Tablas de Pagos y Árboles de Decisión Tablas de Pagos y Árboles

Análisis de
Decisiones
Análisis de
Decisiones:
Tablas de Pagos y
Árboles de Decisión
Fragoso Iñiguez Marisol
Salazar Rosales Leandro Julián
Noviembre, 2006
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Una situación de decisión en condiciones de
incertidumbre puede representarse mediante ciertos
ingredientes comunes que se incluyen en la
estructura de la tabla de pagos para la situación.
En esencia, una tabla de pagos identifica el pago (o
pérdida) condicional correspondiente a cada una de
las posibles combinaciones de los actos de decisión
y eventos de las decisiones; por lo común también
indica la probabilidad de que ocurra cada uno de los
eventos mutuamente excluyentes.
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Estructura general de una tabla de pagos
Actos
Eventos
Probabilidad
E1
A1
A2
A3
…
An
P1
X11
X12
X13
…
X1n
E2
P2
X21
X22
X23
…
X2n
E3
P3
X31
X32
X33
…
X3n
….
…
…
…
…
…
…
Em
Pm
Xm1
Xm2
Xm3
…
Xmn
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Los actos de la tabla anterior son las estrategias
que están disponibles para quien toma las
decisiones. Como resultado se escogerá el mejor
Debe haber cuando menos dos actos posibles
Los eventos identifican los sucesos que están fuera
del control de quien toma las decisiones y que
determinan el éxito de un acto dado. A estos
eventos se les llama "situaciones naturales",
"situaciones" o "resultados".
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
La probabilidad de cada evento se incluye como parte
del formato general de una tabla de decisiones cuando
se dispone de esos valores de probabilidad. Estas
probabilidades siempre deben estar disponibles,
basadas en datos objetivos o determinadas en forma
subjetiva con base en algún criterio.
Las entradas en las celdas son los valores condicionales
o las consecuencias económicas condicionales. Son
llamados pagos y son condicionales ya que el resultado
económico que se experimenta depende del acto de
decisión que se elige y del evento que ocurre.
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Ejemplo:
Un contratista de calefacción y acondicionadores de aire debe realizar la
compra de unidades de acondicionadores de aire a más tardar el 1° de
Abril para su reventa e instalación durante el siguiente verano. Con base
en la demanda de la temporada anterior, en las condiciones económicas
actuales y con los factores competitivos del mercado, el contratista estima
que existe una probabilidad de 0.10 de vender sólo 5 unidades, una
probabilidad de 0.30 de vender 10 unidades, una probabilidad de 0.40 de
vender 15 unidades y una probabilidad de 0.20 de vender 20 unidades.
Las unidades de acondicionadores de aire se pueden ordenar sólo en
grupos de cinco, siendo el costo por unidad de $1 000 y el precio al
menudeo de $1,300 (más cargos de instalación). Todas las unidades que
no se vendan al final de la estación se regresan al fabricante a cambio de
un crédito neto de $800, después de deducir los gastos de envío.
Análisis de
Decisiones
Demanda de
Mercado
Tablas de Pagos
Probabilidad
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0.10
$ 1500
$ 500
E2
10
0.30
1500
3000
2000
1000
E3
15
0.40
1500
3000
4500
3500
E4
20
0.20
1500
3000
4500
6000
- $ 500 - $ 1500
1.00
Ganancia 300
Pérdida
200
Tabla para el número de unidades de
acondicionadores de aire que se deben ordenar
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Toma de decisiones basándose únicamente en las
probabilidades
El criterio de decisión que se usa en este caso es
identificar el evento que tiene la máxima probabilidad de
ocurrir y escoger el acto de decisión que corresponde a
ese evento. Otra base para elegir el mejor acto sería
calcular la esperanza del evento y escoger el acto de
acuerdo con esto. Pero, ya que ninguno de estos criterios
hace referencia a las consecuencias económicas
correspondientes a los diferentes actos y eventos de
decisión, representan una base incompleta para tomar la
mejor decisión.
