1. Enunciados

1.
1.1.
1.1.1.
Enunciados
Primer ejercicio
Problema
Las series de Fourier tienen importantes aplicaciones en relación con las
ecuaciones diferenciales ordinarias. Este ejercicio ilustra una de estas aplicaciones: las oscilaciones forzadas de un cuerpo de masa m suspendido de un
resorte están determinadas por la ecuación
my ′′ + cy ′ + ky = r(t),
(1)
donde k es la constante de elasticidad del resorte, c la de amortiguamiento y
r(t) es una fuerza externa, siendo y(t) la posición del cuerpo en el instante t
medida desde la posición de equilibrio. El procedimiento de resolución consiste en desarrollar r(t) en serie de Fourier (se supone que es una función 2π
periódica) de forma que se obtenga
∞
a0 X
[an cos(nt) + bn sin(nt)].
+
r(t) :=
2
n=1
Se resuelve entonces
my ′′ + cy ′ + ky = an cos(nt) + bn sin(nt)
mediante el procedimiento de ensayar soluciones de forma seno y coseno,
obteniéndose una solución yn , n = 0, 1, 2, . . . Entonces se considera como
posible solución
∞
y0 X
y(t) =
yn (t).
(2)
+
2
n=1
Aplicar este procedimiento cuando m = 1, c = 0,02 y k = 25, siendo
t + π2 ,
si − π < t < 0,
r(t) :=
π
−t + 2 , si 0 < t < π,
siendo r(t) además una función 2π–periódica.
1
1.1.2.
Cuestiones
1. Se habrá obtenido en la solución del problema el desarrollo en serie de
Fourier de la función r(t). Estudiar la convergencia de este desarrollo.
2. ¿Cómo puede garantizarse que la serie (2) converge y, por tanto, define
realmente una función y(t)? Sugerencia: estudiar la magnitud de los
coeficientes que aparecen en cada una de las soluciones yn .
3. ¿Cómo puede garantizarse que la serie (2) realmente satisface la ecuación
diferencial (1)? Sugerencia: a partir de la cuestión 1 se conoce el tipo de
convergencia de la serie (2) y de las series formales obtenidas derivando
una y dos veces término a término. Aplicar ahora resultados conocidos
(enunciarlos precisamente) de la teorı́a de series de funciones de variable
real.
4. Calcular la amplitud de la solución yn (son funciones oscilatorias) para
los valores n = 1, 3, 5, 7, 9. Observar que es muy pequeña excepto para
n = 5, con lo que aproximadamente la solución es oscilatoria con frecuencia cinco veces más que la de la excitación r(t). Dar los detalles de
este argumento.
Puntuación: problema=6, cuestiones=1+1+1+1.
2
1.2.
1.2.1.
Segundo ejercicio
Problema
Calcular, si es posible, la integral impropia
Z +∞
dx
.
2
−∞ (x + 1)(x + 2)
(3)
Sugerencia: integrar una cierta función de variable compleja alrededor de un
circuito como el de la figura 1.
Figura 1: El circuito de integración
1.2.2.
Cuestiones
1. Enunciar con todo detalle el Teorema del Residuo.
2. Dar un argumento de integración real impropia para discutir la convergencia o divergencia de la integral (3). En función de ello interpretar
adecuadamente lo obtenido mediante técnicas de integración compleja
en el problema.
3. Enunciar el teorema sobre desarrollos de Laurent. Calcular el desarrollo
de Laurent de la función f (z) en el punto −1 desde el primer término
hasta el que contiene (z + 1).
4. Dar un argumento para asegurar que la integral a lo largo de la semicircunferencia “grande”de la figura tiende a cero cuando su radio tiende
a +∞.
Puntuación: problema=5, cuestiones=1+2+1+1.
3
2.
2.1.
2.1.1.
Soluciones
Primer ejercicio
Problema
La función r(t) es obviamente par, y la extensión 2π–periódica es continua
(ver la figura 2). La serie de Fourier asociada tiene sólo téminos en coseno,
Figura 2: La función r(t)
y sus coeficientes se calculan fácilmente mediante integración por partes.
Precisamente se obtiene
4
, si n es impar,
πn2
an :=
0,
si n es par.
