caracterización de señales de precipitación mediante

CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES DE PRECIPITACIÓN
MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y
TRANSFORMADA WAVELET
ANA MARÍA MOROS VIVAS
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
MAESTRÍA EN HIDROSISTEMAS
Bogotá, 2010
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al
título de Magíster en Hidrosistemas
Asesor
JORGE ALBERTO VALERO FANDIÑO.
Ingeniero Civil
Bogotá, 2010
Ana María Moros Vivas
2
REGLAMENTO DE LA
PONTIFICIA UNIVERSIDAD
JAVERIANA.
Artículo 23. "La Universidad no se hace
responsable por los conceptos emitidos
por sus alumnos en sus trabajos de tesis.
Sólo velará porque no se publique nada
contrario al dogma y a la moral católica
y por que las tesis no contengan ataques
personales contra persona alguna, antes
bien se vea en ellas el anhelo de buscar
la verdad y la justicia".
Resolución No 13 de julio de 1946.
Ana María Moros Vivas
3
El proyecto de grado titulado:
“CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES
DE PRECIPITACIÓN MEDIANTE LA
TRANSFORMADA
DE
FOURIER
Y TRANSFORMADA
WAVELET”
presentado por Ana María Moros Vivas,
en cumplimiento parcial de los requisitos
exigidos para optar al título de Magister
en Hidrosistemas, fue aprobado el día
____2____ del mes de __Julio__ de
__2.010_ _.
_______________
__
MSc. Ing. Jorge Alberto Valero Fandiño
DIRECTOR
_______________________
PhD. MSc. Ing. Mario Díaz-Granados
JURADO
_______________________
PhD. MSc. Ing. Nelson Obregón Neira
JURADO
Bogotá D.C., de Julio de 2010
Ana María Moros Vivas
4
"Vivimos bajo una cadena de pensamientos que selecciona y aísla un único aspecto de la
realidad".
Matthieu Ricard.
Ana María Moros Vivas
5
Agradecimientos
A Dios, pues es a quién todo lo debo.
A mi madre, Martha Vivas y mi mami, Rosalis Mosquera por haber creído en mí, por tener
siempre las palabas de cariño, compresión y amor para darme aliento.
Al Ingeniero Jorge Valero, por la colaboración prestada como director y por las grandes dosis de
inspiración inyectadas durante la realización del Trabajo de Grado.
Al Ingeniero Nelson Obregón, por cada palabra de apoyo, confianza y amistad durante todos mis
estudios de maestría.
Liliana, Hillary, Martha, Franghy y compañeros del Instituto Geofísico, que siempre me
apoyaron y favorecieron para cumplir esta meta en mi vida.
A todos los profesores que contribuyeron en mi formación tanto profesional como humana.
Ana María Moros Vivas
6
CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN...............................................................................................................................15
2. OBJETIVOS ........................................................................................................................................18
2.1 OBJETIVO GENERAL ..........................................................................................................................18
2.2 OBJETIVO ESPECIFICO ......................................................................................................................18
3. ANTECEDENTES ..............................................................................................................................19
4. CARACTERIZACIÓN ESTADÍSTICA DE UNA SERIE DE TIEMPO ......................................22
4.1 DESCRIPCIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS ............................................................................................22
4.1.1 HISTOGRAMA ...................................................................................................................................22
4.1.2 DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES .......................................................................................................23
4.2 DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE LOS DATOS1 ........................................................................................24
4.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ..................................................................................................25
4.2.1.1 MEDIA ...........................................................................................................................................25
4.2.1.2 MEDIANA .......................................................................................................................................25
4.2.1.3 MODA ............................................................................................................................................25
4.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN .................................................................................................................26
4.2.2.1 RANGO ...........................................................................................................................................26
4.2.2.2 VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR ..........................................................................................26
4.2.2.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN MUESTRAL.......................................................................................26
4.2.2.4 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA..........................................................................................................27
4.2.2.5 COEFICIENTE DE APUNTAMIENTO .................................................................................................27
4.2.3 DESCRIPCIÓN DE LA MEMORIA DE PROCESO ....................................................................................28
4.2.3.1 FUNCIÓN DE AUTO-CORRELACIÓN LINEAL ...................................................................................28
4.2.3.2 EXPONENTE DE HURST ..................................................................................................................31
4.3 INFORMACIÓN A ANALIZAR...............................................................................................................37
4.3.1 ANÁLISIS DE LA SEÑAL “SUMA DE COSENOS” ................................................................................38
4.3.2 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA .............................................40
4.3.3 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA EN LA TORMENTA DE BOSTON ..............................................46
5. ANÁLISIS DE FOURIER ..................................................................................................................53
5.1 “TRANSFORMADA: LA OTRA REALIDAD”.........................................................................................53
5.1.1 REPRESENTACIÓN DE UNA SERIE DE TIEMPO MEDIANTE LA SUMA DE ARMÓNICOS .........................54
5.1.1.1 CARACTERIZACIÓN MATEMÁTICA DE UN ARMÓNICO (F) ..............................................................55
 CALCULO
Y
...........................................................................................................................56
 CÁLCULO DE
Y
A PARTIR DE LA SERIE DE TIEMPO ................................................................57
5.1.1.2 PERIODOGRAMA ............................................................................................................................58
5.1.1.3 TRANSFORMADA DE FOURIER DIRECTA DISCRETA ......................................................................58
5.1.1.4 TRANSFORMADA DE FOURIER INVERSA DISCRETA ......................................................................59
5.1.2 REPRESENTACIÓN DE UNA IMAGEN MEDIANTE ARMÓNICOS............................................................60
5.1.2.1 “IMAGEN: SEÑAL BIDIMENSIONAL” ..............................................................................................61
5.1.2.2 TRANSFORMADA DE FOURIER DIRECTA DISCRETA BIDIMENSIONAL ...........................................64
Ana María Moros Vivas
7
5.1.2.3 FILTRADO DE IMÁGENES ...............................................................................................................67
5.2 IMPLEMENTACIÓN DEL ANÁLISIS DE FOURIER ................................................................................70
5.2.1 SEÑALES UNIDIMENSIONALES .........................................................................................................70
5.2.1.1 “SUMA DE COSENOS” ...................................................................................................................70
5.2.1.2 SEÑAL DE LA ESTACIÓN CAMAVIEJA ............................................................................................71
5.2.1.3 SEÑAL DE LA TORMENTA DE BOSTON...........................................................................................73
5.2.2 SEÑALES BIDIMENSIONALES ............................................................................................................75
5.2.2.1 IMAGEN DE CONTROL: “CARTÓN DE HUEVOS” .............................................................................75
5.2.2.2 IMAGEN DE TORMENTA CAPITALINA ............................................................................................77
6. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO ...........................................................82
6.1 TRANSFORMADA DE FOURIER A TRAVÉS DE UNA VENTANA FINITA ...............................................82
6.1.1 FUNCIÓN “VENTANA MÓVIL” ..........................................................................................................84
6.2 IMPLEMENTACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO ..............................87
6.2.1 ANÁLISIS DE LA SEÑAL “SUMA DE COSENOS” .................................................................................87
6.2.2 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA .............................................89
6.2.3 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA EN LA TORMENTA DE BOSTON ..............................................92
7. ANÁLISIS DE WAVELET ................................................................................................................97
7.1 LA FORMA Y LOS DETALLES ..............................................................................................................97
7.1.1 ¿QUÉ ES UNA “WAVELET”? ..............................................................................................................98
7.1.1.1 HISTORIA Y CRONOLOGÍA DE LA TRANSFORMADA WAVELET .....................................................98
7.1.1.2 APLICACIONES15, .........................................................................................................................100
7.1.1.3 VENTAJAS DE LAS “WAVELET” SOBRE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y LA TRANSFORMADA
DE TIEMPO CORTO .....................................................................................................................................101
7.1.1.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES WAVELET ..............................................................................101
7.1.2 PROBLEMA DIRECTO E INVERSO EN 1D ..........................................................................................102
7.1.2.1 MARCO CONTINUO19 ...................................................................................................................102
7.1.2.2 MARCO DISCRETO .......................................................................................................................106
7.1.2.3 METODOLOGÍA DE CÁLCULO DEL ESCALOGRAMA .....................................................................110
7.1.2.4 TIPOS DE FUNCIONES WAVELET Y FUNCIONES DE ESCALAMIENTO ....................................113
7.1.3 PROBLEMA DIRECTO E INVERSO EN 2D ..........................................................................................118
7.1.3.1 MARCO DISCRETO, ......................................................................................................................118
7.1.3.2 METODOLOGÍA DE CÁLCULO .......................................................................................................119
7.2 IMPLEMENTACIÓN DE LA TRANSFORMADA WAVELET .................................................................122
7.2.1 SEÑALES UNIDIMENSIONALES .......................................................................................................123
7.2.1.1 ANÁLISIS DE LA SEÑAL “SUMA DE COSENOS”.............................................................................123
7.2.1.2 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA .........................................124
7.2.1.3 ANÁLISIS DE LA SEÑAL REGISTRADA DURANTE LA TORMENTA DE BOSTON ..............................127
7.2.2 SEÑALES BIDIMENSIONALES ..........................................................................................................130
7.2.2.1 ANÁLISIS DE LA IMAGEN DE CONTROL “CARTÓN DE HUEVOS” ..................................................130
7.2.2.2 ANÁLISIS DE LA IMAGEN DE “LENNA” ........................................................................................131
7.2.2.3 ANÁLISIS DE IMÁGENES DE TORMENTA CAPITALINA .................................................................133
8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..............................................................................141
8.1 DEL PROBLEMA CENTRAL: .............................................................................................................141
8.2 OPERACIONALES: ............................................................................................................................141
Ana María Moros Vivas
8
8.3 DEL CASO ESTUDIO: .........................................................................................................................142
8.4 USUARIOS FINALES DE LA INVESTIGACIÓN: ...................................................................................142
9. BIBLIOGRAFÍA ...............................................................................................................................144
10. ANEXOS ..........................................................................................................................................149
1 ANEXO. FUNCIONES ORTOGONALES Y ORTONORMALES ..............................................150
1.1 CONJUNTOS ORTOGONALES ............................................................................................................151
1.2 SERIES ORTOGONALES ....................................................................................................................156
1.3 SERIES DE FOURIER PARA FUNCIONES PARES E IMPARES .............................................................165
2 ANEXO. RUTINAS DE CÁLCULO SOPORTADAS POR MATLAB®.....................................169
2.1 ANÁLISIS EXPLORATORIO ...............................................................................................................169
2.2 CÁLCULO DEL EXPONENTE DE HURST ...........................................................................................170
2.3 CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA DE SEÑALES UNIDIMENSIONALES
MEDIANTE OPERACIONES MATRICIALES .................................................................................................172
2.4 CÁLCULO ANÁLISIS DE SEÑALES BIDIMENSIONALES CON TRANSFORMADA DE FOURIER EN
TIEMPO DISCRETO MEDIANTE OPERACIONES MATRICIALES .................................................................173
2.4.1 CÁLCULO TFDD: "TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA DIRECTA" .........................................176
2.4.2 CÁLCULO TFDI: "TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA INVERSA" ..........................................176
2.5 CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO DISCRETA MEDIANTE
OPERACIONES MATRICIALES....................................................................................................................177
2.6 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE APROXIMACIÓN CON EL ANÁLISIS DE WAVELET EN UNA
SEÑAL BIDIMENSIONAL .............................................................................................................................179
11. APÉNDICES ....................................................................................................................................181
1. APÉNDICE. SEÑALES BÁSICAS..................................................................................................182
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
FUNCIÓN UNITARIA .........................................................................................................................182
IMPULSO ...........................................................................................................................................182
FUNCIÓN SHAH .................................................................................................................................183
FUNCIONES HORQUILLA Y ANTIHORQUILLA ..............................................................................184
FUNCIÓN ESCALÓN ........................................................................................................................185
FUNCIÓN SIGNO .............................................................................................................................185
FUNCIÓN RECTANGULAR O FUNCIÓN “RECT” ............................................................................186
FUNCIÓN TRIANGULO ....................................................................................................................187
CAMPANA DE GAUSS O DISTRIBUCIÓN NORMAL.........................................................................188
FUNCIONES SINUSOIDALES............................................................................................................190
FUNCIÓN SINUSOIDAL AMORTIGUADA, FUNCIÓN SENO CARDINAL O FUNCIÓN “SINC” ............191
FUNCIÓN “ASINC”..........................................................................................................................192
EXPONENCIAL COMPLEJA.............................................................................................................192
2. APÉNDICE. NOCIONES DE CONVOLUCIÓN ..........................................................................193
Ana María Moros Vivas
9
LISTA DE TABLAS
Tabla 4-1. Serie Original Vs Serie rezagada una y dos unidades de tiempo ................................. 30
Tabla 4-2. Análisis Exploratorio numérico de la señal “Suma de Cosenos” ................................ 39
Tabla 4-3. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada por la Estación Camavieja, para
diferentes escalas de agregación temporal..................................................................................... 43
Tabla 4-4. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada durante la tormenta de Boston
para diferentes escalas de agregación temporal de 15 segundos,1 minuto, 10 minutos y 30
minutos .......................................................................................................................................... 49
Tabla 5-1. Valores por pixel para la Figura 5-7-d. ........................................................................ 64
Tabla 6-1. Relación entre el tamaño de la función ventana con la frecuencia y el tiempo de la
señal de análisis ............................................................................................................................. 87
Tabla 7-1. Cronología de la Transformada Wavelet15 ................................................................... 99
Tabla 7-2. Tamaño de las series unidimensionales analizadas con Transformada Wavelet ....... 123
Tabla 7-3. Tamaño de las señales bidimensionales analizadas con Transformada Wavelet ....... 130
Ana María Moros Vivas
10
LISTA DE FIGURAS
Figura 4-1. Diagrama de Caja y Bigotes ....................................................................................... 24
Figura 4-2. Gráficas de dispersión para algunos valores de rk. (a) y (b) rk = 0, correlación lineal
nula, (c) rk = -1, Correlación lineal negativa y (d) rk = 0,9877, Correlación lineal positiva. ......... 29
Figura 4-3. Relación Potencial ...................................................................................................... 33
Figura 4-4. Relación Potencial, bajo la apariencia de una línea recta ........................................... 35
Figura 4-5. División del conjunto de datos para realizar los cálculos de [log(n)] Vs
.... 36
Figura 4-6. Apariencia de la señal “Suma de Cosenos” junto con el histograma de frecuencia y el
diagrama de Caja y Bigotes. .......................................................................................................... 38
Figura 4-7. Función de Autocorrelación para la señal "Suma de Cosenos" ................................. 39
Figura 4-8. Representación del exponente de Hurst para la señal "Suma de Cosenos". (a) 10
puntos y (b) 20 puntos ................................................................................................................... 40
Figura 4-9 Serie de tiempo registrada por la estación Camavieja para diferentes escalas de
agregación temporal. (a) Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y (d) Anual ....................................... 42
Figura 4-10. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada por la estación
Camavieja con diferentes niveles de agregación temporal: (a) Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y
(d) Anual. ....................................................................................................................................... 44
Figura 4-11. Valor de exponente de Hurst para la estación Camavieja escala: (a) diaria con 10
puntos, (b) escala con 20 puntos, (c) semanal con 10 puntos, (d) semanal con 20 puntos, (e)
mensual con 10 puntos, (f) mensual con 20 puntos y (g) anual con 10 puntos ............................. 45
Figura 4-12. Serie de tiempo registrada para la tormenta de Boston para diferentes escalas de
agrupación temporal. Cada, (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10 minutos y (d) 30 minutos. .... 48
Figura 4-13. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada en la tormenta de
Boston, con diferentes escalas de agregación temporal: (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10
minutos y (d) 30 minutos. .............................................................................................................. 50
Figura 4-14. Valor de exponente de Hurst para la tormenta de Boston cada (a) 15 segundos con
10 puntos, (b) 15 segundos con 20 puntos, (c) cada minuto con 10 puntos, (d) cada minuto con 20
puntos, (e) cada 10 minutos con 10 puntos y (f) cada 10 minutos con 20 puntos ......................... 51
Figura 5-1. (a) Señal de suma de cosenos presenta4.3.1 y (b) Transformada de dicha señal bajo el
lente del análisis de Fourier (Periodograma) ................................................................................. 54
Figura 5-2. Representación de una serie de tiempo mediante armónicos ..................................... 54
Figura 5-3. Representación gráfica de la relación existente entre , ,
y
..................... 57
Figura 5-4. Reconstrucción de una señal con 10 armónicos ......................................................... 60
Figura 5-5. Escalas comparativas de frecuencia y longitud de onda del espectro visible ............. 62
Figura 5-6. Cubo de colores .......................................................................................................... 62
Figura 5-7. Fotografía de la modelo “Lenna”. (a) Imagen original 256*256(31), (b) 1er
Acercamiento 55*60, (c) 2do Acercamiento 28*30 y (d) 3er Acercamiento 17*19. ...................... 63
Figura 5-8. Función sinusoidal vertical bidimensional y su respectiva Transformada de Fourier. 66
Figura 5-9. Filtros. (a) Filtro Pasa alta y (b) Filtro pasa baja ........................................................ 68
Figura 5-10. Reconstrucción de la imagen de “Lenna” con diferente cantidad de armónicos. (a)
Imagen de entrada de “Lenna”, (b) Imagen reconstruida con 3.290 armónicos, (c) Imagen
reconstruida con 3.200 armónicos y (d) Imagen reconstruida con 2.300 armónicos .................. 69
Figura 5-11. Periodograma de la serie de tiempo “Suma de Cosenos” para diferente cantidad de
datos, con: (a) 400 datos, (b) 800 datos, (c) 1.000 datos y (d) 1.500 datos. .................................. 71
Figura 5-12. Periodograma de la serie de tiempo de la Estación Camavieja de las diferentes
agregaciones temporal. (a) Agregación semanal, (b) Acercamiento de agregación semanal (c)
Ana María Moros Vivas
11
Agregación mensual, (d) Acercamiento de agregación mensual, (e) Agregación Anual y (f)
Acercamiento de Agregación Anual. ............................................................................................ 72
Figura 5-13. Periodograma de la serie de tiempo registrada por la tormenta presentada en Boston
a diferente resolución temporal, cada: (a) 15 segundos, (b) Acercamiento de 15 segundos, (c) 1
minuto, (d) Acercamiento de 1 minuto, (e) 10 minutos, (f) Acercamiento de 10 minutos, (g) 15
minutos y (h) Acercamiento de 15 minutos................................................................................... 74
Figura 5-14. Imagen de control: “Cartón de Huevos”.................................................................. 75
Figura 5-15. Implementación de la Transformada de Fourier en la imagen de control “Cartón de
Huevos”. (a) Imagen de control en planta con el Periodograma, (b) Imagen reconstruida con 1
armónico y el Periodograma, (c) Imagen reconstruida con 3 armónicos y el Periodograma y (d)
Imagen reconstruida con 100 armónicos y el Periodograma. ........................................................ 77
Figura 5-16. Localización de la zona de estudio7710 .................................................................... 78
Figura 5-17. Zona de estudio y localización de estaciones pluviométricas ................................... 79
Figura 5-18. Implementación de la Transformada de Fourier en una imagen de la “Tormenta
Capitalina”. (a) Imagen original y su Periodograma, (b) Reconstrucción de la señal con 1
armónico y el Periodograma, (c) Reconstrucción de la señal con 20 armónicos y (d)
Reconstrucción de la señal con 800 armónicos más importantes. ................................................. 81
Figura 6-1. Desplazamiento de la función ventana en el dominio del tiempo de una señal.......... 85
Figura 6-2. Diferentes comportamientos de la función Ventana Gaussiana según el parámetro
.
(a)
, (b)
y (c)
............................................................................. 86
Figura 6-3. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la señal “Suma de
Cosenos” con la función ventana Gaussiana para el diferentes valores del parámetro “a”. (a)
Serie original, (b) a =1 e-2, ............................................................................................................ 88
Figura 6-4. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función
ventana Gaussiana variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación
Camavieja a escala temporal semanal. .......................................................................................... 90
Figura 6-5. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función
ventana Gaussiana variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación
Camavieja a escala mensual. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ............ 91
Figura 6-6. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función
ventana Gaussiana variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación
Camavieja a escala anual. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.................. 92
Figura 6-7. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana
Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston cada 15
segundos. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a = 1 e-4. ......................................... 93
Figura 6-8. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana
Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada
cada minuto. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. .................................... 94
Figura 6-9. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función
ventana Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston
agregada cada 10 minutos. (a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ............... 95
Figura 6-10. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función
ventana Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston
agregada cada 30 minutos. (a) Serie original, (b) a = 1e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4. ............... 96
Figura 7-1. Onda tipo “wavelet” ................................................................................................... 98
Figura 7-2. Escalograma .............................................................................................................. 105
Figura 7-3. Descomposición de escalas de una señal .................................................................. 108
Figura 7-4. Proceso de descomposición de una señal con Análisis de Multiresolución. ............ 110
Ana María Moros Vivas
12
Figura 7-5. Calculo de la Transformada Wavelet de tiempo Discreto mediante un banco de filtros
digitales31 ..................................................................................................................................... 112
Figura 7-6. Banco de filtros para cálculo de la Transformada Wavelet Inversa de tiempo
Discreto31 ..................................................................................................................................... 113
Figura 7-7. Función wavelet y Función de escalamiento de Haar............................................... 114
Figura 7-8. Función wavelet
“Mexican Hat” ......................................................................... 115
Figura 7-9. Familias de las funciones wavelet y de escalamiento de Daubechies. (a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e)
, (f)
, (g)
y (h)
.
..................................................................................................................................................... 116
Figura 7-10. Funciones Wavelet y Escalamiento de Shanoon .................................................... 117
Figura 7-11. Proceso para calcular la Transformada Wavelet Discreta en dos dimensiones31 ... 120
Figura 7-12. Esquema de subbandas en Trasformada Wavelet Discreta para una imagen14 ...... 121
Figura 7-13. Diagrama de reconstrucción en Transformada Wavelet Discreta de una señal
bidimensional31 ............................................................................................................................ 122
Figura 7-14. Escalograma de la señal “suma de cosenos”. ......................................................... 124
Figura 7-15. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada
en la estación Camavieja ............................................................................................................. 125
Figura 7-16. Escalograma de la señal registrada por la estación Camavieja ............................... 126
Figura 7-17. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción
de la señal registrada por la estación Camavieja ......................................................................... 127
Figura 7-18. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada
durante la tormenta de Boston. .................................................................................................... 128
Figura 7-19. Escalograma de la señal registrada durante la tormenta de Boston ........................ 129
Figura 7-20. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción
de la señal registra durante la tormenta de Boston ...................................................................... 129
Figura 7-21. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la señal
bidimensional de control “cartón de huevos”. (a) Un primer nivel y (b) Segundo nivel ............ 131
Figura 7-22. Análisis de Wavelet para la señal bidimensional de “Lenna” ................................ 132
Figura 7-23. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la imagen de
“Lenna”........................................................................................................................................ 133
Figura 7-24. Campo de Precipitación a las 2:30 pm del día 12 de Abril de 1.995 ...................... 134
Figura 7-25. Desenrollado de los coeficientes de aproximación para su posterior organización
tipo vector columna ..................................................................................................................... 135
Figura 7-26. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta
Capitalina ..................................................................................................................................... 136
Figura 7-27. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta
Capitalina con diferentes series para un espacio constante ......................................................... 137
Figura 7-28. Variación temporal del coeficiente de aproximación para diferentes series ......... 138
Figura 7-29. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta
Capitalina ..................................................................................................................................... 139
Figura 7-30. Variación temporal del coeficiente de aproximación para una zona determina de
Bogotá.......................................................................................................................................... 140
Figura 1-1. Representación de la función del Ejemplo 3 ............................................................ 161
Figura 1-2. Representación de la función del ejemplo 3 mediante una serie de Fourier. Función
desarrollada a partir de una sumatoria con: a) Un término, b) dos términos, c) tres términos, d)
cinco términos, ............................................................................................................................ 164
Ana María Moros Vivas
13
Figura 1-3. Representación de la función del ejemplo 4 mediante una serie de Fourier. Función
desarrollada a partir de una sumatoria con: a) Un término, b) cinco términos, c) cincuenta
términos y d) cien términos. ........................................................................................................ 168
Figura 1-1. Función Uno en el intervalo de
............................................................ 182
Figura 1-2. El impulso ................................................................................................................. 183
Figura 1-3. Función Shah ........................................................................................................... 184
Figura 1-4. La función Horquilla................................................................................................. 184
Figura 1-5. Función Anti-Horquilla ............................................................................................ 185
Figura 1-6. La función Escalón ................................................................................................... 185
Figura 1-7. La función signo ....................................................................................................... 186
Figura 1-8. La función rect .......................................................................................................... 187
Figura 1-9. La función Triángulo ................................................................................................ 188
Figura 1-10. La función Gauss .................................................................................................... 189
Figura 1-11. Funciones Sinusoidales ........................................................................................... 190
Figura 1-12. La función de interpolación sinc ............................................................................. 191
Figura 2-1. Secuencia de impulsos .............................................................................................. 194
Figura 2-2. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos ........... 195
Figura 2-3. Suma ponderada de secuencias de impulsos unitarios desplazados ......................... 196
Figura 2-4. Operación de Convolución en sistemas de tiempo discreto ..................................... 199
Ana María Moros Vivas
14
1. INTRODUCCIÓN
Los hombres en su afán por comprender el mundo tratan de interpretar los signos que algunos
sistemas de la naturaleza emiten en su continuo trascurrir, y que son registrados a lo largo del
tiempo en lo que se conoce como “serie de tiempo” o “señal”.
El contexto del proceso de entender el comportamiento de estas señales, es lo que ha llevado a
científicos, matemáticos e Ingenieros a desarrollar herramientas para tal fin. La información que
definen las señales son valores definidos paramétricamente que no permiten visualizar toda la
información que contienen, la cual puede ser utilizada y aprovechada con beneficios prácticos.
Por lo anterior, es necesario procesar la señal con herramientas matemáticas para llegar a una
representación más efectiva que permite encontrar información oculta, que puede ser incluso la
más importante o representativa de la señal. Estas herramientas matemáticas se denominan
Transformadas.
En los últimos treinta años las transformadas se han convertido en una herramienta indispensable
en las diferentes áreas de Ingeniería. Es importante destacar que la cantidad de conceptos
desarrollados durante casi dos siglos, son aportes por de diferentes científicos que perseguían
resolver problemas técnicos de diversas disciplinas, se establecen actualmente como la
Transformada Wavelet.
Con respecto a lo antes mencionado, la Transformada Wavelet nace del análisis de Fourier en
. Un siglo después matemáticos, físicos e ingenieros como Alfred Haar en 1909, John
Littlewood y R.E.A.C. Paley en
, Dennis Gabor en
, Jean Morlet y Alex Grossmann
en
, en
Yves Meyer, Mallat en
y
Ingrid Daubechies fueron presentando
sus aportes para superar las limitaciones que se tenía en el análisis de señales con la
Transformada de Fourier y así llegar a lo que hoy en día se conoce como la teoría de “Wavelet”
Uno de las principales ventajas de utilizar las “wavelets” es la compresión de datos. Esta
herramienta fue utilizada en
por el FBI para comprimir la información que tienen de
huellas dactilares. En
la Organización Internacional de Estándares acepto el uso un nuevo
estándar de compresión de imágenes digitales denominado JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza
“wavelets” para comprimir archivos de imágenes sin pérdidas apreciables en la calidad de la
imagen.
En la actualidad existe un sin número de aplicaciones de la transformada “wavelet” en diferentes
disciplinas a nivel internacional, que ha ido reemplazando en el transcurrir del tiempo a la
transformada de Fourier. Disciplinas conocidas como dinámica molecular, astrofísica, sísmica,
óptica, mecánica de turbulencia, mecánica cuántica, procesamiento de imágenes, análisis de
señales medicas, como electrocardiogramas, análisis de proteínas y ADN, climatología,
topografía y geográfica, reconocimiento de voz y análisis multifractal.
En relación al área climatológica, específicamente en el caso del análisis de señales de
Precipitación, se resaltan dos trabajos. El primero presentado por Kumar y Foufola en
titulado “A new look at rainfall fluctuations and Scaling Properties of Spatial Rainfall Using
Orthogonal Wavelets” publicado en la revista American Meterological Society, donde se
presentan el análisis de “wavelet” para campos de precipitación monitoreados por un radar
Ana María Moros Vivas
15
durante la ocurrencia de una tormenta el 27 de mayo de
para la identificación de auto similitud en el marco de variación de las escalas. Luego el artículo titulado “Wavelet and Neuro –
Fuzzy conjunction model for precipitation forecasting” publicado en el
en la revista
Journal of Hydrology y presentado por Turgay y Özgür, donde se muestra la implementación de
un modelo basado en la conjunción de dos herramientas para el pronóstico de la precipitación.
A nivel nacional se destaca de los autores Arbeláez, Bacchi, Ranzi y Arango en el
el
artículo titulado “Aplicación de la Técnica “Wavelet” a un campo de precipitación. Identificación
de Autosemejanza”, donde utilizando el análisis de múltiple escalamiento propuesto por Mallat,
se verificó para dos eventos de tormentas localizados en el norte de Italia
, que el
campo de precipitación presenta características de auto - similaridad simple en un rango de
escalas de a
.
Sin embargo los resultados obtenidos a la fecha pueden considerase satisfactorios en el contexto
internacional. Se recalca la necesidad de hacer la implementación de las Transformadas a señales
registradas de los diferentes sistemas de la naturaleza, en especial a las señales de Precipitación
en Colombia.
Esta razón, en adición de las características propias de la maestría en Hidrosistemas, maestría de
investigación de la Pontificia Universidad Javeriana, y la limitada existencia de un documento en
un lenguaje amigable para diferentes profesionales de las Geociencias ha impulsado el desarrollo
de un trabajo didáctico de los conceptos de la Transformada de Fourier, Transformada de Fourier
de tiempo Corto y Transformada Wavelet.
Esta investigación busca ofrecer a ingenieros e investigares de las ciencias de la tierra,
herramientas conceptuales y computacionales que faciliten la interpretación de señales bajo los
lentes de las Transformadas.
Por consiguiente el objetivo fundamental de este texto se da en desarrollar una herramienta útil y
practica que facilite el análisis de series de tiempo y campo de precipitación para profesionales de
la Geociencia que realizan procesamiento de series de datos, con dominio en el tiempo o el
espacio, buscando así, un desarrollo más fácil y comprensible.
Para lograr lo anterior, el presente documento está estructurado con 11 capítulos, incluyendo la
introducción actual y los objetivos del presente documento. En los apartes siguientes se anticipa
brevemente el contenido registrado en cada uno de ellos donde se halla estructurado con la
exposición de las consideraciones teóricas necesarias para comprender la filosofía de cada técnica
y continúan con la implementación de dichos conceptos en dos tipos de señales: señales de
control y señales de datos observables.
El capítulo cuatro (4) contiene una caracterización de la serie de tiempo desde el punto de vista
estadístico.
El capítulo cinco (5) se concentra en el análisis de Fourier dejando de ver la señal en términos de
“Variable vs Tiempo”, para pasar a verla en términos de “Potencia vs frecuencia”. Respecto a
estos es necesario comentar que la implementación de dichos conceptos se extiende desde
espacios unidimensionales hacia espacios bidimensionales, razón por la cual en el capítulo 5 se
presentan algunas nociones acerca del tratamiento digital de imágenes o lo que es lo mismo:
señales en dos dimensiones.
Ana María Moros Vivas
16
Posteriormente, se introduce al lector aplicación de los procedimientos del análisis de Fourier a
intervalos cortos de tiempo sentando las bases del Análisis de Fourier de Tiempo Corto, con el fin
de poder localizar en el tiempo las frecuencias de una señal (capítulo 6). Seguidamente se
extienden las características del Análisis de Fourier de Tiempo Corto al utilizar ventanas de
tamaño variable que permiten analizar series no estacionarias a diversas escalas de análisis,
ofreciendo un panorama más amplio y profundo en el campo del procesamiento y análisis de
series de datos (capítulo 7).
El capitulo 8 contiene la principales conclusiones la cual se llego al final del desarrollo de
presente documento y además se plantean algunas recomendaciones a seguir en el desarrollo de
futuras investigaciones a partir del presente estudio.
Los capítulos nueve (9), diez (10) y once (0) contienen respectivamente la bibliografía, anexos
relacionados con: Funciones Ortogonales y Rutinas programadas soportadas por Matlab, y
apéndices se halla información relaciona son Señales Básicas y Convolución.
Ana María Moros Vivas
17
2. OBJETIVOS
2.1 Objetivo General
Desarrollar herramientas que faciliten el análisis de series de tiempo y campos de precipitación.
2.2 Objetivo Especifico



