ecuaciones polinómica iones polinómicas de grado mayor que 2

IES Juan García Valdemora
Departamento de Matemáticas
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIO
4º ESO Matemáticas B
ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2
Vamos a ver dos métodos:: por factorización y por cambio de variable (bicuadradas)
1) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS POR FACTORIZACIÓN
Recuerda que
A = 0

A· B = 0 ⇔ ò
. Es decir, el resultado de un producto es cero si y sólo si alguno de los
B = 0

factores que se multiplican es cero. Por ello, para resolver ecuaciones del tipo:
( P1 )·( P2 )·( P3 )·,...,·( Pn ) = 0
donde
P1, P2 , ... Pn son polinomios
igualamos a cero cada uno de los factores y resolvemos las correspondientes ecuaciones.
 P1 = 0
P = 0

( P1 )·( P2 )·( P3 )·,....,·( Pn ) = 0 ⇒  2
⇒ resolvemos cada una de las ecuaciones de forma independiente
.....
 Pn = 0
EJEMPLOS
a) Resuelve la ecuación ( x + 5)( x + 3)( x 2 − 4) = 0
 x + 5 = 0 ⇒ x = −5



( x + 5)( x + 3)( x 2 − 4) = 0 ⇒  x + 3 = 0 ⇒ x = −3


 x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2
Soluciones: x = −5
x = −3
x=2
y
x = −2
b) Resuelve la ecuación 2 x( x3 + 8)( x 2 + 4 x + 5) = 0

2 x = 0 ⇒ x = 0

ò

3
2
2 x( x + 8)( x + 4 x + 5) = 0 ⇒  x 3 + 8 = 0 ⇒ x 3 = −8 ⇒ x = 3 − 8 ⇒ x = −2
ò

 2
− 4 ± 16 − 20
⇒ no tiene solución real
x + 4x + 5 = 0 ⇒ x =
2

Soluciones: x = 0
y
x = −2
1
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c) Resuelve la ecuación 3 x 3 + 8 x 2 + 3 x − 2 = 0
En este caso como el polinomio no está factorizado tendremos que factorizarlo nosotros.
Posibles raíces = {divisores de – 2 }= {±1, ± 2}
+8
3
−1
3
+3
−2
−3
−5
+2
+5
−2
0
⇒ 3x3 + 8 x 2 + 3x − 2 = ( x + 1)(3x 2 + 5 x − 2)
Por tanto,
 x + 1 = 0 ⇒ x = −1

3 x + 8 x + 3 x − 2 = 0 ⇔ ( x + 1)(3 x + 5 x − 2) = 0 ⇔ ò
3 x 2 + 5 x − 2 = 0 (∗)

3
2
2
2
1

− 5 ± 25 + 24 − 5 ± 7  x = ⇒ x =
6
3
(∗) 3x + 5 x − 2 = 0 ⇒ x =
=
=
6
6
 x = −2

2
Soluciones: x = −1
x = −2
y
x=
1
3
d) Resuelve la ecuación 2a 4 − 20 a 3 + 50 a 2 = 0
En este caso para factorizar el polinomio vamos a utilizar la extracción de factor común y las identidades
notables.
2a 2 = 0 ⇒ a 2 = 0 ⇒ a = 0 (doble)

2a 4 − 20a 3 + 50a 2 = 0 ⇔ 2a 2 (a 2 − 10a + 25) = 0 ⇔ 2a 2 (a − 5) 2 = 0 ⇔ ò
(a − 5) 2 = 0 ⇒ a − 5 = 0 ⇒ a = 5 (doble)

Soluciones: a = 0
y
a=5
2
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e) Resuelve la ecuación 2 x 5 + 9 x 4 + 9 x 3 − x 2 − 3 x = 0
1) Extraemos factor común “x”.
x = 0

2 x5 + 9 x 4 + 9 x3 − x 2 − 3 x = 0 ⇔ x ⋅ (2 x 4 + 9 x3 + 9 x 2 − x − 3) = 0 ⇔ ò
2 x 4 + 9 x 3 + 9 x 2 − x − 3 = 0 (∗)