Análisis de
Decisiones
Demanda
de
Mercado
Tablas de Pagos
Probabilidad
Demanda
esperada
E1
5
0.10
0.5
E2
10
0.30
3
E3
15
0.40
6
E4
20
0.20
4
1.00
unidades
13.5 esperadas
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Toma de decisiones basándose únicamente en
las consecuencias económicas
La matriz de pagos que se usa en este caso es similar a
la primer tabla, salvo por la ausencia de la distribución
de probabilidad correspondiente a los posibles eventos
Tres criterios de rechazo:
• Maximin
• Maximax
• Minimax
Análisis de
Decisiones
Maximin, El mejor
acto es aquel en el
que el valor mínimo
es mayor que el
mínimo de cualquier
otro
acto
de
decisión.
Quien
toma la decisión le
preocupa "lo peor
que pueda pasar"
respecto de cada
acto.
Tablas de Pagos
Maximin
Cantidad Ordenada
Demanda
de Mercado
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
1500
500
-500
-1500
E2
10
1500
3000
2000
1000
E3
15
1500
3000
4500
3500
E4
20
1500
3000
4500
6000
1500
500
-500
-1500
Mínimo
Máximo de
mínimos
1500
Análisis de
Decisiones
Maximax, el mejor
acto es aquel en el
que
el
valor
máximo es mayor
que el máximo de
cualquier otro acto
de decisión. Quien
toma
las
decisiones
está
orientado hacia "lo
mejor que pueda
pasar" respecto de
cada acto.
Tablas de Pagos
Maximax
Cantidad Ordenada
Demanda
de
Mercado
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
1500
500
-500
-1500
E2
10
1500
3000
2000
1000
E3
15
1500
3000
4500
3500
E4
20
1500
3000
4500
6000
1500
3000
4500
6000
Máximo
Máximo de
máximos
6000
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Minimax está basado en los llamados rechazos y no en
valores condicionales como tales. Un rechazo, o pérdida
de oportunidad condicional para cada acto, es la diferencia
entre el resultado económico del acto y el resultado
económico del mejor acto dado que un evento particular ha
ocurrido
El mejor o el más deseable valor de rechazo es “0", puesto
que el acto corresponde perfectamente al evento dado.
Aun cuando existe una ganancia económica que
corresponde a un acto específico y evento dado, podría
haber una pérdida de oportunidad, ya que algún otro acto
podría conducir a un pago mayor con el evento dado.
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Cantidad Ordenada
Demanda de
Mercado
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
1500 - 1500
E2
10
3000 - 1500 3000 - 3000
3000 - 2000
3000 - 1000
E3
15
4500 - 1500 4500 - 3000
4500 - 4500
4500 - 3500
E4
20
6000 - 1500 6000 - 3000
6000 - 4500
6000 - 6000
1500 - 500 1500 - (-500) 1500 - (-1500)
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Cantidad Ordenada
Demanda de
Mercado
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0
1000
2000
3000
E2
10
1500
0
1000
2000
E3
15
3000
1500
0
1000
E4
20
4500
3000
1500
0
Máximo
4500
3000
2000
3000
Mínimo de
máximos
2000
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Toma de Decisiones basadas tanto en Probabilidades como
en Consecuencias Económicas: El criterio esperado de
ganancia
Así, se consideran tanto las probabilidades asociadas con los
posibles eventos como las consecuencias económicas de todas
las diversas combinaciones de actos y eventos.