Por tanto, la serie de Fourier de r(t) es
∞
1
4X
cos (2n − 1)t.
r(t) ≈
π n=1 (2n − 1)2
(4)
Se sabe que, al ser r continua y suave a trozos, la serie de Fourier converge
a la función incluso uniformemente. Siguiendo las sugerencias del enunciado,
se trata ahora de resolver la ecuación diferencial ordinaria lineal, de segundo
orden, con coeficientes constantes y no homogénea,
4
cos nt, n = 1, 3, 5, . . .
(5)
πn2
Dada la forma del término independiente, se debe ensayar como solución
particular una como
y ′′ + 0,02y ′ + 25y =
yn (t) := An cos nt + Bn sin nt,
4
(6)
donde An y Bn son constantes a determinar. Llevando la expresión de yn a la
ecuación (5) se obtiene inmediatamente, denotando a := (25−n2 ), b := 0,02n,
4a
4b
, Bn =
, n = 1, 3, 5, . . .
2
2
+b )
πn (a2 + b2 )
An =
πn2 (a2
(7)
Siguiendo con las sugerencias del enunciado se considera una posible solución
y(t) =
∞
X
y2n−1 (t) =
∞
X
n=1
n=1
[A2n−1 cos(2n − 1)t + B2n−1 sin(2n − 1)t] .
(8)
En las cuestiones que se tratan más adelante se discute la convergencia de
esta serie y la validez de la solución dada como su suma.
2.1.2.
Cuestiones
1. Como se ha dicho antes, la extensión 2π–periódica de la función r(t) es
continua, y la función resultante es suave a trozos. Por tanto, la serie
de Fourier asociada a r(t) y dada por la expresión (4) es convergente a
la función r(t), incluso uniformemente.
2. Observar ahora la solución dada como suma de una serie en (8). La expresión de los coeficientes, dada en (7), permite acotarlos. Precisamente
se obtiene
K
K
|An | ≤ 4 , |Bn | ≤ 5 , n ∈ IN, n impar.
(9)
n
n
Como | sin | ≤ 1Py | cos | ≤ 1, usando las acotaciones (9) y dado que la
1
serie numérica
es convergente, se puede aplicar el criterio M de
n4
Weierstrass para concluir que la serie (8) es uniformemente convergente.
3. La serie obtenida derivando formalmente (término a término) la serie
(8) es
∞
X
n=1
[−(2n − 1)An sin(2n − 1)t + (2n − 1)Bn cos(2n − 1)t]
y, de nuevo derivando formalmente se obtiene
∞
X
n=1
−(2n − 1)2 An cos(2n − 1)t − (2n − 1)2 Bn sin(2n − 1)t .
5
Observar que ambas son uniformemente convergentes, aplicando de
nuevo el criterio
P 1 M de Weierstrass, teniendo en cuenta que la serie
numérica
es convergente. Por tanto, se sabe, por la teorı́a de
n2
series de funciones, que y(t) es dos veces derivable, siendo
′
y (t) =
∞
X
n=1
[−(2n − 1)An sin(2n − 1)t + (2n − 1)Bn cos(2n − 1)t] ,
y también
′′
y (t) =
∞
X
n=1
−(2n − 1)2 An cos(2n − 1)t − (2n − 1)2 Bn sin(2n − 1)t .
Ası́, la función y(t) dada en (8) representa de verdad la solución, pues
verifica la ecuación diferencial (1).
4. Las funciones yn (t) están dadas en (6). Son combinaciones lineales de
senos y cosenos. Es inmediato que el máximo del valor absoluto
p de esta
función (es decir, su amplitud) tiene como valor AM Pn := A2n + Bn2 .
Se toman varios valores para n: se obtiene
n
AM Pn
1
5,31 ∗ 10−2
3
8,84 ∗ 10−3
5
7
0,51 1,08 ∗ 10−3
9
2,81 ∗ 10−4
Los valores siguientes son cada vez más pequeños. Resulta que la amplitud de la solución es prácticamente la de y5 , es decir, 0,51. La frecuencia de oscilación del movimiento resultante es, por la misma razón,
prácticamente la de y5 , es decir, cinco veces mayor que la de r(t).
2.2.
2.2.1.
