Problema 1 (45 minutos) - ELAI-UPM

Regulación Automática II – Junio 2013
Problema 1 (40 minutos)
Un dispositivo con función de transferencia Gp(s) tiene un polo en el origen y otro a frecuencia
de corte
con ganancia de 5 unidades. Dicho dispositivo se gobierna mediante un actuador
Ga(s) de primer orden con τ=0.1 s y ganancia unitaria. La planta estaría formada por el conjunto
de ambos.
Se pide:
1. Calcular la ganancia del lazo abierto del conjunto compensador-planta necesaria para
que la constante de error ante entrada en rampa sea de 25.
2. Calcular la frecuencia de cruce de ganancia y el margen de fase incluyendo el valor de
la ganancia calculada en el apartado anterior.
3. Si se plantea conseguir un margen de fase de 60º, proponer razonadamente qué tipo de
compensador debería elegirse. No se dará por válida si no se justifica completamente la
respuesta.
4. Diseñar dicho compensador para cumplir con las especificaciones propuestas.
Problema 2 (45 minutos)
Como consecuencia de añadir un bloqueador-muestreador a un sistema continuo de regulación
de temperatura mediante termostato se obtiene el siguiente sistema equivalente discreto (una vez
reducido):
G( z) 
3z
z 3
Se pide
1. a) Razónese sin realizar ningún cálculo previo acerca de la causalidad, retardo y
estabilidad del sistema. Determine b) el valor inicial y final ante entrada escalón
unitario; c) la ecuación en diferencias que caracteriza el sistema; d) Termino general de
la salida ante entrada escalón unitario. (4 puntos)
2. a) Determine los valores del compensador proporcional que representan cambios en el
comportamiento del sistema en lazo cerrado (considere realimentación unitaria
entrada escalón unitario) en relación con la estabilidad y forma del transitorio.
b) Repita los cálculos para el sistema retardado una unidad. (3 puntos)
3.
Un modelo de planta discreta viene dado por
G( z) 
z
2
( z  1)( z  )( z  1)
3
Se pide:
a) Suponiendo que sea estable, ¿puede seguir este sistema a una rampa discreta en
cadena cerrada? Sin realizar ningún cálculo determine asimismo el retardo del sistema.
Justifique claramente ambas respuestas.
b) Dibuje de forma esquemática el lugar de las raíces directo indicando el centroide y la
zona de estabilidad (si la hubiere).
c) Determine los valores del compensador proporcional que hacen el sistema estable en
cadena cerrada (considere la realimentación unitaria y la entrada el escalón unitario
discreto). (3 puntos)
Regulación Automática II – Junio 2013
SOLUCION
1.
a) Sistema inestable, causal y con retardo nulo
b) y0  3; y  
c) yk  3 yk 1  3uk
z
1
1/ 2 1/ 2
 3z 2
 3z 2 [

]
z 1
( z  1)( z  3)
z 1 z  3
d)
3
Z 1 (Y ( z ))  3k 1  1
2
Y ( z)  G( z)
2.
a) G ( z ) 
3z
z 3
Ke
Aplicando criterio del modulo: k 
 dp : K = 2 . El sistema es estable para valores de k tal
3 dz
3
e
que 2/3<k<  . Para valores de k dentro de la estabilidad, el sistema se comporta como un
primer orden.
b) G ( z ) 
3
z 3
Ke2
Aplicando criterio del modulo: k 
Ka
 dp : Ke1= 2 .
3 dz
3
Ke2=
Ke1
4
y Ka=1
3
El sistema es estable para valores 2/3<k<4/3. Para valores 2/3<k<1 el sistema se comporta
como un primer orden. Para valores 1<k<4/3 el sistema se comporta como segundo orden y
presenta rizo.
3.Un modelo de planta discreta viene dado por
G( z) 
z
2
( z  1)( z  )( z  1)
3
Regulación Automática II – Junio 2013
Se pide:
a) Suponiendo que sea estable, ¿puede seguir este sistema a una rampa discreta en
cadena cerrada? Justifique la respuesta. Sin realizar ningún cálculo determine asimismo el
retardo del sistema.
SOLUCION
El sistema es de orden uno (polo en z=1) luego puede seguir a la rampa con un error en régimen
permanente constante, siempre que sea estable.
El retardo del sistema es 2 (orden del denominador dos unidades superior al numerador). Esto
implica que la salida del sistema (en cadena abierta) presentará al menos dos muestras nulas
ante cualquier entrada.
b) Dibuje de forma esquemática el lugar de las raíces directo indicando el centroide y la
zona de estabilidad (si la hubiere).
SOLUCION
Centroide:  
 Re( p )   Re( z )
n p  nz
2
1 1 0
1
3


3 1
3
Se observa que existe un intervalo de ganancias [0,Kc] donde el sistema es estable (todos los
polos se encuentran dentro de la circunferencia unidad).
c) Determine los valores del compensador proporcional que hacen el sistema estable en
cadena cerrada (considere la realimentación unitaria y la entrada el escalón unitario).
SOLUCION
El polinomio característico en cadena cerrada es
2
2
2
p( z )  D( z )  k  N( z )  ( z  1 )( z  )( z  1 )  k  z  z 3  z 2  ( k  1 )z 
3
3
3
Aplicando Jury se obtiene una ganancia del compensador proporcional para el límite de
estabilidad de k
1,11 . Solución: El sistema será estable para valores 0  k  1,11