarrollo (I)
∂i(z + ∆z, t)
(10)
∂t
∂v (z, t)
−i(z, t) + i(z + ∆t, t) = −v (z, t)G∆z − C∆z
(11)
∂t
−v (z, t) + v (z + ∆z, t) = −i(z + ∆z, t)R∆z − L∆z
v (z + ∆z, t) − v (z, t)
∂i
= −iR − L
∆z→0
∆z
∂t
i(z + ∆t, t) − i(z, t)
∂v
l«ım
= −vG − C
∆z→0
∆z
∂t
l«ım
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Desarrollo (II)
∂v
∂z
∂i
∂z
∂i
= −iR − L ∂t
= −vG − C ∂v
∂t
R = G = 0 =⇒
∂v
∂z
∂i
∂z
∂i
= −L ∂t
= −C ∂v
∂t
Derivando con respecto a z y t y sustituyendo, queda:
"
#
∂2v
∂2v
∂2v
= −L − C 2 = LC 2
2
∂z
∂t
∂t
"
#
∂2i
∂2i
∂2i
=
−C
−
L
=
LC
∂z 2
∂t 2
∂t 2
(14)
(15)
(16)
- Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de solución
exponencial. Tomamos solución que separa z y t:
v (z, t) = V (z)ejωt
i(z, t) = I(z)e
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jωt
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Líneas adaptadas: ZL = Z0
Líneas no adaptadas: ZL 6= Z0
Desarrollo (III)
Se demuestra que operando con las ecuaciones 17 y 18
(derivando dos veces con respecto al tiempo) se obtiene
Tensión a lo largo de la línea:
V (z) = C0 e−jkz + C1 ejkz
(19)
donde:
C0 e−jkz = onda directa
C1 ejkz = onda reflejada
C0 y C1 = constantes que dependen del contorno de la
línea
√
k = 2π
k = ω LC, donde k = número de la onda
λ ,
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Propagación de las ondas en las líneas de transmisión
Líneas adaptadas: ZL = Z0
Líneas no adaptadas: ZL 6= Z0
Desarrollo (III)
Se demuestra que operando con las ecuaciones 17 y 18
(derivando dos veces con respecto al tiempo) se obtiene
Tensión a lo largo de la línea:
V (z) = C0 e−jkz + C1 ejkz
(19)
donde:
C0 e−jkz = onda directa
C1 ejkz = onda reflejada
C0 y C1 = constantes que dependen del contorno de la
línea
√
k = 2π
k = ω LC, donde k = número de la onda
λ ,
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Implicaciones (I)
Tensión a lo largo de la línea:
k=
2π
λ ,
V (z) = C0 e−jkz + C1 ejkz
√
k = ω LC, donde k = número de la onda
- Si k > 0 cada punto de la línea está en una fase distinta,
V (z) 6= cte. ⇒ V (A) 6= V (B) ∀t0
- Si k ' 0, entonces V (z) = cte. ∀z ∀t0 ⇒ V (A) = V (B) ∀t0
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Implicaciones (II)
Tensión a lo largo de la línea:
h
i
v (z, t) = C0 e−jkz + C1 ejkz ejωt
- Tensión en cada punto = suma de 2 ondas (directa y
reflejada)
- El producto ejωt indica que el valor de la onda en un
mismo punto varía con el tiempo.
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Desarrollo (IV)
∂v
=
∂z
∂ V (z)ejωt
∂z
= ejωt − jkC0 e−jkz + jkC1 ejkz
ejωt − jkC0 e−jkz + jkC1 ejkz = −jLωI(z)ejωt
−jkC0 e−jkz + jkC1 ejkz
−jLω
V (z) V (z) −
+
Z0 = =
I(z)+ I− (z) V C e−jkz
+
0
Z0 = = jkC e−jkz
0
I+ jLω
r
√ de Datos
Redes de √
Transmisión
−[email protected]
I(z) =
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
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Desarrollo (V)
Z0 =
C0 e−jkz
jkC0 e−jkz
jLω
r
√ √
Lω
Lω
L L
L
= √
=
=√ √ =
k
C
ω LC
L C
Z0 se denomina impedancia característica de la línea
NO depende de la longitud de la línea, sino de su
construcción
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Coeficiente de reflexión
∀t < Tp se cumple que V− (z) = 0, ya que inicialmente en
el extremo de carga no hay ninguna fuente, y por tanto no
se genera ninguna onda
En t = Tp , la onda directa llega a (z = l) y se genera una
onda reflejada que se va a propagar de z = l a z = 0
Reflexión producida en extremo de carga: coeficiente de
reflexión Γ
onda reflejada
V−
Γ=
=
(27)
onda incidente
V+
ΓV =
Zl − Z0
V− (z)
=
→ V− (z) = Γ V+ (z)
Zl + Z0
V+ (z)
(28)
Z0 − Zl
I− (z)
=
→ I− (z) = Γ I+ (z)
Z0 + Zl
I+ (z)
(29)
ΓI =
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Resultado
Linea adaptada (no resonante) implica que
(z)
−Z0
= VV−+ (z)
ΓV = ZZ00 +Z
= 0 ⇒ V− (z) = 0
0
La línea de transmisión transmite desde el extremo
generador al de carga sin que se produzca ninguna
reflexión de la onda directa
Este es el objetivo perseguido en una línea de transmisión
Si Γ 6= 0 cuando la onda incidente o directa llega al
extremo de carga se produce una onda reflejada no nula.
Esa señal es ruido.
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Líneas adaptadas: ZL = Z0
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Línea abierta en el extremo de carga (Zl = ∞)
Si
ZL = ∞ →
ΓV =
∞ − Z0
' +1 → V− = V+
∞ + Z0
(30)
Por tanto,
v (z = l, t = Tp ) = V+ + V− = 2V+
y V− comienza a desplazarse hacia z = 0
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Línea abierta (II) (Zl = ∞)
Cuando la onda indirecta llega a z = 0
v (z = 0, t = 2Tp ) = V+z=0 + V−z=0 + VGEN
(32)
donde
V+z=0 es la V− calculada en la ecuación 31
V−z=0 se calcula a partir del coeficiente de reflexión en el
extremo generador:
V−
−Z0
ΓVz=0 = ZZGEN
= V+ z=0
GEN +Z0
z=0
Si V−z=0 6= 0 entonces hay que calcular v (z = l, 3t = Tp )
dela misma forma que se calcula v (z = l, t = Tp ).
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Líneas adaptadas: ZL = Z0
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Ejemplo Línea abierta: (Zl = ∞, VGEN = CTE.),
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Ejemplo línea cortocircuitada: (Zl = 0, VGEN = CTE.),
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Apéndice
Lecturas recomendadas
Bibliografía I
J. Dunlop & D. G. Smith “Telecommunications Engineering”
, Ed. Chapman and Hall, 2nd. Ed., 1994..
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