UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CNM - 108
Álgebra y Trigonometrı́a
Funciones trigonométricas de números reales
6.1 Ángulos
De acuerdo a la disciplina trabajada tenemos la definición de ángulo, es ası́
como en geometrı́a, un ángulo se define como el conjunto de puntos determinado
por dos rayos, o semirrectas, l1 y l2 que tienen el mismo origen O llamado vértice.
Tomemos dos puntos, C y D en l1 y l2 respectivamente, entonces llamaremos
\ figura 1(a). Ya en
de ángulo COD y denotado por ∠COD, o ∡COD o COD,
trigonometrı́a, se interpretan los ángulos como rotaciones de rayos. Iniciamos
fijando el rayo l1 (lado inicial), cuyo punto extremo O se hace girar alrededor de
O en el plano hasta la posición indicada por el rayo l2 (lado terminal). Aquı́, O
es el vértice del ángulo COD. Por lo general, los ángulos los denotamos por las
letras griegas minúsculas como α, γ, β, θ, entre otras.
Se dice que un ángulo es positivo, si l1 se hace girar en dirección contraria
a las manecillas del reloj hasta la posición terminal l2 , y se dice que el ángulo
es negativo, si l1 rota en dirección de las manecillas del reloj, ángulos α y β
respectivamente en la figura 1(b). Ahora, si colocamos el vértice en el origen de
un sistema de coordenadas rectangulares y hacemos que el lado inicial l1 coincida
con el semieje positivo horizontal x, está será la posición estándar del ángulo.
D
O
C
(a)
y
l2
y
l2
O
α
x
l1
O
l2
l1
l2
α
l1
x
β
(b)
Figura 1
(c)
Las unidades de medida para ángulos comúnmente usadas son el grado y el radián.
Un ángulo en su posición estándar obtenido por una revolución completa en
sentido contrario al de las manecillas del reloj mide 360 grados el cual se denota
1
por 360◦ . Un grado es la medida del ángulo central que intercepta un arco igual
a
1
360
de la circunferencia.
Tenemos varios tipos de ángulos de acuerdo a su abertura, entre ellos tenemos
por ejemplo, el ángulo llano, ángulo recto, ver figura 1(c), los cuales definiremos
a continuación y se encuentran en el cuadro abajo. Si los lados del ángulo se
encuentran sobre la misma recta pero se extienden en direcciones opuestas de su
vértice se tiene un ángulo llano, esto es, su medida es de 180o. Un ángulo se
llama ángulo cuadrantal, si su lado terminal está en el eje coordenado, observe la
figura 1(c). Otros ángulos son:
Terminologı́a
Definición
Ejemplo
Ángulo Recto
θ = 90◦
90◦
Ángulo agudo
0◦ < θ < 90◦
13◦ ; 23◦
Ángulo obtuso
90◦ < θ < 180◦
93◦ ; 145◦
Ángulos complementarios α, β
α + β = 90◦
25◦ , 65◦ ; 80◦ , 10◦
Ángulos suplementarios α, β
α + β = 180◦
25◦ , 155◦ ; 80◦ , 100◦
En matemáticas la unidad más común para medir los ángulos es el radián.
Para definir el ángulo con medida de radián, consideremos un cı́rculo de radio
r. El ángulo central de un cı́rculo es un ángulo cuyo vértice está en el centro
del cı́rculo, figura 2(a). Si γ es el ángulo central, decimos que el arco P1 P2 , que
denotaremos s, de la circunferencia subtiende a γ por s. Ahora, si la longitud
de s es igual al radio del cı́rculo, entonces el ángulo γ mide 1 radián, ver figura
2(b). Si γ = 0 revoluciones, llamaremos a γ de ángulo cero; éste es el ángulo en
el cuál no hay rotación, el lado terminal y el lado inicial coinciden, como se puede
ver en la figura 2(c); sin embargo, esto también se satisface para un ángulo de n
revoluciones, donde n es un entero. En la figura 2(d) se muestra un ángulo de 2
revoluciones.
Definición: Definimos un radián como la medida del ángulo central que subtiende
un arco de longitud igual al radio del cı́rculo. Ver figura 2(a).