Proveer un documento didáctico para el estudio de la fundamentación matemática de la
transformada de Fourier y la transformada Wavelet, de modo que se facilite su
entendimiento a ingenieros y profesionales de las ciencias de la tierra.
Desarrollar rutinas computacionales que faciliten la implementación y el análisis de la
transformada de Fourier y la transformada Wavelet en series de tiempo y campos de
precipitación.
Implementar los conceptos relacionados con la transformada de Fourier y la transformada
Wavelet en el análisis de registros observables de precipitación de la ciudad de Bogotá.
Ana María Moros Vivas
18
3. ANTECEDENTES
Fourier como objeto de investigación organizada tienen más que los “Wavelets” que tiene menos
de dos décadas. Los “wavelet” se derivan de una cantidad de conceptos desarrollados durante un
período de casi dos siglos, siendo repetidamente redescubiertas por científicos que perseguían
resolver problemas técnicos de diversas disciplinas.
En tal sentido el análisis de Fourier. Jean Baptiste Joseph Fourier en
, plantea que
“cualquier forma de onda repetitiva, se puede expresar como una suma infinita de ondas
sinusoidales y cosinusoidales de diversas frecuencias”. La transformada de Fourier fue un éxito
durante el siglo XIX resolviendo muchos problemas de la física y de la ingeniería. Esa
importancia llevó a científicos e ingenieros a pensar que esta transformada era la “única” capaz
analizar fenómenos de todo tipo. Por lo tanto, esta universalidad obligó a una exploración más
detallada de la metodología. Como resultado, durante el siglo XX, matemáticos, físicos e
ingenieros encontraron un inconveniente de dicha transformación: se tenía problemas para ubicar
en el tiempo las frecuencias predominantes cuando la señal de análisis es no estacionaria.
El principio profundo a este problema se puede ilustrar mediante lo que se conoce como el
principio de la indeterminación de Heisenberg. En
, el físico Werner Heisenberg afirmó que
la posición y la velocidad de un objeto no se pueden medir exactamente al mismo tiempo, ni
siquiera en teoría. En términos de procesamiento de señales, esto significa que es imposible
conocer de forma simultánea la frecuencia exacta y el momento exacto en que ocurre esta
frecuencia en una señal. Para poder conocer la frecuencia, la señal se debe dilatar en el tiempo, y
viceversa.
La consecuencia del problema se puede ilustrar mediante lo que se conoce como el principio de
la indeterminación de Heisenberg. En
, el físico Werner Heisenberg afirmó que la posición
y la velocidad de un objeto no se pueden medir exactamente al mismo tiempo, ni siquiera en
teoría. En términos de procesamiento de señales, esto significa que es imposible conocer de
forma simultánea la frecuencia exacta y el momento exacto en que ocurre esta frecuencia en una
señal. Para poder conocer la frecuencia, la señal se debe dilatar en el tiempo, y viceversa.
Por consiguiente en el transcurso del siglo XX, científicos de distintos campos intentaron superar
estas limitaciones, para permitir que las representaciones de los datos se adaptaran a la naturaleza
de la información. Aunque cada científico intentaba resolver los problemas específicos de su
respectivo campo, todos comenzaron a llegar a la misma conclusión que las culpables eran las
transformaciones de Fourier. También llegaron en esencia a la misma solución, quizás al dividir
una señal en componentes que no fueran ondas sinusoidales puras sería posible condensar la
información tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Esta es la idea que
finalmente se denominaría “wavelet”.
El primer colaborador en la carrera de las “wavelet” fue el matemático Alfred Haar, en 1909
introdujo las funciones que actualmente se denominan "wavelets de Haar", que consisten en un
impulso positivo seguido de un breve impulso negativo; después en 1930 los matemáticos
ingleses John Littlewood y R.E.A.C. Paley demostraron que la información de onda, se podía
recuperar mediante la agrupación de los términos de sus series de Fourier en "octavas".
Ana María Moros Vivas
19
Seguidamente en 1946, Dennis Gabor, un físico británico-húngaro, presentó la transformación de
Gabor, presentada en este documento como la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, la cual
introduce el concepto de ventana donde se considera la señal estacionaria para hacer
Transformada de Fourier.
Más adelante en las décadas de
y
, las comunidades de procesamiento de señales y
procesamiento de imágenes presentaron sus propias versiones del análisis de “wavelets” con
nombres tales como "codificación de subbandas", "filtros de duplicación de cuadratura" y
"algoritmo piramidal".
Unos años después, Jean Morlet no pensaba iniciar una revolución científica. Solo intentaba
ofrecer a los geólogos una forma mejor de buscar petróleo. Normalmente los geólogos localizan
los depósitos subterráneos de petróleo mediante ruidos intensos. Las señales viajan a través de
distintos materiales con velocidades distintas, los geólogos podían deducir el tipo de material que
se encontraba bajo la superficie enviando señales sísmicas a la tierra y midiendo la rapidez con la
que rebotaban. Si las señales se propagaban especialmente rápido a través de una capa, podía
tratarse de una bóveda salina que podía retener una capa de petróleo bajo ella.
Morlet, un ingeniero de Elf-Aquitanie, desarrolló su propia forma de analizar las señales sísmicas
para crear componentes que estuvieran localizados en el espacio, a los que denominó "wavelets
de forma constante". Posteriormente, se conocieron como "wavelets de Morlet".
Independientemente de que los componentes se dilaten, compriman o desplacen en el tiempo,
mantienen la misma forma. Morlet consiguió separar una señal en las wavelets que la componían
y también volver a unirlas para formar la señal original. Él, comenzó a preguntar a otros
científicos si el método era matemáticamente coherente.
Morlet obtuvo respuesta de Alex Grossmann, un físico del Centre de Physique Théorique de
Marsella. Grossmann trabajó con Morlet durante un año para confirmar que las señales se podían
reconstruir a partir de la descomposición de las wavelets. Lo cual, las transformaciones de
wavelets resultaron funcionar mucho mejor que las transformaciones de Fourier, porque eran
mucho menos susceptibles a pequeños errores de cómputo. Un error o un truncamiento
indeseados de los coeficientes de Fourier pueden transformar una señal suave en una saltarina o
viceversa; las wavelets evitan tales consecuencias no deseables. Seguidamente en 1984
publicaron conjuntamente el artículo donde se introduce por primera vez el término "wavelet" en
el lenguaje matemático, consiguiendo que la teoría de los wavelet adoptara finalmente su carácter
propio.
Posteriormente en 1985 Yves Meyer, descubre las primeras “wavelets” ortogonales suaves.
Después en 1986 Mallat demuestra que todo lo que se había presentado antes de 1982 estaba
relacionado con algoritmos basados de “wavelet”.
Seguidamente en 1987 Ingrid Daubechies construye las primeras “wavelets” ortogonales suaves
con una base sólida, lo cual convierten la teoría en una herramienta práctica. David Donoho e
Iain Johnstone en 1990 utilizan las “wavelets” para "eliminar el ruido" de las imágenes,
haciéndolas aún más nítidas que los originales.
Uno de las principales ventajas de utilizar las “wavelet” es la compresión de datos, lo cual esta
herramienta fue utilizada en 1992 por el FBI para comprimir la base de datos de 30 millones de
huellas dactilares.
Ana María Moros Vivas
20
Por otra parte en 1995, Pixar Studios presenta la película Toy Story, la primera película de
dibujos animados realizadas completamente por computadora. En la secuencia de Toy Story 2,
algunas formas se realizan mediante superficies de subdivisión, una técnica relacionada
matemáticamente con las “wavelets” y posteriormente en 1999 la Organización Internacional de
Estándares acepto el uso un nuevo estándar de compresión de imágenes digitales denominado
JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza “wavelets” para comprimir archivos de imágenes en una
proporción de 1:200, sin pérdidas apreciables en la calidad de la imagen.
En la actualidad la transformada “wavelet” ha sido adoptada como herramienta para un número
de aplicaciones de la naturaleza diversa, reemplazando a menudo a la transformada de Fourier.
Aéreas como dinámica molecular, astrofísica, sísmica, óptica, mecánica de turbulencia, mecánica
cuántica, procesamiento de imágenes, análisis de señales medicas, como electrocardiogramas,
análisis de proteínas y ADN, climatología, topografía y geográfica, reconocimiento de voz y
análisis multifractal.
A nivel internacional y nacional se han publicado gran cantidad de documentos entre los que se
destacaron por su interés en temas atmosféricos:
 Kumar, P.; and Foufoula, E.
. A new look at rainfall fluctuations and Scaling
Properties of Spatial Rainfall Using Orthogonal Wavelets.
 Hoyos, C.; y Mesa, O.
. Algunas aplicaciones de la transformada de Fourier y la
descomposición de onditas a señales Hidrológicas y Sísmicas.
 Arbeláez, C.; Bacchi, B., Ranzi R. y Arango H.
. Aplicación de la Técnica
“Wavelet” a un campo de precipitación. Identificación de Autosemejanza.
 Estupiñan, J.; Flórez, C.; y Obregón, N.
transformada wavelet para ingenieros.
. Manual conceptual y aplicativo de la
 Domínguez, M.; Mendez, Jr.; y Mendez, A.
atmospheric sciences.
. On wavelet techiques in
 Massei, N.; Dupont, J.; Mahler, B.; Laignel, B.; Fournier, M.; Valdes, D.; y Ogier, S.
. Investigating transport properties and turbidity dynamics of a karst aquifer using
correlation, spectral, and wavelet analyses.
 Turgay, P.; y Özgür, K.
precipitation forecasting.
Ana María Moros Vivas
. Wavelet and neuro – fuzzy conjunction model for
21
4. CARACTERIZACIÓN ESTADÍSTICA DE UNA SERIE
DE TIEMPO
Una etapa necesaria en toda investigación es el análisis exploratorio de la información. Los
resultados de este análisis permiten visualizar los datos originales de otra manera, gracias a
procesos de organización y reducción. En este capítulo se presenta al lector una breve explicación
del conjunto de datos utilizados en el desarrollo de este proyecto, así como sus representaciones
gráficas y numéricas empleadas.
Los métodos que se exponen a continuación son formas convenientes de reducir paquetes de
datos a formas más compresibles.
4.1 Descripción Gráfica de los datos1
El ver la información de manera gráfica ofrece al investigador numerosas ventajas, como ver
tendencias, dispersión, asimetría de los datos, etc., tal como lo dice el refrán popular: “una
imagen vale más que mil palabras”.
A continuación se describe dos tipos de representaciones graficas el Histograma y el diagrama de
caja y bigotes.
4.1.1 Histograma
Representación gráfica de conjuntos de datos, elaborada con el fin de contemplar la distribución
de la información, donde le permite al investigador tener una visión inmediata de la amplitud de
los datos, los valores que más se repiten o de mayor frecuencia absoluta y el grado de dispersión
alrededor de valores centrales o típicos. Dicha gráfica se construye subdividiendo el conjunto de
datos en intervalos de igual extensión llamados clases, para los cuales se determina el número de
elementos integrantes (frecuencias). En el eje de las ordenacias se ubica las frecuencias y en el
eje de las abscisas se colocan las clases. Se traza un rectángulo sobre cada intervalo o
subconjunto, de manera que la altura del rectángulo sea proporcional a la fracción de
observaciones que caen en el intervalo.
Puede resultar útil adoptar ciertos criterios para elegir los intervalos, aún cuando estos criterios
sean un tanto arbitrarios. Un primer criterio tiene que ver con que los puntos de división del eje
de las abscisas no coincidan con ningún elemento del conjunto original, con el fin de evitar
ambigüedades, es decir que un dato no pertenece a las clases. Un segundo criterio se relaciona
con la amplitud de los intervalos y en consecuencia con el mínimo número de intervalos
necesarios para describir los datos. Para fijar de manera aproximada la amplitud del intervalo se
puede hacer uso de las siguientes consideraciones matemáticas:
1
WACKERLY, D., MENDENHALL, W. y SCHEAFFER, R. Estadística matemática con aplicaciones.
Sexta edición. THOMSOM. 2.002
BENJAMIN, J. R y ALLIN, C. Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. McGRAW – HILL. 1.981.
Ana María Moros Vivas
22

Ecuación 4-1

Ecuación 4-2

Ecuación 4-3
 Tomar entre y
grandes de datos.
intervalos, empleando un mayor número de intervalos para cantidades
Donde:
Cantidad de intervalos
El número datos
En todo caso es el investigador quien define en cuantos intervalos fragmentara el conjunto de
datos de modo que las fórmulas antes presentadas se constituyen únicamente como guías.
4.1.2 Diagrama de caja y bigotes2
Este diagrama, también conocido como box – whister, caja y punto o caja con patillas, ofrece
una representación creada a partir de siete números
, con el objeto de
que los datos del conjunto analizado no pierdan su distribución espacial.
Esta herramienta de análisis exploratorio permite estudiar la simetría de los datos y detectar los
valores atípicos en la información que se está analizando. El diagrama de cajas y bigotes divide
los datos en cuatro áreas de igual frecuencia, con los siguientes intervalos:




El diagrama de caja y bigotes consta de una caja central y dos segmentos horizontales (bigotes)
que parten del centro de cada lado de la caja como se puede visualizar en la Figura 4-1. La caja
central encierra el 50% de los datos. La línea vertical al interior de la caja representa la mediana o
50 percentil
. Si esta línea está en el centro de la caja, no hay asimetría en los datos. Los
lados verticales de la caja están situados en los cuartiles inferior (25 percentil ) y superior (75
2
LINAS, H., y ÁLVAREZ, C. Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Primera edición, 1
reimp. Barranquilla: ediciones Uninorte, 2.006.
Ana María Moros Vivas
23
percentil ) de los datos. Partiendo del centro de cada lado vertical de la caja se dibujan los
bigotes, uno hacia la izquierda y el otro hacia la derecha, teniendo en cuenta lo siguiente:
CAJA
Bigote Izquierda
a
b
Q1
Q2
Bigote Derecha
Q3
c
d
Figura 4-1. Diagrama de Caja y Bigotes

El bigote de la izquierda tiene un extremo en el primer cuartil
y el otro extremo en el
correspondiente valor de
en la Figura 4-1 y calculado mediante Ecuación 4-4.

El bigote de la derecha tiene un extremo en el tercer cuartil
y el extremo superior
correspondiente al valor de
en la Figura 4-1, calculado por la Ecuación 4-5.
Ecuación 4-4
Ecuación 4-5
Donde el valor
: Rango Intercuartilico, está definido por la siguiente expresión:
Ecuación 4-6
A los datos que se encuentran a la izquierda del bigote izquierdo y a la derecha del bigote
derecho, se les denomina valores atípicos moderados siempre cuando se halle entre
y
,
ver la Figura 4-1. Donde
y
se calculan mediante las siguientes ecuaciones:
Ecuación 4-7
Ecuación 4-8
Los datos ubicados a la izquierda del valor
valores atípicos extremos.
y a la derecha después del valor
se le llaman
4.2 Descripción Numérica de los datos1
A menudo es necesario resumir el conjunto de datos de análisis en indicadores con significado
conocido, tales como las medidas de tendencia central, la medida de dispersión de los datos y la
memoria del proceso. El lector interesado puede remitirse a libros básicos de de estadística para
ampliar la información que se expone a continuación.
Ana María Moros Vivas
24
4.2.1 Medidas de tendencia central
En esta sección se definen algunas de las medidas numéricas más comunes para describir el
“centro” de los datos o los valores más “esperados”.
4.2.1.1 Media
Es la medida más popular de la tendencia central, también conocida como “promedio” o “valor
esperado”. La media de conjunto de datos sólo indica el centro de la distribución de los datos.
La media de una muestra de tamaño
se determina mediante la ecuación:
Ecuación 4-9
Donde:
Media muestral
Tamaño de la muestra
I-ésimo valor del conjunto de datos.
La media es solo un “indicador” de lo que pasa en el centro de los datos y de manera formal es el
primer momento alrededor del valor cero.
4.2.1.2 Mediana
Es el valor ubicado en la mitad de los datos una vez estos han sido ordenados. Adopta el valor del
elemento central si el número de elementos es impar o el promedio de los dos elementos centrales
cuando el número de datos es par.
4.2.1.3 Moda
La moda es el valor que más se repite del conjunto de datos. Posee dos ventajas: no requiere de
cálculos complejos para su determinación, solo de conteo, y se puede determinar tanto para datos
cualitativos como para datos cuantitativos.
Ana María Moros Vivas
25
4.2.2 Medidas de dispersión
Debido a que cada fenómeno tiene variaciones alrededor de su valor medio, el cálculo de las
medidas de dispersión, proporciona una serie de parámetros importantes para describir la
dispersión del conjunto de datos o el grado de separación entre los datos.
4.2.2.1 Rango
Extensión del conjunto de datos. Se calcula como la diferencia entre el mayor y menor valor de
los datos.
4.2.2.2 Varianza y Desviación Estándar
Concepto análogo al momento de inercia, puesto que se relaciona con la suma de los cuadrados
de las distancias existentes entre los datos y la media o centro de gravedad de los mismos.
La varianza de una muestra
se calcula como la suma de los cuadrados de las
diferencias entre los valores y su media, dividida entre para eliminar la dependencia del tamaño
de la muestra. Matemáticamente se puede calcular como:
Ecuación 4-10
Cuanto mayor sea la varianza del conjunto de mediciones, mayor será el grado de separación
entre los datos.
A la raíz cuadrada positiva de la varianza se denomina desviación estándar. Como se puede
observar en la Ecuación 4-11. Este valor tiene las mismas unidades de los datos originales. Entre
más pequeña sea la desviación estándar, los datos se concentrarán mas alrededor de la media
muestral y menos frecuentes serán los valores lejanos del centro de los datos.
Ecuación 4-11
4.2.2.3 Coeficiente de variación muestral
Coeficiente adimensional que expresa la magnitud de la dispersión de una variable aleatoria
respecto a la media, útil para comparar conjunto de datos cuando la escala de medición difiere de
manera apreciable entre éstos. Matemáticamente se expresa como:
Ana María Moros Vivas
26
Ecuación 4-12
Tal medida tiene un parecido con la definición del Exponente de Hurst explicado más adelante.
4.2.2.4 Coeficiente de asimetría
Otro rasgo que es importante analizar en un conjunto de datos es su simetría respecto a la media.
Al cuantificar la simetría, es necesario conservar información tanto del signo, como de la
distancia de cada dato a la media (centro de simetría). Este razonamiento implica que la
diferencia entre cada valor y la media debe estar afectada por una potencia impar, que para el
caso toma el valor de tres.
Si la varianza es el segundo momento respecto de la media, el tercer momento respecto a la
media se define como el coeficiente de asimetría de la muestra o
, definido mediante la
Ecuación 4-13.
Ecuación 4-13
Coeficientes positivos indicarán distribuciones con sesgo a la derecha (es decir, con colas más
largas a la derecha) y valores negativos indicarán un sesgo a la izquierda. En el caso en que el
coeficiente valga cero la distribución es simétrica alrededor de la media.
4.2.2.5 Coeficiente de apuntamiento
El cuarto momento central es una medida de que tan puntiaguda es la distribución de los datos.
Recibe el nombre de coeficiente de apuntamiento o kurtosis
. Indica si los datos se
concentran demasiado o no, comparados con un modelo de distribución llamado curva normal.
Ecuación 4-14
Si:

la distribución se denomina platicúrtica y es decir más achata que la distribución
normal.

la distribución se denomina mesocúrtica, es decir similar a la distribución
normal.
Ana María Moros Vivas
27

