m m xm xm x + + = 2.- Para medir la velocidad de un proyectil se

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL FÍSICA I
15/01/15
MODELO 2
canoa?
1 . - Una mujer de 45 kg está
parada en una canoa de 60 kg y 5 m
de longitud, y comienza a caminar
desde un punto a 1 m de un extremo
hacia un punto a 1 m del otro
extremo. Si puede despreciarse la
resistencia al movimiento de la canoa
en el agua, ¿qué distancia se mueve la
A) 9 m
B) 5 m
C) 3, 1 42 m
D) 1 , 286 m
Si no hay fricción entre la canoa y el agua, sólo actúan fuerzas verticales (eje Y),
de modo que en horizontal (eje X):
ΣFX=0 ⇒ aCMX=0 ⇒ vCMX=cte
Llegamos a la
conclusión de que la
velocidad del centro
de masas en el eje X
tiene que mantenerse
constante. Puesto que
inicialmente es cero,
tiene
que
seguir
siéndolo, y si el centro
de
masas
tiene
velocidad
nula
la
posición del centro de
masas no puede variar.
Así, cuando la mujer
camina
hacia
la
derecha, la barca reacciona desplazándose hacia la izquierda de modo que la posición del
centro de masas sea la misma. Tendremos lo que aparece en la figura. La posición del centro
de masas será:
m x + mcxc
xCM = m m
mm + mc
Como esta posición se mantiene:
mmxm + mcxc mmx'm +mcx'c
⇒ mmxm+mcxc=mmx’m+mcx’c
=
mm + mc
mm + mc
45(x+1)+60(x+2,5)=45 · 4+60 · 2,5 ⇒ 105x+195=330 ⇒ x=1,146 m
Respuesta correcta: D)
2. - Para medir la velocidad de un proyectil se dispara una bala de masa 4 g
sobre un bloque de madera de 1 kg, inicialmente en reposo, quedándose la bala
empotrada en él. El bloque reposa sobre una superficie horizontal, siendo el
coeficiente de rozamiento 0, 25. Como consecuencia del impacto, el bloque con la bala
desliza una distancia de 20 cm hasta pararse. La velocidad inicial de la bala es:
A) 500 m/s
B) 250 m/s
C) 50 m/s
D) 1 6 m/s
Después del impacto la velocidad del sistema es v’, y por efecto del rozamiento,
tras recorrer 20 cm se detiene. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas:
WAB=∆EC ⇒ Wmg+WN+WFr=∆EC ⇒ -∆U+Fr · x=∆EC ⇒ Frxcos180º=ECf-ECi ⇒ -Frx=-ECi
1
1
µNx = (M + m)v'2 ⇒ µ (M + m)gx = (M + m)v'2 ⇒ v'= 2µgx = 2 ⋅ 0,25 ⋅ 9,8 ⋅ 0,20 = 1 m / s
2
2
Ahora aplicamos la conservación de la cantidad de movimiento en el choque y
tendremos:
(m + M)v' (0,004 + 1)1
pantes=pdespués ⇒ mv0=(m+M)v’ ⇒ v0 =
=
= 250 m / s
m
0,004
Respuesta correcta: B)
3. - Si un aro homogéneo de masa M y radio R (ICM=MR2) rueda sin deslizar
podemos afirmar que:
A) su energía cinética de rotación es mayor que su energía cinética de
traslación.
B) su energía cinética de rotación es menor que su energía cinética de
traslación.
C) ambas son iguales.
D) depende del instante en que se determinen.
Vamos a determinar las dos energías. Para la traslación:
1
1
1
2
ECT = mvCM
= m(ωR )2 = MR2ω2
2
2
2
Y para la rotación:
ECR =
1
1
1
I ω 2 = MR 2 ω 2 = MR 2 ω 2
2 CM
2
2
Las dos energías son iguales.
Respuesta correcta: C)
4. - Un cilindro uniforme de masa M=2 kg y radio R=1 5 cm
tiene arrollada una cuerda. Esta cuerda está firmemente sujeta y
el cilindro cae verticalmente, tal como se indica en la figura.
Calcula la tensión en la cuerda. Momento de inercia de un disco
1
MR 2 .
respecto de su punto medio
2
A) 6. 53 N
B) 1 9. 6 N
C) 43. 55 N
D) 23. 95 N
Hacemos el diagrama de sólido libre del disco y
tendremos lo que aparece en la figura. Puesto que las
fuerzas son todas verticales la aceleración del centro de
masas del cilindro es vertical, y además el disco rueda sin
deslizar respecto del extremo derecho, luego:
aG=αR=0.15α
Así pues tenemos lo que aparece en la figura.