2
P1
γ
γ
r
O
P1 , P2
P1 , P2
r
P2
(a)
(b)
(c)
Figura 2
(d)
Es importante saber llevar radianes a grados y viceversa, para esto tenemos
las siguientes relaciones:
1. 180◦ = π radianes
2. 1◦ =
π
180
radianes
3. 1 radian =
180◦
π
Para cambiar de grados a radianes se multiplica por
Para cambiar de radianes a grados se multiplica por
π
.
180
180
.
π
Ejemplo 1. Si α = 45o , calcula α en radianes y si α = π3 , calcula α en grados.
Solución: Utilizando las relaciones anteriores tenemos:
π
π
π
π 180o
o
o
45 = 45
= 60o .
=
y
=
180o
4
3
3
π
Esta técnica se puede usar para obtener las medidas de ángulos más utilizados,
los cuales se muestran en la siguiente tabla.
Radianes
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
2π
Grados
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
210o
360o
Es convencional que, si no se designa unidad de medida de un ángulo, entonces
éste ésta es en radianes. Por lo tanto, podemos escribimos la medida del ángulo
como
s
(1)
α = , |α| ≤ 2π,
r
donde s es la longitud del arco interceptado y r es la longitud del radio del cı́rculo.
Observemos que si s = r, entonces α = 1, figura 2(b). Es decir que un radián es
la medida de un ángulo central cuyo arco interceptado tiene la misma longitud
que el radio del cı́rculo.
3
De (1), tenemos que la fórmula para la longitud de un arco de circunferencia
es dada por
s = rα.
Demostración: Considere los arcos de longitudes s, s1 y los ángulos centrales
α, α1 respectivamente, figura 3(a) y 3(b), entonces por geometrı́a euclidiana,
tenemos que
s
α
= .
s1
α1
En particular, consideremos el caso donde α1 = 1 rad, entonces s1 = r y ası́ se
obtiene
s
= α o en forma equivalente s = rα.
r
s
α
α1
r
s1
r
(b)
(a)
Figura 3
Observación: Si α = 2π, la longitud de un arco circular se transforma en
s = r(2π) que es la fórmula de la circunferencia de un cı́rculo, C = 2πr.
Proposición: Sea C una circunferencia de radio r. Si α y A son la medida en
radianes de un ángulo central de C, y el área del sector circular determinado por
α, respectivamente, entonces
1
A = r 2 α.
2
Demostración: Sean α y α1 ángulos centrales de una circunferencia de radio
r, llamela C, con α < α1 y sean A y A1 las áreas de los sectores correspondientes
a los ángulos α y α1 respectivamente. Entonces por geometrı́a euclidiana,
A
α
=
A1
α1
o A=
A1
α.
α1
Si consideramos el caso en que α1 = 2π, entonces A1 = πr 2 y
A=
πr 2
1
α = r 2 α.
2π
2
4
Aquı́, ya podemos pensar en dos tipos de velocidades que encontramos cuando
estamos estudiando los ángulos. Ası́, la velocidad lineal de un punto Q de la
circunferencia es la distancia que Q recorre por unidad de tiempo. La velocidad
angular de una rueda que gira a razón constante es el ángulo generado, en una
unidad de tiempo, por un segmento de recta que va del centro de la rueda a un
punto cualquiera Q de la circunferencia.
Ejemplo 2. Si un cı́rculo tiene 2 pies de radio, determinar la longitud s del arco
del cı́rculo interceptado por un ángulo central de − 38 radianes.
Solución: Usando la fórmula para la longitud de un arco de circunferencia con
r = 2 y α = − 38 , tenemos
8
16
s = − × 2 = − pies.
3
3
Ejemplo 3. La rueda de una bicicleta tiene 100cm de diámetro.
1. Calcular la distancia recorrida por la bicicleta cuando la rueda ha completado 10 revoluciones.
2. Suponga que un buen ciclista hace girar la rueda con una velocidad de 170
revoluciones por minuto. Determina la velocidad (rapidez) angular de la
rueda.
3. Dado un punto Q sobre la circunferencia de la rueda. Hallar la rapidez del
punto Q cuando la rueda gira con una velocidad de 170 revoluciones por
minuto.
