práctico 1

Física Moderna – Profesorado de Física del IPA - Profesor Álvaro Suárez
2011
Repartido N°1 “Cinemática relativista”
1. Un pasajero que va en un tren que se mueve a 30m / s pasa a un hombre parado sobre la plataforma de la
estación en el instante t = t ' = 0 . Veinte segundos después de que el tren lo pasa, el hombre sobre la plataforma
determina que un pájaro volando sobre la vía en la misma dirección del tren está a 800m de él.
a) ¿Cuáles son las coordenadas del pájaro calculadas por el pasajero?
b) Cinco segundos después de haber hecho la medición de la primera coordenada, el hombre sobre la plataforma
determina que el pájaro está a 850m de él. De estos datos, encontrar la velocidad del pájaro (que se supone
constante) calculadas por el hombre sobre la plataforma y por el pasajero del tren.
2. El sistema S´ posee una velocidad v = 0, 60c relativa a S. Se ajustan los relojes de tal forma que t = t ' = 0 para
x = x' = 0 .
a) Un suceso tiene lugar en S para t = 2,0 × 10−7 s en un punto para el cual x = 50m . ¿En qué instante tiene lugar el
suceso en S´?
b) Si un segundo suceso tiene lugar en x = 10m, t = 3,0 × 10−7 s en S, ¿cuál es el intervalo de tiempo entre los sucesos
medido en S´?
c) ¿Por qué no puede utilizarse la expresión de la dilatación del tiempo para determinar el intervalo de tiempo entre
los sucesos medido en S’?
3. Las coordenadas espacio-tiempo de dos sucesos medidas en un sistema S son las siguientes: suceso 1,
x1 = x0 , t1 = x0 / c, ( y1 = 0, z1 = 0) , suceso 2, x2 = 2 x0 , t2 = x0 / 2c, ( y2 = 0, z2 = 0) .
a) Existe un sistema en el cual estos sucesos tienen lugar en el mismo instante. Hallar la velocidad de este sistema
respecto a S.
b) ¿Cuál es el valor de t para el que ambos sucesos tiene lugar en el nuevo sistema de referencia?
4. a) Dos sucesos tienen lugar en el mismo sitio en un determinado sistema de referencia y se encuentran separados
por un intervalo de tiempo de 4,0s . ¿Cuál es la separación espacial entre estos sucesos en un sistema inercial en el
que los sucesos se encuentran separados por un intervalo de tiempo de 6,0s ?
b) Dos sucesos tienen lugar en el mismo instante en un sistema inercial S y están separados por una distancia de
1,0km según el eje de las x. ¿Cuál es la diferencia de tiempos entre estos dos sucesos medida en un sistema S´ que se
mueve a velocidad constante según x y en el cual su separación espacial es de 2,0km ?
5. El período de vida media propio de los piones es de 2,6 × 10 −8 s . Si un haz de piones tiene una velocidad de 0,85c :
a) Determine el período de vida media medido en el laboratorio.
b) ¿Qué distancia deberán recorrer en valor medio los piones antes que se desintegren?
c) ¿Cuál es la respuesta a la parte (b) si se desprecia la dilatación del tiempo?
d) Desde el sistema de referencia del pión, ¿qué distancia recorre el laboratorio? ¿A cuánto corresponde esa
distancia en el sistema del laboratorio?
6. Un cuadrado tiene un área (propia) de 100cm 2 .
a) Determine el área medida por un observador O’, que se mueve con una velocidad de 0,80c , relativa al cuadrado
en una dirección paralela a un lado.
b) Determine el área medida por un observador O’ que se mueve paralelamente a una diagonal del cuadrado.
7. Suponga que el Sol va a explotar. En un intento de escapar, algunas personas parten a bordo de una nave espacial
a v = 0,80c (en sentido contrario al Sol), hacia la estrella Tau Ceti que está a 12 años-luz de distancia del Sol (medida
en el referencial donde el Sol y la estrella están en reposo). Cuando la nave llega a la mitad del recorrido, los
pasajeros observan explotar al Sol y en el mismo instante observan que también Tau Ceti explota.
a) En el sistema de referencia de la nave espacial, ¿debe concluirse que ambas explosiones ocurrieron de manera
simultánea? En caso negativo, ¿cuál explotó primero?
b) En el sistema de referencia donde el Sol y Tau Ceti están en reposo, ¿explotaron simultáneamente? En caso
negativo, ¿cuál explotó primero?
