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Revista de Matemática: Teorı́a y Aplicaciones 2002 9(1) : 1–9
cimpa – ucr – ccss
issn: 1409-2433
análogos a teoremas tauberianos
Marı́a de los Angeles Mora M.*
Recibido: 30 Junio 1999; Versión revisada: 31 Agosto 2001
Resumen
Se obtienen resultados similares al Teorema Tauberino de W. Rudin, para integrales
singulares definidas en intervalos acotadas. Ası́ mismo, para casos en que el núcleo es
una función oscilante.
Palabras clave: Teorema Tauberiano, integrales singulares.
Abstract
We obtain some results similar to W. Rudin’s Tauberian Theorem, on singular
integrals defined on bounded intervals. We also consider cases on which the Kernel is
an oscillating function.
Keywords: Tauberian Theorem, singular integrals.
Mathematics Subject Classification: 42B20
1.
Introducción
El principal resultado en [7] generaliza el teorema que W. Rudin obtuvo para el núcleo
de Poisson, a una serie de núcleos definidos en Rn . En detalle éste se presenta a continuación:
Teorema 1 Sean B(0, r) ⊂ Rn la bola abierta centrada en el origen de radio r, m medida
de Lebesgue en Rn normalizada de tal manera que m (B(0, r)) = r n . Además:
µ la medida de Borel finita y positiva definida en Rn ,
g función derivable y acotada en [0, +∞[ que satisface
*
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica, 2060 San José, Costa Rica.
1
2
m.a. mora
i)
Z
∞
|g(r)|r n−1 dr < +∞.
0
ii)
Z
∞
r n |g 0 (r)| dr < +∞.
0
iii) g(0) 6= 0.
φ̂(y) 6= 0, ∀y ∈ R, donde φ̂ denota la transformada de Melin de φ(r) = −r n+1 g 0 (r).
Z ∞
du
φ̂(y) =
φ(u)u−iy ,
donde φ(x) = g(|x|).
u
0
1
Entonces, si lı́m n
→0 Z
ϕ
Rn
x
dµ = L se tiene que lı́m
r→0
µ (B(0, r))
= L.
rn
Este teorema da una caracterización de aquellas funciones g definidas en [0, +∞[, para
las cuales se cumple el teorema tauberiano.
En este trabajo se obtienen resultados similares a los teoremas tauberianos para núcleos
definidos en los intervalos√acotados
singulares
como De la
Z π o núcleos oscilantes. Integralesr
Z
n
n 1
2n t
Vallée-Poussin Vn (µ) = √
cos
(1 − t2 )n dµ(t)
dµ(t), Landau Ln (µ) =
2 π −π
2
π −1
en donde el núcleo está definido en un intervalo acotado. O bien la integral de Feier
R∞ 2
ϕ(s) = π2 0 sins2(s) d(µ)(s) son objeto de análisis.
2.
Integrales singulares definidas en intervalos acotados
Sea ψ una función par, continua en (−a, a) creciente en [0, a) y tal que lı́m ψ(t) = +∞,
t→a
ψ(0) = 0, ψ 0 (0) = 0 y ψ 00 (0) = c > 0.
Teorema 2 Si µ es una medida finita de Borel en (−a, a). Considere la integral
r Z a
n
In (µ) =
e−nψ(t) dµ(t) ysea lı́m In (µ) = L
n→∞
π −a
entonces
µ([−r, r])
=
n→∞
r
lı́m
Demostración: Sea v(t) =
s
00
ψ(0)
2
L.
p
ψ(t)sgn(t),q
t ∈ (−a, a) entonces v : (−a, a) −→ (−∞, ∞)
00
es estrictamente creciente. Además v(t) = ψ 2(0) t(1 + o(t)) t → 0.
Sea w la inversa de v. Considérese ν definida en el sistema de subconjuntos borelianos
de R, tal que
ν(E) = µ(w(E)).
análogos a teoremas tauberianos
3
Entonces
r Z a
r Z ∞
n
π
2
−nψ(t)
In (µ) =
e
dµ(t) =
e−nν dν(v).
π −a
n −∞
√ R∞
ν 2
Si n = ε12 se tiene In (µ) = 2ε · π 0 e−( ε ) dµ(v).
Esta última integral coincide con la integral de Weierstrass.
2
El núcleo de Weierstrass g(r) = e−r satisface las condiciones del teorema (1), esto es:
Z ∞
dr
2
n+1 0
b
si φ(r) = −r
g (r) se obtiene φ(y) =
e−r r n−iy .
r
0
Donde φb representa la transformada de Melin de φ.