Q
O
Figura 4
Solución: 1. Como una revolución es igual a una vuelta y en la vuelta la rueda
recorre 2πr cm, siendo r el radio de la rueda. Con r = 50cm, tenemos que en una
revolución, la rueda recorre 2π × 50cm = 100π cm y en 10 revoluciones recorrerá
1000π cm.
5
2. Sea O el centro de la rueda y Q (figura 4) un punto sobre la circunferencia.
Tenemos que el número de revoluciones por minuto es 170 y cada revolución
genera un ángulo de 2π radianes, el ángulo generado por el segmento de recta
OQ en un minuto medirá 170 × 2π radianes, ası́
velocidad angular = 170 × 2π = 340π radianes por minuto.
3. Tenemos que la velocidad de Q es la distancia que recorre por minuto,
luego usando la fórmula s = rα, con α = 340π se tiene
s = 50 × 340π = 17000π cm,
y, por tanto, la rapidez lineal de Q es 17000π cm/minuto.
6.2 Funciones trigonométricas
Definiremos las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo. Diremos que un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos es recto,
(ver figura 5(a)).
Definición: Sea α un ángulo en posición estándar, es decir, su lado inicial
coincide con el semieje positivo x, y el lado terminal en cualquier cuadrante
del plano cartesiano. Sobre el lado terminal del ángulo, sea P (x, y), un punto
cualquiera, distinto del origen. Las seis funciones trigonométricas de α se definen,
en términos de la abscisa (x), la ordenada (y) y a distancia (r) del punto P al
origen, ası́: (ver figura 5(b)),
1. sen α =
Ordenada
Distancia
=
y
r
2. cos α =
Abscisa
Distancia
=
x
r
3. tan α =
Ordenada
Abscisa
= xy , si x 6= 0
4. cot α =
Abscisa
Ordenada
= xy , si y 6= 0
5. sec α =
Distancia
Abscisa
= xr , si x 6= 0
6. csc α =
Distancia
Ordenada
= yr , si y 6= 0.
6
P (x, y)
B
h
A
β
o
b 90
α
r
a
(a)
α
C
O
y
x
(b)
Figura 5
Aqui d(O, P ) = r =
p
x2 + y 2 y siendo α el ángulo agudo del triángulo rectángulo
de lados de longitudes x, y y r, nos referimos es estos como lado adyacente, lado
opuesto y la hipotenusa, respectivamente. Por notación de algunos textos las
longitudes de los lados utiliza los términos ady para lado adyacente, op para lado
opuesto e hip para hipotenusa. Ası́, por ejemplo, tenemos
sen α =
Lado opuesto
op
y
=
= .
Hipotenusa
hip
r
Observación: Para todo ángulo agudo α, sen α ≤ 1, cos α ≤ 1, csc α > 1,
sec α > 1.
Puede demostrarse que las funciones trigonométricas no dependen de la elección
del punto P (x, y); es decir, cualquier punto Q(x′ , y ′) sobre el lado terminal, y distinto del origen, arroja para cada función trigonométrica, el mismo valor.
A partir de la definición anterior, pueden deducirse las siguientes relaciones
entre las funciones trigonométricas, siempre que las operaciones indicadas estén
permitidas en los reales:
1. Identidades reciprocas.
i) sen α =
1
csc α
1
iv) csc α = sen α
ii) cos α =
v) sec α =
1
sec α
1
cos α
iii) tan α =
vi) cot α =
1
cot α
1
tan α
2. Relaciones trigonométricas.
α
i) tan α = sen
cos α
iv) sen α csc α = 1
cos α
ii) cot α = sen
α
v) cos α sec α = 1
3. Para todo ángulo α, se tiene la identidad.
i) Identidad fundamental o pitagórica:
sen2 α + cos2 α = 1
7
iii) tan α cot α = 1
ii) Para todo ángulo α, se tiene:
−1 ≤ sen α ≤ 1 y −1 ≤ cos α ≤ 1
4. El signo asociado con las funciones trigonométricas, depende del cuadrante en
que esté situado el lado terminal del ángulo.