El criterio de pago esperado (EP) es el estándar en el cual el
mejor acto es aquel cuyo resultado económico esperado es el
mayor, como promedio a largo plazo. Observe que en el
presente caso lo que interesa es el resultado económico
promedio a largo plazo, y no simplemente el valor del evento
promedio a largo plazo (el nivel de demanda)
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Cantidad Ordenada
Demanda de
Mercado
Probabilidad
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0.10
1500
500
-500
-1500
E2
10
0.30
1500
3000
2000
1000
E3
15
0.40
1500
3000
4500
3500
E4
20
0.20
1500
3000
4500
6000
Pago esperado
1500
2750
3250
2750
Tabla de pago para el número de unidades de acondicionadores de aire
que se deben ordenar y determinación del mejor acto de acuerdo con el
criterio de pago esperado
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Cantidad Ordenada
Demanda de
Mercado
Probabilidad
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0.10
150
50
-50
-150
E2
10
0.30
450
900
600
300
E3
15
0.40
600
1200
1800
1400
E4
20
0.20
300
600
900
1200
1500
2750
3250
2750
Determinación del pago esperado para las decisiones de la tabla anterior
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Cantidad Ordenada
Demanda de Mercado
Probabilidad
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0.10
0
1000
2000
3000
E2
10
0.30
1500
0
1000
2000
E3
15
0.40
3000
1500
0
1000
E4
20
0.20
4500
3000
1500
0
Pérdida de Oportunidad
2550
1300
800
1300
Tabla de pérdida de oportunidad para el número de unidades de
acondicio-nadores de aire que se deben ordenar y cálculo de la pérdida de
oportunidad esperada
Análisis de
Decisiones
Tablas de Pagos
Cantidad Ordenada
Demanda de Mercado
Probabilidad
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0.10
0
100
200
300
E2
10
0.30
450
0
300
600
E3
15
0.40
1200
600
0
400
E4
20
0.20
900
600
300
0
1.00
2550
1300
800
1300
Determinación de la pérdida de oportunidad para las decisiones de la tabla
anterior
Análisis de
Decisiones
Árboles de Decisiones
Con frecuencia un problema de decisiones se complica por el
hecho de que los pagos se asocian no sólo con una decisión
inicial, sino también con eventos subsiguientes que conducen
a la necesidad de tomar decisiones adicionales en cada paso
de un proceso secuencial. La evaluación de los actos de
decisión alternativos en el primer paso de un proceso
secuencial de este tipo necesariamente debe basarse en una
evaluación de los eventos y de las decisiones en el proceso
general. El análisis del árbol de decisiones es el método que
se usa para identificar el mejor acto inicial, así como los
mejores actos subsiguientes.
Análisis de
Decisiones
Árboles de Decisiones
1.Construir el árbol que corresponde a una situación de las
decisiones sucesivas. El árbol se construye de izquierda a derecha
identificando de manera apropiada los puntos de decisión y los
eventos fortuitos
2.Los valores de probabilidad correspondientes a los eventos
fortuitos y los pagos que pueden ocurrir se ingresan en el diagrama.
Muchos de los pagos se alejan varios pasos del punto de decisión
inicial. Con el propósito de determinar los pagos esperados de los
actos alternativos en el punto de decisión inicial, los pagos
esperados se calculan en forma sistemática de derecha a izquierda
en el árbol de decisiones.
Como resultado de la aplicación de este proceso analítico se
determina el mejor acto en el punto de decisiones inicial.
Análisis de
Decisiones
Árboles de Decisiones
Ejemplo:
Se le ha presentado a un fabricante una propuesta para un nuevo
producto y debe decidir si se desarrolla o no. El costo del proyecto de
desarrollo es de $200,000; la probabilidad de éxito es de 0.70. Si el
desarrollo no tiene éxito, el proyecto se cancela. Si tiene éxito, entonces el
fabricante debe decidir si comienza a fabricar el producto a gran escala o
a pequeña escala. Si la demanda es elevada, el incremento de ganancia
que se obtiene a gran escala de fabricación es de $700,000; a pequeña
escala es de $150,000. Si la demanda es baja, el incremento de ganancia
a gran escala de fabricación es de $100,000; a pequeña escala es de
$150,000. Todos estos valores de incremento de ganancia son cifras
brutas (es decir, antes de restar el costo de desarrollo de $200,000). La
probabilidad de demanda alta se estima que es P = 0.40 Y que la de
demanda baja es P = 0.60.
Análisis de
Decisiones
Árboles de Decisiones
Puntos de decisión
Eventos fortuitos
e
ollo )
r
r
0
sa
De = 0.7
(P
r
lla
o
r
sar
De
No
so
xito
De
(P sarro
= 0 llo
.30 sin
é
)
na
ó
i
ac
ric scala
b
Fa n e
g ra
Fa
b
a p rica
c
esc equ ión
e
ala ña
a
a nd
m
e
d
Alta 40)
.