2) Resolvemos la ecuación 2 x 4 + 9 x3 + 9 x 2 − x − 3 = 0 (∗)
2
−1
2
−3
2
+9
+9
−1
−3
−2
−7
−2
+3
+7
+2
−3
−6
−3
+3
+1
−1
⇒ 2 x 4 + 9 x3 + 9 x 2 − x − 3 = ( x + 1)(2 x3 + 7 x 2 + 2 x − 3)
0
0
⇒ 2 x 4 + 9 x3 + 9 x 2 − x − 3 = ( x + 1)( x + 3)(2 x 2 + x − 1)
Por tanto,
 x + 1 = 0 ⇒ x = −1

ò

4
3
3
2
2 x + 9 x + 9 x − x − 3 = 0 ⇔ ( x + 1)( x + 3)(2 x + x − 1) = 0 ⇔  x + 3 = 0 ⇒ x = −3
ò

2 x 2 + x − 1 = 0 (∗∗)
Finalmente resolvemos la ecuación (**)
2
1

− 1 ± 1 + 8 − 1 ± 3 x = ⇒ x =
4
2
2x + x − 1 = 0 ⇒ x =
=
=
4
4
 x = −1

2
3) Por tanto,
Soluciones: x = 0
x = −1 (doble)
x = −3
y
x=
1
2
3
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2)) ECUACIONES BICUADRADAS → ax 4 + bx 2 + c = 0
1) Hacemos el cambio de variable x 2 = t y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
grado
at 2 + bt + c = 0
t = α1
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado
grado: at 2 + bt + c = 0 
t = α 2
t = α1 ⇒ x 2 = α1 ⇒ x = α1
3) Deshacemos el cambio de variable:: 
t = α 2 ⇒ x 2 = α 2 ⇒ x = α 2
EJEMPLOS
a) Resuelve la ecuación x 4 − 5 x 2 + 4 = 0 .
1) Hacemos el cambio de variable x 2 = t y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
grado
t 2 − 5t + 4 = 0
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado
grado: t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t =
5 ± 25 − 16 5 ± 3 t = 4
=
=
2
2
t = 1
3) Deshacemos el cambio de variable
• t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2
• t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 ⇒ x = ±1
Soluciones: x = −2
x=2
x = −1
y
x =1
b) Resuelve la ecuación x 4 − 2 x 2 − 3 = 0 .
1) Hacemos el cambio de variable x 2 = t y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
grado
t 2 − 2t − 3 = 0
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado
grado: t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔ t =
2 ± 4 + 12 2 ± 4 t = 3
=
=
2
2
t = −1
3) Deshacemos el cambio de variable
• t = 3 ⇒ x2 = 3 ⇒ x = ± 3
• t = −1 ⇒ x 2 = −1 ⇒ x = − 1 ⇒ no existe solución real
Soluciones: x = − 3
y
x= 3
4
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3) ECUACIONES DEL TIPO → ax 2 n + bx n + c = 0
Este caso es una generalización del anterior.
1) Hacemos el cambio de variable x n = t y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
grado
at 2 + bt + c = 0
t = α1
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: at 2 + bt + c = 0 
t = α 2
t = α1 ⇒ x n = α1 ⇒ x = n α1
3) Deshacemos el cambio de variable:: 
t = α 2 ⇒ x n = α 2 ⇒ x = n α 2
EJEMPLOS
a) Resuelve la ecuación x 6 − 19 x 2 − 216 = 0 .
1) Hacemos el cambio de variable x 3 = t y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
grado
t 2 − 19t − 216 = 0
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: t 2 − 19t − 216 = 0 ⇔ t =
19 ± 361 + 864 19 ± 35 t = 27
=
=
2
2
t = −8
3) Deshacemos el cambio de variable
• t = 27 ⇒ x 3 = 27 ⇒ x = 3 27 ⇒ x = 3
• t = −8 ⇒ x 3 = −8 ⇒ x = 3 − 8 ⇒ x = −2
Soluciones: x = 3
x = −2
y
b) Resuelve la ecuación x 8 + 2 x 4 − 3 = 0 .
1) Hacemos el cambio de variable x 4 = t y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
grado
t 2 + 2t − 3 = 0
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t =
− 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 t = 1
=
=
2
2
t = −3
3) Deshacemos el cambio de variable
• t = 1 ⇒ x 4 = 1 ⇒ x = 4 1 ⇒ x = ±1
• t = −3 ⇒ x 4 = −3 ⇒ x = 4 − 3 ⇒ no existe solución real
Soluciones: x = −1
y
x =1
5