Teniendo en cuenta las funciones trigonométricas anteriores podemos elaborar la
siguiente tabla que será de gran ayuda e invitamos a todos a continuar en su
elaboración. Aquı́, N.E se lee: No existe.
α en grados α en rad.
0
o
sen α
cos α
cot α
sec α
csc α
0
N.E
√
3
√
2 3
3
1
N.E
√
2
√
2
0
0
π
6
π
4
π
3
π
2
1
√2
2
√2
3
2
√
3
√2
2
2
1
2
1
√
3
√
3
3
2
√
2 3
3
1
0
N.E
0
N.E
1
o
π
0
-1
0
N.E
-1
N.E
270o
3π
2
-1
0
N.E
0
N.E
-1
30
o
45o
60o
90o
180
1
tan α
√
3
3
1
Ejemplo 4. Determinar las funciones trigonométricas de
π
4
2
o en otras palabras
o
de 45 .
Solución: Consideremos el ángulo dado en posición estándar, teniendo como
lado inicial, l1 , el eje positivo de las coordenadas x y lado final, l2 , la semirrecta
en el primer cuadrante de plano coordenado formando el ángulo de 45o (figura
6(a)). Tomemos un punto P sobre l2 con 1 como coordenada x. Construimos el
segmento P M perpendicular al eje x y, observamos, que como ∠P OM es 45o y
∠OMP es 90o y el triángulo OMP es un triángulo isósceles con los lados OM y
MP de longitud iguales. Ası́, el punto P tiene como coordenadas (1,1) y por el
√
Teorema Pitagórico tenemos que el radio r = |OP | = 2, luego,
sen 45o =
cos 45o =
tan 45o =
√
√1 = 2 ,
2
√2
√1 = 2 ,
2
2
1
=
1,
1
cot 45o =
sec 45o =
csc 45o =
8
1
= 1,
1
√
√
2
2,
=
√1
√
2
= 2.
1
y
P (1, 1)
B
l2
a
O
45o
1
c
α
M
x
C
(a)
b
(b)
A
Figura 6
Ejemplo 5. Demostrar la identidad Pitagórica sen2 α + cos2 α = 1.
Demostración: Por el Teorema de Pitágoras tenemos que a2 + b2 = c2 , donde
c es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, (figura 6(b)) y a, b sus lados.
Ası́, dividiendo esta igualdad por c2 ,
2 2 2
a
b
c
+
=
c
c
c
y por la definición de las funciones trigonométricas de seno y coseno,
sen2 α + cos2 α = 1.
Ejemplo 6. Demostrar la identidad: sen2 α(1 + cot2 α) = 1.
Demostración: De las identidades trigonométricas tenemos que 1 + cot2 α =
csc2 α. Entonces
sen2 α(1 + cot2 α) = sen2 α csc2 α
1
= sen2 α 2 = 1.
sen α
Ejemplo 7. Se coloca en el punto A un instrumento para medir en la noche la
altura de las nubes. Este aparato emite un rayo vertical de luz que hace una señal
en las nubes. La señal se ve desde un punto a 130 metros de distancia horizontal
medida desde A. El ángulo entre el suelo y la señal en la nube es de 60o . Hallar
la altura de las nubes.
9
Solución: Denotemos por h la altura de la nube AB. Ası́, del triángulo ABC
de la figura 7 tenemos que
tan 60o =
h
,
130
h = 130 tan 60o = 130 × 1.73 = 224.9 metros.
B
h
A
60o
130m C
Figura 7
Ejercicio 1. Determinar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30o ,
60o , 90o .
6.3 Funciones trigonométricas de números reales
Para funciones trigonométricas de números reales es importante observar que
si t es un número real y P (x, y) es el punto de la circunferencia unitaria U, esto
es, la circunferencia de radio r = 1, que corresponde a t, tenemos
sen(t) = y
cos(t) = x
tan(t) = xy , si x 6= 0
cot(t) = xy , si y 6= 0 sec(t) = x1 , si x 6= 0 csc(t) = y1 , si y 6= 0
Ejercicio 2. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas cuando t,
tome los valores de π2 , π4 .
