Ángulos inscritos

Tema 62
Ángulos inscritos
Hemos definido ángulo inscrito como aquél cuyo vértice es un
punto de la circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas. Ahora estamos interesados en saber cómo establecer la medida de
un ángulo inscrito. El teorema que demostraremos a continuación
nos dice cómo calcularla.
Medida del ángulo inscrito en una circunferencia
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del arco subtendido por el ángulo.
Para facilitar la demostración del teorema consideramos las diferentes posiciones del centro de la circunferencia respecto de los
lados del ángulo, como se ilustra en la figura, y recordamos el teorema de la medida del ángulo exterior de un triángulo: la medida
de un ángulo externo de un triángulo es la suma de las medidas
de los ángulos internos no adyacentes.
Caso 1. El centro C está sobre un lado del ángulo
Dado:
Matemáticas
Demostremos: m
Demostración.
1 = 1 m MO
2
9
Afirmación
Justificación
Dibujamos MC , m MCO = mMO
Postulado dos puntos
y una recta por ellos.
Medida ángulo central.
m
MCO
MC ≡ NC ,
m
MNO inscrito en la circunferencia C, veamos la figura.
m
m
1≅
1
m
2, m 1 = m 2
MCO = m
1+m
1 = 1m
2
MCO
m
2
1 = 1 MO
2
1
y
Teorema de medida del
ángulo exterior.
Def. Circunferencia.
Ángulos opuestos a
lados congruentes en
un triángulo. Def. de
congruencia.
Principio de sustitución.
Álgebra. Principio de
sustitución.
Caso 2. El centro es interior al ángulo inscrito
Dado:
MNO inscrito en la circunferencia C, veamos la figura.
�.
Demostremos: m 1 = 1 m MO
2
Matemáticas
9
Para realizar la demostración basta con trazar el diámetro NY , y utilizar el postulado de adición de medida de arcos, y aplicar el caso 1.
1
El Caso 3 puedes demostrarlo como ejercicio, basta que consideres el MNO como diferencia de dos ángulos inscritos y aplicar el
Caso 1.
En la figura, identifica ángulos inscritos, el arco y el ángulo
central correspondientes a cada uno.
2
Se trazan, en una circunferencia C,
ángulos centrales de 60º y 45º. Para
cada uno de ellos, dibuja dos ángulos inscritos con el mismo arco. ¿Cuál
es la medida de cada uno de ellos?
_________________________
3
Marca dos puntos A y B sobre la circunferencia C y toma dos puntos P1 y P2 en distinto semiplano respecto de AB . Explica cómo son los ángulos
 A P1 B y  A P2 B .
Como consecuencia inmediata del teorema anterior tenemos tres
corolarios:
Corolario 1: si dos ángulos inscritos intersecan el mismo arco o
arcos congruentes, entonces son congruentes.
Corolario 2: si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia,
entonces los ángulos opuestos son suplementarios.
Corolario 3: un ángulo inscrito en un semicírculo es recto. Este
tercer corolario es inmediato porque el arco subtendido por el
ángulo, por ser un semicírculo mide 180º.
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Ejemplo
En la figura observamos una circunferencia C con el cuadrilátero UVWX inscrito.
 = 50ϒ y m VWU = 40ϒ. Hallemos
mWX
V
W
5
40˚ 1
C
4
Discute con tus compañeros y compañeras, y saquen conclusiones respecto a la siguiente proposición: “Un rectángulo se puede inscribir y también circunscribir a una circunferencia”. _________________________________
5
Demuestra que para todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
6
Justifica la verdad o falsedad de la siguiente proposición:
“Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, basta conocer la medida de dos de sus ángulos contiguos para
conocer los otros dos” ángulos.
50˚
2 X
4 3
las medidas de los ángulos 1 a 5 y las de los U
arcos menores.
 = 180ϒ. Por tanto
Como UW es un diámetro, m UXW
 = 130ϒ y m 1 = 1 (130ϒ) = 65ϒ. m  2 = m  5 = 90ϒ
m UX
2
por estar inscritos en una semicircunferencia. m 3 = 25ϒ,
 = 100ϒ y m VU
 = 80ϒ.
m 4 = 50ϒ, m VW
Matemáticas
7
Dos ángulos inscritos en una circunferencia son complementarios. ¿Cómo son los ángulos centrales correspondientes? Justifica tu respuesta. ______________
8
Un ángulo se llama semiinscrito a una circunferencia si su
vértice está sobre la circunferencia, uno de sus lados es
una secante y el otro es una tangente. Se traza una tangente a la circunferencia C en un punto A de la circunferencia
y se divide en cuatro partes iguales el ángulo llano cuyo
vértice es A y sus lados forman la tangente. ¿Cuánto mide
cada ángulo semiinscrito y cuánto mide cada ángulo inscrito resultante de la división? ___________________________
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