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c) ¿Cuánto tiempo transcurrió, medido en relojes de la nave espacial, desde que la nave partió desde la Tierra hasta
que se observó la explosión de Tau Ceti?
d) ¿Cuánto tiempo transcurrió, medido en relojes de Tau Ceti, desde que la nave partió de la Tierra hasta que la
estrella explotó?
Como la distancia Sol-Tierra es mucho menor que la distancia Sol-Ceti, para hacer los cálculos de las partes c y d
considere que las naves parten del Sol.
8. Un astronauta viaja para α Centauro, a 4 años luz de distancia. El afirma que el viaje duró 3 años. ¿Es razonable
esta suposición? ¿No debería tardar siempre más de 4 años?
9. Una varilla que se encuentra en reposo en S tiene una longitud L y está
inclinada un ángulo θ , con respecto al eje x. Determine su longitud L’ y el
ángulo de inclinación θ ' con respecto al eje x’, según lo mediría un
observador en S’ que se moviera a una velocidad v con respecto a S a lo
largo de los ejes x y x’.
10. Un cohete espacial de longitud propia l0 marcha a velocidad constante v
relativa a un sistema S. La punta del cohete A´ pasa por el punto A de S en el
instante t = t ' = 0 y en ese instante se emite una señal desde A´ hasta B´.
a) ¿Cuánto tarda la señal en términos del tiempo del cohete ( t ' ) en alcanzar la
cola B´ de la nave?
b) ¿En qué instante t1 , medido en S, alcanza la señal la cola B´ de la nave?
c) ¿En qué instante t2 , medido en S, pasa la cola de la nave B´ por el punto A?
11. A las doce del mediodía un cohete espacial pasa frente a la Tierra con una velocidad de 0,80c . Los observadores
de la nave y los de la Tierra están de acuerdo en que, efectivamente, es mediodía.
a) A las 12 : 30 p.m. según un reloj situado en la nave, ésta pasa por delante de una estación interplanetaria que se
encuentra fija en relación a la Tierra y cuyos relojes señalan el tiempo de la Tierra. ¿Qué hora es en la estación?
b) ¿A qué distancia de la Tierra en coordenadas terrestres se encuentra la estación?
c) A las 12 : 30 p.m. hora de la nave, se establece una comunicación con la Tierra desde la nave. ¿Cuándo (en tiempo
de la Tierra) recibe esta señal?
d) La estación terrestre contesta inmediatamente. ¿Cuándo se recibirá la respuesta (hora de la nave)?
12. Dos naves espaciales, cada una de las cuales mide 100m en su propio sistema de reposo, se cruzan entre sí. Los
instrumentos de medida situados en la nave A señalan que la parte delantera de la nave B invierte 5,0 × 10−7 s en
recorrer toda la longitud A.
a) ¿Cuál es la velocidad relativa de ambas naves?
b) Un reloj situado en el extremo frontal de B señala exactamente 0s al pasar por el extremo frontal de A. ¿Cuál
será la lectura del reloj de B al pasar por el extremo posterior de A?
c) El piloto de la nave A se encuentra en el extremo frontal de la nave y es capaz de mirar (a través de un telescopio)
el reloj de B. ¿A qué hora, según su reloj, el piloto de A observa la lectura calculada en (b)?
13. Suponga una partícula cargada positivamente en reposo en un sistema de referencia S, tal que la misma se
encuentra a cierta distancia r de un conductor infinitamente largo por el que circula una corriente i. La velocidad de
deriva de los electrones de conducción está dada por vD . Considere ahora la situación desde un sistema de
referencia S’ para el cual los electrones de conducción se encuentran en reposo.
a) Encuentre la fuerza de Lorentz sobre la partícula cargada visto desde S y desde S’ a partir de consideraciones
clásicas. Explique por qué los resultados obtenido violan el primer postulado de la relatividad.
b) Demuestre que si se toma en cuenta la contracción de longitudes al pasar del sistema S al S’, en S’ la fuerza de
Lorentz sobre la partícula cargada es nula, tal como lo es en el sistema S.
Sugerencia: modele al conductor como dos líneas de carga con densidades de carga λ+ = −λ− en el sistema S.
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14. Suponga que una partícula se mueve en relación a O’ con una velocidad constante c / 2 en el plano x’y’ tal que
su trayectoria rectilínea forma un ángulo de 60° con el eje x’. Si la velocidad de O’ con respecto a O es de 0, 60c a
través del eje x-x’, encuentre las leyes horarias de la partícula determinadas por O.
