ECUACIONES ECUACIONES RACIONALES

IES Juan García Valdemora
Departamento de Matemáticas
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIO
4º ESO Matemáticas B
ECUACIONES RACIONALES
Son aquellas en las que la incógnita aparece en el denominador de una fracción
fracción.
Veremos
emos cómo se resuelven con varios ejemplo.
EJEMPLOS
a) Resuelve la ecuación
•
2x2
x
−
=1
2
x + 2x +1 x +1
Factorizamos los denominadores:
x
2x2
1
−
=
2
( x + 1) ( x + 1) 1
•
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
2 x 2 − x( x + 1) 1·(x + 1) 2
=
( x + 1) 2
( x + 1) 2
•
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
2 x 2 − x( x + 1) = ( x + 1) 2
•
Operamos y reducimos términos semejantes:
2 x 2 − x 2 − x = x 2 + 2 x + 1 ⇒ x 2 − x = x 2 + 2 x + 1 ⇒ x 2 − x − x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇒ −3 x − 1 = 0
•
Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:
− 3 x − 1 = 0 ⇒ −3x = 1 ⇒ x = −
1
3
“Posible solución”
solución
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las “posibles soluciones” como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso x = −
1
no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación
3
Por tanto,
La solución de la ecuación es x = −
1
3
1
IES Juan García Valdemora
Departamento de Matemáticas
b) Resuelve la ecuación
•
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIO
4º ESO Matemáticas B
6x + 1 x + 1
x
−
=
2
x −4 x+2 x−2
Factorizamos los denominadores:
6x + 1
x +1
x
−
=
( x − 2)( x + 2) x + 2 x − 2
•
Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
1⋅⋅ (6 x + 1) − ( x − 2)( x + 1)
x ( x + 2)
=
( x − 2)( x + 2)
( x − 2)( x + 2)
•
Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación
ecuación:
1 ⋅ (6 x + 1) − ( x − 2)( x + 1) = x ( x + 2)
•
Operamos y reducimos términos semejantes:
6 x + 1 − ( x 2 + x − 2 x − 2) = x 2 + 2 x ⇒ 6 x + 1 − x 2 − x + 2 x + 2 = x 2 + 2 x ⇒ 2 x 2 − 5 x − 3 = 0
•
Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida
obtenida: 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 ⇒ a = 2
b = −5
c = −3
12
=3
5 ± (−5) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) 5 ± 25 + 24 5 ± 7  4
”Posibles soluciones”
=
=
=
x=
−
2
1
2⋅2
4
4

 4 = − 2
2
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones
es como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis
ebéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso x = 3 y x = −
1
no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
ecuación
2
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son x = −3 y x = −
1
2
2