Z ∞
dr
n + 2 + iy
2
b
φ(y) =
e−r r n−iy
= −Γ(
) 6= 0, para todo y ∈ R
r
2
0
y por lo tanto se cumple la conclusión del teorema (1):
ν([−b, b])
= L.
b→0
b
lı́m
Sin embargo,
ν([−b, b]) = µ(w([−b, b])) = µ([w(−b), w(b)])
ası́
µ([−r, r])
r→0
v(r)
lı́m
= lı́m q
r→0
µ([−r, r])
ψ00 (0)
2 r(1
= L,
+ o(r))
por lo tanto
r
µ([−r, r])
ψ 00 (0)
lı́m
=
· L.
r→0 r(1 + o(r))
2
Ilustremos este teorema en los ejemplos de las integrales de De la Vallée-Poussin y
Landau.
2.1.
Integral de De la Vallée-Poussin
Sea µ-medida de Borel finita en el intervalo [−π, π]. La integral de De la Vallée Poussin esta definida por
√ Z π
n
t
νn (µ) = √
cos2n dµ(t),
2
2 π −π
que se puede escribir en la forma
√ Z π
−n log 12 t
n
cos 2
νn (µ) = √
e
dµ(t).
2 π −π
Denotamos ψ(t) = log
1
cos2
t
2
. Es obvio que ψ(t) =
esto, si lı́m νn (µ) = L entonces lı́m
n→∞
r→0
µ([−r, r])
1
= L.
r
2
t2
4
+ o(t2 ), t → 0, ψ 00 (0) = 12 . Por
4
m.a. mora
2.2.
Integral de Landau
La integral de Landau se escribe:
r Z 1
n
Ln (µ) =
(1 − t2 )n dµ(t)
π −1
con µ la medida de Borel en [−1, 1]. En este caso ψ(t) = − log(1 − t2 ), ψ 00 (0) = 2 y de la
existencia de lı́m Ln (µ) = L sigue que lı́m µ[(−r,r)]
= L.
r
n→∞
3.
r→0
Núcleos Oscilantes
Hasta el momento solo hemos tenido relación con núcleos monótonos. Es de interés
analizar los núcleos oscilantes. Un ejemplo importante de estos lo constituye el núcleo de
Feier:
2 sen2 s
ϕ(s) =
(s ∈ R).
ns2
Para este ncleo no se pudo obtener una demostración directa mediante el esquema usado
en [7] . A pesar de que la transformada de Melin de ϕ es diferente de cero ∀γ ∈ R.
ϕ(γ)
b
=
=
R∞
sen2 s iγ
0
s2 s ds
Γ(1+iγ)·(2−iγ)e−iγ log 2 sh π2 γ
−
,γ
πγ(1−iγ)
2
π
∈ R (ver anexo).
El inconveniente se presenta porque φ(r) = r n+1 · g(r) no es sumable en (0, +∞) con
la medida dr
r . Sin embargo se cumple el un teorema similar al de Wiener.
Lema 1 µ
b es la trasformada de Fourier de la medida de µ. Si
Z a
Z
1 A 1
lı́m
µ
b(u)du da = L
A→∞ A 0 2π
−a
entonces
1
lı́m
r→0 2π
Z
a
e−r|u| µ(u)du.
−∞
Demostración:
Ra
RA
Sean M (a) = −a µ
b(u)du y N (A) = A1 0 M (a)da.
Entonces M 0 (a) = µ
b(a) + µ
b(−a) y M (A) = (AN (A))0 .
1
2π
Z
∞
e
−r|u|
µ(u)du =
−∞
=
=
(1)
Z ∞
Z 0
1
−ru
ru
e µ
b(u)du +
e µ
b(u)du
2π 0
∞
Z ∞
Z ∞
1
−ru
−ru
e µ
b(u)du +
e µ(−u)du
2π 0
0
Z ∞
1
e−ru (b
µ(u) + µ
b(−u))du
2π 0
(2)
análogos a teoremas tauberianos
1
2π
r
2π
r
2π
r2
2π
1
2π
1
2π
=
=
=
=
=
=
Z
5
∞
e−ru M 0 (u)du
0
Z
∞
M (u)e−ru du
Z0 ∞
(uN (u))0 e−ru du
0
Z
∞
uN (u)e−ru du
Z0 ∞
Z0 ∞
0
ruN (u)e−ru rdu
s
se−s N ( )ds
r
Note que
1
s
1 r
N( ) =
·
2π
r
2π s
y por hipótesis
r
lı́m
r→0 s
Z
s
r
0
Z
0
s
r
r
M (a)da =
s
1
2π
Z
Z
s
r
0
1
2π
Z
a
−a
µ
b(u)du da
a
−a
µ
b(u)du da = L,
además la función N es obviamente acotada y lı́mA→∞ N (A) es finito.