15. Un átomo radioactivo que se mueve en el sentido de las x crecientes en el laboratorio a una velocidad de 0,30c ,
emite un electrón que tiene velocidad 0,80c en el referencial del átomo. Determine la velocidad del electrón visto
desde el referencial del laboratorio cuando el electrón es eyectado en el marco del átomo:
a) En el sentido de las x’ crecientes.
b) En el sentido de las x’ decrecientes.
c) En el sentido de las y’ crecientes.
16. Considere dos sistemas de referencia, S y S´, que se mueven a una velocidad v el uno con respecto al otro según
el eje de las x. Una partícula denominada “fotón” se mueve con una velocidad u = c , formando el vector velocidad
un ángulo θ con el eje x, demuestre que u ' = c .
17. Suponga que hay un universo en el que la velocidad de la luz es c = 160km / h ; ahí, el Batimóvil viaja a una
velocidad v con respecto a unos inspectores que poseen un equipo de radar que mide la velocidad de los vehículos.
Este automóvil rebasa un Fusca que viaja a la velocidad de 80km / h . La velocidad del Batimóvil es tal que un
inspector en reposo respecto al radar mide la longitud del Batimóvil como igual a la del Fusca. Si la longitud propia
del Batimóvil es dos veces la del Fusca, ¿a qué velocidad se mueve el Batimóvil respecto al Fusca? Compare el valor
obtenido con la predicción clásica.
18. Considere tres galaxias A, B y C. Un observador situado en A mide las velocidades de C
y B y encuentra que se están moviendo en sentidos contrarios y cada una de ellas con una
velocidad de 0, 7c relativa a él. Por tanto, de acuerdo con las medidas en su sistema la
distancia entre ellas aumenta a la velocidad 1, 4c . ¿Cuál es la velocidad de C observada en B?
19. Considere dos referenciales S1 y S2 que se mueven uno hacia el otro en la dirección del eje x con velocidad
relativa v1/2 . ¿A qué velocidad debe moverse (con relación a S1) un tercer referencial S para que en él S1 y S2 se
muevan con velocidades opuestas?
20. A y B son los puntos de intersección del eje x con una varilla inclinada
en dos instantes diferentes. La varilla se está moviendo en el sentido de
las y positivas (sin girar) con una velocidad v.
a) Demuestre que el punto de intersección de la varilla con el eje x tiene
una velocidad dada por u = v cot θ hacia la izquierda.
b) Si θ = 60° y v = c / 3 , demuestre que u excede a c y explique por qué
no existe contradicción con la relatividad.
21. Dos cohetes están por colisionar, moviéndose uno hacia el otro con
velocidades de 0,800c y 0, 600c , respectivamente, respecto de un
observador que se encuentra en la Tierra. Para Liz, una observadora que
está en la Tierra, la distancia que separa a ambos cohetes en el instante
inicial es de 2,52 × 1012 m .
a) Según Liz, ¿cuánto tiempo trascurre antes de la colisión?
b) Si las tripulaciones de ambos cohetes pueden ser evacuadas en 90
minutos (medido en su tiempo propio), ¿habrá alguna pérdida humana?
22. Según cuentan, el célebre físico Robert Wood fue parado por un policía de tránsito que pretendió multarle por
cruzar una calle cuando la luz del semáforo estaba en rojo. Cuando se acerco el policía, Wood comenzó a convencer
al guardia urbano de que cuando se va a gran velocidad en dirección a la señal, la luz roja se percibe como verde y
que por lo tanto no correspondía la multa. Si la luz roja tiene una longitud de onda de 650nm y la verde de 525nm ,
¿a qué velocidad debería ir el auto del físico para no cometer la infracción?
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Parece que Wood recibió finalmente una multa, pero por "ir a más velocidad de la permitida".
23. Cuando Doppler llegó a la conclusión de que la mutua aproximación o alejamiento del observador y la fuente del
sonido o de la luz debe ir acompañada de la variación de las longitudes de las ondas sonoras o luminosas que se
perciben, expuso la idea de que ésta es la causa de la coloración de las estrellas. Todas las estrellas (razonaba
Doppler) son blancas de por sí; el hecho de que muchas de ellas parezcan de color se debe a que se mueven
rápidamente con respecto a nosotros. Las estrellas blancas que se aproximan rápidamente envían a quienes las
observan en la Tierra ondas acortadas que dan la sensación de que tienen color verde, celeste o violeta; las estrellas
blancas que se alejan rápidamente, por el contrario, nos parecen amarillas o rojas. Esta era una idea muy original,
pero indudablemente errónea, ¿por qué?