Para lo que sigue es importante, saber si una función es periódica o aperiódica.
No entraremos en mucho detalle, pero es importante entender el concepto fundamental de dichas funciones. A seguir daremos la definición más formal.
Definición: Sea f una función con dominio un subconjunto de los reales, si
existe un número real positivo k 6= 0, tal que t + k pertenezca al dominio de f y,
f (t + k) = f (t)
entonces decimos que f es una función periódica, de perı́odo k.
10
(2)
El menor k positivo para el cual la función es periódica se denomina perı́odo
fundamental o simplemente perı́odo.
De acuerdo a esta definición, tenemos que las funciones seno y coseno tienen
perı́odo 2π, ya que para cualquier entero n se tiene
sen(t + 2πn) = sen(t)
y
cos(t + 2πn) = cos(t).
Con esto podemos realizar las gráficas de las funciones trigonométricas seno y
coseno correspondientes a un ángulo entre 0 y 2π que es un ciclo. Nos referimos
a un ciclo como una onda senoidal u onda cosenoidal.
Otro punto importante en las funciones trigonométricas es saber cual de ellas
es par o impar. Recordando, diremos que una función f es par si f (−t) = f (t) y
es impar si f (−t) = −f (t). Ası́, podemos enunciar el siguiente teorema.
Teorema 1: 1. El coseno y secante son funciones pares.
2. El seno, la tangente, la cotangente y cosecante son funciones
impares.
Demostración: Demostraremos este teorema sólo para las funciones secante y
tangente y dejaremos las otras funciones como ejercicios.
Tomemos los puntos P (x, y) y Q(x, −y) sobre la circunferencia C de centro en
el origen del plano cartesiano y radio r, (ver figura 8). Los puntos ası́ tomados son
simétricos, quedando P en el primer cuadrante y Q en el cuarto cuadrante. Sea α
determinado por el semieje positivo de las x y el radio OP en el sentido positivo
(girando en sentido contrario de las manecillas el reloj) y −α determinado por el
punto Q, recorriendo C en sentido de las manecillas del reloj.
Sea f (α) = sec α. De los triángulos P OA y QOA, donde OP = OQ = r,
vemos que,
f (−α) = sec(−α) =
r
1
1
= x = = sec α = f (α),
cos (−α)
x
r
teniendo ası́ que f (−α) = f (α), mostrando que la función secante es par.
Si f (α) = tan α, entonces
f (−α) = tan(−α) =
− sen α
=
cos (−α)
11
−y
r
x
r
y
= − xr = − tan α = f (α),
r
mostrando que la función tangente es impar.
y
P (x, y)
O
C
α
−α
A(1, 0)
x
Q(x, −y)
Figura 8
Ahora podemos obtener las gráficas de las funciones seno y coseno. Como la
función seno es periódica, la figura se repite en intervalos de 2π. Lo mismo ocurre
con la gráfica de la función coseno. Las gráficas de las funciones seno y coseno se
dan a continuación.
y
y
1
1
3π
2
π
2
−1
2π
π
x
π
y = sen x, 0 ≤ x ≤ 2π
π
2
−1
2π
3π
2
x
y = cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
Figura 9
En la gráfica de tangente, se observa que a medida que el ángulo x se aproxima
a
π
,
2
tan x aumenta sin lı́mite. Del mismo modo, si x se aproxima a − π2 por valores
mayores a − π2 entonces tan x decrece sin lı́mite. Las lı́neas x =
π
2
y x = − π2 son
llamadas ası́ntotas verticales de la gráfica, pero estas lı́neas no hacen parte de
la gráfica de tangente. La Figura 10 nos muestra la función tangente, la cuál es
periódica con periodo π.
1
−2π
−π
π
−1
Figura 10
12
2π
3π
Invitamos al lector a realizar las gráficas de las funciones trigonométricas y
observar cuales son periódicas y aperiódicas.
6.4 Valores de las funciones trigonométricas
De acuerdo a la posición del ángulo en el plano coordenado, tendremos el
ángulo de acuerdo al cuadrante.