la distribución se denomina leptocúrtica, es decir más puntiaguda que la
distribución normal.
4.2.3 Descripción de la memoria de proceso
Estudiar la memoria del proceso es buscar la relación que tiene el dato medido en el presente en
una estación determinada, con el dato del pasado registrado por la misma estación. Dos
herramientas matemáticas utilizadas con gran frecuencia en el análisis de la memoria de un
proceso son la función de Auto-correlación Lineal y el Exponente de Hurst, para las cuales se
presentara en los próximos renglones una breve explicación.
4.2.3.1 Función de Auto-correlación Lineal
El objetivo de los próximos renglones es entender una de la medida para el análisis de la
memoria de un proceso como lo es la función de Autocorrelación Lineal, pero antes se presenta la
Correlación lineal, de donde nace dicha función y permitirá entender más facial la aplicación.
Coeficiente de Correlación Lineal3
El coeficiente de correlación , es una medida del grado de relación lineal que existe entre dos
variables y . La siguiente expresión matemática define el coeficiente de correlación entre dos
variables:
Ecuación 4-15
Donde:
Valor de la variable
Valor de la variable
Media muestral de la variable
Media muestral de la variable
3
CANAVOS C, George. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Aplicaciones y métodos. Editorial: Mc GrawHill. 1.999
Ana María Moros Vivas
28
Se encuentra definido en el intervalo
. El valor de
indica una correlación
inversamente proporcional entre las dos variables de análisis, mientras que un valor de
señala una correlación directamente proporcional. Si es igual a , entonces no existe ninguna
relación lineal entre y . En la Figura 4-2 se las graficas de dispersión para algunos valores de
6
300
5
250
4
200
Y
Y = -X2 + 30*X + 25
Y
3
150
2
100
1
50
0
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
5
10
15
X
20
25
30
35
X
(a)
(b)
12
12
Y = -X + 11
Y = 0,9851*X + 0,1765
10
8
8
Y
Y
10
6
6
4
4
2
2
0
0
0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
X
(c)
X6
8
10
12
(d)
Figura 4-2. Gráficas de dispersión para algunos valores de rk. (a) y (b) rk = 0, correlación lineal nula, (c) rk = -1,
Correlación lineal negativa y (d) rk = 0,9877, Correlación lineal positiva.
En la Figura 4-2 (b), puede verse que aunque existe una relación parabólica perfecta el
coeficiente de correlación lineal
es cercano a cero, por cuando este mide el parecido con una
línea recta y no con una parábola u otra gráfica.
Es importante aclarar tanto el concepto de Coeficientes de Correlación Lineal y Función de
Autocorrelación, son similares.
Ana María Moros Vivas
29
Función de Auto-correlación Lineal
La función de auto-correlación mide la relación existente entre los valores de la serie temporal
discreta de un proceso y los correspondientes a la misma serie rezagada o desfasada unidades
de tiempo, como se presenta en la Tabla 4-1.
Tabla 4-1. Serie Original Vs Serie rezagada una y dos unidades de tiempo
Serie Original
a1
a2
a3
a4
a5
a1
a2
a3
a4
a1
a2
a3
ai
ai-1
ai-2
an
an-1
an-2
Esta función es de gran utilidad para encontrar patrones repetitivos dentro de una señal. Para
estimar el coeficiente de auto-correlación entre la serie original y la misma serie rezagadas
unidades de tiempo, debe hacerse el uso de la siguiente expresión:
Ecuación 4-16
Donde:
Coeficiente de auto-correlación Lineal
Dato de la serie original
La media de la serie de datos
Dato rezagado
unidades de tiempo
Para obtener la función de Auto-correlación se grafica en el eje el valor del rezago de la serie
en análisis
el coeficiente de Auto-correlación entre la serie original y la serie rezagada, decir
el valor obtenido de haber reemplazado cada uno de los términos queme definen la Ecuación
4-16. Un decaimiento rápido de la función de Auto-correlación permite afirmar que la serie en
análisis tiene poca memoria y decaimiento lentamente es un proceso con memoria.
Ana María Moros Vivas
30
4.2.3.2 Exponente de Hurst
El hidrólogo ingles Harold Edwing Hurst (1.880 – 1.978), en su afán por responder ¿Cuál es el
tamaño optimo del embalse?, pregunta para la cual respondió,
 Aquel embalse nunca este vacío, es decir el embalse siempre debe almacenar algo de agua
para contrarrestar sequias.
 Aquel embalse nunca se rebose, es decir que tenga un espacio vacío para almacenar
crecientes.
Hurst solucionó este problema mediante el cálculo de
o rango de volúmenes, o rango en
que se debe mover del embalse. Matemáticamente puede expresarse como:
Ecuación 4-17
Donde:
Es la mayor diferencia positiva entre el consumo acumulado y el caudal aportado por
el río acumulado desde el inicio de la operación del embalse hasta el tiempo . Lo
anterior con el fin de tener un tamaño óptimo del embalse para que nunca este vacío,
con el fin de aliviar sequias.
Es la menor diferencia negativa entre el consumo acumulado y el caudal del río
acumulado desde el inicio de la operación del embalse hasta el tiempo , en busca de
tener el tamaño recomendable para que el embalse nunca se rebose.
La diferencia entre el aporte del río acumulado y consumo acumulado en el tiempo
por:
esta dada
Ecuación 4-18
Donde:
Es el volumen suministrado por el río
Es el volumen promedio demandado
Otra forma de expresar
Ana María Moros Vivas
es:
31
Como el contenido de la sumatoria interna del segundo término es una constante:
Ecuación 4-19
Asumiendo que la probabilidad de cada término
es la misma:
, se llega a:
Ecuación 4-20
Donde:
Cantidad total de agua entregada por el río en
Cantidad total de agua demandad en
años
años
Tamaño de la muestra
Hurst quería comparar rangos de volúmenes de diferentes embalses, de modo para poder hacer
esto, normalizó
dividiéndolo entre la desviación estándar de los datos,
, obteniendo de
esta manera lo que llamó “Análisis de Rango Reescalado”4.
Ecuación 4-21
4
Dicho coeficiente experimental tiene gran similitud con el concepto de coeficiente de variación muestral
de la estadística descriptiva, ver 4.2.2.3.
Ana María Moros Vivas
32
Adicionalmente, Hurst y sus colegas estudiaron el comportamiento del Rango Reescalado, y
notaron que al graficar en papel logarítmico los valores de
Vs
, se obtenía
una relación potencial como la mostrada en la Ecuación 4-22, relación que se hablará en el
siguiente ítem (Ley de Potencia).
Ecuación 4-22
Donde:
Es una constante
Tamaño de la muestra
Medida de la intensidad de la dependencia de largo plazo, nombrada “Exponente de
Hurst” en honor al hidrólogo inglés Harold Edwin Hurst.
Ley de Potencia
La Ecuación 4-22, posee la forma funcional de una ley de potencia. De manera general una ley de
potencia posee la forma de la Ecuación 4-23, en la cual la variable independiente esta afectada
por un coeficiente y un exponente . Por ejemplo, cuando toma una valor de 2 y de -0.9,
se genera la gráfica que se muestra en la Figura 4-3 la cual es una representación clásica de
eventos tales como: terremotos, tormentas, avalanchas, etc., eventos para los cuales la frecuencia
de ocurrencia,
, disminuye a medida que aumenta el tamaño del evento .
Frecuencia del Evento
f(x)
9
f(x) = 2x-0,9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Tamaño del Evento
(x)
6
7
Figura 4-3. Relación Potencial
Ana María Moros Vivas
33
Sea:
Ecuación 4-23
Despejando
se tiene:
Al aplicar logaritmos, a cada uno de los lados:
Ecuación 4-24
Haciendo:
Se llega a:
Ecuación 4-25
Con
Donde la Ecuación 4-25, posee la forma funcional de una línea recta. La Figura 4-3 bajo la
apariencia de una línea recta toma la forma:
Ecuación 4-26
Al graficarla la Ecuación 4-26 se obtiene la Figura 4-4
Ana María Moros Vivas
34
6
y = -0,9x + 0,301
Log[f(x)]
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
-4
Log[x]
Figura 4-4. Relación Potencial, bajo la apariencia de una línea recta
Invarianza de escalas
A partir de la Ecuación 4-23, puede apreciar el concepto de Invariancia de Escala. Al ampliar la
variable , multiplicándola por un escalar , se obtiene:
Ecuación 4-27
De modo que si
es escalado por una magnitud constante ,
se ve escalado en una
magnitud . Por lo tanto, “si se conoce el comportamiento de un fenómeno a una escala
,
es posible conocer o inferir el comportamiento de dicho fenómeno a otras escalas más finas o
gruesas según el valor que adopte la constante ”.
Calculo e Interpretación del Exponente Hurst
Para obtener cada uno de los puntos que hacen parte de la gráfica logarítmica se debe dividir la
serie en conjuntos de datos, para los cuales se calculan los correspondientes valores de
y
. A modo de ejemplo se tiene, para un conjunto de datos se desea obtener el exponente
de Hurst con 8 divisiones. Es importante recordar como son 8 divisiones para hacer el grafico se
va contar con 8 puntos, los cuales se van a obtener a partir de: una primera división es con todos
los datos de la serie, , lo cual se calcula el rango, la desviación estándar y los logaritmos de
y
, lo cual es el primer punto de la gráfica. Para un segundo punto de la gráfica, se divide
la serie de tiempo en dos partes, a cada parte se le calcula el rango y la desviación estándar, de los
Ana María Moros Vivas
35
cuales se calcula el prometido y aplica el logaritmo a
rangos y las desviaciones estándar de
las divisiones como se muestra en la Figura 4-5.
y a la relación del promedio de los
; así sucesivamente para cada una de
n
n/2
n/3
n/4
n/5
:
:
:
n/8
:
:
:
Datos
R/S
Logaritmos
n
log(n)
n/2
log(n/2)
n/3
log(n/3)
n/4
log(n/4)
n/5
log(n/5)
:
n/8
:
:
:
:
:
:
:
log(n/8)
:
:
:
:
Figura 4-5. División del conjunto de datos para realizar los cálculos de [log(n)] Vs
Al graficar en el eje de las abscisas el
y en el de las ordenadas el
se tiene
una cantidad de puntos según la cantidad de divisiones que se desean hacer de la serie, los cuales
se aproximan a una línea recta que al obtener la ecuación de dicha línea recta el valor de la
pendiente (el que acompaña a la variable ) es el coeficiente de Hurst.
El coeficiente de Hurst, es una medida estadística utilizada en hidrología para determinar si una
serie de tiempo tiene memoria de largo plazo, es decir si la serie no se comporta de manera
totalmente aleatoria. Este coeficiente indica la existencia de persistencia o anti-persistencia (no
persistencia) en una serie temporal. De encontrarse persistencia, existe algún tipo de dependencia
entre los datos con su pasado. Es decir, el coeficiente de Hurst permite comprobar si los datos se
comportan como un movimiento browniano ordinario o si por el contrarío la serie presenta
memoria.
Ana María Moros Vivas
36
El coeficiente de Hurst puede tomar valores entre cero y uno, de modo que:
 El caso especial de
, da evidencia de un comportamiento aleatorio puro, es decir,
evidencia independencia estadística de largo plazo. El futuro no se ve influenciado por lo
que ocurre en el presente y pasado.
 Un proceso con un valor de
tal que
es llamado un Proceso
Antipersistente, es decir si la serie está creciendo no se sabe si seguirá creciendo o
decreciendo, su comportamiento es incierto pero el proceso presenta memoria.
 Un proceso con un valor de tal que
es llamado un Proceso Persistente, en
el que los valores que toma el proceso tienden a reforzar la tendencia actual, esto es, si la
tendencia de la serie de tiempo ha sido positiva en el último período observado, es más
fácil que esta tendencia continúe siendo positiva en el siguiente período. La intensidad del
comportamiento persistente se incrementa cuando H se aproxima a uno, y es este efecto
de memoria de largo plazo el que causa la apariencia de tendencias y ciclos en el proceso.
Mandelbrot llamó a éste comportamiento el “Efecto José” por la historia bíblica de los
siete años de abundancia seguidos de los siete años de escasez.
En conclusión cuando una serie de tiempo tiene un valor de H diferente de 0.5, las observaciones
NO son independientes. Cada observación es producto del recuerdo de todos los eventos
predecesores, es decir, existe un efecto de sesgo o de memoria. Sin embargo, esta no es una
memoria de corto plazo, comúnmente llamada Markoviana, esta memoria es distinta, es de largo
plazo. Es evidente que eventos más recientes tengan un impacto mayor que eventos distantes,
pero estos últimos siguen influenciando al proceso.
4.3 Información a analizar
Para ilustrar cada uno de los conceptos presentados en este capítulo, se analizaron tres series de
tiempo de las cuales: una está compuesta una por la suma de funciones cosenos y las otras dos
por series de precipitación registradas por estaciones pluviométricas.
 Función “Suma de Cosenos”: serie construida para actuar como experimento controlado.
Consiste en la suma de cuatro funciones cosenoidales y está definida en el intervalo
.
Ecuación 4-28
 Estación Camavieja – EAAB5: serie de datos de precipitación diaria registradas por la
estación Camavieja desde el 3 de marzo de 1.975 hasta 15 de diciembre de 2.009, cuenta
con
datos.
5
La estación Camavieja pertenece al conjunto de estaciones de la Empresa de Acueducto y
Alcantarillado de Bogotá (EAAB). Identificada con el código 2120569, ubicada en la Sabana de Bogotá –
Colombia, en las coordenadas Este: 338447 y Norte: 1003528. Información utilizada con el aval de dicha
entidad.
Ana María Moros Vivas
37
 Earl Williams of the Department of Meteorology of MIT: serie de datos registrados cada
segundos durante la ocurrencia de una tormenta en Boston el día 25 de Octubre de
desde las
hasta
, cuenta con
datos.
4.3.1 Análisis de la señal “Suma de Cosenos”
Supóngase que en cierta estación se registraron valores de lluvia que pueden ser descritos por la
Ecuación 4-28. Dichos datos son presentados de tres maneras distintas (Figura 4-6): Serie de
tiempo, Histograma y diagrama de Caja y Bigotes.
Figura 4-6. Apariencia de la señal “Suma de Cosenos” junto con el histograma de frecuencia y el diagrama de Caja
y Bigotes.
En el histograma de la Figura 4-6 se puede apreciar que lo datos siguen la forma de una
distribución Normal, con una cola o sesgo hacia los valores altos de la función debido a que el
intervalo de tiempo comprendido entre y
la función no alcanza a completar ciclos exactos.
La misma asimetría también se aprecia en diagrama de caja y bigotes. Nótese que en la grafica
del histograma no se ve un pico excesivo ni disminuido.
La Tabla 4-2, corresponde a cada uno de los valores que toma las medidas numéricas en la
caracterización estadística exploratoria de la señal de “Suma de Cosenos”.
Ana María Moros Vivas
38
Tabla 4-2. Análisis Exploratorio numérico de la señal “Suma de Cosenos”
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LA SEÑAL “SUMA DE
COSENOS”
Parámetros
Unidades
Valor
Numero de datos
und
400
Mínimo
mm
-2,67
Moda
mm
-2,67
Mediana
mm
-0,24
Media
mm
1,90E-03
Desviación Estándar
mm
1,43
Coeficiente de variación muestral
Adimensional
750,00
Coeficiente de Asimetría
Adimensional
0,54
Coeficiente de Apuntamiento
Adimensional
2,99
mm
4,00
Máximo
En la Tabla 4-2 se hallan inscritas las medidas de descripción numérica del conjunto de datos. Se
aprecia la existencia de una asimetría positiva lo cual indica sesgo hacia valores altos y un
apuntamiento muy cercano a lo que evidencia el parecido de dicha serie con la distribución
normal en cuanto curtosis se refiere.
Con este experimento controlado se aprecia que las rutinas de cálculo utilizadas funcionan
correctamente, de modo que pueden ser utilizados para caracterizar series de datos reales.
En la Figura 4-7 y Figura 4-8, se presenta la función de Autocorrelación y la gráfica necesaria
para obtener el exponente de Hurst de la señal en estudio, con el objetivo de observar la memoria
del proceso de la serie.
Figura 4-7. Función de Autocorrelación para la señal "Suma de Cosenos"
De la grafica de la función de Auto-correlación lineal puede apreciarse, la alta memoria del
proceso estudiado.
Ana María Moros Vivas
39
El exponente de Hurst (pendientes de las rectas) fue calculado con (a) 10 puntos y (b) 20 puntos,
ver Figura 4-8. Se puede observar que dicho coeficiente es muy sensible a la cantidad de puntos
utilizados. Para el primer caso “H” toma un valor de
característico de un Proceso Antipersistente. En el segundo caso “H” toma un valor de
característico de un Proceso
Persistente. En ambos casos la calidad del ajuste fue evaluado mediante el parámetro
y tal
como se observa, la calidad del ajuste es buena por cuanto
tiende a . Respecto al coeficiente
de Hurst puede concluirse que existe memoria, concordando con los resultados obtenidos con la
gráfica de Auto-correlación Lineal.
(a)
(b)
Figura 4-8. Representación del exponente de Hurst para la señal "Suma de Cosenos". (a) 10 puntos y (b) 20 puntos
4.3.2 Análisis de la señal registrada por la Estación Camavieja
Para analizar la información de dicha estación se decidió trabajar con cuatro escalas de
agregación temporal: diaria, semanal, mensual y anual, con el objetivo de mostrar la variación de
las características estadísticas de la información para diferentes niveles de agregación temporal.
Los resultados se pueden apreciar en la Figura 4-9.
Ana María Moros Vivas
40
(a)
(b)
Ana María Moros Vivas
41
(c)
(d)
Figura 4-9 Serie de tiempo registrada por la estación Camavieja para diferentes escalas de agregación temporal. (a)
Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y (d) Anual
En la Figura 4-9 es fácil visualizar que para la resolución diaria y semanal la mayoría de los datos
se encuentran agrupados en las primeras clases, lo cual pone en evidencia la alta existencia de
valores bajos. Para las escalas mensuales y anuales se observa un mayor grado de dispersión.
Ana María Moros Vivas
42
Tabla 4-3. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada por la Estación Camavieja, para diferentes escalas
de agregación temporal.
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LA SEÑAL REGISTRADA POR LA ESTACIÓN CAMAVIEJA
Parámetros
Unidades
Diaria
Agregación Temporal
Semanal
Mensual
Anual
Numero de datos
Und
12.397
1.771
415
35
Mínimo
mm
0,00
0,00
0,40
405,30
Moda
mm
0,00
0,00
11,70
405,30
Mediana
mm
0,10
10,30
60,90
853,50
Media
mm
2,41
16,88
72,03
854,09
Desviación Estándar
mm
5,64
19,20
50,05
177,82
Coeficiente de Variación Muestral
Adimensional
2,34
1,14
0,69
0,21
Coeficiente de Asimetría
Adimensional
4,17
1,89
1,24
-0,02
Coeficiente de Apuntamiento
Adimensional
26,71
7,40
4,41
2,71
mm
75,10
152,90
276,00
1.189,20
Máximo
En la Tabla 4-3 se observa que a medida que cambia la escala temporal cambian los parámetros
estadísticos como era de esperarse, sin embargo existen algunas características comunes en estas
cuatro escalas:
 Existe un sesgo hacia los valores altos, excepto en la escala anual donde el sesgo es casi
nulo.
 Los coeficiente de variación muestral varían de mayor a menor a medida que la
agregación temporal va aumentando.
 Existe un comportamiento Leptocúrtica, es decir alta concentración de valores alrededor
de la media, excepto en el caso anual como lo constata la Figura 4-9 (d).
En la Figura 4-10 se muestra la función de Auto-correlación para las escalas temporales antes
mencionadas.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
43
(c)
(d)
Figura 4-10. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada por la estación Camavieja con diferentes
niveles de agregación temporal: (a) Diaria, (b) Semanal, (c) Mensual y (d) Anual.
En la Figura 4-10 se observa que la memoria para la escala diaria decae rápidamente hasta
estabilizarse en un valor cercano a
, valor bajo comparado con el de las escalas semanales,
mensuales y anuales el cual oscila alrededor de
. Sin embargo, para todas las escalas se
aprecia como la memoria disminuye con el tiempo.
En la Figura 4-11, se presentan los resultados de las gráficas generadas para el Análisis de Rango
Reescalado con su respectiva ecuación lineal y nivel de ajuste para cada una de las escalas de
agregación. Nuevamente el exponente de Hurst fue calculado con
y
puntos.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
44
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Figura 4-11. Valor de exponente de Hurst para la estación Camavieja escala: (a) diaria con 10 puntos, (b) escala
con 20 puntos, (c) semanal con 10 puntos, (d) semanal con 20 puntos, (e) mensual con 10 puntos, (f) mensual con 20
puntos y (g) anual con 10 puntos
Ana María Moros Vivas
45
Como se puede apreciar en la Figura 4-11 el valor del coeficiente de Hurst (pendiente de la
recta) es poco sensible a los cambios de la escala temporal, pero si es sensible al número de
puntos que se generan para hacer la gráfica. Para el nivel temporal anual con las diferentes
divisiones que se desee hacer presenta error por la cantidad de datos que se tienen en esta
resolución temporal
. Al dividir la serie anual para generar los
puntos que forman
la gráfica van a resultar grupos de datos pequeños, que no presentan gran variación con respecto a
la media, por lo tanto la desviación estándar es cercana al valor cero de lo cual se obtendrán
errores en los cálculos respectivos ya que se encuentra en el denominador del fraccionario
, presentados en el lenguaje de programación Matlab R2009b como NAN.
4.3.3 Análisis de la señal registrada en la tormenta de Boston
Para analizar la información de registrada durante la tormenta presentada en Boston – Estados
Unidos el día
de Octubre de
se decidió trabajar con cuatro escalas de agregación
temporal de cada
segundos, cada minuto, cada
minutos y cada
minutos, con el fin de
poder visualizar la variación de las características estadísticas para diferentes niveles de escalas.
Los resultados se pueden observar en la Figura 4-12.
(a)
Ana María Moros Vivas
46
(b)
(c)
Ana María Moros Vivas
47
(d)
Figura 4-12. Serie de tiempo registrada para la tormenta de Boston para diferentes escalas de agrupación temporal.
Cada, (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10 minutos y (d) 30 minutos.
En la Figura 4-12 se puede observar que las gráficas exhiben la misma “forma” aunque se está
cambiando la escala de agregación. Nótese por ejemplo como en las cuatro graficas existe sesgo
hacia valores altos y como la mayoría de los datos son pequeños, lo que conlleva a que en las
primeras clases se ubiquen la mayoría de los datos.
En la Tabla 4-4 se muestra la descripción numérica estadística de cada una de las agregaciones
temporales que se estudiaron de la señal registrada en la tormenta de Boston.
Ana María Moros Vivas
48
Tabla 4-4. Análisis Exploratorio numérico de la señal registrada durante la tormenta de Boston para diferentes
escalas de agregación temporal de 15 segundos,1 minuto, 10 minutos y 30 minutos
ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LA SEÑAL REGISTRADA DURANTE LA TORMENTA DE
BOSTON
Agregación Temporal
Parámetros
Unidades
15 seg
1 min
10 min
30 min
1.990
497
49
Numero de Datos
Und.
16
Mínimo
mm
0,08
0,34
9,48
87,84
Moda
mm
0,11
0,44
9,48
87,84
Mediana
mm
1,54
6,30
62,41
205,40
Media
mm
1,97
7,90
79,63
242,02
Desviación Estándar
mm
1,88
7,30
61,69
150,52
Coeficiente de variación muestral
Adimensional
0,95
0,92
0,77
0,62
Coeficiente de Asimetría
Adimensional
3,64
3,43
2,22
1,09
Coeficiente de Apuntamiento
Adimensional
28,74
24,99
9,84
3,40
mm
25,20
78,75
360,31
364,35
Máximo
En la Tabla 4-4 se puede observar que a medida que se cambia la escala temporal cambian los
parámetros estadísticos, pero sin embargo se puede destacar para las cuatro escalas en análisis
algunas características comunes:
 Existe un sesgo hacia los valores altos.
 El coeficiente de variación muestral va disminuyendo a medida que se van aumentando la
agregación de los datos.
 La distribución de las diferentes escalas Leptocúrtica, es decir presentan un pico
relativamente alto.
En la Figura 4-13, se presenta la función de Autocorrelación para la serie registrada por la
tormenta de Boston en diferentes escalas de agregación temporal, desde
segundos hasta
minutos.
Ana María Moros Vivas
49
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4-13. Función de Autocorrelación de la serie de tiempo registrada en la tormenta de Boston, con diferentes
escalas de agregación temporal: (a) 15 segundos, (b) 1 minuto, (c) 10 minutos y (d) 30 minutos.
Nótese como la memoria decae lentamente en los cuatro casos y como a medida que cambia la
escala temporal la forma de la grafica de la función de Auto-correlación Lineal se mantiene.
En la Figura 4-14 se presentan cada una de las gráficas generadas para las diferentes escalas y
números de puntos con los que se construye las rectas.
Ana María Moros Vivas
50
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 4-14. Valor de exponente de Hurst para la tormenta de Boston cada (a) 15 segundos con 10 puntos, (b) 15
segundos con 20 puntos, (c) cada minuto con 10 puntos, (d) cada minuto con 20 puntos, (e) cada 10 minutos con 10
puntos y (f) cada 10 minutos con 20 puntos
Ana María Moros Vivas
51
Como se puede observar en la Figura 4-14 el exponente de Hurst que presenta la tormenta de
Boston analizada con
puntos y
puntos es cercano al valor de , evidenciando un Proceso
Persistente. En la Figura 4-14 (f) se tiene el mismo error descrito al final del numeral 4.3.2, con
la serie temporal agregada anual de la estación Camavieja.
Ana María Moros Vivas
52
5. ANÁLISIS DE FOURIER
El propósito de esta investigación es establecer las consideraciones matemáticas necesarias para
caracterizar señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Wavelet. Por lo tanto
es importante destacar a quien se le debe el aporte principal para este tipo de herramientas.
Jean Baptiste Joseph Fourier
–
, fue el primero en darse cuenta de que muchos
tipos de series temporales pueden ser representados como combinaciones lineales de funciones
sinusoidales. Fourier expresó la distribución de temperaturas de un cuerpo, en función de la suma
de funciones exponenciales sinusoidales. A partir de trabajo de Fourier, Cauchy estableció
explícitamente la Transformada de Fourier en 1.816 en su trabajo “Theorie de la Propagation des
Ondes”.
En consecuencia en el Anexo 1 se puede evidenciar como una función periódica cualquiera
puede expresarse como una suma de funciones
y
. Con los coeficientes Fourier
expresan directamente el contenido de frecuencia de la función, es decir, expresan directamente
cuales son los armónicos que contribuyen de mayor manera en la construcción de la señal.
El presente capítulo busca mostrar una serie de conceptos relacionados con la Transformada de
Fourier de manera didáctica para facilitar al lector su compresión, la cual tiene diversas
aplicaciones en ciencia básica y aplicada, ya que permite representar mediante armónicos una
señal originalmente desarrollada en el dominio del tiempo o del espacio. Aunque el aspecto
matemático de todas estas aplicaciones es similar, su interpretación física depende de la
aplicación. Esta sección se divide en dos partes: En la primera se describe la teórica de la
Transformada de Fourier para señales de una dimensión y dos dimensiones y la segunda parte, la
implementación de dicho análisis en dos tipos de señales, una de experimentos controlados y otro
dato observado. Se hace hincapié, en las interpretaciones conceptuales y formulación matemática
así como las aplicaciones en una y dos dimensiones de series continuas y discretas.
5.1 “Transformada: La otra realidad”
La transformación de una función o señal, busca representar de manera diferente el fenómeno
analizado, permitiendo observar el fenómeno analizado de otra manera, ver en la Figura 5-1.
Ana María Moros Vivas
53
(a)
(b)
Figura 5-1. (a) Señal de suma de cosenos presenta4.3.1 y (b) Transformada de dicha señal bajo el lente del análisis
de Fourier (Periodograma)
5.1.1 Representación de una serie de tiempo mediante la suma de armónicos
Una serie de tiempo
, puede ser representada mediante la combinación lineal de funciones
sinusoidales conocidas como armónicos, tal como se puede ver en la Figura 5-2. En la parte
superior de dicha figura esta la serie original y en la parte inferior aparecen los primeros cinco
armónicos.
Tmáx
Figura 5-2. Representación de una serie de tiempo mediante armónicos
Ana María Moros Vivas
54
Como se puede observar en la Figura 5-2 el valor a
correspondiente en el tiempo
igual a la suma de los valores de los cinco armónicos para dicho tiempo.
es
Lo anterior se puede expresar de manera matemática como:
Ecuación 5-1
Donde:
Valor de la serie de tiempo en el tiempo .
Valor del
ésimo armónico en el tiempo .
Es decir, el valor de la serie de tiempo en el tiempo , es igual a la suma de las combinaciones de
todos los armónicos (o frecuencias) en el tiempo , tal como se aprecia en la Ecuación 5-1 y en la
Figura 5-2.
5.1.1.1 Caracterización matemática de un armónico (f)6
Tal como se mencionó los armónicos son funciones sinusoidales que tienen la forma:
Ecuación 5-2
En donde:
Tiempo durante el cual
Figura 5-2.
está definida. Duración de la serie tal como se aprecia en la
Armónico o frecuencia, oscilaciones por unidad de tiempo
Amplitud del armónico
Desfase del armónico
6
QUIROGA, J. Análisis de Fourier. Primera Edición. Bogotá, Colombia. 2007.
Ana María Moros Vivas
55
Calculo
y
Haciendo:
Ecuación 5-3
Se llega a:
De modo que7:
Haciendo:
Ecuación 5-4
y
Ecuación 5-5
Se reduce a:
Ecuación 5-6
De la Ecuación 5-4 y Ecuación 5-5 puede verse que:
Gráficamente dichas relaciones se visualizan como:
7
Recuérdese la identidad:
Ana María Moros Vivas
56
Af
f
f
f
Figura 5-3. Representación gráfica de la relación existente entre
,
,
y
De esta manera:
Ecuación 5-7
Ecuación 5-8
y
se constituyen como los parámetros que caracterizan la ecuación del armónico
.
A lo largo del presente documento se prestará únicamente atención al parámetro
valor
conocido como “potencia”, el cual describe de manera directa la contribución del armónico
en la constitución de la señal. Altos valores de
indican alta importancia del armónico
y
viceversa. A los valores bajos de
se les conoce como ruido o detalle de la señal.
Cálculo de
y
a partir de la serie de tiempo
Como se aprecia en las Ecuación 5-7 y Ecuación 5-8 para cuantificar
y
es necesario
conocer los valores
y
. Dichos valores serán aquellos que minimicen el error
generado al tratar de reconstruir la señal únicamente a partir del armónico
. Lo anterior se
puede expresar matemáticamente como:
En donde:
Ana María Moros Vivas
57
Es el tamaño de la serie de tiempo
Si el error
es pequeño es porque el armónico
constitución de la señal. Minimizando
respecto a
contribuye en gran medida con la
y
se llega a:
Ecuación 5-9
Ecuación 5-10
Nótese que cuando
:
5.1.1.2 Periodograma
Al graficar los valores de
contra los valores de
se obtiene una gráfica conocida como
“Periodograma” o “Espectro de Potencia” en la cual se puede visualizar la importancia de cada
armónico en la reconstrucción de la señal.
5.1.1.3 Transformada de Fourier Directa Discreta
La transformada de Fourier directa discreta
se expresa de la siguiente manera:
Ecuación 5-11
Es decir:
Ecuación 5-12
Ana María Moros Vivas
58
En las anteriores expresiones se introdujo el número imaginario
, con el fin de ampliar el
dominio de la serie de tiempo de los reales a los números complejos.
5.1.1.4 Transformada de Fourier Inversa Discreta
Al proceso de reconstruir la señal a partir de los armónicos identificados se le conoce como
Transformada de Fourier Inversa.
Al reemplazar la Ecuación 5-6 en la Ecuación 5-1 se llega a:
Ecuación 5-13
Recordando que
es el tiempo en el cual se desarrolla el fenómeno analizado, se puede
igualar
con el número de datos de la serie
de modo que la Ecuación 5-3 se transforma
en:
Ecuación 5-14
De este modo la Ecuación 5-13 se convierte en:
Ecuación 5-15
La cual es la expresión para calcular la Transformada de Fourier Inversa Discreta.
Como ejemplo de la reconstrucción de una serie de tiempo mediante el análisis de Fourier se
presenta la Figura 5-4. En la Figura 5-4a se presenta una serie de tiempo, en la Figura 5-4b es el
primer armónico o media de los datos, en la Figura 5-4c aparecen los armónicos de al , la
Figura 5-4d la serie reconstruida con los
primeros armónicos y la Figura 5-4e los errores
obtenidos entre la señal original y la reconstruida.
Ana María Moros Vivas
59
Figura 5-4. Reconstrucción de una señal con 10 armónicos
En resumen, se conoce como Transformada de Fourier Directa al formalismo matemático
mediante el cual se identifican las frecuencias predominantes, cambiando la forma como se ve el
fenómeno: deja de verse como
Vs
y pasa a verse bajo el lente de
Vs
(armónico), es decir la señal es vista ahora como Periodograma. Y se conoce como
Transformada de Fourier Inversa al proceso de reconstruir la señal a partir de conjunto de
armónicos.
5.1.2 Representación de una imagen mediante armónicos
En este capítulo se han venido tratando los conceptos generales de la reconstrucción de una señal
en una dimensión, ya sea continua o discreta.
Con un mínimo esfuerzo es posible generalizar la Transformada de Fourier a dos o más
dimensiones para poder aprovechar su potencial como herramienta de análisis particularmente
útil para analizar imágenes.
En esta sección inicialmente se presenta el concepto de imagen, los conceptos matemáticos de la
Transformada de Fourier en dos dimensiones, tanto en el caso continuo como discreto y dos
filtros básicos en el procesamiento de señales bidimensionales, con el objetivo de reconstruir la
señal analizada a partir de un conjunto de señales sinusoidales u armónicos.
Ana María Moros Vivas
60
5.1.2.1 “Imagen: Señal Bidimensional”
Hay muchas definiciones de la palabra imagen. Si se mira el diccionario se encuentra que una de
la definición de imagen es: “una representación visual de un objeto o un lugar, que no cambia con
el tiempo”.
Se puede considerar que una imagen monocromática continua es una distribución de las
intensidades de luz (variación del color) dentro de un plano de coordenadas
y
, y que
puede ser representada por una función
de las dos variables
y
, a la cual se llama
señal bidimensional.
Hasta el momento no se ha pensado en la imagen en términos de variación en la iluminación
distribuidos en un plano. Este es el punto de vista de la fotografía o televisión en blanco y negro,
que utiliza imágenes pancromáticas, es decir imágenes que carecen de información de color.
Estas imágenes están representadas en el modo que se denomina “color verdadero”. El modo de
“color verdadero” es una representación que intenta mostrar una vista del color con la mayor
similitud del color original. En este proceso aditivo cualquier color del espectro puede ser
reproducido por la mezcla de los tres colores primarios aditivos rojo, verde y azul.
Vale decir que el color no tiene existencia material; es apenas una sensación producida en ciertas
organizaciones nerviosas por la acción de la luz sobre el órgano de la visión. Su aparición está
condicionada a la existencia de dos elementos:
 La luz: objeto físico, actuando como estimulo
 El ojo: aparato receptor, funcionando como descifrador del flujo luminoso,
descomponiéndolo o alterándolo a través de la función selectora de la retina
Las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio a la velocidad de la luz, unos
. Parte del espectro electromagnético, la gama que va desde los
Hz
hasta los
Hz, excitan la retina del ojo produciendo sensaciones de color y brillo.
La luz solar (luz blanca) está formada por todo el conjunto de radiaciones visibles
monocromáticas que estimulan el ojo humano generando una sensación de luminosidad exenta de
color. Se entiende por radiación monocromática a cada una de las posibles componentes de la luz,
correspondientes a cada frecuencia (o longitud de onda) del espectro electromagnético.
La siguiente figura muestra las escalas comparativas de frecuencia y longitud de onda del
espectro visible. A medida que aumenta la frecuencia, la longitud de onda disminuye, y
viceversa. Esto es así porque la relación entre ambas es inversamente proporcional (la velocidad
de la luz no varía en un mismo medio). Por ejemplo, se puede apreciar que para un tono rojo, el
valor de frecuencia es de los más pequeños dentro de la gama visible (aproximadamente
Hz), pero la longitud de onda de ese mismo rojo, es de las mayores en magnitud (unos
nm).
Ana María Moros Vivas
61
Figura 5-58. Escalas comparativas de frecuencia y longitud de onda del espectro visible
En la Figura 5-5, se han destacado especialmente las zonas donde se encuentra aquellas
tonalidades que corresponde a los colores primarios aditivos: la zona de rojos hacia la izquierda y
la de azules hacia la derecha. En el centro se ubican tonalidades verdes. También se puede notar
que entre la zona del color rojo y verde se ubican tonos naranjas y amarillos. Lo propio ocurre