Segundo ejercicio
Problema
La función
1
(z + 1)(z 2 + 2)
√
√
tiene tres polos, precisamente en z1 = −1, z2 = 2i, z3 := − 2i. Denotamos
como γ el circuito de la figura 1, recorrido en sentido positivo y de forma que
rodee al punto z2 , como γ2 la semicircunferencia superior de radio R y como
f (z) :=
6
γ1 la pequeña semicircunferencia de radio r centrada en z1 , recorridos en el
sentido dado por γ. Se sabe, por el Teorema del Residuo, que
Z
f (z)dz = 2πi res(f, z2 ).
γ
Ahora bien,
Z
Z
Z
Z
f (z)dz +
f (z)dz +
f (z)dz =
γ
γ1
γ2
−1−r
−R
f (x)dx +
Z
R
f (x)dx.
−1+r
R
Si se consigue probar que cuando R → +∞, entonces γ1 f (z)dz → I1 = 0,
R
R +∞
y que cuando r → 0 se tiene γ2 f (z)dz → I2 resultará −∞ f (x)dx →
√
2πi res(f, z2 ) − I2 . El cálculo del residuo en z1 = −1 y z2 = 2i es sencillo,
pues ambos polos son de orden 1. Se obtiene, inmediatamente,
√
− 2−i
√
.
res(f, z1 ) = 1/3, res(f, z2 ) =
6 2
R
Para calcular γ1 f (z)dz se hace uso de un resultado conocido sobre la integraciónR a los largo de pequeños arcos centrados en polos de orden 1. Se
obtiene γ1 f (z)dz = −π i res(f, z1 ) = −π i/3 (el signo menos es debido a
que γ1 estáRrecorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj). La razón
por la que γ2 f (z)dz → 0 cuando R → +∞ es que |f (z)z 2 | está acotada en
el semiplano superior cuando |z| → +∞. Se obtiene, finalmente,
Z +∞
π
f (x)dx = √ .
(10)
3 2
−∞
2.2.2.
Cuestiones
1.
2. Observar que, para |x| suficientemente grande, |x3 +x2 +2x+2| ≥ 2|x3 |,
luego |f (x)| ≤ (2|x|3 )−1 . Esta última función da una integral impropia
convergente en [K, ∞[ y en ] − ∞, −K], para K > 2, por ejemplo, como
es inmediato observar calculando una
primitiva, luego
R −K
R +∞ por el criterio de
comparación existen las integrales −∞ f (x)dx y K f (x)dx. Cuando
RK
se trata de calcular −K f (x)dx nos encontramos con una sorpresa: esta
7
integral no es convergente, y ello se debe a la singularidad existente en
−1. Esto puede observarse si se compara la función cerca de −1 con
la función 1/(x + 1), que da una integral divergente en ] − 1, 0[ y en
[−2, −1[. Entonces, ¿cuál es el sentido del cálculo realizado antes, cálculo que da como valor el expresado en (10)? La respuesta está contenida
en el método que se ha usado para evaluar la integral en el problema:
lo que realmente tenemos es
Z R
Z −1−r
π
f (x)dx = √ ,
f (x)dx +
lı́m
lı́m
R→+∞,r→0+ −1+r
R→+∞,r→0+ −R
2
valor que tiene sentido al observar el tipo de gráfica de f :
Figura 3: La función f (x)
3. Se sabe que el orden del polo de f en z = −1 es 1, luego
1
=
(z + 1)(z 2 + 2)
= a−1 (z + 1)−1 + a0 + a1 (z + 1) + a2 (z + 1)2 + . . .
f (z) =
(11)
Para encontrar los coeficientes se puede multiplicar a ambos lados de
(11) por (z + 1), de forma que se obtiene
1
= a−1 + a0 (z + 1) + a1 (z + 1)2 + a2 (z + 1)3 + . . . ,
z2 + 2
con la ventaja de que ahora g es una función derivable en un entorno
de z = −1. Ası́, sus coeficientes se obtienen por derivación, es decir,
an−1 = g (n) (−1)/(n!), n = 0, 1, 2, , . . .. Resulta inmediatamente
g(z) :=
1
−4,3−3 − 3−2
1
, ...
a−1 = , a0 = 2 , a1 =
3
3
2
8
4. Observar que
1
1
(z + 1)(z 2 + 2) ≤ (R − 1)(R2 − 2)
para R > 2. Por tanto,
Z
f (z)dz ≤
γ2
1
πR.
(R − 1)(R2 − 2)
Ası́, cuando R → +∞ la integral tiende a cero.
9