El ángulo de referencia es el ángulo agudo αR para el ángulo α que el lado
terminal de α forma con el eje x.
y
O
(a)
αR α
x
αR
y
y
y
α
α
α
x
O
αR
O
(b)
x
(c)
O
αR x
(d)
Figura 11
En la figura 11, se muestra el ángulo de referencia αR para el ángulo α no cuadrantal, con 0o < α < 360o , en los diferentes cuadrantes del plano.
Si el ángulo de referencia está en el primer cuadrante: αR = α.
Si el ángulo de referencia está en el segundo cuadrante: αR = 180o − α.
Si el ángulo de referencia está en el tercer cuadrante: αR = α − 180o .
Si el ángulo de referencia está en el cuarto cuadrante: αR = 360o − α.
Ejemplo 8. Dado el ángulo α, hallar el ángulo de referencia αR para α, y trazar
dichos ángulos en posición estándar en el mismo plano coordenado.
a) α = 330o ,
b) α = 315o,
c) α = π2 .
Solución: Realizamos el ı́tem a) dejando los demás al lector para practicar.
El ángulo α = 330o esta en el cuarto cuadrante, entonces el ángulo de referencia y su gráfica esta dado por
y
α = 330o
αR = 360o − 330o = 30o
O
13
x
αR = 30o
Teorema 2. Si α es un ángulo no cuadrantal en su posición estándar, entonces,
para encontrar el valor de una función trigonométrica en α, se determina su valor
para el ángulo de referencia αR y se antepone el signo adecuado.
Veamos con un ejemplo la aplicación de este teorema.
Ejemplo 9: Para el ángulo α = 225o , encontrar los valores de las funciones sen α,
cos α y tan α.
Solución: Dibujando el ángulo dado, α = 225o, vemos que se encuentra en el
tercer cuadrante, donde las funciones seno y coseno son negativos y tangente es
positivo. Aquı́, el ángulo de referencia será de 45o y los valores para las funciones
√
son:
sen 225o = − sen 45o = − 22 ,
cos 225o = − cos 45o = −
y
α = 225o
√
2
,
2
O
αR = 45o
x
tan 225o = + tan 45o = 1.
6.5 Gráficas trigonométricas
Entre las gráficas de las funciones trigonométricas encontramos tres aspectos
importantes para estudiar, como son la amplitud, el perı́odo y el desplazamiento
de fase, los cueles podemos resumir en el siguiente teorema.
Teorema 3. Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) son funciones senoidal y
cosenoidal respectivamente, con a, b, c reales diferentes de cero, entonces
1. La amplitud es dado por |a|, el periodo es
− bc .
2π
|b|
y el desplazamiento de fase es
2. Se puede encontrar un intervalo que contenga exactamente un ciclo resolviendo la desigualdad
0 ≤ bx + c ≤ 2π.
Ejemplo 10. Determinar la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y
realizar la gráfica de la función:
π
.
y = 2 sen 2x +
2
14
Solución: Usando el Teorema 3, tenemos que la ecuación dada es de la forma
y = a sen(bx + c), donde a = 2, b = 2 y c = π2 . Ası́, tenemos que la amplitud es
|a| = 2, periodo es
2π
|b|
=
2π
2
= π.
Por el Teorema 3, parte 2, es posible encontrar el desplazamiento de fase y un
intervalo que contenga una onda senoidal al resolver la desigualdad
0 ≤ 2x +
π
≤ 2π.
2
En esta desigualdad, inicialmente restando a cada uno de sus miembros el valor
de
π
2
y al resultado dividiendo por 2, realizando esto paso a paso ası́
−
π
3π
≤ 2x ≤
,
2
2
−
π
3π
≤x≤
.
4
4
Luego, el desplazamiento de fase es − cb = − π4 y hay una onda senoidal de amplitud
2 en el intervalo − π4 , 3π
. Ahora, repitiendo la gráfica a derecha e izquierda,
4
obtenemos la figura 12.
y
y = 2 sen(2x + π2 )
2
−π
π
−π
4
3π
4
2π
x
−2
Figura 12
6.6 Algunas Aplicaciones
La trigonometrı́a tiene muchas aplicaciones en los cuales se encuentran involucrados ángulos y triángulos. Cuando nos dicen que debemos resolver un triángulo
significa que debemos encontrar las medidas de algunos de sus elementos, dado
que se conoce las medidas de otros.