entre la zona de color verde y azul, donde se ubican tonalidades verdes-azuladas (cian es el
nombre técnico).
Bastan solo tres colores para obtener el resto mediante la superposición entre ellos. A
continuación, se muestra una representación grafica del sistema utilizando un espacio
tridimensional y un sistema de ejes cartesianos para representar el espacio del color.
Figura 5-6. Cubo de colores
Como se puede observar en la Figura 5-6 las componentes RGB de un color cualquiera serían las
coordenadas colorimétricas; el origen de coordenadas
corresponde al color negro. El
lugar geométrico de los puntos que satisfacen la condición R = G = B es una línea, la escala de
grises. A su vez, los planos R - G, G - B y B - R son respectivamente los espacios de color del
Amarillo, Cian y Magenta. Es así como se conforman los colores en una imagen.
8
Prof. Bemón. Generación Electrónica de imágenes
Ana María Moros Vivas
62
Por otra parte a la menor unidad homogénea en color que forma parte una imagen digital se le
denomina píxel. Los píxeles aparecen como pequeños cuadros o rectángulos en color, en blanco o
negro, o en matices de grises. Las imágenes se forman como una matriz rectangular de píxeles,
donde cada píxel forma un área relativamente pequeña respecto a la imagen total.
Para exponer los conceptos tratados, se presenta la fotografía de la modelo “Lenna” en la Figura
5-7. La figura está compuesta por
imágenes a distintas escalas, presentadas para permitir
comprender el concepto de pixel.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 5-7. Fotografía de la modelo “Lenna”. (a) Imagen original 256*256(31), (b) 1er Acercamiento 55*60, (c) 2do
Acercamiento 28*30 y (d) 3er Acercamiento 17*19.
En las imágenes o dispositivos gráficos cada píxel se codifica mediante un conjunto de bits de
longitud determinada, el cual es llamado profundidad de color. La profundidad de color es un
concepto computacional gráfica que se refiere a la cantidad de información necesaria para
representar el color de un píxel en una imagen digital. Debido a la naturaleza del sistema binario
de numeración, una profundidad de bits de implica que cada píxel de la imagen puede tener 2n
posibles valores y por lo tanto, representar
colores distintos.
Puede codificarse un píxel con un byts ( bits) de manera que cada píxel admite
variaciones
(28 variaciones con repeticiones de valores posibles en un bit tomados de en ). En las
imágenes con “color verdadero”, se suelen usar tres bytes para definir un color; es decir, en total
podemos representar un total
colores, que asumen
opciones de color.
Para poder transformar la información numérica que almacena un píxel en un color, se debe
conocer además de la profundidad, el brillo.
El tercer acercamiento de la fotografía de “Lenna” (Figura 5-7d) puede verse en forma matricial
tal como se indica para cada pixel en la Tabla 5-1.
Ana María Moros Vivas
63
Tabla 5-1. Valores por pixel para la Figura 5-7-d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
177
183
171
71
53
34
20
12
11
10
13
13
52
92
106
110
105
2
184
174
92
64
49
29
16
18
25
33
36
24
48
69
89
109
111
3
4
5
6
7
8
9 10 11
181 127 92 98 114 113 114 104 92
111 83 97 115 122 115 110 127 125
81 89 94 101 104 104 70 117 126
71 70 68 78 77 74 25 67 112
50 55 32 32 33 28 15 27 43
19 23 21 21 17 16 19 23 23
20 20 24 14 13 14 14 36 66
17 19 15 18 13 23 25 68 146
47 27 33 26
8 25 49 53 172
70 46 43 62 23 39 65 38 169
68 85 36 51 58 52 31 94 196
66 82 80 46 25 43 93 175 190
61 77 99 93 90 113 165 181 188
62 67 81 97 113 126 134 152 160
96 87 69 79 61 90 101 102 107
113 96 82 90 65 97 103 97 87
116 104 107 99 96 94 104 107 105
12
77
107
113
79
21
23
53
147
185
186
197
193
194
163
97
90
119
13
58
87
87
61
19
15
25
85
166
183
191
186
188
154
125
120
123
14
32
72
95
63
21
10
18
34
127
173
192
176
157
156
141
117
129
15
31
54
58
67
51
13
12
11
40
105
143
133
105
130
151
127
120
16 17 18 19
34 49 68 104
44 35 31 36
61 54 47 45
86 64 74 62
86 60 92 84
25 81 106 89
12 25 72 100
12 10 39 86
24 60 38 78
36 75 62 63
63 52 82 56
92 64 84 75
113 90 75 94
110 94 93 92
153 141 106 87
130 115 101 82
117 117 116 86
5.1.2.2 Transformada de Fourier Directa Discreta Bidimensional
Como se dijo en la introducción del presente ítem el esfuerzo para generalizar la Transformada de
Fourier en dos dimensiones es mínimo. Partiendo de la ecuación de la Transformada de Fourier
para señales de una dimensión en tiempo continuo, se puede llegar:
Ecuación 5-16
Donde:
Función en dos dimensiones. Imagen a analizar, valor de cada pixel.
Cantidad de pixeles en el eje horizontal.
Cantidad de pixeles en el eje vertical.
:
Función de transformación en Fourier en dos dimensiones.
Transformada de Fourier en dos dimensiones.
Para la Transformada de Fourier Continua e Inversa se tiene:
Ana María Moros Vivas
64
Ecuación 5-17
La transformada de Fourier en
directa discreta es:
Ecuación 5-18
Y la Transformada de Fourier Discreta e inversa es:
Ecuación 5-19
Al reemplazar la identidad de Euler que igualmente se puede llevar a dos dimensiones mostrada
en la
Ecuación 5-20, se obtiene:
Ecuación 5-20
Ecuación 5-21
Como se puede observar la Ecuación 5-21 está compuesta de una parte real
imaginaria
, son igual a:
y una parte
Ecuación 5-22
Ecuación 5-23
La dos parte son fundamental para los cálculos matemáticos del Espectro de Potencia de Fourier
o Periodograma
y la Fase
de la imagen como se puede observar en las
siguientes expresiones:
Ana María Moros Vivas
65
Ecuación 5-24
Ecuación 5-25
El Periodograma ofrece una descripción cuantitativa, de la composición frecuencial de la imagen.
En resumen, el Periodograma dice “cuánto” de un componente de cierta frecuencia hace parte de
la señal.
Para poder ilustrar los conceptos que se han venido discutiendo, se parte de una imagen generada
por ciclos de senos verticales como se puede ver en la parte superior izquierda de la Figura 5-8,
descrita por la siguiente ecuación:
Figura 5-8. Función sinusoidal vertical bidimensional y su respectiva Transformada de Fourier.
En la parte superior izquierda de la Figura 5-8 se presenta la imagen de entrada en plano en
, en la parte inferior izquierda se presenta la señal de análisis en planta. Al lado derecho se
presenta el Periodograma para la señal de análisis, en la parte superior se puede ver en y en la
parte inferior en
. Para los análisis de señales bidimensionales del presente documento se
mostrara el Periodograma en
por comodidad para observar la presencia de las frecuencias
de la señal analizada.
Ana María Moros Vivas
66
Como se puede observar en la imagen inferior derecha de la Figura 5-8, la señal bidimensional
construida por los ciclos de senos verticales tiene dos frecuencias predominantes, las cuales
corresponden la primera con la media y la segunda la frecuencia de la onda sinusoidal.
5.1.2.3 Filtrado de imágenes
El proceso de filtrado de una imagen busca mejorar la calidad o facilitar la identificación de
elementos importantes de la imagen.
Los principales objetivos que se persiguen con la aplicación de filtros sobre una imagen son:
 Suavizar la imagen, para reducir contrastes.
 Asentar la imagen, eliminar el ruido de la imagen.
 Detectar bordes: detectar los pixeles donde se producen cambios bruscos de intensidad.
En resumen la operación de filtrado de una imagen busca hacer énfasis en cierta información o
conseguir un efecto especial de ella.
En el presente documento solo se presentan dos filtros de los múltiples que existen:
 Filtro pasa alta: pasan las frecuencias altas. En la Figura 5-9 (a) se ilustra en color rojo las
frecuencia que se apagan y en color azul las frecuencias que se tienen en cuenta para la
reconstrucción de la señal.
 Filtro pasa baja: pasan las frecuencias bajas. En la Figura 5-9 (b) se muestra un esquema
de cómo funciona dicho filtro. La figura que delimita el color rojo indica apagado y lo
azul encendido, es decir se enciendas las frecuencias bajas las cuales tienen valores de
potencia más altos.
Ana María Moros Vivas
67
Potencia
V
U
(a)
(b)
Figura 5-9. Filtros. (a) Filtro Pasa alta y (b) Filtro pasa baja
Al usar todos los armónicos que tiene una señal en la Transformada de Fourier Inversa se obtiene
la reconstrucción de la señal imagen en su totalidad.
En busca de dar un mayor claridad de los conceptos presentados de procesamiento de imágenes,
en los siguientes renglones, se ilustrarán los efectos que hace un filtro pasa alta sobre una señal
de dos dimensiones. Se tomará la imagen de la modelo “Lenna” obtenida por el primer
acercamiento que se presentó en el ítem 5.1.2.1, la cual la forma una matriz de
con un
total de
datos.
La Figura 5-10 se compone de cuatro figuras de (a) a (d). En cada figura se presenta en la parte
superior la imagen de “Lenna” y abajo el Espectro de Potencia con el que se reconstruyo dicha
imagen. Las imágenes de la Figura 5-10 fueron procesadas mediante un filtro pasa alta.
En Figura 5-10 (a) se presenta la imagen de entrada de la modelo “Lenna” para el análisis con su
respectivo Periodograma, en la parte superior Figura 5-10 (b) la reconstrucción de la imagen
empleando un filtro pasa alta, en donde se encendieron las
potencias más altas presentes en la
imagen original; en la parte Figura 5-10 (c) se muestra la reconstrucción de la imagen apagando
las
frecuencias más bajas y en la Figura 5-10 (d) se presenta la reconstrucción de la señal
con las
potencias más altas.
Ana María Moros Vivas
68
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 5-10. Reconstrucción de la imagen de “Lenna” con diferente cantidad de armónicos. (a) Imagen de entrada
de “Lenna”, (b) Imagen reconstruida con 3.290 armónicos, (c) Imagen reconstruida con 3.200 armónicos y (d)
Imagen reconstruida con 2.300 armónicos
Al observar de las secuencia de las imágenes que componen la Figura 5-10, se tienen dos
situaciones que no se podrían pasar por alto, la primera cada vez que se apaguen mayor cantidad
de frecuencias bajas de la imagen se van definiendo mas los bordes de dicha señal bidimensional,
y segundo cada uno de los Periodograma para las imágenes reconstruidas van variado con
respecto al de la imagen original, los valores de las frecuencias altas van aumentando, este es el
efecto del filtro pasa alta en el Periodograma.
Ana María Moros Vivas
69
5.2 Implementación del análisis de Fourier
Los conceptos matemáticos antes expuestos tanto en señales unidimensional como bidimensional
han sido programados en Matlab R2009b, con el fin de evaluar bajo este nuevo lente cada una de
las tres señales que se presentaron y analizaron en el capítulo 3, una imagen de control a la que se
le llamo “cartón de huevos” y una imagen de lluvia de la ciudad de Bogotá.
Las rutinas fueron desarrolladas en el lenguaje de programación Matlab R2009b bajo el sistema
operativo Windows XP:
5.2.1 Señales Unidimensionales
En este numeral se presentara los resultados del análisis de la Transformada de Fourier, es decir
el Periodograma para cada una de las señales que se analizaron en el Análisis Exploratorio de
series de tiempo.
5.2.1.1 “Suma de Cosenos”
Para la serie de tiempo denominada “Suma de Cosenos” (Ecuación 4-28) se calculo
Periodograma, con el fin de identificar las frecuencias que controlan la señal.
Los resultados se aprecian en la Figura 5-11, la cual está conformada por cuatro imágenes cuya
diferencia radica en la cantidad de datos que se utilizan para generar las series de datos.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
70
(c)
(d)
Figura 5-11. Periodograma de la serie de tiempo “Suma de Cosenos” para diferente cantidad de datos, con: (a) 400
datos, (b) 800 datos, (c) 1.000 datos y (d) 1.500 datos.
Como se puede observar en la Figura 5-11 a medida que va cambiando el número de datos que
componen la señal de análisis, la ubicación de las frecuencias en el eje horizontal van cambiando.
Lo anterior debido a la cantidad de periodos completos que se presentan en la serie generada.
5.2.1.2 Señal de la Estación Camavieja
La Figura 5-12 está compuesta por seis imágenes, de las cuales las imágenes (a), (c) y (e)
corresponde a cada uno de los Periodograma obtenidos por el análisis con la Transformada de
Fourier para la serie de tiempo de la Estación Camavieja en diferentes escalas de agregación
temporales. Imágenes (b), (d) y (f) se constituyen como acercamiento de cada uno de los
Periodogramas con el fin de poder ver un poco más de las pequeñas frecuencias que componen la
señal que no se pueden ver muy bien por valor tan alto del armónico
, es decir la media, en
comparación con el resto.
No se presentan las imágenes de la serie de tiempo a nivel diario, debido a limitaciones de
cálculo del programa desarrollado.
Ana María Moros Vivas
71
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 5-12. Periodograma de la serie de tiempo de la Estación Camavieja de las diferentes agregaciones temporal.
(a) Agregación semanal, (b) Acercamiento de agregación semanal (c) Agregación mensual, (d) Acercamiento de
agregación mensual, (e) Agregación Anual y (f) Acercamiento de Agregación Anual.
Ana María Moros Vivas
72
De la secuencia de imágenes que componen la Figura 5-12 se puede observar que sobresalen las
frecuencias predominantes de la agregación semanal y mensual, sin necesidad del acercamiento,
aspecto que no se presenta en la agregación anual. Con este “nuevo” lente se ubican exactamente
los armónicos importantes de la señal, pero es imposible conocer su ubicación en el tiempo.
5.2.1.3 Señal de la Tormenta de Boston
En la Figura 5-13 contiene ocho imágenes, en las que se muestra el Periodograma obtenido al
hacer el análisis de la Transformada de Fourier en la señal registrada durante la tormenta de
Boston en las diferentes resoluciones temporales que se analizaron en el capítulo 3.
Con el mismo fin que se presento para la señal se la estación Camavieja aquí también se sigue la
dinámica de hacer una acercamiento de los diferentes Periodograma que se obtuvieron en el
análisis.
La primera fila de imágenes de la Figura 5-13 corresponde al Periodograma de la señal registrada
cada
segundos, la segunda fila de imágenes es el resultado del análisis de la señal agregada
cada minuto, la tercera fila de imágenes corresponde a los resultados obtenidos de la señal
agregada cada
minutos y la última fila de imágenes de Periodograma corresponde a la señal
agregada cada
minutos.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
73
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Figura 5-13. Periodograma de la serie de tiempo registrada por la tormenta presentada en Boston a diferente
resolución temporal, cada: (a) 15 segundos, (b) Acercamiento de 15 segundos, (c) 1 minuto, (d) Acercamiento de 1
minuto, (e) 10 minutos, (f) Acercamiento de 10 minutos, (g) 15 minutos y (h) Acercamiento de 15 minutos
Ana María Moros Vivas
74
Nótese, tal como se observó en el numeral 4.3.3 para esta señal registrada durante la tormenta de
Boston a medida que se cambia el nivel de agregación de la información la forma de la función
de Autocorrelación se mantuvo, situación similar observada mediante el análisis de Fourier.
5.2.2 Señales Bidimensionales
Para ilustrar cada uno de los conceptos presentados en este capítulo lo correspondiente con
señales bidimensionales, se analizaron dos imágenes:
 “Cartón de Huevos”: imagen construida para actuar como experimento controlado.
Consiste en la suma de dos funciones sinusoidales como se expresa en la Ecuación 5-26.
Ecuación 5-26
 Imagen de lluvia de la ciudad de Bogotá: “Tormenta Capitalina”. Dicha imagen de
análisis corresponde al campo de precipitación a la hora
pm, del día
de abril de
.
5.2.2.1 Imagen de control: “Cartón de Huevos”
Con el fin de comprobar la validez de las rutinas de cálculo desarrolladas se utilizo la Ecuación
5-26 para generar una imagen de resolución de
pixeles tal como e muestra en la
Figura 5-14.
Figura 5-14. Imagen de control: “Cartón de Huevos”
Para ilustrar el procesamiento de imágenes con la Transformada directa e inversa de Fourier se
presenta a continuación en la (a) de la Figura 5-15 en planta la imagen de control “cartón de
Ana María Moros Vivas
75
huevos” con su respectivo Periodograma, en la parte (b) la imagen reconstruida con el primer
armónico (la media) y el Periodograma, en la parte (c) la imagen reconstruida con los tres
primeros armónicos de la señal bidimensional y el Periodograma y en la parte (d) la imagen
reconstruida con los
más importantes armónicos.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
76
(c)
(d)
Figura 5-15. Implementación de la Transformada de Fourier en la imagen de control “Cartón de Huevos”. (a)
Imagen de control en planta con el Periodograma, (b) Imagen reconstruida con 1 armónico y el Periodograma, (c)
Imagen reconstruida con 3 armónicos y el Periodograma y (d) Imagen reconstruida con 100 armónicos y el
Periodograma.
Como se puede observar en el Periodograma mostrado en la Figura 5-15 (a), la imagen de control
tiene tres frecuencias predominantes. El primer valor o armónico (0,0), representa la media de la
señal, y el segundo y tercer valor de las frecuencias predominante son las que generan la onda
sinusoidal tanto horizontal como vertical. Como ocurría en el análisis de una señal en una
dimensional con la Transformada de Fourier el Periodograma es simétrico. A medida que
aumenta la cantidad de armónicos con los que se reconstruye la señal, el parecido con la señal
original aumenta. Aunque con tres armónicos se logra un gran parecido con la imagen original.
5.2.2.2 Imagen de Tormenta Capitalina
9 y Vargas, Cárdenas, Santos y Obregón
Del estudio hecho por Bernal y Obregón
10 se identifico una zona donde la variación de los centros de tormenta a través del
9
BERNAL Q, Fabio A y OBREGÓN N, Nelson. “Desarrollo de Modelos Conceptuales y Computacionales
para simular estocásticamente la dinámica Espacio – Temporal de la Precipitación de Bogotá”.
Universidad Nacional de Colombia.
.
10
VARGAS L, Andrés., CÁRDENAS C, Eder G., SANTOS R, Ana C., y OBREGÓN N, Nelson.
“Consideraciones en la estimación de los campos de precipitación en la ciudad de Bogotá”. Pontificia
Universidad Javeriana.
.
Ana María Moros Vivas
77
tiempo demuestra la dinámica de la formación y movimiento de la precipitación para el periodo
comprendido entre enero de
al
de diciembre de
, en la ciudad de Bogotá.
La ciudad de Bogotá se encuentra ubicada en la zona central del país en el altiplano
Cundiboyacense de la Cordillera Oriental. Su localización está dada por las coordenadas 4° 35'
53" N 74° 4' 33" W y por su altitud de
msnm. Bogotá tiene un área total de
km2 y
su casco urbano se extiende en más de 40 km a lo largo de la sabana en el sentido norte-sur y en
20 km en el sentido este-oeste. La ciudad tiene por límites naturales los llamados Cerros
Orientales en el costado este y al río Bogotá en el costado occidental (Figura 5-16). En lo que
respecta al clima, Bogotá se caracteriza por tener un régimen bimodal, siendo las épocas
lluviosas, los períodos comprendidos entre abril y mayo, y entre septiembre y noviembre. La
temperatura promedio de Bogotá es de 13 °C en un rango de 7 a 18 °C10.
Figura 5-16. Localización de la zona de estudio7710
El área espacial a modelar correspondió a la zona central (casco urbano delimitado de color azul)
de la ciudad de Bogotá - Colombia con dimensiones aproximadas de
kilómetros en dirección
norte – sur y
kilómetros en sentido oriente – occidente, lo correspondiente a
km2 área que
se encuentra delimitado por un rectángulo de color azul en la Figura 5-17. Como se puede
observar en la Figura 5-17, la zona de estudio delimita en el norte con la localidad de Suba,
occidente con la de Fontibón, oriente por los cerros orientales y sur los cerros de Guacamayas,
Juan Rey y Doña Juana, que se encuentran señalizados en triángulos rojos. Para a selección de la
zona de estudio fueron considerados los siguientes criterios:
 Densidad de estaciones pluviográficas con registros en un periodo común
Ana María Moros Vivas
78
 Estaciones localizadas en la zona plana, con el fin de reproducir precipitaciones de tipo
convectivo.
Las estaciones de medición de precipitación que contaron los autores se encuentran localizadas
en su gran mayoría dentro del casco urbano de la ciudad de Bogotá y están marcadas con puntos
de color verde en la Figura 5-17, teniendo para la zona de estudio
estaciones, de las cuales
estaciones pertenecen a la Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB) y
estaciones al Instituto de Hidrología y Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM).
Figura 5-17. Zona de estudio y localización de estaciones pluviométricas
La información de este parámetro hidrológico (precipitación) en la ciudad de Bogotá es
recopilada en estaciones de medición puntual, mediante instrumentos de medición discreta
(pluviómetros) o continua (pluviógrafos). Sin embargo, en la práctica es necesario conocer la
variación de la precipitación en el área de estudio, para lo cual se construyen los mapas de
isoyetas inverso de la distancia.
En los trabajos citados se identificaron
tormentas, de las cuales se escogió un solo evento para
hacer el análisis es el presente documento. Se advierte al lector que el análisis de la Transformada
de Fourier bidimensional se hace solo para una imagen de dicho evento, ya que se le sacará más
Ana María Moros Vivas
79
provecho a esta información en la implementación de la Transformada Wavelet que se presenta
en el capítulo 0.
La imagen que se expone a continuación corresponde al campo de precipitación generado por la
metodología de interpolación “IDW” para la agregación temporal de
minutos cuatro horas
después de haber comenzado la tormenta, es decir
pm. En la parte superior izquierda de la
Figura 5-18 se muestra el campo de precipitación de la tormenta que está compuesta por una
matriz de
filas y
columnas, que contiene
datos, y su Periodograma. Las otras
imágenes que componen la Figura 5-18 son la reconstrucción de la señal de entrada con diferente
cantidades de armónicos y su respectivo Periodograma.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
80
(c)
(d)
Figura 5-18. Implementación de la Transformada de Fourier en una imagen de la “Tormenta Capitalina”. (a)
Imagen original y su Periodograma, (b) Reconstrucción de la señal con 1 armónico y el Periodograma, (c)
Reconstrucción de la señal con 20 armónicos y (d) Reconstrucción de la señal con 800 armónicos más importantes.
Como se puede apreciar en la Figura 5-18 para el análisis de la imagen de la “Tormenta
Capitalina” se necesita una mayor cantidad de armónicos para que la reconstrucción de la señal
visualmente sea aceptable en comparación con la imagen de “Cartón de Huevos”.
Ana María Moros Vivas
81
6. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO
Algunas señales que describen los sistemas de la naturaleza están descritas por un
comportamiento en donde la frecuencia cambia eventualmente en el tiempo, fenómeno conocido
científicamente como No estacionalidad. Por esta necesidad de entender la naturaleza, se han
encontrado métodos matemáticos, más eficaces que la Transformada de Fourier, estudiado en el
capítulo 5, a la hora de ver los resultados. Después del estudiar dicha Transformada que permite
ver las frecuencias pero no es capaz de localizarlas en el tiempo, se presenta está temática básica
de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (STFT)11.
STFT, es una herramienta matemática la cual se puede ver como una versión más reciente del
análisis de señales comparado con la Transformada de Fourier o una versión revisada y
perfecciona de la Transformada de Fourier. El gran aporte de está transformada, es que permite
ubicar en intervalos de tiempo las frecuencias existentes de una señal, según su ocurrencia. Por lo
tanto el Periodograma de la STFT, tendría un aspecto tridimensional, donde un eje indicará la
Frecuencia, otro el tiempo y el último el valor de la Potencia.
Del mismo modo en este capítulo, se presentara primero la base teórica correspondiente y luego
se muestra la implementación con las señales unidimensionales que se han venido utilizando
desde el capitulo 3.
Se le informa al lector que la temática que se está presentando en este capítulo no se extiendes a
las señales bidimensionales.
6.1 Transformada de Fourier a través de una ventana finita
El contraste entre la Transformada de Fourier y la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, es
mínima, pero fundamental. Tal diferencia radica en que se aplica Transformada de Fourier a
pequeños intervalos de la señal original, intervalos para los cuales la señal se considera
estacionaria. Estos intervalos varían variando la ubicación de la ventana de análisis.
En otras palabras, el proceso consiste en multiplicar la señal de entrada por una función ventana
, que se traslada en el tiempo y al producto se le aplica la Transformada de Fourier. Como
resultado de dicha transformación se obtienen las frecuencias de la señal analizada dentro de la
ventana para cada una de las traslaciones de la ventana, y así podrá definir la señal, en tres
dimensiones: Translación de la ventana
, Frecuencia
y Potencia
. La ubicación de
cada uno de los puntos obtenidos, al aplicar STFT, da como resultado el Periodograma de la
Transformada de Fourier de Tiempo Corto.
La Ecuación 6-1 se define la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para señales continuas,
es:
11
STFT: Short Time Fourier Transform
Ana María Moros Vivas
82
Ecuación 6-1
Donde:
Señal definida en .
Función ventana, retrasada en el tiempo un valor de .
Frecuencia
Tiempo
Tiempo en el cual se ubica el centro de la ventana
Short Time Fourier Transform. Valor de la Transformada de Fourier de tiempo
corto para una frecuencia y un centroide de ventana .
La Transformada de Fourier de tiempo corto para señales discretas se define mediante expresión
matemática:
Ecuación 6-2
Donde:
Numero de datos que tiene la señal de análisis.
Es importante recordar que para desplazar hacia adelante una función en el tiempo sin alterar su
forma, es necesario retrasarla hasta el instante donde se desea ubicar. Este retraso, se efectúa por
medio de la resta de cierta cantidad en el dominio del tiempo. Por eso motivo, la función ventana,
dentro de la definición de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, presenta una resta en su
dominio.
Como se puede apreciar en la Ecuación 6-1 y Ecuación 6-2, corresponde a la señal de entrada
para el análisis por una función ventana
, la cual se encuentra rezagada en el tiempo,
antes de ser procesada por el análisis de la Transformada de Fourier.
Ana María Moros Vivas
83
6.1.1 Función “Ventana Móvil”
La función ventana defina como
, es una función la cual está contenida en un ancho que es
variable pero finito. Donde se encuentre ubicada la ventana sobre la señal de análisis se enciende
lo que se encuentra por dentro y el resto lo apaga. El ancho, o longitud de esta función es
denominada
, se localiza en el mismo dominio
de la señal, lo cual se puede variar su
magnitud.
El concepto de función ventana se ha venido utilizando implícitamente hasta el momento, en la
Transformada de Fourier, pues se efectúa una integración en todo el tiempo en el que la señal
existe, por lo tanto es como si se utilizara una función ventana con una longitud igual al dominio
de la señal. En la Transformada de Fourier de Tiempo Corto, a diferencia del caso expuesto
anteriormente, la función ventana presenta una longitud menor en comparación con la longitud
que tiene la señal, lo que permite que el dominio de la señal sea dividido en intervalos de longitud
igual al ancho de la función ventana utilizada. Es allí en estos intervalos donde ahora se
considera estacionaria la señal de análisis.
El proceso de desplazamiento que efectúa la función ventana en una señal de entrada se puede
observar con la secuencia de imágenes que componen Figura 6-1. La señal permanece fija en su
dominio original (en color naranja) y la función ventana (color morado) se va desplazando en el
dominio del tiempo, instante tras instante hasta recorrer toda la señal. Como se dijo
anteriormente, de acuerdo al ancho de la función ventana, la señal es dividida en segmentos de
tiempo donde se puede considerar que la señal es estacionaria; es allí donde se efectúa la
multiplicación entre la función ventana utilizada y la señal original. Como se puede observar en
la Figura 6-1, la función ventana se desplaza a través de todos los instantes del tiempo de la señal
de análisis, por lo tanto es por esta razón que se obtiene la información de intervalos (tiempo)
donde se presentan las frecuencias de la señal.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
84
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 6-112. Desplazamiento de la función ventana en el dominio del tiempo de una señal
Como se puede observar en la Figura 6-1, la función ventana ubicada en algunos instantes de
tiempo diferentes. Es importante mencionar, que estos desplazamientos de la función ventana
sobre la señal de análisis corresponden específicamente algunos de todas las posibles
localizaciones que podría tener la función ventana en el dominio de la señal. La totalidad de
desplazamientos, corresponden a todo el tiempo en el que esté definida la señal, y esto puede ser
incluso, desde menos infinito hasta infinito, si la señal así lo requiere.
Como se presentó anteriormente en la Ecuación 6-1 la función ventana está definida como
, donde al observar la Figura 6-1 representa el punto central donde se ubica las función
ventana utilizada, es decir el punto más alto de la función definida en color morado.
En el análisis de una señal con la Transformada de Fourier de tiempo corto existen varios tipos de
funciones ventana, la más usada es la de función ventana “Gaussiana”. La función ventana
Gaussiana definida en la Ecuación 6-3, tiene la ventaja que en el instante de tiempo donde se
12
Presentación de clase de Jorge Alberto Valero Fandiño (I.C, MSc.)
Ana María Moros Vivas
85
ubique y en sus alrededores cercanos ejercerá buena influencia en el dominio de la señal,
mientras que en los valores lejanos tenderá apagar la información de la señal, aspecto importante
por haber pasado de Transformada de Fourier a la Transformada de Fourier de Tiempo Corto.
Ecuación 6-3
Donde:
Función ventana
Parámetro que define la longitud de la función ventana
Tiempo
El parámetro
, que hace parte de la función ventana “Gaussiana” es inversamente proporcional
a la longitud de está, es decir, si al parámetro
se le da un valor grande, la ventana es estrecha,
mientras que si
, tiene un valor pequeño la ventana es amplia, estos se puede observar en la
Figura 6-2.
(a)
(b)
Figura 6-2. Diferentes comportamientos de la función Ventana Gaussiana según el parámetro
(b)
y (c)
(c)
. (a)
,
Como se puede observar en la Figura 6-2, el ancho de ventana debe ser elegido teniendo en
cuenta la relación entre frecuencia y tiempo. Cuando la función ventana es pequeña pueden
apreciarse frecuencias altas y cuando la función ventana es grande se observan las frecuencias
bajas. En la Tabla 6-1 se presenta la relación que existe entre la resolución del tiempo y la
frecuencia con el tamaño de la función ventana.
Ana María Moros Vivas
86
Tabla 6-1. Relación entre el tamaño de la función ventana con la frecuencia y el tiempo de la señal de análisis
Ventana
angosta en
tiempo
Ventana
ancha en
tiempo
Buena
resolucion en
tiempo
Permite analizar
segmentos cortos de la
señal
Mala resolucion
en frecuencia
No permite conocer con
exactitud las frecuencias
presentes
Buena
resolucion en
frecuencia
Permite conocer con
exactitud las frecuencias
presentes
Mala resolucion
en tiempo
No permite conocer con
exactitud en que tiempo
ocurren
Como se puede observar en la Tabla 6-1, con una única función ventana es complicado ver al
mismo tiempo frecuencias altas y bajas.
En resumen, para señales no estacionarias se tiene que los componentes de baja frecuencia son de
larga duración, lo cual se requiere de ventanas anchas y los componentes de alta frecuencia son
de corta duración, por lo tanto se requieren de ventanas angostas. Esto indica que se necesita una
herramienta más versátil que permite extraer información más precisa para altas y bajas
frecuencias de forma simultánea, tal herramienta es la analizada en el capítulo 0.
6.2 Implementación de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto
A continuación se presenta el análisis de la Trasformada de Fourier de Tiempo Corto para cada
las señales unidimensionales que se han venido trabajando desde el capítulo 3,
 Señal “Suma de Cosenos”
 Señal registrada por la estación Camavieja
 Señal registrada durante la tormenta de Boston
Las rutinas fueron desarrolladas en el lenguaje de programación Matlab R2009b bajo el sistema
operativo Windows XP.
6.2.1 Análisis de la señal “Suma de Cosenos”
La señal “Suma de Cosenos” definida por la Ecuación 4-28 actúa como experimento para
analizar la confiabilidad de las rutinas desarrolladas. La señal fue analizada mediante un ventana
Gaussiana con diferentes valores de
. En la Figura 6-3 se presenta los resultados obtenidos con
esta transformada.
Ana María Moros Vivas
87
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 6-3. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la señal “Suma de Cosenos” con la
función ventana Gaussiana para el diferentes valores del parámetro “a”. (a) Serie original, (b) a =1 e-2,
(c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
Como se puede apreciar en la imagen de la Figura 6-3 (a), con el valor del parámetro escogido de
la función ventana Gaussiana se pueden denotar los intervalos de tiempo donde se encuentra las
frecuencias predominantes de la señal. Al ampliar la ventana se va perdiendo información del
tiempo en que se encuentran ubicadas las frecuencias predominantes de la señal. Nótese como el
tamaño de la ventana influye importantemente en los resultados obtenidos. En la Figura 6-3 (c),
se identifican claramente cuatro frecuencias que ocurren a lo lardo de todo el tiempo, tal como la
señal original lo establece. En la imagen 6-3 (d) se aprecia que las frecuencias no son
diferenciadas, como están persistentes a lo largo de tiempo, es análogo a los resultado de la
Transformada de Fourier sin función ventana (capitulo 5.2.1.1).
Ana María Moros Vivas
88
6.2.2 Análisis de la señal registrada por la Estación Camavieja
Con el objetivo de poder ver el desarrollo secuencial que se genera al hacer la Transformada de
Fourier de Tiempo Corto en una serie de datos real, se presenta a continuación los resultados
obtenidos para la señal descrita en el numeral 4.3.2, como una secuencia de imágenes que hacen
parte de las Figura 6-4, Figura 6-5 y Figura 6-6. Allí se presentan los Periodogramas obtenidos
con la función ventana Gaussiana con diferentes valores del parámetro
.
Advertimos al lector que no se presentara el análisis de la Transformada de Fourier de Tiempo
Corto para la resolución temporal diaria de la señal registrada de la estación Camavieja, por
limitaciones del programa desarrollado.
El conjunto de imágenes que contiene la Figura 6-4 se presentan (a) la serie de tiempo con
agregación semanal, (b), (c) y (d) los Periodogramas obtenido con la Transformada de Fourier de
tiempo Corto con variación del parámetro
de la función Gaussiana.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
89
(c)
(d)
Figura 6-4. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana
variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación Camavieja a escala temporal semanal.
(a) Serie original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
Nótese en la Figura 6-4 la dificultad para hallar un ventana apropiada y “única” para poder
diferenciar las frecuencias que se hallan en la señal de análisis.
Al igual que en la agregación semanal anteriormente mostrada, en las Figura 6-5 y Figura 6-6 se
expone los Periodogramas de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto respectivamente para
la agregación mensual y anula de la estación Camavieja.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
90
(c)
(d)
Figura 6-5. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana
variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación Camavieja a escala mensual. (a) Serie
original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
Al observar la imagen de la Figura 6-5 (a) y Figura 6-4 (d) y al compáralas el comportamiento de
los Periodogramas es muy parecido, a pesar de ser diferente la agregación temporal.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
91
(c)
(d)
Figura 6-6. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana
variando el valor del parámetro “a”, para la señal registrada en la Estación Camavieja a escala anual. (a) Serie
original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
Como se aprecia en el conjunto de imágenes de la Figura 6-6 para las diferentes funciones
ventanas Gaussianas utilizadas el comportamiento del Periodograma es igual al obtenido con la
Transformada de Fourier.
6.2.3 Análisis de la señal registrada en la Tormenta de Boston
En las siguientes imágenes muestra la Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la señal
Tormenta en Boston, para los niveles de agregación mencionados en el capítulo 4.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
92
(c)
(d)
Figura 6-7. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana
variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston cada 15 segundos. (a) Serie original, (b)
a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a = 1 e-4.
En la Figura 6-7, es evidente la dificultad de hallar una ventana apropiada con la que se
visualicen diferenciadas las frecuencias de la señal de análisis.
En la Figura 6-8 se presenta el conjunto de Periodogramas para la serie registrada durante la
tormenta de Boston agregada cada minuto con diferentes valores del parámetro
para la
función ventana Gaussiana.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
93
(c)
(d)
Figura 6-8. Periodograma de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana
variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada cada minuto. (a) Serie
original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
En la siguiente figura se puede observar el comportamiento del Periodograma para diferentes
valores de
de la función ventana Gaussiana en la serie registrada durante la tormenta de
Boston agregada cada
minutos.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
94
(c)
(d)
Figura 6-9. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana Gaussiana
variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada cada 10 minutos. (a) Serie
original, (b) a =1 e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
A continuación se puede visualizar en la Figura 6-10 los resultados obtenidos del análisis de la
Transformada de Fourier de Tiempo Corto para la serie agregada cada
minutos variando el
valor del parámetro
de la función ventana utilizada en este documento.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
95
(c)
(d)
Figura 6-10. Espectro de Potencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto con la función ventana
Gaussiana variando el parámetro “a”, para la señal registrada en la tormenta de Boston agregada cada 30 minutos. (a)
Serie original, (b) a = 1e-2, (c) a =1 e-3 y (d) a =1 e-4.
Nótese en la Figura 6-9 y Figura 6-10 los valores del parámetro
utilizados en la función
ventana no son los adecuados para cada una de las agregaciones que se está haciendo en el
análisis, ya que el comportamiento de los Periodogramas presentado es análogo al los resultados
obtenido por la Transformada de Fourier.
Después de poder observar el comportamiento de la Transformada de Fourier de tiempo Corto en
el análisis de varias señales unidimensionales, se pudo evidenciar que la función Ventana que se
utiliza permite obtener la información de intervalos de tiempo. Sin embargo, esta función ventana
presenta un nivel de ineficiencia e inexactitud en cuanto a la resolución final que permita
visualizar gráficamente las frecuencias y su tiempo de ocurrencia. El ancho de esta ventana en
este análisis debe ser variado por el método de prueba y error hasta obtener la resolución más
adecuada. Esto indica que se necesita una herramienta más versátil la cual es el “Análisis de
Wavelet”.
Ana María Moros Vivas
96
7. ANÁLISIS DE WAVELET
A pesar de la existencia del problema que se vio en el capítulo anterior, si se desea ver frecuencia
se pierde tiempo y viceversa, es posible analizar una señal unidimensional o bidimensional
usando un enfoque mediante la denomina “Transformada Wavelet”.
De manera formal en análisis “Wavelet”13 apareció en la década de los ochenta en el análisis de
señales sísmicas con los trabajos de Morlet
y Grossman y Morlet
. Desde
entonces varios avances matemáticos significativos en la Transformada Wavelet han sido
desarrollados y usados en diversos campos. Esta transformada es una de las técnicas más
recientes propuestas para resolver problemas de compresión de imágenes, relevamiento de
bordes, análisis de textura y análisis multiescala. El interés por este nuevo herramienta
matemático nace de la “emergencia” que ofrece de superar alguna de las limitaciones que se
enfrentan al emplear la transformada de Fourier (capitulo 5) y la Transformada de Fourier de
Tiempo Corto (capitulo 6).
La prioridad de este capítulo es hacer una descripción de los conceptos necesarios para
comprender como se realiza el Análisis de Wavelet. En un primer lugar, se parte de la definición
de la palabra “wavelet”, se continúa con la historia, aplicaciones, ventajas, la metodología de
análisis se define matemáticamente y se concluye con su implementación en las señales
unidimensionales y bidimensionales que se han venido trabajando en el presente documento.
7.1 La forma y los detalles14
En el transcurso del siglo XX, los científicos de distintos campos intentaron superar cada una de
las limitaciones que tiene la Transformada de Fourier y Transformada de Fourier de tiempo
Corto. Tal como se expone en el documento: “Wavelet: ver el bosque y los arboles”15, se busco
diseñar una técnica matemática mediante la cual se aprecia la forma de la señal y sus detalles.
Aunque cada científico intentaba resolver los problemas específicos de su respectivo campo,
todos comenzaron a llegar a la misma conclusión: que el análisis con la Transformada de Fourier
no era el adecuado para señales no estacionarias. También llegaron en esencia a la misma
solución: quizás al dividir una señal en componentes que no fueran ondas sinusoidales puras,
sería posible condensar la información tanto en el dominio del tiempo como en el de la
frecuencia. Esta es la idea que finalmente se denominaría “wavelet”.
13
Por razones a la nomenclatura encontrada en la literatura internacional y nacional, en este documento
se ha decidido utilizar la designación wavelet en vez de su traducción: ondita u ondeleta.
14
POLIKAR, R. The Wavelet Tutorial. Dept. of Electrical and Computer Engineering. Rowan University.
1995.
15
Artículo: “Wavelets: ver el bosque y los arboles”, elaborado por la científica Dana Mackenzie, con la
colaboración de los Dres. Ingrid Daubechies, Daniel Kleppner, Stéphane Mallat, Yves Meyer, Mary Beth
Ruskai y Guido Weiss para Beyond Discovery®. National Academy of Sciences. 2001
Ana María Moros Vivas
97
7.1.1 ¿Qué es una “Wavelet”?
Una “wavelet” es el nombre dado a una “pequeña onda u ondita” que tiene su energía
concentrada en un periodo de tiempo determinado, lo cual proporciona una herramienta para el
análisis de fenómenos transitorios no estacionarios, como se ilustra en la Figura 7-1. “Wavelet”
es una función oscilatoria de longitud finita al estilo de la función ventana, vista en el contexto de
la Transformada de Fourier de Tiempo Corto (capitulo 6).
Figura 7-1. Onda tipo “wavelet”
7.1.1.1 Historia y Cronología16 de la Transformada Wavelet
La gran revolución de las “wavelets” nació en la década de los 80`s a partir de la búsqueda de
petróleo, el llamado “oro negro”, por el ingeniero Jean Morlet de la compañía Francesa EIf –
Aquitanie quien buscaba ofrecer a los geólogos de interpretación de señales sísmicas.
Jean Morlet, desarrolló su propia forma de analizar las señales sísmicas creando componentes
estuvieran localizadas en el espacio. Estos componentes los denomino “wavelets de forma
constante”, que después de cierto tiempo se conocieron como “wavelet de Morlet”. La forma de
analizar una onda sísmica consistía en separarla en las “wavelet” que las componían y también
volviéndolas a unir para reconstruir la onda original (proceso inverso). Tal como se hacía en el
caso de la Transformada de Fourier en donde se descompone una señal en armónicos u ondas
sinusoidales. Con el fin de encontrar coherencia matemática en el funcionamiento empírico de su
método de análisis de señales, el Ingeniero en el científico Alex Grossmann, físico del Centre de
Physique Théorique de Marsella (Francia).
Morlet trabajó con Grossmann de forma continua hasta lograr demostrar matemáticamente que
las ondas se podían reconstruir a partir de sus componentes “wavelets”; y al lograr esto, pudieron
afirmar que transformaciones de “wavelets” funcionarían mucho mejor que las transformaciones
16
HOYOS O, Carlos D. Algunas aplicaciones de la Transformada de Fourier y la descomposición en
Onditas a señales Hidrológicas y Sísmicas. Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín. 1999.
Ana María Moros Vivas
98
de Fourier. Los resultados de su investigación fueron publicados en un artículo en
primer documento donde se identifica la palabra "wavelet".
, y es el
Es así, que la Transformada Wavelet se originó en la geofísica a principios de
para el
análisis de señales sísmicas. Desde entonces, se han venido realizando aplicaciones en diversos
campos, como en geofísica donde el poder de las “wavelets” permite analizar procesos no
estacionarios que contienen características multi-escalares y detección de singularidades; el
análisis de fenómenos transitorios, procesos fractales y multifractales, la compresión de la
señales, estudios de precipitación, turbulencia atmosférica, topografía de la superficie terrestre,
batimetría del fondo marino, etc.
Se prevén en el futuro próximo, importantes avances en la comprensión y análisis de series.17
A continuación se presenta la cronológica de la Transformada Wavelet, pero como se anotó
anteriormente los aportes más relevantes se dieron a partir de
Tabla 7-1. Cronología de la Transformada Wavelet15
AÑO
1.807
APORTES A LA TRANSFORMADA WAVELET
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático francés y protegido de Napoleón, afirma que cualquier
función periódica, u onda, se puede expresar como una suma infinita de ondas sinusoidales y
cosinusoidales de distintas frecuencias. Como había serias dudas sobre la exactitud de sus
argumentos, su artículo no se publicó hasta 15 años después. A finales del siglo, las series de Fourier
están omnipresentes en la ciencia. Son una herramienta ideal para analizar ondas sonoras y de luz.
Sin embargo, no son igual de eficaces para el estudio de fenómenos transitorios, tales como ráfagas
breves de sonido o de luz.
1.909
Alfred Haar, matemático húngaro, descubre una "base" de funciones que se reconocen actualmente
como las primeras “wavelets”. Consisten en un breve impulso positivo seguido de un breve impulso
negativo
1.930
John Littlewood y Richard Paley, de la Universidad de Cambridge, demuestran que la información
local sobre una onda, como la duración de un impulso de energía, se puede recuperar mediante la
agrupación de los términos de sus series de Fourier en "octavas".
1.946
Dennis (Denes) Gabor, científico británico-húngaro inventor de la holografía, descompone las
señales en "paquetes de tiempo-frecuencia" o "frecuencias de Gabor" o “Transformada de Fourier de
Tiempo Corto”.
1.960
El matemático argentino Alberto Calderón descubre la expresión matemática que posteriormente
permite a los matemáticos recuperar una señal a partir de la expansión de sus “wavelets”.
1.976
Físicos de IBM Claude Galand y Daniel Esteban descubren la codificación subbanda, la forma de
codificar transmisiones digitales por teléfono.
1.981
El ingeniero geofísico Jean Morlet, de Elf-Aquitaine, descubre una manera de descomponer las
señales sísmicas "wavelets de forma constante". Pide ayuda al físico cuántico Alex Grossmann para
demostrar que el método funciona.
1.984
Un artículo publicado conjuntamente por Morlet y Grossmann introduce por primera vez el término
"wavelet" en el lenguaje matemático
1.985
Yves Meyer, de la Universidad de París, descubre las primeras “wavelets” ortogonales suaves.
17
KUMAR Praveen and FOUFOULA – GEORGIOU Efi. Wavelet Analysis for Geophysical Applications.
The American Geophysical Union. November
Pages:
Ana María Moros Vivas
99
1.986
Stephan Mallat, por entonces investigador de la Universidad de Pennsylvania, demuestra que la base
de Haar, las octavas de Littlewood-Paley, las frecuencias de Gabor y los filtros subbanda de Galand y
Esteban están todos relacionados con algoritmos basados en “wavelets”.
1.987
Ingrid Daubechies construye las primeras “wavelets” ortogonales suaves con una base sólida. Sus
“wavelets” convierten la teoría en una herramienta práctica, que cualquier científico con una
formación matemática mínima puede programar y utilizar fácilmente.
1.990
David Donoho e Iain Johnstone, de la Universidad de Stanford, utilizan las “wavelets” para "eliminar
el ruido" de imágenes, haciéndolas aún más nítidas que los originales.
1.992
El FBI elige el método de “wavelets” desarrollado por Tom Hopper, de la división de Servicios de
información criminal del FBI, y Jonathan Bradley y Chris Brislawn, del Laboratorio Nacional de Los
Alamos, para comprimir su enorme base de datos de huellas dactilares.
1.995
Pixar Studios presenta la película Toy Story, la primera película de dibujos animados realizadas
completamente por computadora. En la secuela Toy Story 2, algunas formas se realizan mediante
superficies de subdivisión, técnica relacionada matemáticamente con las “wavelets”.
1.999
La Organización Internacional de Estándares (International Standards Organization) aprueba el
estándar de compresión de imágenes digital denominado JPEG-2000. El nuevo estándar utiliza
“wavelets” para comprimir archivos de imágenes en una proporción de 1:200, sin pérdidas
apreciables en la calidad de la imagen.
7.1.1.2 Aplicaciones15,18
La teoría de las “Wavelet” tiene muchas aplicaciones reales y aportes en diferentes campos,
siendo esta herramienta muy joven en comparación con las Transformadas de Fourier.
Con el fin de detectar discontinuidades, puntos de rupturas, identificar frecuencias puras, reducir
del ruido, comprimir información, aproximar funciones, solución de ecuaciones diferenciales en
señales unidimensionales, dinámica molecular, la astrofísica, la geofísica de los sismos, la óptica,
el estudio de las turbulencias y la mecánica cuántica, así como en otros campos muy variados
como el análisis de electrocardiogramas, el estudio del ADN, al análisis de sangre, el
reconocimiento de voz, meteorología, en el campo de la biometría y análisis Multifractal es
utilizada la Transformada Wavelet.
Las imágenes, señales bidimensionales son la aplicación más famosa de esta transformada ya sea
para la compresión o el procesamiento de estas, es decir reducción o ampliación. El eje central de
las imágenes digitales JPEG-2000 y del método WSQ (del inglés Wavelet Scalar Quantization,
cuantificación escalar de wavelets) que utilizó el FBI (Federal Bureau of Investigation) para
comprimir su base de datos de huellas dactilares. Esta aplicación es posible gracias a los
coeficientes de “wavelet”, que presentaran más adelante, que es información que sin ser la
imagen misma posee los recursos suficientes. En este contexto, se puede pensar que las
“wavelets” contienen los componentes básicos de una imagen.
18
SEPÚLVEDA, F; y CASTELLANOS G. determinación de voces disfonicas usando bases wavelet
discriminante. 2004.
Ana María Moros Vivas
100
Imagínese que se aprecia un bosque. En el contexto de “wavelet” es posible visualizar el bosque
en general o concentrarse sobre un árbol en esencial.
La Transformada Wavelet proporciona las herramientas apropiadas para diseñar estrategias
analíticas para caracterizar los parámetros especiales de las señales unidimensionales y
bidimensionales.
Es importante aclarar que no son todas las aplicaciones que existen para dicha transformada, esto
es solo una prueba muy pequeña de lo que se puede conseguir aplicándose por si solas tal como
lo marca la historia y el límite de nuestra imaginación.
7.1.1.3 Ventajas de las “wavelet” sobre la Transformada de Fourier
Transformada de Tiempo Corto 19
y la
El análisis de señales con las Transformadas de Fourier y Wavelet el objetivo es el mimo:
descomponer una señal en “ondas”.
A continuación, se presentan una serie de aspectos que deben considerarse a la hora de analizar
una señal con alguna de las transformadas presentadas en este documento:
El análisis de Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitente: si se añade un
impulso localizado en el tiempo de una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado,
mientras que solo algunos coeficientes de “wavelet” modifican.
El análisis de wavelet esta especialmente diseñado para explorar señales con pulsos o
intermitencias (cambios bruscos), es decir sucesos que ocurren de manera no periódicas.
Para estas señales, Fourier da muy poca información, al perder casi toda información
temporal.
El análisis de wavelet en muchos casos proporciona una mejor compresión de los datos
que con la Transformada de Fourier.
El análisis
se recorre la señal con un solo tamaño de ventana en cambio en
“wavelet” con varios tamaños de ventana.
Con la transformada Wavelet se puede examinar exhaustivamente señales con tiempos de
cálculo reducidos y permite tener más información de la señal de análisis en comparación
de las Transformadas de Fourier.
7.1.1.4 Propiedades de las funciones Wavelet
La elección de un tipo “wavelet” para aproximar una determina señal requiere de un balance
entre diferentes propiedades, tales como la suavidad, localización espacial y temporal, la
19
STRANG, G.; TRUONG, N. Wavelet and Filter Banks. Wellesley – Cambridge Press. 1996.
Ana María Moros Vivas
101
localización de frecuencia, la habilidad para presentar funciones polinómicas locales, la
ortogonalidad y la simetría. Estas propiedades se discuten a continuación19:
La suavidad. En varias aplicaciones, las “wavelet” deben ser los suficientemente suaves
como para poder representar eficientemente las características de la señal que se desee
aproximar. La suavidad en la “wavelets” se mide por el número de derivadas que existen,
y esta también relacionado con el número de momentos nulos.
Localización espacial y temporal. Una propiedad muy importante de las “wavelet” es su
habilidad para localizar las características del fenómeno analizado en espacio y en tiempo.
Localización de frecuencias. Las wavelets no solo localizan características en tiempo y en
espacio, sino también en frecuencia. En general, las funciones “wavelets” más suaves
tienen mejores propiedades de la localización de frecuencias.
Simetría. Las “wavelets” ortogonales de soporte compacto no son simétricas, excepto la
wavelet de Haar como se verá más adelante.
Ortogonalidad20. Característica fundamental en el análisis con la transformada wavelet,
ya que la información capturada por una función wavelet es completamente independiente
de la información capturada por la función de escalamiento por lo tanto son mutuamente
excluyentes. De esta manera no hay superposición de la representación de los datos en el
análisis del dominio de la frecuencia.
7.1.2
Problema directo e inverso en 1D
El análisis mediante wavelet puede hacerse para fenómenos continuos o discretos. Estas son las
herramientas matemáticas que permiten el análisis de señales unidimensionales dando
información en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Como menciona
Daubechies:
“… the wavelet transform is a tool that cuts up data or functions or operators into different
frequency components, and then studies each component with a resolution matched to its scale”
7.1.2.1 Marco Continuo19
Ahora que se conocen las propiedades que tiene las funciones “wavelets” y que se ha expuesto
el tipo de análisis que se puede realizar, es conveniente presentar la Transformada Wavelets en
tiempo Continuo de una señal
:
20
1 Anexo. Funciones Ortogonales y Ortonormales
Ana María Moros Vivas
102
Ecuación 7-1
Donde:
Transformada Wavelet de tiempo Continuo (Continued Wavelet Transform)
Señal de análisis
Convolución21
Tiempo
Escala. Real mayor que cero
Función de Transformación o Función wavelet
Translación de la función wavelet en el dominio de la señal de análisis. Real
mayor que cero
Nótese que la
es función de dos variables
y
, y está estrechamente relacionada con
o “madre wavelet u Ondita madre” a partir de la cual se generan hijos con cada dupla de
valores particulares de
y
, ya que hace referencia a una función ventana de longitud finita
y de carácter oscilatorio, y por el análisis será alterada durante el procesamiento de la señal
siendo dilatada y trasladada en el dominio original de la señal.
Los valores que
toma para cada pareja
y
representan de cierta manera el
grado de similitud entre la función wavelet y la señal analizada. Si estas son ortogonales22 el
resultado es un coeficiente nulo, mientras que si la señal de análisis está constituida por
componentes similares a una o más función wavelet, entonces los coeficientes correspondientes
poseerán un valor relativamente grande.
Respecto a los parámetros
y
es necesario comentar que la translación
, está
relacionada con la localización de la ventana en la medida que esta se desplaza a través de la
señal
, mientras que la escala
corresponde a una dilatación o una contracción de la
misma, entonces las altas escalas corresponden a señales dilatadas y las escalas pequeñas
corresponden a señales comprimidas. En relación con la frecuencia, las escalas menores
corresponden a altas frecuencias y escalas mayores corresponden a bajas frecuencias.
21
22
Ver Anexo 2
Ver Apéndice 1
Ana María Moros Vivas
103
“Dilatación Binaria y Traslación continuas en el tiempo”
En la transformación
, los parámetros de dilatación
y translación
, son números
reales enteros, por lo tanto al analizar señales es necesario tomar algunos valores de
y
de
las infinitas posibilidades que existen. Uno de los métodos consiste en hacer que las escalas
varíen en potencia de dos, por la cual el muestre de
se conoce como “Dilatación Binaria” y
la traslación se realiza con base en múltiplos del tamaño de la ventana y recibe el nombre de
Translación Diádica”. Es decir:
Ecuación 7-2
Ecuación 7-3
Donde:
Índice de discretización de la
Índice de discretización de
. Tomando valores enteros positivos.
.Tomando valores enteros positivos.
Para un número de datos
es necesario determinar el valor máximo de
el cual
garantiza que el valor mínimo de
sea entero. Este término nuevo
se puede ver como la
cantidad máxima de niveles para los que se puede analizar la señal.
Ecuación 7-4
Las barras dobles simbolizan la función parte entera.
Reemplazando en la Ecuación 7-1, los parámetros escala
y traslación
por sus respectivos
equivalentes discretizados dados en las Ecuación 7-2 y Ecuación 7-3 se llega a la siguiente
expresión que se denomina Trasformada de Wavelet Continua en el Tiempo pero Discretizada
para los parámetros
y
:
Ecuación 7-5
Nótese que el método de discretización de
y
se basa en potencias de dos, de modo que la
serie o conjunto de datos a analizar debe ser también en potencia de dos. En la implementación
de la Transformada, se muestra como se modificó el tamaño de las señales de análisis
unidimensionales y bidimensionales para que fuesen potencia de dos.
Escalograma
Ana María Moros Vivas
104
Diagrama que describe la distribución de la energía de la señal en función de la escala y la
traslación.
En la Figura 7-2 se muestra un Escalograma. Nótese que cuando el valor de la traslación es alto
(ventana amplia) valor denotado por
las frecuencias que se aprecian son bajas (escalas altas)
valor denotado con
. En caso contrario cuando el valor de la traslación es bajo (ventana
angosta) valor denotado por
, las frecuencias que se aprecian son altas (escalas bajas) valor
denotado por
.
.
Figura 7-2. Escalograma
El análisis de wavelet da información sobre el espectro de frecuencia en función del tiempo. La
resolución espectral de una frecuencia
es
. La resolución temporal de esa misma
frecuencia es:
, por lo tanto
. Es elemental destacar que las celdas que
componen el Escalograma (Figura 7-2) tienen un área no nula, lo cual indica que no es posible
conocer el valor de un punto particular ya que están determinadas por el principio de
incertidumbre de Heisenberg.
Es importante aclarar que el proceso de transformación de una señal es reversible, a esto es lo que
literalmente se le conoce como la Transformada Inversa Continua de Wavelets
. Esta
transformación inversa está dada por la siguiente expresión matemática:
Ecuación 7-6
Ana María Moros Vivas
105
Donde
es una constante determina por “wavelet” que se ha utilizado en la transformación.
Esta constante se conoce como constante de admisibilidad o condicione de la media nula y está
definida como:
Ecuación 7-7
Donde
es la transformada de Fourier de
que es la función madre de la “wavelet”
utilizada en la transformación inicial. Básicamente la
debe tener un valor finito para que se
pueda hacer una transformación inversa. A este proceso de reconstrucción de la señal se le
conoce como síntesis de la señal y generalmente se realiza después del proceso de análisis o
descomposición de la señal. Esta herramienta matemática también puede ser usada para analizar
señales que no son continuas. A continuación se presenta el mismo análisis pero para señales en
tiempo discreto.
7.1.2.2 Marco Discreto
La Transformada de Wavelets en tiempo Discreto es el caso particular de esta transformada para
ser aplicado a series discretas, el caso más común en ingeniería.
El cálculo de la transformada wavelet para todas las posibles escalas supone una gran cantidad de
información. Escoger solo aquellas escalas y posiciones que resulten interesantes para ciertos
estudios es una tarea complicada. Si se escogen aquellas escalas y posiciones basadas en potencia
de dos como se presentó en el marco continuo, los cálculos computacionales serian mas agiles. El
análisis de la Transformada de Wavelet en Tiempo Discreto
se describe
matemáticamente:
Es decir:
Ecuación 7-8
Al igual que para la transformación
, la señal se puede reconstruir a partir de los coeficientes
de transformación, mediante una transformación inversa discreta:
Ana María Moros Vivas
106
Ecuación 7-9
Para las señales la información más importante desde el punto de vista de su constitución podría
decirse que se encuentra en las frecuencias bajas, mientras que en las altas frecuencias se
encuentran los detalles o matices de la señal. El análisis wavelet en tiempo discreto permite
descomponer la señal en aproximaciones
y detalles
para hacer un análisis por separado
del “alma o alma” y los detalles de la señal.
Para encontrar se debe partir de la expresión matemática que se tiene en la Ecuación 7-9; si se fija
una escala
y se nombrará todas las traslaciones
a lo largo de la escala de tiempo se obtiene
una subseñal de detalle para esta escala que se bautizara , como se muestra a continuación:
Ecuación 7-10
De igual manera, si se suman todas las subseñales de detalle a lo largo de las escalas
recupera la señal original:
se
Ecuación 7-11
Como se puede observar en la última expresión, la señal original se cubre con la sumatoria de
todos los detalles para infinitas escalas de análisis. Un procedimiento bastante largo y tedioso.
Si la translación de las “wavelets” está limitada por la duración temporal de la señal es necesario
un número finito
de escalas para recuperar la señal. Al hacer esta transformación hasta un
número finito de escalas
se pretende reconstruir la señal original con cierta cantidad de
escalas disponibles, lo cual es necesario completar la información correspondiente a
para escalas superiores a , en este caso se tiene:
Ecuación 7-12
Donde:
La subseñal de aproximación
Obsérvese de la expresión matemática anterior, los límites ahora de la sumatoria han cambiado y
las subseñales de aproximación se relacionan a diferentes escalas mediante:
Ana María Moros Vivas
107
Ecuación 7-13
Es importante tener en cuenta que la subseñal de aproximación y la subseñal de detalles son
complementarias y ortogonales.
La cantidad de detalles que se tengan en cuenta en la sumatoria es la cantidad de niveles
se analiza una señal.
que
En la Figura 7-3, se puede observar lo que se ha venido expresando de la descomposición para
diferentes escalas de una señal que tiene infinitas opciones, es decir un infinito numero detalles
para la reconstrucción.
Figura 7-3. Descomposición de escalas de una señal
En la Figura 7-3 se muestra una silueta geométrica tipo triangulo (color azul) que representa la
infinitas escalas
que se puede ser analizada una señal. Las líneas horizontales que subdividen
el triangulo de colores variados, azul turquesa, morado y verde, representan las subseñales de
detalles que se obtiene al hacer la descomposición en
por cada nivel
que es analizado la
señal. La línea horizontal color rojo representa la subseñal de Aproximación
(la cual esta
definiendo las infinitas subseñales que se puede obtener en las infinitas escalas).
Para obtener la subseñal de aproximación
en el análisis wavelets se recurre a unas
funciones bases llamadas funciones de escalamiento denotas por:
, lo cual para cada
función de “wavelet” está definida una función de escalamiento, que se presentarán más
adelante. De tal forma la Ecuación 7-9 se reescribe como:
Ana María Moros Vivas
108
Ecuación 7-14
Donde:
Función de escalado, principio fundamental del concepto de
escala.
Para calcular dicho término se tiene:
Ecuación 7-15
Nótese de la Ecuación 7-14 la escala
es finita, mientras que la traslación no está limitada, es
decir “se mira a unas escalas la señal y el resto lo aproximo”. Esto conduce a la teoría
matemática conocida como Análisis de Multiresolución
, la cual hace una descomposición
jerárquica de la señal en subseñales de detalles y aproximación. La idea central de este análisis
consiste en estudiar una señal
a partir de aproximaciones más y más burdas, donde a cada
aproximación se cancelan algunas de las altas frecuencias o de los “detalles” de la señal original.
La información que se elimina de una aproximación a la siguiente, equivale a:
En la Figura 7-4 se presenta como funcionan el análisis de una señal con la transformada wavelet.
Se tiene una señal de la cual se desea hacer una descomposición de niveles:
Ana María Moros Vivas
109
A3
A2
A1
SEÑAL
f(t)
D3
D2
D1
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Figura 7-4. Proceso de descomposición de una señal con Análisis de Multiresolución.
Las cajas del diagrama que se observan en la Figura 7-4 nombradas con la letras
y
corresponde a las subseñales de aproximación y detalles, respectivamente. El subíndice que
acompaña las letras corresponde al nivel descomposición. Por lo tanto para obtener la señal
presentada en la Figura 7-4 a partir de la descomposición hecha y con respecto a la Ecuación 7-14
se tiene:
Es decir, la reconstrucción de la señal “perfecta” se da con la suma de las subseñales de la
descomposición de aproximación y detalles del último nivel y los detalles de los niveles
inferiores.
7.1.2.3 Metodología de cálculo del Escalograma
La transformada wavelet se puede interpretar como una operación de filtrado, este algoritmo
utiliza una serie de filtros de paso bajo y paso alto para obtener las subseñales de aproximación y
detalle, respectivamente.
En el análisis de wavelet el trabajo del filtro paso bajo lo realizan las funciones de escalamiento
y la tarea del filtro paso alto le corresponden a las funciones “wavelet” o funciones
madres
. Con cada filtro se genera una subseñal. Teniendo en cuenta la definición
matemática expresada en la Ecuación 7-5, estas funciones se definen como:
Ana María Moros Vivas
110
Ecuación 7-16
Ecuación 7-17
Como se definió matemáticamente en la Ecuación 7-8 la transformación de la señal con función
madre, a continuación se define la transformada con la función de escalamiento:
Ecuación 7-18
Al observar las Ecuación 7-8 y Ecuación 7-18, se puede apreciar están definidas por dos términos
que contienen un producto y una sumatoria de dos sistemas, es decir para la primera expresión
matemática la señal de entrada con la función “wavelet” y la siguiente expresión matemática la
misma señal de entrada con la función de escalamiento, logrando con esto el filtrado de la señal.
De aquí en adelante por comodidad simbólica denotaremos
y
como
y
respectivamente, y se llamaran Coeficiente de “Wavelet” de Aproximación y Coeficientes de
Wavelet de Detalle. Por lo tanto, la Ecuación 7-8 y Ecuación 7-18 se reescribe a continuación:
Ecuación 7-19
Ecuación 7-20
Los coeficientes wavelet
y de escalamiento
han sido definidos mediante el
producto interno entre la señal a analizar y las versiones dilatas y desplazadas de la función
wavelet y función de escalamiento respectivamente.
Los coeficientes, tanto de aproximación y detalles se pueden calcular mediante una convolución
de tiempo discreto que involucra la secuencia de
y dos filtros digitales23. Los filtros
y
, corresponde respectivamente a un filtro pasa bajo
que lo
hacen las funciones de escalamiento y a un filtro pasa alto
que lo hace las
funciones “wavelet”. En la Figura 7-7 se muestra el diagrama para la descomposición que hace la
Transformada Wavelet, con el objetivo de poder ver la secuencia del análisis para el caso del
ejemplo que se presento anteriormente con descomposición de niveles.
23
Operador lineal invariante en el tiempo que actúa sobre un vector de entrada.
Ana María Moros Vivas
111
Figura 7-5. Calculo de la Transformada Wavelet de tiempo Discreto mediante un banco de filtros digitales31,24
Al observar la Figura 7-5 se debe aclarar que los coeficiente de los filtros
y
se
obtienen a partir de la función de escalamiento
y la “wavelet” madre
,
25
correspondientemente. La respuesta que se obtiene al filtrar es submuestreada
, lo cual se
elimina una de cada dos muestras de entrada, obteniendo los respectivos coeficientes del nivel de
análisis. Para empezar un nuevo nivel de análisis de la señal la secuencia del análisis
anteriormente descrito empieza en los subseñal de aproximación.
El costo computacional de la Transformada Wavelet Discreta mediante bancos de filtros
submuestreados puede hacerse menor que el costo computacional del cálculo de la Transformada
de Fourier.
26 con
Para la reconstrucción de la señal se usan filtro de espejo Quadrature
27
sobremuestreo
, en el cual se insertan un valor de cero entre cada par de muestras de la
entrada, para tal objetivo se logra eficiencia mediante el uso de la transformada wavelet discreta
inversa (Ecuación 7-14). Dicho proceso se puede apreciar en la Figura 7-6.
24
Banco de filtros digitales: es un conjunto de filtros que separa la señal de entrada en bandas o
intervalos de frecuencias.
25
Downsampling
26
Es un banco de filtros que divide la señal de entrada en dos bandas que se submuestrean por 2.
27
Upsampling
Ana María Moros Vivas
112
Figura 7-6. Banco de filtros para cálculo de la Transformada Wavelet Inversa de tiempo Discreto31
Como se puede observar en la Figura 7-6 cada coeficiente de aproximación
puede ser
recuperado a partir de los coeficientes aproximación
y detalle
, sobremuestreando
dichos coeficientes y aplicando filtros pasa baja y alta.
El análisis de wavelet una de las ventajas es la descomposición de la señal discreta. Como se
presento en la Figura 7-5, por cada nivel analiza una señal se obtienen coeficientes de
aproximación y detalles. En un plano de escala Vs coeficientes de detalles es lo que define el
“Escalograma” en el contexto de señales discretas.
7.1.2.4 Tipos de funciones Wavelet
y funciones de Escalamiento
28
Se han desarrollado varios tipos de funciones “wavelets”, debido a la gran variedad de
aplicaciones que ha tenido esta transformada.
Científicos, matemáticos, físicos e incluso ingenieros, han sido los protagonistas de este
desarrollo progresivo que se encuentra ubicado temporalmente en las últimas dos décadas.
Dentro de los tipos de funciones “wavelets” más conocidas y con la mayor trayectoria de uso
están los que se enuncian a continuación. Es importante tener en cuenta que su escogencia debe
ser evaluada de acuerdo con cada una de las propiedades presentadas anteriormente y del tipo de
aplicación.
Función Wavelet y Función de Escalamiento de Haar
El pionero de las funciones “wavelets”, fue Alfred Haar, quien en 1.909, según descubrimientos
científicos, definió probablemente sin saberlo, la primera función con comportamiento tipo
