Probabilidad y Estadistica (C)

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Cali…cación
TEMA 1
Probabilidad y Estadística (C)
Primer Parcial - 08/10/2015
Apellido y Nombre:
Libreta N :
Turno (tachar lo que no corresponda): Tarde: Ma-Ju 14 a 17 hs. Noche: Ma-Ju 19 a 22 hs.
Al …nalizar el examen señale aquí qué ejercicios entrega. Entrego ejercicios 1 2 3 4
Por favor, resuelva cada ejercicio en hojas separadas. Numere todas las hojas y coloque
en cada una su apellido.
Para aprobar es necesario tener al menos 60 puntos.
En los ejercicios donde corresponda, de…na con palabras las variables aleatorias involucradas e indique
sus distribuciones. Justi…que claramente sus a…rmaciones
1. (25 puntos) El dado A tiene 4 caras rojas y 2 blancas, mientras que el dado B tiene 2 caras rojas
y 4 blancas. Se tira una moneda equilibrada, si sale cara se arroja n veces el dado A y si sale ceca,
se arroja n veces el dado B.
a) (6 puntos) Probar que la probabilidad de que salga una cara roja en cualquier tiro es 12 .
b) (7 puntos) Si en los dos primeros tiros salieron caras rojas, ¿cuál es la probabilidad de que
salga cara roja en alguno de los dos siguientes tiros?
c) (6 puntos) Si en los n tiros salieron caras rojas, ¿cuál es la probabilidad de estar usando el
dado A?
d) (6 puntos) ¿Son independientes los eventos “salió cara roja en el primer tiro” y “salió cara
roja en el segundo tiro”? Justi…que.
2. (25 puntos) Una línea aérea sabe que el 5 % de las personas que hacen reservaciones, luego no
viajan. Por ello, su política de ventas es reservar más pasajes que los asientos disponibles. Para el
próximo vuelo se han reservado 52 pasajes pero sólo entran 50 pasajeros.
a) (7 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya un asiento disponible para cada uno de los
pasajeros que se presentan con la reserva previa para tomar el vuelo?
b) (6 puntos) Sea X el número de pasajeros con reserva que se presentan. Calcular la esperanza
de X.
c) (6 puntos) Sea Y el número de pasajeros con reserva que se presentan y no consiguen asiento.
Calcular la esperanza de Y .
d) (6 puntos) Al enterarse de esta política empresarial, un pasajero que toma ese vuelo frecuentemente, decide presentar una queja a la compañía cada vez que alguien se queda sin
viajar. La compañía decide compensarlo en su tercera queja. ¿Cuál es la probabilidad de que
sea compensado en su sexto vuelo?
3. (25 puntos) El tiempo que estudia Ramón (en 102 horas) para rendir el examen …nal de una materia cualquiera, está dado por una variable aleatoria X con distribución exponencial de parámetro
= 2. Durante dichos exámenes Ramón siempre siente deseos de tomarse un descanso y salir del
aula, pero no siempre tiene permiso para hacerlo. La nota de Ramón en cada examen …nal está
dada por la variable aleatoria
Y =
10
10
7e
X
7
X+1
si lo dejan salir del aula
:
si no lo dejan salir del aula
Ramón se presenta a rendir el …nal de Probabilidad y Estadística (C). La probabilidad de que a
Ramón lo dejen salir del aula en dicho examen es 0;3:
a) (8 puntos) Dado que en el examen le prohiben salir del aula, ¿cuál es la probabilidad de que
saque más de 7?
b) (8 puntos) Si no sabe si le van a permitir salir del aula, ¿qué probabilidad tiene de sacar más
de 7?
c) (9 puntos) Calcular la función de distribución acumulada de Y .
4. (25 puntos) Sea X una variable aleatoria con densidad U(0; 1). Si X = x, se elige un número Y
entre 0 y x. Por lo tanto Y jX=x U(0; x).
a) (13 puntos) Hallar la densidad conjunta del par (X; Y ) y la densidad marginal fY .
b) (12 puntos) Calcular E (Y ) ; V (Y ) ; cov (X; Y ) y cov (X; X + Y ) :