Para las aplicaciones es conveniente recordar dos expresiones comunes en la
solución de triángulos. El ángulo que forma la visual de un observador con el
plano horizontal que pasa por el ojo del observador cuando el objeto observado
está por encima de dicho plano es llamado de ángulo de elevación. Si el objeto
queda por debajo de dicho plano, entonces el ángulo formado es llamado de ángulo
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de depresión (ver figura 13, donde Obs: se lee observador). Con esto ya podemos
entrar a realizar algunos ejemplos.
Horizontal
Obs
Visual
Visual
Obs
Horizontal
Ángulo de depresión
Ángulo de elevación
Figura 13
Ejemplo 11. Suponga que observa un globo a la distancia y se percata que la
distancia entre usted y el punto exactamente debajo del globo está a una distancia
de 120mt y que tiene que elevar su vista 56o para observarlo, figura 14. ¿A qué
altura se encuentra el globo en ese instante?
Solución: Determinemos por A el punto donde te encuentras observando, B el
punto exactamente debajo del globo y sea C el punto donde se encuentra el globo.
Entonces la distancia entre A, B es de 120mt. El ángulo CAB es de 56o . Sea h
la distancia entre B, C. Ası́,
tan 56o =
h
120
entonces h = 120 tan 56o = 177.6mt
Luego, el globo se encuentra a una altura de 177.6mt del piso.
C
Globo
y
h
B
120mt
56o
k
α
A
Figura 14
β
x
Figura 15
Observación: Es usual en este tipo de problemas no tener en cuenta la altura
del observador, a no ser que se especifique lo contrario.
Ejemplo 12. Una escalera de longitud k está apoyada en una pared vertical
y hace un ángulos α con el piso. El extremo que está sobre la pared se desliza
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hacia abajo hasta que se detiene formando un ángulo β en el piso. Encontrar el
deslizamiento vertical de la escalera, (ver figura 15).
Demostración: Sea x: deslizamiento horizontal, y: deslizamiento vertical. Ası́
se tiene
sen α =
h
,
k
entonces h = k sen α
(3)
h−y
k
(4)
sen β =
Resolviendo este sistema, tenemos que sustituyendo (3) en (4):
sen β =
k sen α − y
.
k
Por lo tanto, el desplazamiento vertical es de y = k(sen α − sen β).
También tenemos que:
cos β =
b
,
k
entonces b = k cos β
(5)
b−x
.
k
(6)
cos α =
Sustituyendo (5) en (6):
k cos β − x
.
k
Por lo tanto, el desplazamiento horizontal es de x = k(cos β − cos α)
cos α =
Ejemplo 13. Demostrar la identidad: tan α + cot α = sec2 α cot α.
Solución Se aconseja llevar todo en términos de seno y coseno.
sen α cos α
sen2 α + cos2 α
tan α + cot α =
+
=
cos α sen α
cos α sen α
=
1
1
1
=
cos α sen α
cos α sen α
=
1 cos α
= sec2 α cot α.
cos2 α sen α
Ası́ queda mostrada la identidad.
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BIBLIOGRAFIA
[1] Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole, Álgebra y trigonometrı́a con geometrı́a
analı́tica, Thomson, undécima edición.
[2] Howard E. Taylor y Thomas L. Wade, Matemáticas Básicas, Editorial LimusaWiley, S.A. México, 1969.
[3] Jaime Chica E., Jesús del Valle S., Clara Mejı́a L., Grimaldo Oleas L. y Blanca
Quinceno R, Matemáticas, Colección Camino a la Universidad, Universidad de
Antioquia. California, 1991.
[4] Yu Takeuchi, Darı́o Wills y Hugo Guarı́n, Hacia la Matemática, un enfoque
estructurado, grado 10, Editorial temis S.A, Bogotá-Colombia, Sección textos
escolares, 1985.
“El fracaso es la única oportunidad que se nos presenta para comenzar todo nuevamente, con mayor inteligencia.” Henry Ford.
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