Por el teorema de Lebesgue sobre el paso al lı́mite bajo el signo de integral se tiene
que
Z ∞
Z ∞
1
−r|u|
lı́m
e
µ(u)du = L
se−s ds = L.
r→0 2π −∞
0
Teorema 3
Si µ es una medida finita en el sistema de conjuntos borelianos de R y se cumple que
Z ∞
sen2 s
2
lı́m
dµ(s) = L
(3)
s2
→0 π −∞
entonces
µ([−r, r])
=L
r→0
r
lı́m
.
R∞
1
Demostración: La relación (3) significa que la integral impropia 2π
b(u)dµ, donde
−∞ µ
µ
b es la transformada de Fourier de la medida µ, tiende a L en el sentido de Abel; i.e
Z A Z a
1
lı́m
µ
b(u)du da = L
A→∞ 0
2π −a
y según lo demostrado en el lema se tiene
Z ∞
1
lı́m
e−r|u| µ
b(u) = L
r→0 2π −∞
6
m.a. mora
y esta última igualdad significa que
1
lı́m
r→0 π
Z
∞
−∞
rdµ(s)
= L,
s2 + r 2
con lo que se puede aplicar el teorema de Rudin.
Anexo. Cálculo de la integral
Sea ϕ(t) =
Z
2 sen2 t
π t2 .
iγ
ϕ(t)t dt = lı́m
Z
0
sen2 s iy
s ds.
s2
∞
iγ −εt
ϕ(t)t e
ε→0 0
donde ψ(ξ) = ϕ(ξ)
b =
∞
La función ϕ(t)tiγ ∈ L1 (0, +∞) es sumable por el método de Abel:
∞
0
Z
2
π
1
2π (2
dt = lı́m
∞
si |ξ| < 2
si |ξ| ≥ 2
Z
Z
iγ −εt
t e
ε→0 0
− |ξ|))
0
Z
Z
2
ψ(u)e
itu
du dt
(4)
−2
Luego, (4) es igual a
lı́m
2
ε→0 −2
ψ(u)
∞
e
−(ε−iu)t iγ
t dt du.
(5)
0
Véase que
Z
∞
e−(ε−iu)t tiγ dt =
0
Z
∞
((ε − iu)t)iγ e−(λ−iu)L
0
dt
=
(ε − iu)iγ
haciendo z = (ε − iu)t, dz = (ε − iu)dt.
Obsérvese que
I=
Z
πε,u
e−z z iγ dz
(ε − iu)1+iγ
donde πε,u es la región en la siguiente figura:
Lε,u
u
Πε,u
ε
ΓR
Z
e−z
Lε,u
z iγ dz
análogos a teoremas tauberianos
Se tiene
1
I=
"Z
Z
−z iγ
e z dz +
(ε − iu)1+iγ
Lε,u
Z ∞
Se sabe que
e−t tiγ dt = Γ(1 + γi).
0
Z
Cálculo de lı́m
e−z z iγ dz.
∞
−t iγ
e t dt + lı́m
7
Z
R→∞ ΓR
0
e
−z iγ
#
z dz = 0.
R→∞ ΓR
Sean −1
≤ u ≤ 1,u ε > 0, u fijo.
Si θ ∈ 0, arctan ε entonces 0 < cos(arctan uλ ) ≤ cos θ ≤ 1. Ahora,
Z
Z arctan u
ε
−z iγ
e z dz =
(Reiθ )iγ · iReiθ dθ
ΓR
y
Z
ΓR
0
Z
e−z z iγ dz =
arctan
u
ε
e−R cos θ e−θγ Rdθ
0
−γ arctan
≤ máx(1, e
u
ε
)·R
Z
πR2
máx e−R cos θ 2 ΓR
≤ KR2 e−Rγ
arctan
u
ε
e−R cos θ dθ
0
≤ K·
Veáse que KR2 e−Rγ → 0 cuando R → 0, siendo δ > 0. Por lo tanto
Z
lı́m
e−z z iγ dz = 0
R→∞ ΓR
Luego,
Z
R∞
Es decir 0
Z
Z 2
ψ(u)
−2
e−z z iγ dz =
Lε,u
−Γ(1 + iγ)
6= 0.