(P= 0
Baja
d
(P= 0 emanda
.60)
Pago = $0
Pago = -$100 000
da
man
e
d
Alta 40)
.
(P= 0
Pago = - $50 000
Baja
d
(P= 0 emanda
.60)
Pago = - $50 000
x i to
Cancelar el proyecto;
Pago = - $200 000
De
sar
rol
lar
Pago = $500 000
Análisis de
Decisiones
Árboles de Decisiones
Puntos de decisión
Eventos fortuitos
e
ollo )
r
r
0
sa
De = 0.7
(P
r
olla 00
r
r
0
sa
De $ 38
=
EP
so
xito
De
(P sarro
= 0 llo
.30 sin
é
)
na
ó
i
ac
ric scala 0
b
Fa n e 0 00
g ra = $ 1 4
EP
Fa
b
pe rica
c
q
esc ueñ ión
a
a
EP ala
=$5 0
00
0
a
a nd
m
e
d
Alta 40)
.
(P= 0
Baja
d
(P= 0 emanda
.60)
Pago = $0
Pago = -$100 000
da
man
e
d
Alta 40)
.
(P= 0
Pago = - $50 000
Baja
d
(P= 0 emanda
.60)
Pago = - $50 000
x i to
Cancelar el proyecto;
Pago = - $200 000
No
EP Desa
=$
r
0 rolla
r
Pago = $500 000
Análisis de
Decisiones
Árboles de Decisiones
EP (fabricación a gran escala) =
(0.40)(500 000) + (0.60)(-100 000) = $140 000
EP (fabricación a pequeña escala) =
(0.40)(- 50 000) + (0.60)(- 50 000) = - $50 000
EP (fabricación a gran escala) =
(0.70)(140 000) + (0.30)(-200 000) = $38 000
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Cuando quien toma las decisiones observa que una o más de las
consecuencias económicas son excepcionalmente grandes o
pequeñas, el criterio del pago esperado no necesariamente
suministra la base para identificar la "mejor" decisión. Esto es
especialmente posible en una situación única más que en
situaciones repetitivas.
Ejemplo: Usando la siguiente tabla suponga que la elección de
cada uno de los pares se hace sólo una vez. El valor esperado de
A2 es mayor que el de Al en todos los casos, la mayoría de las
personas elegiría Al en lugar de A2 en cualquiera de estos pares.
Lo que implica esta conclusión es que los valores monetarios
pueden no representar de manera adecuada los verdaderos valores
para quien toma las decisiones en situaciones en las que se tiene
posibilidad de pérdidas o de ganancias excepcionales.
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
A1: Tener la certeza de A2: Recibir $2’000,000 con una probabilidad
recibir $1 000 000
de 0.50 o recibir $100 con una
probabilidad de 0.50
B1: Pagar $ 10
B2: Experimentar una pérdida de $8,000 con
una
probabilidad
0.001
o
no
experimentar ninguna pérdida con una
probabilidad 0.999.
C1: Recibir $15 000 con C2: Recibir $50,000 con una probabilidad
una
probabilidad
de 0.50 o experimentar una pérdida de
de 0.50 o recibir
$25,000 con una probabilidad de 0.50
$5,000
con
una
probabilidad
de
0.50
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
La utilidad es una medida que expresa el valor relativo verdadero
de diversos resultados, incluyendo las consecuencias económicas,
para quien toma las decisiones. Cualquier escala de utilidad dada
puede comenzar en un valor mínimo arbitrario y tener un valor
máximo arbitrario asignado.
Mediante el uso de un contrato de referencia se pueden determinar
los valores de utilidad de una persona par diferentes valores
monetarios. Se le pide a la persona designar una cantidad fija que
se aceptará o se pagará como equivalente a cada una de las series
de situaciones inciertas que implican riesgo. La primera situación de
riesgo descrita siempre incluye los dos límites extremos del rango
de los valores monetarios de interés, es decir los límites inferior y
superior que tienen utilidades 0 y 1.0, respectivamente.