Aplicamos la segunda ley de Newton y tendremos:
ΣFY=maGY ⇒ mg-T=maG ⇒ mg-T=m · 0.15α
2 · 9.8-T=2 · 0.15α ⇒ 19.6-T=0.3α
Y de la ecuación de la rotación:
ΣMG=IGα
1
1
1
TR = MR 2α ⇒ T = MRα = 2 ⋅ 0.15α = 0.15α
2
2
2
Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:
19.6-T=0.3α
T=0.15α
Sustituyendo la segunda en la primera:
19.6-T=0.3α ⇒ 19.6-0.15α=0.3α ⇒ α=43.55 rad/s2
Y sustituyendo en la segunda:
T=0.15α=0.15 · 43.55=6.53 N
Respuesta correcta: A)
5. - En un movimiento armónico simple, cuando la elongación desde el punto de
equilibrio es máxima…
A) la energía potencial es máxima y la energía cinética es mínima.
B) la energía potencial es un cuarto de la energía cinética.
C) la energía potencial es mínima y la energía cinética es máxima.
D) la energía cinética es un cuarto de la energía potencial.
Para un movimiento armónico simple, si la elongación es máxima coincide con la
amplitud, de modo que la energía potencial es máxima y la energía cinética por tanto
mínima.
Respuesta correcta: A)
6. - La aceleración de una partícula que se mueve con m. a. s. está dada por
a=- 80x, estando x en metros y a en m/s2. El periodo del movimiento es:
A) 8. 94 s
B) 0. 70 s
C) 1 2. 73 s
D) 1 . 42 s
Podemos poner esa expresión como:
a = −80x ⇒ a + 80x = 0 ⇒
d2x
dt2
 + 80x = 0
+ 80x = 0 ⇒ x
 + ω20 x = 0 . Así, por
que es la ecuación de un movimiento armónico simple, del tipo x
comparación:
ω20 = 80 ⇒
4 π2
2
= 80 ⇒ T =
2π
80
T
Respuesta correcta: B)
= 0,70 s
7. - Un péndulo con una longitud de 2. 00 m se suelta de un ángulo inicial de
1 0º . Después de 1 000 s, su amplitud se reduce por la fricción a 5, 50º . El parámetro
de amortiguamiento β es:
A) 1 , 705 · 1 0- 3 s- 1
B) 1 , 504 · 1 0- 3 s- 1
C) 2, 302 · 1 0- 3 s- 1
D) 5, 978 · 1 0- 4 s- 1
Tenemos movimiento subamortiguado, luego la solución de la ecuación es:
x=A0e-βtsen(ω’t+ϕ)
Esta expresión podemos ponerla en la forma:
x=A0e-βtsen(ω’t+ϕ)=Asen(ω’t+ϕ)
Donde tendremos que tener en la cabeza que A no es constante sino que decrece
exponencialmente con el tiempo, es decir:
A=A0e-βt
Así, tendremos:
5,50
5,50
A=A0e-βt ⇒ 5,50=10e-1000β ⇒
= e −1000β ⇒ ln
= −1000β ⇒ β = 5,978 ⋅ 10 − 4 s −1
10
10
Respuesta correcta: D)
8.- Considera un muelle de longitud natural l0, masa despreciable y constante k
colgado al techo de uno de sus extremos. a) Se coloca una masa m en el extremo
inferior libre y se deja que alcance el equilibrio (reposo). Realiza el análisis dinámico
en esta situación de equilibrio. b) Realiza el análisis dinámico cuando a continuación
desplazamos ligeramente la masa y la sacamos de su posición de equilibrio, obteniendo
así la ecuación diferencial del movimiento. c) ¿Cual es la frecuencia angular natural
de esta oscilación? ¿Y el periodo?
a) Hacemos el diagrama de sólido libre del
bloque. Estará sometido a la acción de su peso y a la
del resorte, que estará estirado y ejercerá por tanto
una fuerza de tensión que viene dada por la ley de
Hooke. Así tendremos que en el equilibrio, si llamamos
y0 a la elongación del resorte:
ΣFy=0 ⇒ ky0-mg=0
b) A continuación desplazamos la masa una pequeña cantidad “y” hacia arriba y la
dejamos oscilar, con lo cual en este caso tendremos:
ΣFY = my ⇒ k (y0 − y ) − mg = my ⇒ ky0 − ky − mg = my
De la condición de equilibrio:
ky0-mg=0
Así que nos queda:
k
ky0 − ky − mg = my ⇒ −ky = my ⇒ my + ky = 0 ⇒ y + y = 0
m
y +
y + ω20 y
k
y=0
m
c) Vemos que tenemos la ecuación de un movimiento armónico simple de la forma
= 0 , donde por comparación:
ω20 =
k
⇒ ω0 =
m
ω0 =
k
m
k
m
Y el período:
ω0 =
k
2π
⇒
=
T
m
T = 2π
m
k
⇒ T = 2π
k
m
m
k