(ε − iu)1+iγ
Γ(1+iγ)
= − (ε−iu)
i+iγ y entonces la integral (5) es:
Z 2
∞
−Γ(1 + iγ)
−(ε−iu)t iγ
e
t dt du =
ψ(u)du
1+iγ
0
−2 (ε − iu)
Z
−Γ(1 + iγ) 2
2 − |u|
=
du
2π
(ε
−
iu)1 + iγ
−2
Z
−Γ(1 + iγ) 2
2−u
2−u
=
+
(ε − iu)1+iγ 0 (ε + iu)1+iγ
(ε − iu)1+iγ
Z 2
−Γ(i + iγ)
=
(ε + iu)−1−iγ + (ε − iu)−1−iγ du
2
2π
0
Z 2
−1−iγ
−1−iγ
−
(u(ε + iu)
+ (ε − iu)
)du
e−(ε−iu)t tiγ dt
0
=
−Γ(1 + iγ)
[I + II].
2π
8
m.a. mora
"
2 #
2
1
1
(ε + iu)−1−iγ + (ε − iu)
du =
I=
(ε + iu)iγ 20 + (ε − iu)−iγ iγ −i
i
0
0
2
2
−iγ
iγ
iγ
−iγ
−iγ
= γ (ε + 2i)
− ε − (ε − 2i) + 2 −→ γ ((2i)
− (−2i) )
ε→0
h
i
h γπ
i
γπ
2
−iγ log 2+i π2
−iγ(log 2− iπ
)
2
−iγ
2
= 8 e log 2 e 2 − e 2
=γ e
−e
=2 γ2 e−iγ log 2 senh πγ
.
2
Z 2
Z 2 (iu)−iγ
(−iu)−iγ
−1−iγ
−1−iγ
II=
du −→
u (ε + iu)
+ (ε − iu)
u
+
du.
ε→0 0
iu
−iu
0
Z
2
−1−iγ
El cambio de lugar del lı́mite y la integral es posible según el teorema de Lebesgue ya
que
u[(ε + iu)−1−iγ + (ε − iu)−1−iγ ] ≤ √
u
ε2 + u 2
≤ 1.
Se deduce que
Γ(i+iγ)
2π [I
Z
+ II]=
0
2
(iu)iγ
idu +
h −1
Z
2
(iu)1−iγ − idu
i −1
0
(iu)1−iγ
(−iu)1−iγ 2
=−i 1−iγ − 1−iγ
0
−i
= 1−iγ
[(2i)iγ − (2i)−iγ ]
−2i
= (1−iγ)
e−iγ log 2 sh πγ
2 ,
y ası́ tenemos que
lı́m
Z
2
ε→0 −2
ψ(u)
Z
∞
e
−(ε−iu)t iγ
t dt du =
0
=
Finalmente
2
π
Z
∞
0
−Γ(1 + iγ)
2π
−Γ(1 + iγ)
π
π
4
2i
+
eiγ log 2 · sh γ
γ 1 − iγ
2
π
2 − iγ
·
e−iγ log 2 sh γ.
γ(1 − iγ)
2
−Γ(1 + iγ)e−iγ log 2 sh π2 γ
sen2 s iγ
s
ds
=
s2
πγ(1 − iγ)
Referencias
[1] Gehring, F.W. (1960) “Harmonic fuctions and tauberian theorems”, London Math.
Soc. 10(3): 88–166.
[2] Gehring, F.W. (1957) “The Fatou theorem and its converse”, Bull. Amer. Math. Soc.
85: 106–121.
[3] Hewitt, E.M. (1975) “Differentation of integrals in Rn ”, Lecture Notes in Mathematics
481, Springer- Verlag.
análogos a teoremas tauberianos
9
[4] Hewitt, E.; Ross, K.A. (1963 y 1970) Abstract Harmonic Analysis, vols. I y II,
Springer-Verlag.
[5] Loomis, L. H.; Widdner, D.V. (1942) An Introduction to Abstract Harmonic Analysis.
Van Nostrand, New York.
[6] Loomis, L.H.; Widdner, D.V. (1942) “The Poisson integral representation of fuctions
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[7] Mora, M. (1996) “Sobre el teorema Tauberiano de W. Rudin”, Revista de Matemática:
Teorı́a y Aplicaciones 2(2): 59–65.
[8] Rudin, W. (1979) “Tauberian theorems for positive harmonic fuctions”, Bull. Amer.
Math. Soc.
[9] Wiener, N. (1932) “Tauberian Theorems”, Ann. of Math. 33(2): 1–100, 787.