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Se puede continuar mediante el cambio ya sea de las
probabilidades designadas o de una o más de las consecuencias
económicas en la situación de riesgo. De esta manera, se puede
determinar el conjunto de valores de utilidad correspondientes a un
intervalo de valores monetarios.
Los pares de valores obtenidos se pueden representar en una
gráfica. A través de estos puntos se puede trazar una línea suave
de mejor ajuste como una aproximación a la función de utilidad,
para diferentes pagos, de quien toma las decisiones
La forma de la función de utilidad indica si quien toma las
decisiones es alguien que evade los riesgos o alguien que los
busca.
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Para el que evade los riesgos, cada dólar adicional a lo largo del
eje horizontal se asocia con una pendiente decreciente de la
función de utilidad. Es decir, se puede afirmar que para quien toma
las decisiones cada incremento adicional tiene un valor positivo,
pero no tan grande como los incrementos precedentes (la curva es
cóncava). Por el contrario, para el buscador de riesgos cada
incremento monetario adicional tiene un valor creciente para quien
toma las decisiones (la curva es convexa). También se puede
demostrar que el que evade los riesgos designa una cantidad fija
que es consistentemente menor que el pago esperado en la
situación de riesgo, mientras que el buscador de riesgos designa
una cantidad fija que es consistentemente mayor que el pago
esperado en la situación de riesgo
Análisis de
Decisiones
U
Utilidad Esperada
Evasor de riesgos
$
U
U
$
Buscador de riesgos
Indiferente al riesgo
$
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Si se observa la tabla 2 se ve que los dos resultados monetarios
extremos son -$1,500 Y +$6,000. Suponga que quien tomará las
decisiones muestra indiferencia a recibir una cantidad segura de
$1,200 en lugar de una situación de riesgo en la cual existe una
posibilidad de 50 por ciento de ganar $6,000 y una posibilidad de 50
por ciento de perder $1,500.
U(-1,500) = 0
U(6,000) = 1.0
U (cantidad fija) = P (U de resultado alto) + (1-P)(U de resultado
bajo)
U (1,200) = 0.50(1.0) + 0.5(0)
U (1,200) = 0.50
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Se presentan cuatro contratos de referencia adicionales a quien
toma las decisiones. Determine los valores de utilidad
correspondientes a cada cantidad segura.
Número de
contrato
Probabilidad de
$6000 de
ganancia
Probabilidad de
$1500 de
pérdida
Cantidad Segura
equivalente
1
0.1
0.9
-1000
2
0.3
0.7
0
3
0.7
0.3
3000
4
0.9
0.1
5000
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Contrato 1:
Cantidad fija = 0.10(6,000) contra 0.90(-1,500)
-1,000 = 0.10 (6,000) contra 0.90(-1,500)
U(-1,000) = 0.10(1.0) +.90(0) = 0.10
Contrato 2
Cantidad fija = 0.30(6,000) contra 0.70(-1,500)
0 = 0.30 (6,000) contra 0.70(-1,500)
U(0) = 0.30(1.0) +0.70(0) = 0.30
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Contrato 3:
Cantidad fija = 0.70(6,000) contra 0.30(-1,500)
3,000 = 0.70 (6,000) contra 0.30(-1,500)
U(3,000) = 0.70(1.0) +0.30(0) = 0.70
Contrato 4:
Cantidad fija = 0.90(6,000) contra 0.10(-1,500)
5,000 = 0.90 (6,000) contra 0.10(-1,500)
U(5,000) = 0.90(1.0) +0.10(0) = 0.90
Valor
monetario
-1,500
-1,000
0
1,200
3,000
5,000
6,000
Valor de
utilidad
0.00
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-1500
-1000
0
1200
3000
5000
6000
Análisis de
Decisiones
Utilidad Esperada
Cantidad Ordenada
Demanda de
Mercado
Probabilidad
A1
A2
A3
A4
5
10
15
20
E1
5
0.10
0.55
0.38
0.21
0
E2
10
0.30
0.55
0.7
0.61
0.47
E3
15
0.40
0.55
0.7
0.86
0.78
E4
20
0.20
0.55
0.7
0.86
1
0.55
0.668
0.72
0.653