“wavelet”. La “wavelet Haar”, aparte de ser la más antigua, también es la más simple, y se
define gráficamente y matemáticamente a continuación:
28
C, SIDNEY.; RAMES, A.; GOPINATH.; and HAITAO, G. Introduction to Wavelets and Wavelet
Transforms. Prentice – Hall. 1998.
Ana María Moros Vivas
113
(a) Función wavelet de Haar
(b) Función de escalamiento de Haar
Figura 7-7. Función wavelet y Función de escalamiento de Haar
En el caso de las funciones de Haar puede reunirse a un procedimiento matricial para realizar los
cálculos.
En este sencillo caso, un análisis con las funciones de Haar consiste en el cálculo de la media y la
diferencia entre cada dos vecinos de los datos de la señal de análisis, lo cual dichos resultados son
submuestreados de manera recursiva como se puede observar en la Figura 7-5.
Función Wavelet “Mexican Hat”
La “wavelet” Mexican Hat (“sombrero Mexicano”), es una de las “wavelet” más utilizadas en el
análisis de señales. Esta función wavelet es generada a partir de la segunda derivada de la función
de densidad de probabilidad Función Gaussiana,
Ecuación 7-21
Como se puede observar en la Figura 7-8 es una función simétrica.
Ana María Moros Vivas
114
Figura 7-8. Función wavelet
“Mexican Hat”
Función de Wavelet y Función de Escalamiento Daubechie
Ingrid Daubechies, una de las estrellas más brillantes del mundo de la investigación “wavelet”,
logro definir un función “wavelet” donde se ve reflejado lo que se denomina soporte compacto
“wavelets” Ortonormales, con el fin de hacer posible el análisis de una señal discreta.
Los nombres de las ondas de la familia Daubechies se escriben
, donde
es el orden, y
el
el apellido de la onda. La “wavelet”
, es el mismo que “wavelet” Haar. En la
Figura 7-9 mostramos las funciones “wavelets” y funciones de escalamiento de los primeros
cinco miembros de la familia de este tipo de onda ya que en total son
miembros.
(a)
Ana María Moros Vivas
(b)
115
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Figura 7-9. Familias de las funciones wavelet y de escalamiento de Daubechies. (a)
, (c)
, (d)
, (e)
, (f)
, (g)
.
Como se puede observar en la Figura 7-9, la mayoría de las
, (b)
y (h)
no son simétricas.
Esta familia más amplia de funciones “wavelet” y de funciones de escalamiento es de mayor
complejidad y se comportan muy bien para el análisis de señales discontinuas, no derivables y
Ana María Moros Vivas
116
adicionalmente, la proporción de coeficientes resultantes iguales a cero es mayor facilitando las
operaciones y el almacenamiento de datos29.
Función Wavelet y Función de Escalamiento Shannon
Una onda compleja es la onda de la “wavelet” de Shannon, la cual está definida por la siguiente
expresión matemática dependiendo de dos parámetros:
Ecuación 7-22
Donde:
Parámetro definido por el ancho de banda
Es el centro de la frecuencia da la función wavelet
La condición
, es suficiente para garantizar que el cero no está en el intervalo de
frecuencia de apoyo de la función.
En la Figura 7-10 se puede observar la función “wavelet” y escalamiento de Morlet.
(a) Función Wavelet
(b) Función de escalamiento
Figura 7-10. Funciones Wavelet y Escalamiento de Shanoon
Tanto estas ondas y las de Daubechie son bastante aplicadas en transformada continua y discreta
de los “Wavelet”, por la presencia la asimetría y por la cantidad momentos nulos.
29
Arbeláez A, Bacchi B, Ranzi R y Arango H. “Aplicación de la Técnica “Wavelet” en un campo de
precipitación. Identificación de Autosemenjanza”. Avances en recursos Hidráulicos. Numero 07. Pág.:
052-061. Noviembre 2.000.
Ana María Moros Vivas
117
7.1.3 Problema directo e inverso en 2D
El análisis de multiresolución presentado anteriormente es fácil de extenderlo al campo
bidimensional (imágenes).
En los próximos renglones se presentaran las ecuaciones y la metodología general para el análisis
de señales bidimensional discretas con la Transformada Wavelet, con aplicación de filtros,
submuestreo para la descomposición y sobremuestreo para la reconstrucción.
7.1.3.1 Marco Discreto30,31
Como se presentó en el capitulo anterior las “wavelets” son familias que tienen la particularidad
de tener soporte compacto, es decir son acotados en el tiempo y poseen media igual a cero. Cada
familia está compuesta por un conjunto de “wavelets” que son versiones trasladadas y escaladas
de una “wavelet” madre, las cuales son mutuamente excluyentes característica heredada de la
ortogonalidad.
La transformada discreta de wavelet en una dimensión, es una función de dos variables, una más
que la propia función de transformación. Para cada incremento de una variable, la transformada
aumenta su dimensión en una unidad. Por lo tanto, para el caso de dos dimensiones se denotara la
imagen como
. Una función de escalado separable32
y tras “wavelet”
“sensitivas direccionalmente”, que miden las variaciones de intensidad o de colores en las dos
direcciones:
Dirección horizontal (columnas)
Ecuación 7-23
Dirección vertical (filas)
Ecuación 7-24
Dirección diagonal
Ecuación 7-25
Estas funciones se definen en base de la Ecuación 7-16 y Ecuación 7-17, como:
Ecuación 7-26
Ecuación 7-27
La transformada wavelet discreta de la señal bidimensional de tamaño
, esta dada por:
30
COVA, W.; CAVALLERO, R. Sobre Wavelet e Imágenes.
BARRETO, S.; y LEMES, M. Análisis de sonidos, representación y compresión de imágenes.
Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Carrera de matemáticas. Octubre 2006.
32
Cada convolución puede ser separada en convoluciones unidimensionales operadas sobre las filas y
columnas
31
Ana María Moros Vivas
118
Ecuación 7-28
Ecuación 7-29
Donde:
Escala inicial
Coeficientes que definen la aproximación de la imagen
Coeficientes que definen los detalles de la imagen en las diferentes direcciones
Note que
. El proceso inverso se obtiene por la siguiente expresión matemática:
Ecuación 7-30
7.1.3.2 Metodología de cálculo
Este análisis es muy parecido en el que se exhibió para señales unidimensionales. Consiste en
descomponer una imagen en una serie de aproximaciones y detalles organizados jerárquicamente
en niveles.
Con una imagen
con dimensiones de
, donde
y
son potencias de dos. El
análisis de wavelet se hace en dos etapas por cada nivel que se tiene que descomponer la señal de
entrada. La primera etapa consiste en tomar la imagen y pasarle un filtro pasa baja
y pasa
alta
en las filas que la componen, es decir se convolucionan las filas y se eliminan las
columnas impares (enumeradas a partir de cero la columna de mas a la izquierda de la imagen de
entrada) estos se denotado como
, lo cual el resultado de la convolución es submuestreada
por
a lo largo del
obteniéndose una imagen con la mitad de las columnas de entrada
. La segunda etapa se hace el análisis con las imágenes obtenidas en la etapa anterior,
por lo tanto cada imagen se convoluciona, es decir se pasa por un filtro pasa baja y pasa alta y
se hace un submuestreo por 2 denotado como
a lo largo del
, es decir se eliminan
las filas impares (numerando a partir de cero la fila de más arriba). El resultado obtenido son
Ana María Moros Vivas
119
cuatro matrices cada una de las cuales representa una imagen con dimensiones de
, es decir
cada una con la mitad de las columnas y filas de la imagen original. Esto se puede apreciar en la
Figura 7-11.
Figura 7-11. Proceso para calcular la Transformada Wavelet Discreta en dos dimensiones31
Nótese, en la Figura 7-11 las cuatros imágenes obtenidas después de las dos etapas, antes citadas,
corresponden a los coeficientes en que se descomponen la imagen, los cuales son direccionales,
es decir, indican fluctuaciones del proceso en diferentes direcciones. La primera imagen obtenida
por haber hecho dos veces filtro pasa bajo es la que contiene los coeficientes de aproximación
, permitiendo ser el “alma” de la imagen, el mismo criterio expuesto en señales
unidimensionales. Cada cuadro final representa además de los coeficientes de aproximación
, los detalles horizontales
, verticales
y diagonales
.
Según hasta el nivel
de análisis que se desea hacer para las señal bidimensional, las
ramificaciones para las dos etapas expuestas anteriormente parten desde , es decir, el análisis
para cada nivel se construye a partí de los coeficientes de aproximación.
Los coeficientes obtenidos se pueden visualizar en la Figura 7-12.
Ana María Moros Vivas
120
Figura 7-12. Esquema de subbandas en Trasformada Wavelet Discreta para una imagen14
Al observar la Figura 7-12, se encuentra un cuadro dividido en cuatro partes donde se van
almacenar cada uno de los coeficientes que genera el análisis con la Transformada Wavelet. En el
cuadrante superior izquierdo se ubica la imagen que genera los coeficientes de aproximación .
En el cuadrante superior derecho se ubica la señal generada a partir de los coeficientes de detalles
horizontales y en la parte inferior de izquierda a derecha se ubican respectivamente los
coeficientes detalles verticales y horizontales respectivamente.
El proceso de reconstrucción de la imagen se realiza a partir de las cuatro imágenes que se
generan con los coeficientes de aproximación y detalle del último nivel de análisis, como se
puede observar en la siguiente figura:
Ana María Moros Vivas
121
Figura 7-13. Diagrama de reconstrucción en Transformada Wavelet Discreta de una señal bidimensional 31
Como se puede observar en la figura anterior el proceso de Transformada Wavelet Discreta
Inversa también se hace en dos etapas. En las dos etapas se sobremuestrean las imágenes de
entrada. En la primera etapa se inserta una columna de ceros a la izquierda de cada columna y
posteriormente se convolucionan las filas con
y
y se suman las matrices
resultantes. Posteriormente se sobremuestrean las imágenes de salida de la etapa primera etapa,
agregando filas de ceros por cada fila de las matrices para llevarlo a la dimensión
. Las
columnas de las dos matrices que así se obtienen se convolucionan nuevamente con un filtro pasa
bajo y paso alto. La suma de las dos matrices resultantes representa imagen final de la etapa de la
reconstrucción.
7.2 Implementación de la Transformada Wavelet
A continuación se muestra la implementación de la Transformada wavelet en las señales que se
han venido estudiando desde el primer capítulo. Con el objetivo de exponer como funciona dicha
transformada y que ventajas trae al ver las señales en estudio con “otros lentes” el análisis de
Wavelet.
Como el análisis wavelet permite apreciar información a diferentes escalas en la presente sección
no se agrega información y se trabaja bajo las Toolbox de Wavelet que contiene Matlab.
Ana María Moros Vivas
122
Para la implementación de la Transformada Wavelet a señales unidimensionales y
bidimensionales, se le aclara al lector que se utilizara la función wavelet y función de
escalamiento correspondiente a la
por las razones que resentan el documento de Praveen
33.
K. y Foufola E.
7.2.1 Señales Unidimensionales
Como ninguna de las señales unidimensionales estudiadas desde el capitulo 3 cuenta con una
cantidad de datos registros igual a una potencia de dos, importante aspecto para facilitar los
cálculos del análisis de Wavelet. Se decidió insertar datos en el caso de la señal “suma de
cosenos” y truncar la información en el caso de las estaciones de lluvia. A continuación se
presenta las señales de análisis con la cantidad de datos iníciales y los datos con que se trabajará
de aquí en adelante:
Tabla 7-2. Tamaño de las series unidimensionales analizadas con Transformada Wavelet
Señal Unidimensiona
Tamaño inicial
Potencia de 2
Datos TW
400
12.397
1.990
2^9
2^13
2^11
512
8.192
2.048
Suma de Cosenos
Estacion Camavieja
Tormenta de Boston
Iniciales
7.2.1.1 Análisis deSeñal
la señal “sumaDatos
de Cosenos”
Suma de Cosenos
400
Potencia de 2
2^9
Observación
Se extendió la serie
Se trunco la serie
Se extendió la serie
Datos
TW
512
La señal “sumaEstacion
de cosenos”
continua en el tiempo
señal de contraste
Camvieja
12.397servirá como2^13
8.192o experimento
controlado. Tormenta de Boston
1.990
2^10
1.024
En la Figura 7-14 se presenta en la parte superior la señal de análisis, nótese que la describen
datos, y en la parte inferior se muestra el “Escalograma”, donde los ejes respectivamente son
.
33
Praveen Kumar and Efi Foufola-Georgiou. “A New Look at Rainfall and Scaling Properties of Spatial
Rainfall Usin Orthogonal Wavelet”. University of Minnesota. Journal of Applied Meteorology. Volumen 32.
Pág. 209-222.
Ana María Moros Vivas
123
Figura 7-14. Escalograma de la señal “suma de cosenos”.
Como se puede apreciar en la Figura 7-14, en la franja horizontal señalada delimitada en el
rectángulo negro, el análisis de escalas pequeñas se puede apreciar los detalles de la señal y a
medida que se va aumentando, líneas punteadas en la parte superior del Escalograma, en la escala
resultan visibles las características macroscópicas. Al observar el Escalograma de la señal de
análisis se puede detectar una periodicidad del sistema cada
datos.
7.2.1.2 Análisis de la señal registrada por la estación Camavieja
Para realizar el análisis de la señal registrada por la estación Camavieja, se omitieron varios datos
para tener una longitud de la señal con potencia de . Teniendo en cuenta la cantidad de datos de
la señal
con la Ecuación 7-4, se calculó el máximo nivel que puede ser analizada dicha
señal con la función wavelet y función de escalamiento de Daubechie de orden
.
A continuación en la Figura 7-15 se puede observar la descomposición jerárquica que genera el
análisis de wavelet para un nivel .
Ana María Moros Vivas
124
Figura 7-15. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada en la estación
Camavieja
La Figura 7-15 contiene nueve imágenes. La primera, de arriba hacia abajo, es la señal de análisis
, la segunda es la subseñal generada por los coeficientes de aproximación del nivel
y de
la tercera imagen a la novena corresponden a cada uno de los detalles generados por cada nivel.
Como se puede observar en la Figura 7-15 medida que se aumentan los niveles de análisis de la
señal en las subseñales de detalles van disminuyendo los cambios bruscos.
La reconstrucción exacta de la señal analizada con
expresión matemática:
niveles se obtiene mediante la siguiente
En la Figura 7-16 se muestra el Escalograma de la señal de la estación Camavieja. La escala
(denotada en el grafico como el nivel). Cada caja que hace parte en la definición del nivel
mostrado en diferentes colores esta describiendo los valores de coeficiente de detalle. El
Escalograma se encuentra definido por solo los coeficientes detalles por la razón de que para la
reconstrucción se tiene solo una subseñal de los coeficientes de aproximación.
Ana María Moros Vivas
125
Figura 7-16. Escalograma de la señal registrada por la estación Camavieja
Al observar la Figura 7-16 en la parte inferior se denota la escala de colores, note que entre más
oscuro es el color el valor del coeficiente de detalle es bajo y colores claros indican valores altos
de dichos coeficientes.
Después de haber obtenido cada uno de los valores de coeficientes que definen la subseñal de
aproximación
y las subseñales de detalles
, se reconstruyo la señal
a partir de los coeficientes de aproximación y de los coeficientes de detalle más importantes
mostrados en el Escalograma.
Una vez reconstruida la señal son diferentes números de coeficientes de detalles se evaluó la
calidad de la reconstrucción mediante el Error Medio Cuadrático
definido por:
Ecuación 7-31
Donde:
Señal original
Valor de la señal reconstruida
Cantidad de datos de la señal
Al graficar el
contra el número de coeficientes de detalles considerados se genero la Figura
7-17.
Ana María Moros Vivas
126
EMC Vs Dn
6,00
EMC (mm)
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
Porcentaje Coeficientes Detalle
Figura 7-17. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción de la señal
registrada por la estación Camavieja
Como se puede ver en la Figura 7-17, haciendo el proceso de reconstrucción con solo los
coeficientes de aproximación se tiene el máximo valor del
, el valor que disminuye a medida
que se aumenta el porcentaje de coeficientes detalles que se involucran en la reconstrucción de la
señal. Es importante recalcar de esta figura que omitiendo el
de los coeficientes detalles, se
obtiene un buen grado de reconstrucción de la señal. Nótese por tanto la capacidad de la
Transformada Wavelet para comprimir información sin pérdida importante de calidad.
7.2.1.3 Análisis de la señal registrada durante la Tormenta de Boston
Respecto a la señal registrada durante la tormenta de Boston es necesario comentar que se realizo
un análisis al de la estación Camavieja: generando Escalograma y utilizando durante la
reconstrucción los componentes de detalle más importantes para posteriormente evaluar la
relación
contra porcentaje de Coeficientes de detalle.
Ana María Moros Vivas
127
Figura 7-18. Descomposición jerárquica mediante Transformada Wavelet de la señal registrada durante la tormenta
de Boston.
Al observar la Figura 7-18 se puede apreciar como la subseñal de aproximación describe la
formada de la señal original pero suavizada (la segunda de la imagen de la figura). En cada una
de las subseñales que describen los coeficientes de detalle (color verde) se puede ver la ubicación
de la mayor intensidad de la tormenta.
Ana María Moros Vivas
128
Figura 7-19. Escalograma de la señal registrada durante la tormenta de Boston
Al observar el Escalograma presentado en la Figura 7-19 se puede apreciar el cambio de
frecuencia en el tiempo en las diferentes escalas que es analizada la tormenta. Note que cada
escala muestra dicho cambio, es decir la franja de colores claros, ubicados entre
y
.
Para la Figura 7-20 se esperaba un comportamiento similar al de la Figura 7-17, a mayor cantidad
de coeficientes que se apaguen en la reconstrucción de la señal, mayor es el
entre la señal
original y la reconstruida.
Nótese que los
son muchísimo menores que lo obtenidos con la Figura 7-17.
EMC Vs Dn
1,20
EMC (mm)
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,0%
20,0%
40,0%
60,0%
80,0%
100,0%
Porcentaje Coeficientes Detalle
Figura 7-20. Error medio cuadrático variando la cantidad de coeficientes para la reconstrucción de la señal registra
durante la tormenta de Boston
Ana María Moros Vivas
129
7.2.2 Señales Bidimensionales
En el caso bidimensional se analizan
señales:
Imagen de control “Cartón de Huevos”
Imagen de “Lenna”
Imágenes de la tormenta Capitalina
Al igual que en las señales unidimensionales es importante revisar el tamaño de las imágenes, en
este contexto se habla del tamaño de la matriz que la compone para llevarla a un tamaño de
potencia de . A continuación en la Tabla 7-3 se puede observar los tamaños originales y los
tamaños finalmente adoptados:
Tabla 7-3. Tamaño de las señales bidimensionales analizadas con Transformada Wavelet
Señal Bidimensional
Tamaño inicial
Potencia de 2
Datos TW_2d
100*100
256*256
131*62
2^6*2^6
2^8*2^8
2^7*2^6
64*64
256*256
128*64
Carton de huevos
Lenna
Tormenta Capitalina
Observación
Se trunco el tamaño
Se mantuvo el tamaño
Se trunco y se insertaron ceros
La Tabla 7-3 se muestra la señal bidimensional de control “cartón de huevos” se recortó para así
obtener una imagen con el tamaño de una potencia de ; mientras la imagen de “Lenna”
permanece de igual tamaño. Sin embargo la tormenta capitalina fue necesario quitar filas en a
parte inferior de la imagen y aumentar 2 columnas al lado izquierdo de la matriz que compone
dicha imagen, las cuales estarán con el valor de cero34.
7.2.2.1 AnálisisSeñal
de la imagen de
control
“Cartón
de huevos”
Datos
Iniciales
Potencia
de 2 Datos TW
Suma de Cosenos
400
2^9
512
Para la señal
bidimensional llamada “cartón
de huevos”
se presentan
los resultados de la
Estacion Camvieja
12.397
2^13
8.192
descomposición jerárquica obtenida por el análisis de wavelet con uno y dos niveles, mostrado en
Tormenta de Boston
1.990
2^10
1.024
la Figura 7-21.
34
Esta decisión fue tomada por el autor del presente documento al observar la secuencia de imágenes
que se tienen de dicho evento ubicando el centro de la tormenta, aspecto importante para no alterar la
información analizar.
Ana María Moros Vivas
130
(a)
(b)
Figura 7-21. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la señal bidimensional de control
“cartón de huevos”. (a) Un primer nivel y (b) Segundo nivel
La Figura 7-21(a) corresponde al análisis de la señal a un solo nivel. Está compuesta por cuatro
imágenes, donde la superior derecha corresponde coeficientes de detalle horizontal
, por lo
tanto ve las frecuencias de la función seno vertical. La inferior derecha corresponde a los
coeficientes detalles diagonales, sin información y la imagen inferior izquierda corresponde los
coeficientes verticales, donde se ven las frecuencias de la función seno horizontales. Como se
puede observar en la parte superior izquierda se presenta la imagen generada por los coeficientes
de aproximación, una vez más queda evidencia de que , son el “alma” de la señal analizada
solo con ver su forma.
La Figura 7-21 (b) se presenta los resultados obtenido al hacer el análisis para dos niveles de la
señal en estudio. Note que la diferencia entre las imágenes que componen la Figura 7-21 es el
cuadrante superior izquierdo que es subdividido en cuatro partes más para la imagen 7-21(b). La
imagen generada por los coeficientes de aproximación del primer nivel es subdividió, es aquí
donde podemos ver que el análisis para los diferentes niveles que se desea hacer para una señal
toma como valor inicial imagen generada por los coeficientes de aproximación del nivel anterior
(ver Figura 7-11).
7.2.2.2 Análisis de la imagen de “Lenna”
A continuación se presenta el análisis mediante la Transformada Wavelet para la imagen de
“Lenna” con niveles y la función wavelet de
(ver Figura 7-22).
Ana María Moros Vivas
131
Figura 7-22. Análisis de Wavelet para la señal bidimensional de “Lenna”
La Figura 7-22 la conforman cuatro imágenes; la imagen superior izquierda es la imagen original,
al aplicar transformada wavelet discreta (
) con la función wavelet y los niveles escogidos
se obtiene la descomposición presentada en la parte inferior derecha, nótese de esta última
imagen como los coeficientes horizontales, verticales y diagonales pronuncias los bordes que se
encuentran definiendo la señal. La imagen inferior izquierda presenta la señal reconstruida, es
decir aplicando la transformada wavelet discreta e inversa. Tal imagen es menos nítida que la
señal original.
Otra manera de ver los resultado presentados en la Figura 7-22 se muestran en la Figura 7-23.
Ana María Moros Vivas
132
Figura 7-23. Descomposición jerárquica obtenida por el análisis de Wavelet para la imagen de “Lenna”
Donde en la Figura 7-23
y
corresponde a las imágenes que se obtiene por cada uno de los
coeficientes de aproximaciones y detalles (horizontal, vertical y diagonal), es decir son los
resultados de cada nivel de análisis. En la parte superior de la figura se tiene tres imágenes, las
cuales corresponde de izquierda a derecha a la imagen original, imagen sintetizada, es decir la
reconstruida, y la imagen que se genera con los coeficientes de aproximación de nivel .
7.2.2.3 Análisis de imágenes de Tormenta Capitalina
Después de visualizar las capacidades de las wavelets en
, se procede al análisis de series de
imágenes con que se cuenta durante la ocurrencia de una tormenta, más específicamente los
campos de precipitación, donde se pretende describir espacio - temporal el comportamiento de la
tormenta.
Como se describió en el numeral 5.2.2.2, fue posible acceder en el marco de este estudio a
imágenes de lluvia cada
minutos de una tormenta registrada el día
de abril de
desde
las
hasta
del
de abril del mismo año, de modo que se cuenta con
imágenes que describen dichos campos de precipitación.
Para empezar hacer la caracterización de los campos de lluvia con transformada wavelet, como se
ha hecho anteriormente se inicia modificando el tamaño de las imágenes, tal como se menciono
en el numeral 7.2.2.
Ana María Moros Vivas
133
Los campos de lluvia, representan como ocurrió la tormenta a lo largo del tiempo en análisis.
Dicho evento empieza con ambigua intensidad en la zona central de estudio y a su vez en la zona
inferior de estudio con menor intensidad que la anteriormente descrita. Después se mantiene la
cantidad de lluvia por dos horas. Entre las horas y
de la ocurrencia de la tormenta
aumenta su intensidad en el norte y en la zona central pero esta última con menor intensidad (más
claro el color con respecto al descrito anteriormente). Las siguientes horas baja la intensidad de
precipitación en la zona de estudio, tanto en el norte como el sur. En la hora
del evento la
intensidad de la lluvia aumenta un poco en la zona del norte y la hora
se presento un pico es
decir un valor alto de precipitación en la zona central.
En la Figura 7-24 se presenta la forma del campo de precipitación a las
abril de
.
pm del día
de
Figura 7-24. Campo de Precipitación a las 2:30 pm del día 12 de Abril de 1.995
Cada una de las imágenes fue analizada mediante la transformada wavelet de primer nivel con
una función de Daubechie de orden (
). Donde a partir de este análisis realizado, solo se
Ana María Moros Vivas
134
tomaron los valores de los coeficientes de aproximación para cada imagen. Seguidamente, con
dichos coeficientes se hizo un proceso de “desenrollado” de la imagen, como se puede visualizar
en la Figura 7-25 (a), con el fin de obtener un “único” vector que defina la imagen de análisis
(ver Figura 7-25 (b)).
78
78
81
81
(a)
(b)
Figura 7-25. Desenrollado de los coeficientes de aproximación para su posterior organización tipo vector columna
En la Figura 7-26 se presenta el vector que contiene los coeficientes de aproximación para cada
una de las
imágenes analizadas. De esta manera la Figura 7-26 se constituye como una
representación espacio-temporal de la distribución de los valores de precipitación, por cuanto los
colores de cada rectángulo de la imagen representan el valor del coeficiente de aproximación, en
últimas “el alma” de la imagen.
Agregando a lo anterior descrito, el
corresponde a cada una de las imágenes
analizadas, lo cual se pueden relacionar con tiempo, y el
son los coeficientes de
aproximación. Note que el
empieza de menor a mayor, donde pertenece al espacio
de la zona de estudio, obtenido a partir del proceso de “desenrollado” anteriormente descrito.
Ana María Moros Vivas
135
Figura 7-26. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta Capitalina
En relación al observar la Figura 7-26, se puede evidenciar que cada fila que compone la imagen
corresponde a una serie de tiempo para un pixel de la imagen original, es decir en un espacio
constante. Cada fila está definida por la magnitud de diferentes colores que tiene el coeficiente de
aproximación relacionada con la precipitación a lo largo del tiempo. Los colores fríos indican
valores de coeficientes de aproximación bajo y colores cálidos valores de coeficientes de
aproximación alto.
Algunas de las series anteriormente descritas que componen la imagen se resaltan con una franja
amarilla en la Figura 7-27.
Ana María Moros Vivas
136
Figura 7-27. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta Capitalina con
diferentes series para un espacio constante
Las
series
resaltadas
7-27
y
tiempo se puede observar en la Figura 7-28 su comportamiento.
Ana María Moros Vivas
en
la
Figura
corresponde
al
espacio
. Cada uno de estas series de
137
Figura 7-28. Variación temporal del coeficiente de aproximación para diferentes series
En este contexto, tomar una franja más ancha Figura 7-26 se relaciona con una zona
correspondiente a Bogotá en la cual se podrá estudiar el comportamiento de la precipitación
como se puede ver en la Figura 7-29.
Ana María Moros Vivas
138
Figura 7-29. Variación Espacio – Temporal de los Coeficientes de Aproximación de la Tormenta Capitalina
El comportamiento de dichos coeficientes para la zona presentada en la Figura 7-29 se muestra en
la Figura 7-30. Encontrar una envolvente que defina todas las series presentadas en a la Figura
7-30 permite estar definida por una sola función el cual se podría ser estudiar para contribuir a
modelos de pronóstico.
Ana María Moros Vivas
139
Figura 7-30. Variación temporal del coeficiente de aproximación para una zona determina de Bogotá
Ana María Moros Vivas
140
8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En el presente capítulo se presentan las principales conclusiones a las cuales se llega luego de la
implementación de las transformadas mostradas en el documento a las señales de análisis.
No obstante, cabe mencionar que estas conclusiones son el resultado de una primera
aproximación de la implementación, las cuales podrán ser validadas o rectificadas una vez se
avance en este sentido, mediante investigaciones futuras.
8.1 Del problema central:
Se han proveído las herramientas necesarias para que ingenieros y profesionales de las ciencias
de la tierra, puedan analizar registros de precipitación (series de lluvia y campos de precipitación)
mediante la Transformada de Fourier y la Transformada Wavelet. Lo anterior con ayuda de un
documento con un lenguaje amigable que permite entender los conceptos requeridos y rutinas de
cálculo para analizar la información.
8.2 Operacionales:
Al evaluar la memoria de series de tiempo mediante el “Exponente de Hurts”, se evidenció la
inestabilidad del método al tratar de lidiar con paquetes de datos uniformes (con varianza cero),
porque se genera una división por cero.
Al analizar la señal controlada “suma de cosenos” mediante Fourier, se notó que el número de
datos de la señal incidió en la localización de los cuatro principales componentes en el dominio
de las frecuencias. Lo anterior tiene que ver directamente con la definición de frecuencia,
oscilaciones por unidad de tiempo, puesto que al cambiar la duración del evento analizado el
cociente antes mencionado varía.
A lo largo del documento se analizaron señales de comportamiento conocido (suma de cosenos,
fotografía de “Lenna”, cartón de huevos), con el fin de verificar la comprensión de los conceptos
investigados y evaluar la calidad de las rutinas computacionales desarrolladas. Igualmente se
analizó información de tormentas históricas, una ocurrida en Boston y otra especialmente en la
ciudad de Bogotá donde se pudo adelantar un análisis preliminar espacio-temporal de la
precipitación.
Al utilizar Transformada Wavelet para analizar las 37 imágenes de precipitación de Bogotá
(película de lluvia), fue posible obtener una gráfica (Figura 7-26) en la que se condensaron:
espacio, tiempo y los coeficientes de aproximación de la señal. Tal gráfica se constituye como
uno de los aportes especiales de este trabajo, contribuyendo de manera puntual a la comprensión
de la variación espacio temporal de la precipitación.
Ana María Moros Vivas
141
8.3 Del caso estudio:
Al analizar los registros de precipitación diaria de la estación pluviométrica Camavieja de la
ciudad de Bogotá (caso unidimensional), se evidenció un sesgo de los datos hacia valores bajos
debido a la existencia de gran cantidad de días sin lluvia. A si mismo desde la óptica de la
función de “Autocorrelación” fue visible la baja memoria del proceso a escala diaria y desde el
punto de vista de “Exponente Hurts” se observó un comportamiento que tiende a ser puramente
aleatorio.
Gracias al análisis de Fourier se identificaron las frecuencias más importantes de la señal
registrada por la estación Camavieja. Sin embargo se identificaron dos dificultades en dicho
análisis: a) la imposibilidad de ubicar las frecuencias en el tiempo y b) la importancia del nivel de
agregación (escala) al momento de visualizar las frecuencias. En el caso del campo de lluvia de
Bogotá analizado, fue posible reconstruir una imagen de
pixeles con solo
armónicos
logrando una compresión de la imagen cercana al
.
Con el análisis de la Transformada de Fourier de tiempo Corto fue posible identificar aparte de la
frecuencia fundamental (media de los datos) algunas de las frecuencias importantes. Sin embargo
se evidenció dificultad para escoger una única ventana con la que se pudiesen ubicar en el tiempo
las frecuencias.
En el Escalograma generado mediante análisis Wavelet para la señal registrada por la estación
Cama Vieja fue posible: a) Identificar los componentes principales de la señal en el tiempo para
diferentes escalas temporales y b) Reconstruir la señal con diferentes porcentajes de componentes
de detalles, pudiéndose observar la alta eficiencia de los Wavelet para comprimir información sin
pérdida apreciable de calidad.
La Figura 7-26 que condensa: espacio, tiempo y los coeficientes de aproximación de la señal,
permitió identificar de primera vista para el caso de la tormenta capitalina, la ubicación espacio
temporal de los mayores componentes de precipitación.
8.4 Usuarios finales de la investigación:
Para entidades como Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM), la
Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB), la Corporación Autónoma Regional
(CAR), etc. sería importante contar con rutinas de cálculo diseñadas específicamente para
analizar series de tiempo a distintas escalas temporales, así como con rutinas de compresión de
información que faciliten su manipulación.
Se recalca que los análisis realizados a lluvias de la sabana se limitaron al registro de una estación
pluviométrica y a una tormenta histórica, por lo tanto para tener resultados más concluyentes se
recomienda replicar los análisis realizados para mucha más información.
En el evento en que en cualquier región de Colombia se llegue a contar con imágenes de
precipitación a intervalos de tiempo regulares, tales como las que se pueden obtener con un radar
Ana María Moros Vivas
142
meteorológico o satélite, será necesario contar con rutinas compresión y de análisis de imágenes
dentro de las que se destacan las señaladas en el presente documento.
Ana María Moros Vivas
143
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Ana María Moros Vivas
148
10.
Ana María Moros Vivas
ANEXOS
149
1 ANEXO. FUNCIONES ORTOGONALES Y
ORTONORMALES35
Dentro de los conceptos de matemáticas avanzadas partimos de que: “Una función es una
generalización de un vector”. En el presente anexo se verá cómo los dos conceptos de Producto
Interno (punto) y Ortogonalidad de vectores se puede extender funciones. Sean
y , dos
vectores en un espacio tridimensional. El producto interno de los vectores,
las siguientes propiedades:
, posee
(i).
(ii).
(iii).
(iv).
Sean
intervalo
y
dos funciones dos funciones para las cuales la integral de su periodo en el
cumple las propiedades
,
Ecuación 1-1
Tal integral es llamada Producto Interno de dos funciones. Si dicho producto interno es igual a
cero se dice que las funciones
y
son Ortogonales en el intervalo
Ecuación 1-2
Sin embargo diferencia del análisis vectorial, donde la palabra ortogonal es sinónimo de
perpendicular, en el presente contexto el término ortogonal representado por la Ecuación 1-2 no
tiene significado geométrico.
Ejemplo 1:
Determine las funciones
35
y
son ortogonales en el intervalo
.
ZILL, D. Cullen, M. Ecuaciones Diferenciales con problemas de Modelado.
Ana María Moros Vivas
150
Norma de una función: Recordando que la norma de una vector
está dado por la expresión:
Ecuación 1-3
Se puede extender dicho planteamiento para calcular la norma de una función
intervalo
, de modo que:
en el
Ecuación 1-4
1.1 Conjuntos ortogonales
Un conjunto de funciones del valor real
intervalo
:
es ortogonal en el
Ecuación 1-5
Y la norma de cada función estará dada por:
Ecuación 1-6
Al dividir cada una de las funciones del anterior conjunto ortogonal, entre su respectiva norma, se
obtienen un nuevo conjunto ortogonal llamada Conjunto Ortonormal, caracterizado por:
 Sus funciones son Ortogonales:
Dado que
y
son ortogoanles.
Ana María Moros Vivas
151
 La norma de cada una de las funciones de la Ecuación 1-8 es igual a .
Ecuación 1-7
Ejemplo 2:
Demuestre que el conjunto
en el intervalo –
es ortogonal
y hállese el conjunto ortogonal correspondiente.
 Sea
y
, aplicando la definición del producto punto de
funciones (ver Ecuación 1-1) en el intervalo definido se tiene:
Recuérdese que:
Ecuación 1-8
Luego:
Ana María Moros Vivas
152
 Sea
y
Recuérdese que:
Ecuación 1-9
Entonces
 Sea
y
Recuérdese que:
Ecuación 1-10
Ana María Moros Vivas
153
 Sea
y
Recuérdese que:
Ecuación 1-11
 Sea
y
Recuérdese que:
Ecuación 1-12
Ana María Moros Vivas
154
De modo que el conjunto analizado es ortogonal en el intervalo –
:



Ana María Moros Vivas
155
El conjunto ortonormal correspondiente en el intervalo –
:
1.2 Series ortogonales36
Definición: Sea
ortogonal en el intervalo
un conjunto ortogonal en el intervalo
es una expresión de la forma:
. Una serie
Ecuación 1-13
En donde
, representa en n-esimo coeficiente de la Serie de Fourier.
Con series ortogonales se puede formular la siguiente pregunta: ¿Cuál es el valor de cada uno de
los coeficientes que contiene la serie ortogonal, si mediante dicha serie se busca representar un
función
?
Suponga que la función
forma:
se puede expresar mediante una serie ortogonal de la siguiente
Ecuación 1-14
36
Notas de Clase de Ana María Moros Vivas, de la asignatura Calculo V de Pregrado de Ingeniería Civil.
Ana María Moros Vivas
156
Multiplicando cada uno de los términos de la Ecuación 1-14 por
intervalo
se obtiene:
e integrando en el
Ecuación 1-15
Puesto que el conjunto
se obtiene:
es ortogonal en el intervalo
, cuando
Ecuación 1-16
Luego la Ecuación 1-15 se transforma en:
Ecuación 1-17
De esta forma cada uno de los coeficientes de la Serie de Fourier presentados en la Ecuación
1-17, se puede expresar de la siguiente forma:
Ecuación 1-18
es una función definida en el intervalo –
y que puede ser representada mediante
una serie ortogonal, formada por las funciones trigonométricas del conjunto ortogonal del Ejemplo 2. Es
decir:
Suponga que
Ecuación 1-19
Aplicando el procedimiento mostrado al inicio del presente numeral, para hallar los coeficientes
se obtiene:
Ana María Moros Vivas
157
Como
y
son ortogonales a 1, cuando
, la anterior expresión se reduce a:
De modo que:
Ecuación 1-20
e integrando en el intervalo –
Multiplicando la Ecuación 1-19 por
se llega a:
Ecuación 1-21
En el ejemplo 2 se demostró que por ortogonalidad:

Cuando


Ana María Moros Vivas
158
De modo que:
Que es lo mismo que:
Ecuación 1-22
Por último multiplicando la Ecuación 1-19 por
obtiene:
e integrando en el intervalo –
se
En el ejemplo 2 se demostró que por Ortogonalidad se llega a:

=0


De modo que:
Ana María Moros Vivas
159
Que es lo mismo que:
Ecuación 1-23
Resumiendo:
La serie de Fourier mediante la cual se puede representar una función
intervalo –
es:
definida en el
Ecuación 1-24
En donde:
Ecuación 1-25
Ecuación 1-26
Ecuación 1-27
Ejemplo 3:
Representar la función:
Mediante una serie de Fourier.
Ana María Moros Vivas
160
Figura 1-1. Representación de la función del Ejemplo 3
Solución:
Según las Ecuación 1-19, Ecuación 1-20, Ecuación 1-22 y Ecuación 1-23, como la función
se desarrolla entre
, debe ser igual a pi
de modo que:
 Cálculo de
 Cálculo de
Ana María Moros Vivas
161
Haciendo
 Cálculo de
Ana María Moros Vivas
162
De modo que en términos de una serie de Fourier
es:
Ecuación 1-28
Graficando la Ecuación 1-28, mediante la Serie de Fourier desarrollada:
3
2
2.5
1.5
2
1
1.5
f(x)
f(x)
2.5
1
0.5
0.5
0
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
0
-0.5
-3.5
-1
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
-0.5
x
1.5
2.5
3.5
x
a)
b)
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
f(x)
f(x)
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-3.5
-2.5
-1.5
0
-0.5
0.5
-0.5
x
c)
Ana María Moros Vivas
1.5
2.5
3.5
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
-0.5
1.5
2.5
3.5
x
d)
163
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
f(x)
f(x)
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-3.5
-2.5
-1.5
0
-0.5
0.5
-0.5
1.5
2.5
3.5
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
-0.5
x
e)
1.5
2.5
3.5
0.5
1.5
2.5
3.5
x
f)
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
f(x)
f(x)
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-3.5
0.5
-2.5
-1.5
0
-0.5
0.5
-0.5
x
g)
1.5
2.5
3.5
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
-0.5
x
h)
Figura 1-2. Representación de la función del ejemplo 3 mediante una serie de Fourier. Función desarrollada a partir
de una sumatoria con: a) Un término, b) dos términos, c) tres términos, d) cinco términos,
e) diez términos, f) 20 términos, g) cincuenta términos y h) 100 términos.37
37
Fenómeno de Gibbs:
Cuando una función dada se aproxima mediante una suma parcial de la serie Fourier, habrá un error
considerable en la velocidad de una discontinuidad, no importa cuántos términos se quieren utilizar.
Ana María Moros Vivas
164
1.3 Series de Fourier para funciones pares e impares38
Cuando la función que se intenta representar mediante series de Fourier en el intervalo –
es
par o impar, se puede reducir significativamente el número de operaciones para calcular los
coeficientes
.
Si la función
es par en el intervalo –
, los coeficientes
ecuaciones Ecuación 1-20, Ecuación 1-22 y Ecuación 1-23 toman la forma:
presentados en las
De modo que los coeficientes de la serie de Fourier que representan la función
intervalo –
toman la forma:
Cuando
es una función par
en el
Ecuación 1-29
35
Propiedades de las funciones pares e impares:
a. El producto de dos funciones pares es par.
b. El producto de dos funciones impares es par.
c. El producto de una función impar y una función par es impar.
d. La suma o diferencia de dos funciones pares es par.
e. La suma o diferencia de dos funciones pares es par
f. Si f es par,
g. Si f es par,
Ana María Moros Vivas
165
Cuando
es una función par
Ecuación 1-30
Ejemplo 4:
Desarrolle:
Como una serie de Fourier teniendo en cuenta las definiciones de función par e impar.
Solución:
Como
es una función impar en el intervalo
mediante la Ecuación 1-31:
dicha función se puede expresar
Ecuación 1-31
Como:
Se transforma para el ejemplo:
Para
, se tiene:
Ana María Moros Vivas
166
Como
De modo que:
Ecuación 1-32
Graficando la función Ecuación 1-32, mediante la Serie de Fourier desarrollada:
2.5
1.5
2
1
1.5
1
0.5
-2.5
f(x)
f(x)
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-2.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1
-2
-1.5
-2.5
x
x
a)
b)
Ana María Moros Vivas
167
3
2
2
1
1
f(x)
f(x)
-2.5
3
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-2.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-1
-1
-2
-2
-3
x
c)
-3
0.5
1
1.5
2
2.5
x
d)
Figura 1-3. Representación de la función del ejemplo 4 mediante una serie de Fourier. Función desarrollada a partir
de una sumatoria con: a) Un término, b) cinco términos, c) cincuenta términos y d) cien términos.
Ana María Moros Vivas
168
2 ANEXO. RUTINAS DE CÁLCULO SOPORTADAS POR
MATLAB®
2.1 Análisis Exploratorio
%Titulo:
%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Transformada
%Wavelet
% Desarrollado por:
% Jorge Alberto Valero Fandiño
% Ana María Moros Vivas
% Fecha de creación: Domingo, 05 de Julio de 2009.
% ***********************************************************************************
% Declaración de variables
clear
h=0;
hoja_trabajo=1;
% Valor quemado por código
col_analizada=1;
% Valor quemado por código
num_armonicos=500; % Valor quemado por código
paso=10;
% Valor quemado por código
% ***********************************************************************************
% Cargue de los datos desde Excel
datos = xlsread('libro_1.xlsx',hoja_trabajo);
[num_fil,num_col]=size(datos);
num_fil_vec=num_fil;
vector_datos=datos(1:num_fil_vec,col_analizada);
% ***********************************************************************************
% Cálculo de parámetros estadísticos
% Cálculo de mínimos
min=min(vector_datos)
%Cálculo de la moda de la muestra
Moda=mode(vector_datos)
%Cálculo de la mediana de la muestra
Mediana=median(vector_datos)
% Cálculo de la media de los datos
Ana María Moros Vivas
169
media=mean(vector_datos)
% Cálculo de la desviacion estandar de la muestra
desvest=std(vector_datos)
% Cálculo del coeficiente de asimetría de la muestra
vector_medias=media*ones(num_fil_vec,1);
c_asim=sum((vector_datos-vector_medias).^3)/(num_fil_vec*desvest^3)
% Cálculo del coeficiente de Apuntamiento de la muestra
c_apunt=sum((vector_datos-vector_medias).^4)/(num_fil_vec*desvest^4)
%Cálculo de máximo
max=max(vector_datos)
% Grafica de los datos originales
h=h+1; h=figure;
subplot(1,3,1),plot(vector_datos);
title('Serie de Tiempo');
xlabel('Tiempo (min)');
ylabel('Precipitación (mm)');
% ***********************************************************************************
% Grafica del Histograma
marcas_clase=roundn(1+3.3*log10(num_fil_vec),0);
%Numero de Marcas de %Clase
(sturges)
delta=(max-min)/marcas_clase;
area_total=delta*(num_fil_vec);
[frecuencia, clase]=hist(vector_datos,marcas_clase);
subplot(1,3,2),barh(clase, frecuencia/area_total,'w');
title('Histograma de Frecuencia')
xlabel('Probabilidad')
ylabel('Clase')
2.2 Cálculo del exponente de Hurst
%Titulo:
%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Transformada
%Wavelet
% Desarrollado por:
% Jorge Alberto Valero Fandiño
% Ana María Moros Vivas
% Fecha de creación: Sábado, 17 de Octubre de 2009.
% ***********************************************************************************
clc
Ana María Moros Vivas
170
clear
clear all
close all
% Cargue de los datos desde Excel
s = xlsread('libro_1.xlsx',hoja_trabajo);
N = length(s);
for i = 1:16;
% "i" Representa el numero del punto de la regresión a generar
% Tamaño de la serie de datos que se está tomando
% "2*i" representa la cantidad de grupos que se quieren generar
m = floor(N/(2*i));
% Cálculo del rango Reescalado y desviación para cada grupo
for j=1:2*i;
r = s(1+(j-1)*m:j*m);
M = mean(r);
x = (r-M);
V = cumsum(x);
R(j) = max(V)-min(V);
S(j) = std(r);
end
tau(i) = m;
cociente=R./S;
RS(i) = mean(cociente);
end
%Grafica de la serie original
f1=figure;
T = 1:N;
plot(T,s,'r')
xlabel('Tiempo','FontSize',12)
ylabel('Precipitacion','FontSize',12)
% Grafica de los puntos
f2=figure;
plot(log10(tau),log10(RS),'+')
xlabel('log(\tau)','FontSize',12)
ylabel('log(R/S)','FontSize',12)
hold on
%Grafica de la recta ajustada
q = polyfit(log10(tau),log10(RS),1);
r1=corrcoef(log10(tau),log10(RS));
R1=r1(2,1);
text(0.5,1.6,['R= ' num2str(R1)])
Ana María Moros Vivas
171
t = 0:0.01:6;
y = q(1)*t+(q(2));
plot(t,y,'r','LineWidth',2)
text(2.0,3.5,['y = ' num2str(q(1)),' * x + ' num2str(q(2))],'FontSize',12)
hold off
2.3 Cálculo de la Transformada de Fourier discreta
unidimensionales mediante operaciones matriciales
de
señales
%Titulo:
%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Transformada
%Wavelet
% Desarrollado por:
% Jorge Alberto Valero Fandiño
% Ana María Moros Vivas
% Fecha de creación: Jueves, 05 de noviembre de 2009.
% ***********************************************************************************
tic
clc
clear
% Indicador del tiempo de ejecución del programa
num_armonicos=5;
% Valor quemado por código
% ***********************************************************************************
hoja_trabajo=1;
% Cargue de los datos desde Excel
Ak = xlsread('libro_1.xlsx',hoja_trabajo);
[N,num_col]=size(Ak);
% ***********************************************************************************
% Creación de variables
% Creación del vector "nn" y de la constante "alpha"
nn=[0:1:N-1];
alpha=2*pi/N;
% Creación del vector nn_alpha
nn_alpha=alpha*nn;
% Calculo del Angulo, asi como de su coseno y seno
angulo=nn'*nn_alpha;
cos_angulo=cos(angulo);
sin_angulo=sin(angulo);
% Creación de la matriz con columnas iguales a "Ak"
Ana María Moros Vivas
172
auxiliar=ones(1,N);
matriz_Ak=Ak*auxiliar;
% Producto datos y matries coseno y seno
Ak_cos=matriz_Ak.*cos_angulo;
Ak_sin=matriz_Ak.*sin_angulo;
% Creación de la vector de valores acumulados
FA_real=sum(Ak_cos)/N;
FA_imag=-sum(Ak_sin)/N;
FA2=((FA_real.^2)+(FA_imag.^2))'
% Presentación de:
% Columna 1: Número de Armónico
% Columna 2: Potencia del numero de armónicos especificados "num_armonicos"
armonicos=[1:1:num_armonicos]';
potencia=FA2(1:num_armonicos);
armonicos_potencia=cat(2,armonicos,potencia)
pot_min=min(FA2)
pot_max=max(FA2)
% Grafica del Periodograma
hold on;
axis([0 400 0 0.02])
plot(FA2,'-r','LineWidth',1);
title ('PERIODOGRAMA')
xlabel('Frecuencia (n)');
ylabel('Potencia (FA2)');
toc
2.4 Cálculo análisis de señales bidimensionales con Transformada de Fourier
en tiempo discreto mediante operaciones matriciales
%Titulo:
%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Transformada
%Wavelet
% Desarrollado por:
% Ing. Msc. Jorge Alberto Valero Fandiño
% Ing. Ana María Moros Vivas
% Fecha: Domingo, 18 de Abril de 2010.
% ***********************************************************************************
tic
clear
clc
Ana María Moros Vivas
173
% Valor quemado por código
hoja_trabajo=1;
num_armonicos=50;
% Cargue de los datos desde Excel
Axy = xlsread('imagen_datos.xls_1',hoja_trabajo);
%Axy = dlmread('imagen_datos.txt');
[M,N]=size(Axy);
% ***********************************************************************************
% Cálculo de la transformada directa de Fourier en 2D
% Corre la rutina tfdd "Transformada de Fourier Discreta Directa"
[FA_real,FA_imag,FA2] = tfdd(M,N,Axy);
% ***********************************************************************************
% Reconstrucción de la señal original
% Cálculo de la transformada inversa de Fourier en 2D
c=0;
id=[1:1:M*N]'; % Vector de IDs
% Convierte la matriz de potencias, en un vector columna de potencias
% llamado "b"
for i=1:M
for j=1:N
c=c+1;
b(c,1)=FA2(i,j);
end
end
% Se concatenan: Vector de IDs y el vector de FA2
m_conc=[id,b];
% Se ordena la matriz ascendentemente por potencias (columna 2)
m_ordenada = sortrows(m_conc, 2);
% Creación de un vector de interruptores
interruptores1=zeros(M*N-num_armonicos,1);
interruptores2=ones(num_armonicos,1);
interruptores=[interruptores1;interruptores2];
% Concatenación de matrices
m_conc2 =[m_ordenada,interruptores];
% Ordena la matriz ascendentemente por Id
m_ordenada2=sortrows(m_conc2, 1);
% Creación de la matriz de interruptores
c=0;
for i=1:M
for j=1:N
Ana María Moros Vivas
174
c=c+1;
f=1+fix((c-1)/N);
g=c-(f-1)*N;
m_interruptores(f,g)=m_ordenada2(c,3);
end
end
% Potencias con las que se reconstruirá la imagen
FA_real_recons=m_interruptores.*FA_real;
FA_imag_recons=m_interruptores.*FA_imag;
% Corre la rutina tfdd "Transformado de Fourier Discreta Inversa"
% y calcula los valores reconstruidos
[Axy_reconst] = tfdi(M,N,FA_real_recons,FA_imag_recons);
% Espectro de potencia reconstruido
FA2_reconst=FA_real_recons.^2+FA_imag_recons.^2;
% Primera reordenación de columnas
col_fin=Axy_reconst(:,1);
Axy_reconst(:,1)=[];
Axy_reconst1=[Axy_reconst,col_fin];
% Primera reordenacion de filas
fil_fin=Axy_reconst1(1,:);
Axy_reconst1(1,:)=[];
Axy_reconst2=[Axy_reconst1;fil_fin];
% Segunda reordenación de filas
Axy_reconst3=flipud(Axy_reconst2);
% Segunda reordenación de columnas
Axy_reconst4=fliplr(Axy_reconst3);
figure
subplot(1,1,1),surf(Axy(1:M,1:N),'DisplayName','Axy(1:1257,1:50)');
figure(gcf)
colormap(jet(128))
title('COMBINACIÓN DE SENOS HORIZONTALES Y VERTICALES')
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('AMPLITUD')
%Creación de imágenes para el análisis
figure
subplot(2,2,1),imagesc(Axy(1:M,1:N))
colorbar
% Comando para presentar en las imágenes la paleta de
% colores de la escala
colormap(jet(128))
title('IMAGEN ORIGINAL')
xlabel('X')
ylabel('Y')
subplot(2,2,2),imagesc(Axy_reconst4(1:M,1:N));
Ana María Moros Vivas
175
colorbar
colormap(jet(128))
title('IMAGEN RECONSTRUIDA ')
xlabel('X')
ylabel('Y')
subplot(2,2,3),surf(FA2(1:M,1:N))
colormap(jet(128))
title('ESPECTRO DE POTENCIA DE LA IMAGEN ORIGINAL')
xlabel('U')
ylabel('V')
zlabel('Potencia (FA^2)')
subplot(2,2,4),surf(FA2_reconst(1:M,1:N))
colormap(jet(128))
title('ESPECTRO DE POTENCIA DE LA IMAGEN RECONSTRUIDA')
xlabel('U')
ylabel('V')
zlabel('Potencia (FA^2)')
toc
2.4.1 Cálculo tfdd: "Transformada de Fourier Discreta Directa"
function [FA_real,FA_imag,FA2] = tfdd(M,N,Axy)
% Corre la rutina la "Transformada de Fourier Discreta Directa"
for v=0:N-1
for u=0:M-1
sum_real=0;
sum_imag=0;
% Para una combinación de armónicos (u,v) se recorren todos los pixeles (x,y) de la imagen
for y=0:N-1
for x=0:M-1
sum_real=sum_real+Axy(x+1,y+1)*cos(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));
sum_imag=sum_imag+Axy(x+1,y+1)*sin(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));
end
end
% Se crean las matrices donde se guardan los resultados
FA_real(u+1,v+1)=sum_real/(M*N);
FA_imag(u+1,v+1)=sum_imag/(M*N);
FA2(u+1,v+1)=FA_real(u+1,v+1)^2+FA_imag(u+1,v+1)^2;
end
end
2.4.2 Cálculo tfdi: "Transformada de Fourier Discreta Inversa"
function [Axy_reconst] = tfdi(M,N,FA_real_recons,FA_imag_recons)
Ana María Moros Vivas
176
% Corre la rutina la "Transformada de Fourier Discreta Inversa"
for y=0:N-1
for x=0:M-1
sum_real=0;
sum_imag=0;
% Para una combinación de pixeles (x,y) de la imagen se recorren todos los armónicos (u,v)
for v=0:N-1
for u=0:M-1
sum_real=sum_real+FA_real_recons(u+1,v+1)*cos(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));
sum_imag=sum_imag+FA_imag_recons(u+1,v+1)*sin(2*pi*((u*x/M)+(v*y/N)));
end
end
% Se crea la matriz de valores de la imagen
Axy_reconst(x+1,y+1)=sum_real-sum_imag;
end
end
2.5 Cálculo de la Transformada de Fourier de Tiempo Corto discreta mediante
operaciones matriciales
%Titulo:
%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de Fourier y Transformada
%Wavelet
% Desarrollado por:
% Ing. Msc. Jorge Alberto Valero Fandiño
% Ing. Ana María Moros Vivas
% Fecha: Domingo, 29 de noviembre de 2009.
% ***********************************************************************************
tic
clc
clear
% ***********************************************************************************
% Cargue de los datos desde Excel
hoja_trabajo=1;
Ak = xlsread('libro_1.xls',hoja_trabajo);
[N,num_col]=size(Ak);
% Introduzca el valor de la ventana
a=0.01;
% Valor quemado por código
Ana María Moros Vivas
177
% Ciclos con series transformadas por la ventana
mm=[1:1:N];
for i=0:N-1
% "i" Representa los valores de desfase
%Creación de la función ventana desfasada
desface=i*ones(1,N);
w=exp((-a/2)*(mm-desface).^2);
% Creación de la serie modificada
Ak2=Ak.*w';
% **********************************************************************************
% Creación de variables
% Creación del vector "nn" y de la constante "alpha"
nn=[0:1:N-1];
alpha=2*pi/N;
% Creación del vector nn_alpha
nn_alpha=alpha*nn;
% Calculo del Angulo, asi como de su coseno y seno
angulo=nn'*nn_alpha;
cos_angulo=cos(angulo);
sin_angulo=sin(angulo);
% Creación de la matriz con columnas iguales a "Ak2"
auxiliar=ones(1,N);
matriz_Ak2=Ak2*auxiliar;
% Producto datos y matrices coseno y seno
Ak2_cos=matriz_Ak2.*cos_angulo;
Ak2_sin=matriz_Ak2.*sin_angulo;
% Creación de la vector de valores acumulados
FA_real=sum(Ak2_cos)/N;
FA_imag=-sum(Ak2_sin)/N;
FA2=((FA_real.^2)+(FA_imag.^2))';
%Almacenamiento de resultados en: "matriz_FA2"
matriz_FA2(i+1,:)=FA2;
end
surf(matriz_FA2,'EdgeColor','interp')
title('PERIODOGRAMA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO', 'Color',
[0,64,128]/256, 'FontSize', 14)
ylabel('TIEMPO', 'Color', [0,64,128]/256);
xlabel('FRECUENCIA', 'Color', [0,64,128]/256);
zlabel('POTENCIA', 'Color', [0,64,128]/256);
figure
Ana María Moros Vivas
178
plot(Ak(1:N,1),'DisplayName','Ak(1:N,1)','YDataSource','Ak(1:N,1)');
figure(gcf)
title('SERIE DE TIEMPO ', 'Color', [0,64,128]/256, 'FontSize', 12)
ylabel('PRECIPITACIÓN (mm)');
xlabel('TIEMPO (Anual)');
toc
2.6 Cálculo de los coeficientes de aproximación con el análisis de Wavelet en
una señal bidimensional
%Titulo:
%Caracterización de señales de precipitación mediante la Transformada de %Fourier y Transformada
Wavelet
% Desarrollado por:
% Ing. Msc. Jorge Alberto Valero Fandiño
% Ing. Ana María Moros Vivas
% Fecha: Lunes, 19 de abril de 2010.
% ***********************************************************************************
tic
clear
clc
% **********************************************************************************
%Valores quemados por código
num_fotos=37;
% cantidad de imágenes analizar
num_niveles=1;
vector_aprox=zeros(67*35,1);
% ***********************************************************************************
for i=1:num_fotos
% Cargue de cada una de las fotos
foto=xlsread('imagenes_tormenta.xlsx',i);
% Cálculo de los coeficientes wavelet de cada foto
[c,s]=wavedec2(foto,num_niveles,'db4');
matriz_coef=appcoef2(c,s,'db4',1);
[fil_matriz_coef,col_matriz_coef]=size(matriz_coef)
coef_aprox=zeros(fil_matriz_coef*col_matriz_coef,1);
for j=1:fil_matriz_coef
auxiliar=matriz_coef(j,:);
coef_aprox(col_matriz_coef*(j-1)+1:col_matriz_coef*j,1)=auxiliar';
Ana María Moros Vivas
179
end
% Armado del vector de aproximaciones de las imágenes
vector_aprox=cat(2,vector_aprox,coef_aprox);
end
save 'vector_aprox.mat'
% Guardado de vectores de aproximación en una matriz
toc
Ana María Moros Vivas
180
11.
Ana María Moros Vivas
APÉNDICES
181
1. APÉNDICE. SEÑALES BÁSICAS39
En el presente apéndice se estudia un conjunto de señales frecuentemente utilizadas en diferentes
disciplinas a partir de las cuales se pueden construir otras señales.
2.7 Función Unitaria
Función que adopta el valor de uno en un intervalo de interés,
.
Ecuación 1-1
2
1.8
f(x)
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Figura 1-1. Función Uno en el intervalo de
2.8
Impulso
Es muy común encontrarse con cantidades físicas que concentran mucha energía en un instante
de tiempo muy breve o en un espacio muy reducido, así es como sucede con las masas puntuales,
cargas puntuales, fuentes de luz puntuales, fuerzas concentradas, cargas superficiales, etc. Resulta
útil contar con un símbolo que sea apropiado para representar estas cantidades y a la vez provea
una relación matemática. Una de las señales discretas más simples es el impulso
no es, en
estricto rigor, una función matemática, pero si se observan algunas precauciones se puede
emplear como si lo fuera. Se define un pulso de área unitaria muy breve e intenso llamado
impulso. Este impulso concentrado e infinitamente fuerte,
satisface las siguientes
condiciones:
a)
si
Ecuación 1-2
b)
39
IRARRÁZAVAL. Pablo. Análisis de Señales
Ana María Moros Vivas
182
Y está representada en la Figura 1-2 como una flecha.
1.2
1
δ(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Figura 1-2. El impulso
El área del impulso que se conoce como la magnitud del impulso.
La integral de la Ecuación 1-3 no es una cantidad con significado a menos que se establezcan
algunas convenciones que permitan su interpretación, pero podría realizarse de su valor haciendo
uso de loa conceptos de función rectangular.
Ecuación 1-3
Ecuación 1-4
La función
es un pulso rectangular de alto y ancho , por lo que tiene área igual a uno.
A medida que
tiende a cero se genera una secuencia de pulso de area uno, que va
incrementando su amplitud en el límite, se tiene un pulso breve y amplitud my grande cuya
integral es igual a la unidad.
2.9 Función Shah
Dicha función consiste en tren periódico de impulsos. Se define la función shah,
como:
Ecuación 1-5
En la Figura 1-3. Función Shah está representada dicha función descrita en la Ecuación 1-5
Ana María Moros Vivas
183
1.2
1
Ш(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Figura 1-3. Función Shah
2.10 Funciones Horquilla y Antihorquilla
De igual manera que fue conveniente definir la función shah, es conveniente definir las funciones
horquilla,
, y antihorquilla
, que son formadas por dos impulsos de área
cada
uno. La importancia de estas funciones radica en que son proporcionales a la transformada de
Fourier de las funciones cosenos y seno, respectivamente. Se define la función horquilla como
(Figura 1-4)
Ecuación 1-6
0.6
0.5
  (x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 1-4. La función Horquilla
Y la función antihorquilla como (Figura 1-5)
Ecuación 1-7
Ana María Moros Vivas
184
0.6
0.4
 ↓ (x)
0.2
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.2
-0.4
-0.6
x
Figura 1-5. Función Anti-Horquilla
Nótese que el área total bajo la curva es uno para la horquilla y cero para la antihorquilla
2.11 Función Escalón
La función escalón o de Heaviside, mostrada en la Figura 1-6 se define con la Ecuación 1-8
Ecuación 1-8
1.2
1
Escalón (x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 1-6. La función Escalón
Nuevamente se debe referir a los comentarios acerca de la función rect para determinar el valor
del escalón en el origen. La derivada del escalón es
Ecuación 1-9
2.12 Función Signo
La función signo, sgn(x) se define en la Ecuación 1-10 y se muestra en la Figura 1-7
Ana María Moros Vivas
185
Ecuación 1-10
El signo es una función impar que puede ser expresada en términos de la función escalón
Ecuación 1-11
Por convención diremos que
1.5
1
sgn(x)
0.5
-2
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.5
-1
-1.5
x
Figura 1-7. La función signo
2.13 Función Rectangular o función “Rect”
La función Rect es una función discontinua definida como
Ecuación 1-12
Ana María Moros Vivas
186
1.2
1
f(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
x
Figura 1-8. La función rect
¿Qué pasa cuando
? En realidad no es muy importante, después de todo, ¿Qué es un
simple punto? Por simetría se puede suponer que la función rect vale
en la discontinuidad.
Otra manera de ver el rect es suponer que hay una transición suave entre el cero y el uno, así el
rect se obtiene tomando el límite de la función suave cuando la derivada en
y
tiende a . A esta función se le llamará la función aproximante, es decir
Ecuación 1-13
Y se define
Ecuación 1-14
De esta manera se puede calcular la derivada de la función rect, primero calculando en la función
aproximada y luego tomando el límite. La derivada de rect es
Ecuación 1-15
La función
nos da una herramienta para trabajar con el rect como función continua, sin
embargo, su derivada no es continua. Si se quiere obtener derivadas de mayor orden es
conveniente emplear una función aproximante más suave.
2.14 Función Triangulo
La función triángulo, mostrada en la Figura 1-9 se define como:
Ana María Moros Vivas
187
Ecuación 1-16
Donde la variable
está entre dos barras que corresponde al valor absoluto de dicha variable.
La función triangulo se caracteriza por ser par, porque su valor en el origen es uno y su área
también es uno. La derivada de la función triángulo es:
Ecuación 1-17
1.2
1
f(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1.5
-1
-0.5
1; 0
0
0.5
1
1.5
x
Figura 1-9. La función Triángulo
2.15 Campana de Gauss o Distribución Normal
La función Gauss definida como se muestra en la Ecuación 1-18 y graficada en la Figura 1-10
Ecuación 1-18
Tal función se caracteriza por describir el comportamiento de poblaciones de individuos de la
naturaleza. De su grafica puede apreciarse que adopta la forma de una campana simétrica cuyas
colas tienden a cero cuando toma valores que tienden a
.
Nótese que esta función es equivalente a la distribución de probabilidades normal con media cero
y desviación estándar
Ecuación 1-19
Ana María Moros Vivas
188
1.2
1
f(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figura 1-10. La función Gauss
La función Gaussiana es una función par. Adopta un valor de uno cuando x toma el valor de cero,
y el área bajo la curva también es uno
Ecuación 1-20
La derivada de la función Gaussiana es
Ecuación 1-21
Y su integral
Ecuación 1-22
Donde
es la función de error estadística definida como se muestra en la Ecuación 1-23, ya
que la integral no se puede calcular de manera analítica sino mediante métodos numéricos.
Ecuación 1-23
La función de Gauss es importante en el análisis de señales por al menos dos razones,
descontando su naturalidad como función de probabilidades, las cuales son:
 Es una función para apodizar, la operación de multiplicar la sección de una señal muy
larga por una ventana que en este caso contiene la función Gaussiana.
 La transformada de Fourier de ella es también una función Gauss.
Ana María Moros Vivas
189
2.16 Funciones Sinusoidales
Funciones que describen un comportamiento ondulatorio periódico perfecto. Ejemplo de dichas
funciones son la función seno y la función coseno, mostradas en la Figura 1-11.
1.5
1
0.5
f(x)
0
-3
-2
-1
0
1
2
-0.5
3
f(x)=Sen(πx)
f(x)=Cos(πx)
-1
-1.5
x
Figura 1-11. Funciones Sinusoidales
Al referirnos a la función seno (o coseno) sin indicar los parámetros, se emplearán las siguientes
expresiones:
o
Ecuación 1-24
La función seno es periódica y en esta definición el periodo es 2, es decir la frecuencia de
oscilación es
(se eligió el argumento
en vez de para evitar tener el factor en la
frecuencia). Un coseno es igual a un seno que ha sido desplazado en
, es decir
.
De acuerdo con la simetría de las funciones sinusoidales se puede afirmar que la función seno es
simétrica respecto al origen o lo que es lo mismo es una función “impar”. Mientras que la función
coseno es simétrica respecto al eje Y o lo que es lo mismo es una función “par”. El valor en el
origen de la función seno es
y de la función coseno,
La función
seno es impar y la función coseno, par.
Sus derivadas e integrales indefinidas son:
Ana María Moros Vivas
190
y
Ecuación 1-25
2.17 Función sinusoidal amortiguada, función seno cardinal o función “Sinc”
La función sinc (Figura 1-12) también conocida como función de filtraje o interpolación, se
define como:
Ecuación 1-26
La importancia de esta función proviene del hecho que en la transformada de Fourier del rect.
Esto implica, entre otras cosas, que: una señal que tiene forma de sinc es de ancho de banda
limitado.
1.2
1
0.8
sinc(x)
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
x
Figura 1-12. La función de interpolación sinc
La función sinc cruza por cero cuando toma valores enteros tanto positivos como negativos es
deccir en
, su valor en el origen es uno y el área total bajo la curva es uno.
Ecuación 1-27
Ana María Moros Vivas
191
2.18 Función “Asinc”
La función Asinc se define como
Ecuación 1-28
Función formada por la suma de funciones sinc, desplazadas una magnitud
Dicha función también se puede expresar de la siguiente manera:
unas de otras.
Ecuación 1-29
La importancia de esta función aparece en el dominio de tiempo discreto. Es la transformada de
Fourier en tiempo discreto de un rect ha sido muestreado con
muestras. Normalmente sólo se
emplea un periodo de dicha función.
2.19 Exponencial Compleja
Función periódica desarrollada sobre un espacio imaginario y descrito mediante la Ecuación
1-30:
Ecuación 1-30
Con
La periodicidad puede ser analizada recordando que la identidad de Euler establece que:
Ecuación 1-31
La importancia de esta función radica en que es la base para la transformada de Fourier, y es una
forma de incluir senos (función impar) y cosenos (función par) en una misma función.
Ana María Moros Vivas
192
2. APÉNDICE. NOCIONES DE CONVOLUCIÓN40
En el siguiente apéndice se presenta nociones del tema de convolución, importante para entender
las operaciones matemáticas que se hace en el análisis de la Transformada Wavelet.
En el análisis de sistemas lineales, uno de los aspectos más importantes es conocer la respuesta o
salida del sistema provocada por señales de entrada. El empleo de la operación de convolución se
basa en la propiedad de superposición de los sistemas lineales.
La convolución se puede usar muy frecuentemente en diferentes disciplinas. En ingeniería, la
convolución se emplea como otro método para caracterizar sistemas lineales y proporciona otro
punto de vista para su análisis, permitiendo nuevas formas de visualización.
Superposición y Convolución – Sistemas de Tiempo Discreto
Los sistemas lineales satisfacen la propiedad de superposición. Es decir, si se conoce la respuesta
particular a las secuencias de entrada
y
, entonces se puede conocer la respuesta
de entrada
, que es precisamente la suma de las dos respuestas particulares.
Además, si el sistema es invariable en el tiempo, las entradas se pueden desplazar a lo largo del
eje del tiempo, obteniendo entonces las salidas haciendo el desplazamiento en el tiempo
correspondiente. Esto es, si para
se obtiene
, entonces
producirá la salida
. Se emplearan estas dos propiedades de los sistemas lineales invariables en el tiempo
para desarrollar una relación alterna con el fin describir la relación de entrada-salida. Dicha
formulación emplea la función característica del sistema, o sea la respuesta del sistema a la
función impulso o, en el caso de sistemas de tiempo discreto, la respuesta a una secuencia de
impulsos. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos se conoce
comúnmente como secuencia respuesta al impulso.
La secuencia de impulso
se muestra en la Figura 2-1 y está definida por la Ecuación 2-1
Ecuación 2-1
La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos de entrada
por definición, la secuencia de respuesta a impulsos
es decir,
Si se multiplica la secuencia de impulsos por la constante
la salida también estará multiplicada por
, es decir,
es,
, entoneces, debido a la linealidad,
40
GABEL Robert A y ROBERT Richard A. Señales y Sistemas Lineales. Capitulo 2. Convolución. Página
65. Editorial LIMUSA. 1.994
Ana María Moros Vivas
193
Si se modifica la posición en el tiempo de la secuencia de impulsos, entonces, debido a la
invariancia del sistema en el tiempo, la salida se desplazara en el tiempo la misma cantidad, es
decir,
Figura 2-1. Secuencia de impulsos
Las relaciones anteriores, se muestran esquemáticamente en la
Ana María Moros Vivas
194
Figura 2-2. La respuesta de un sistema de tiempo discreto a una secuencia de impulsos
Por supuesto que lo importante es conocer la respuesta que resulta de aplicar secuencias de
señales de entrada arbitrarias, digamos
. ¿Cómo podría entonces ser útil la secuencia de
impulsos? Suponga que se representa la secuencia de entrada como:
En otras palabras, cada valor de
de la secuencia se multiplica por la secuencia de impulsos
desplazados
. Ya que
solo vale para
, este procedimiento permite representar
un secuencias de entradas arbitrarias como una suma ponderada de secuencias de impulsos
unitarios desplazados. Así,
Ecuación 2-2
La Figura 2-3 es un ejemplo de la representación de la Ecuación 2-2.
Ana María Moros Vivas
195
Figura 2-3. Suma ponderada de secuencias de impulsos unitarios desplazados
Ahora, se empleara la linealidad del sistema para calcular su respuesta de salida. Primero se
calculara la salida debida a cada término de la entrada
y después, se sumaran todas las
salidas para obtener la respuesta toral. Por ejemplo, la salida debida a
es:
En forma similar, la respuesta debida a
es:
El término general
produce una respuesta
. Empleando la propiedad de
superposición, la respuesta total será justamente la suma de las respuestas de la forma
. Así la secuencia de salida
es:
El -ésimo término e la secuencia de salida es entonces:
Ana María Moros Vivas
196
Ecuación 2-3
La sumatoria de la Ecuación 2-3 se conoce como la suma convolución. Para indicar en forma
condesada la operación de la Ecuación 2-3 se emplea la notación:
Ecuación 2-4
Haciendo
, Ecuación 2-3 puede escribirse como:
Ecuación 2-5
Lo cual significa que la convolución es conmutativa, es decir,
La caracterización de un sistema lineal en términos de la operación y la convolución es un
concepto muy importante. Aunque el cálculo de las sumatorias en la Ecuación 2-3 y Ecuación 2-5
puede ser difícil, estas formulas constituyen una gran ayuda conceptual para comprender los
sistemas lineales. El empleo de la superposición y la respuesta de un sistema de impulso es una
caracterización más general que la que frecuentemente se usa empleando transformadas. Por
ejemplo, si un sistema contiene coeficientes variables en el tiempo, el método que emplea
transformadas deja de ser valido; sin embargo, es válida la caracterización en términos de la
respuesta al impulso variable en el tiempo
y de la suma integral de superposición. Otro
ejemplo de la naturaleza general de este método se presenta al estudiar los sistemas lineales
excitados por señales aleatorias de entrada. Empleando la respuesta al impulso y la integral de
superposición se puede estudiar una gama mayor de tipos de señales aleatorias de entrada que son
los métodos de transformada.
La operación convolución – sistemas de tiempo discreto
La suma de convolución la Ecuación 2-3puede interpretarse gráficamente. Considérese dos
secuencias
y
. La convolución de estas dos secuencias será otra secuencia
,
dada por:
En donde:
Ana María Moros Vivas
197
Ecuación 2-6
Por ejemplo, supongamos que
es la secuencia
secuencia
. Analicemos el cálculo de:
,41
y
es la
Para calcular
, se necesita el valor
. Primero, se toma la imagen espejo de
sobe el eje vertical a través del origen para obtener
como se ilustra en Figura 2-4 (a) y
Figura 2-4 (b). A continuación, se desplaza
un unidad a la derecha para obtener
, que se ilustra en la Figura 2-4 (c). Esta secuencia desplazada, se multiplica por
,
graficada en Figura 2-4 (d), y la secuencia de valores obtenidos, mostrados en la Figura 2-4 (e),
se suman para obtener un término,
, de la secuencia
.
(a)
(b)
41
Si no aparece la flecha en la lista de secuencia, significa que el primer termino dentro de los paréntesis
es el termino k=0
Ana María Moros Vivas
198
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 2-4. Operación de Convolución en sistemas de tiempo discreto
Para calcular
,
se desplaza dos unidades hacia la derecha para obtener
.
Multiplicando esta secuencia por
y sumando los valores de la secuencia resultante
obtenemos
. Los valores de la secuencia
se obtienen en forma similar. La secuencia de
salida para este ejemplo se muestra en la
Debe observarse que la operación de convolución ha producido un efecto de regulación en la
secuencia de entrada
Resumiendo; se presento que la convolución está compuesta de cuatro operaciones básicas:
1. Tomar la imagen de espejo de
.
2. Desplazar
para calcular
sobre el eje vertical a través del origen para obtener
en una cantidad igual al valor de , en donde la secuencia se evalúa
.
3. Multiplicar esta secuencia desplazada
por la secuencia de entrada
.
Sumar la secuencia de valores resultantes para obtener el valor de la convolución en .
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199