24. Existe un servicio de naves espaciales desde la Tierra a Marte. Cada nave está equipada con dos luces idénticas,
una delante y otra detrás. Las naves marchan normalmente a una velocidad v0 , relativa a la Tierra, de forma que el
faro delantero de la nave espacial que se dirige hacia la Tierra aparenta ser verde (λ = 500 × 10−9 m) y la luz de cola
de una nave que despega aparenta ser roja (λ = 600 × 10−9 m) .
a) ¿Cuál es el valor de v0 / c ?
b) Una nave espacial acelera para adelantar a otra nave que marcha por delante de ella. ¿A qué velocidad deberá
marchar la nave primera (relativa a la Tierra) para que la luz de la cola de la nave que se dirige hacia Marte por
delante de ella parezca un faro delantero (λ = 500 × 10−9 m) ?
25. Un astronauta experimenta una aceleración continua g en su sistema de referencia en reposo instantáneo. Si
parte del reposo desde la Tierra:
a) Encuentre la ley horaria ( x(t ) ) del astronauta vista desde la Tierra. Sugerencia: parta de la ecuación de la
transformación para la aceleración ax , haciendo u 'x = 0 y observando que γ (v) es una función del tiempo.
b) Visto desde la Tierra, ¿cuántos meses tarda el astronauta en alcanzar una velocidad c / 2 ?
c) Demuestre que la expresión hallada en la parta (a) se reduce al resultado clásico cuando v ≪ c .
d) Muestre que la ecuación v(t ) predice que el astronauta no puede alcanzar la velocidad de la luz.
26. Un amigo de su edad viaja hacia α Centauro (a una distancia de 4 años luz) y regresa de nuevo a la Tierra. En
ambos trayectos su velocidad con respecto a la Tierra es de 0,80c . ¿Cuál es la diferencia entre las edades de los dos
cuando vuelven a encontrarse?
27. A y B son gemelos. A marcha hacia α Centauro y regresa de nuevo a la Tierra. En ambos trayectos su velocidad
con respecto a la Tierra es de 0, 60c y transmite una señal de radio cada 0, 01 año en su sistema. Su hermano
gemelo B emite de forma análoga una señal cada 0, 01 año de en su propio sistema en reposo.
a) ¿Cuántas señales recibe A antes de iniciar su regreso?
b) ¿Cuántas señales de las emitidas por A antes de iniciar el regreso recibe B?
c) ¿Cuál es el número total de señales que recibe cada gemelo procedente del otro?
d) ¿Quién es más joven al final del viaje? ¿Cuánto más joven es?
Algunas respuestas:
1) a) 200m , b) v = 10m / s , v ' = −20m / s . 2) a) 1, 25 × 10−7 s , b) 2, 25 × 10−7 s . 3) a) −c / 2 , b) x0 3 / c . 4) a)
1,35 × 109 m , b) −5,77 × 10−6 s . 5) a) 4,93 × 10−8 s , b) 12,56m , c) 6,62m , d) 6,62m , 12,56m . 6) a) 60cm 2 , b) 60cm 2 .
7) a) No, Tau Ceti. b) Sí, c) 4,5 años, d) 1,5 años. 9) L ' = L0 1 − v 2 cos 2 θ 0 / c 2 , tgθ = γ tgθ 0 . 10) a) l0 / c , b)
l0 / γ (v + c) , c) l0 / γ v . 11) a) 12 : 50 p.m. , b) 7, 2 × 1011 m , c) 1: 30 p.m. , d) 4 : 30 p.m. . 12) a) 2,0 × 108 m / s , b)
3,73 × 10−7 s , c) 8,3 × 10−7 s . 14) x(t ) = 17ct / 23 , y (t ) = 4 3 ct / 23 . 15) a) 0,89c , b) −0,66c , c) 0,82c formando
68,5° respecto al eje x. 17) 116km / h . 18) 0,94c . 19) v = c 2 (1 − 1 / γ ) / v1/2 . 21) a) 100 min, b) Sí. 22) 0, 21c . 24) a)
1 / 11 , b) 11c / 61 . 25) a) x =
(
)
1 + ( gt / c)2 − 1 c 2 / g , b) 6,8 . 26) 4 años. 27) a) 267 ), b) 533 , c) A recibe 1333 , B
recibe 1067 , d) A es 2 años y 8 meses más joven.