repaso geometría 2

REPASO GEOMETRÍA
II
MATEMÁTICAS II
1. S. Dados los puntos A(1, − 3, 1) , B(2, 3, 1) , C (1, 3, − 1) se pide:
a) Obtener la ecuación del plano π que los contiene
b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano π
c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, y C
Sol.: a) π ( A, AB, AC ) : 6 x − y − 3 z − 6 = 0
b)
c)
d (O, π ) =
V =
[
6
6 2 + (−1) 2 + (−3) 2
=
3 46
23
]
1
mod OA, OB, OC = 2 u 3
6
2. S. Sean A, B y C los puntos de la recta x − 12 =
x = 0 , y = 0 , z = 0 , respectivamente.
y +6 z −6
=
que están en los planos coordenados
2
3
a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos
b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB,
DBC tiene un área mayor
DAC o
A(0, − 30, − 30) , B (15, 0, 15) , C (10, − 10, 0)
3
AB = (15, 30, 45) , AC = (10, 20, 30) → AB = AC → C
2
está entre A y B
b) Area DAB = Area DAC + Area DBC
Sol.: a)
3. S. Halla la distancia del punto P(1, 2, 3) a la recta
y−6
r:x=
= z − 2 determinando el punto de la recta que dista menos de
−1
P.
Sol.: r ( A, u ) / A(0, 6, 2), u = (1, − 1, 1) . El plano que pasa por P y es perpendicular a la
recta dada:
.Luego,
π ( P, u ) : x − y + z − 2 = 0 . El punto de la recta que dista menos de P es: Q = π ∩ r
Q(2, 4, 4) . Y la distancia: d ( P, r ) = d ( P, Q) = PQ = 6
 x = −1 − t

4. S. Sean la recta y el plano dados por: r :  y = − t
z =
2t

, π : 2x − 3y + z + 1 = 0
a) Calcula el seno del ángulo que forman la recta y el plano
b) Halla la ecuación de la recta proyección ortogonal de la recta sobre el plano
Sol: a)
de
r ( A, u ) / A(− 1, 0, 0) , u = (− 1, − 1, 2) ; n = (2, − 3, 1) es el vector normal
π : sen (r , π ) = cos (u, n) =
u⋅n
u.n
b) Sea
α
=
3
6 14
=
el plano que contiene a r y es perpendicular a
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14
π . La recta pedida s
vendrá dada por la
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intersección de los planos
α
y
π
 x = 4λ
x + y + z + 1 = 0

α ( A; u, n) : x + y + z + 1 = 0 . s = α ∩ π = 
: y = λ
2 x − 3 y + z + 1 = 0  z = −1 − 5λ

5. S.: Halla el punto del plano de ecuación x − z = 3 que está más cerca del punto P(3, 1, 4) , así
como la distancia entre el punto P y el plano.
Sol : Hallamos la recta que pasa por P y es perpendicular al plano dado. La intersección de ésta recta con
x = 3 + t

, Q = r ∩ π = (5, 1, 2)
el plano dado nos dará el punto pedido. r :  y = 1
z = 4 − t

d ( P, π ) = d ( P, Q) = PQ = 2 2
6. S. Halla el plano de la familia mx + y + z − (m + 1) = 0 que esté situado a distancia 1 del origen
− (m + 1)
1
Sol.: d (O, π ) = 1 ⇒
=1 ⇒ m =
→ π : x + 2 y + 2z − 3 = 0
2
m2 + 1 + 1
7. S. Hallar la ecuación de la proyección ortogonal r ' de la recta r :
plano
α : x − 3 y + 2 z + 12 = 0
x −1
z−2
= y −1 =
sobre el
2
2
Sol.: Hallamos la ecuación del plano π que contiene a r y es perpendicular a α
: π ( A, u, n)
x −1 y −1 z − 2
π: 2
1
−3
1
2
2
= 0 → π : 8x − 2 y − 7 z + 8 = 0 .
La recta pedida vendrá dada por
4 9

x = 7 + 7 t

88 23

r'= π ∩ α ≡  y =
+
t
21 21

t
z =


3 x + 2 y − z − 1 = 0
8. S. Se considera la recta r : 
. Se pide:
x + y − 1 = 0
a) Determinar la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por
P (0, 2, 2) y las
coordenadas del punto Q intersección de r y s
b) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y s y la recta t perpendicular a π por el punto P
c) Si T es cualquier punto de t , explica sin hacer ningún cálculo, qué relación hay entre las distancias de P
a r, a s y a π )
x −1
z−2
=y=
; r ( A, u ) Sea Q el punto de corte de ambas rectas.
−1
−1
Q(1 − t , t , 2 − t ) . Se tiene que s ( P, PQ) ; PQ ⊥ r ⇒ PQ ⋅ u = 0 ⇒ t = 1
Sol.: a)
r:
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Luego,
x = 0

; s : y = 2 + λ
z = 2 + λ

Q(0, 1, 1)
x y−2 z−2
=
=
siendo n el asociado a π
−1
2
1
c) Evidentemente d (T , s ) = d (T , π ) = d (T , P) . Por otra parte, como t ⊥ r se tendrá que
b)
π ( P, u, PQ) : 2 x + y − z = 0 , t ( P, n) :
[d (T , r )] 2 = [d (T , s)] 2 + [d ( P, Q)] 2 = [d (T , s)] 2 + 2
 x = 1 + a ( y − 2)
y − z +1 = 0
9. S. dadas las rectas r : 
y s:
. Se pide:
x = z
ax − z = 2a − 2
a) Averiguar su posición relativa, según los valores de a
b) Tomando a = 0 , determinar puntos P ∈ r y Q ∈ s tales que la distancia entre P y A sea mínima
*
2
Sol.: a) Consideramos el sistema formado por las cuatro ecuaciones. Se tiene que A = a − 1
*
Si a ≠ 1 y a ≠ −1 : rg ( A ) = 4 , rg ( A) = 3 ⇒ las rectas se cruzan
[ ]
Si
a = 1 : rg ( A* ) = 3 , rg ( A) = 2 ⇒ las rectas son paralelas
Si
a = −1 : rg ( A* ) = rg ( A) = 3 ⇒ las rectas se cortan
b)
r ( A, u ) : ( x,
s ( B , v ) : ( x,
y, z ) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0)λ
y, z ) = (0, 1, 2 ) + (1, 0, 0) t
PQ = (t − 1, 1 − λ , 1) ;
PQ ⊥ r ⇒ PQ ⋅ u = 0 ⇒ λ = 1  P(1, 1, 1)
→
PQ ⊥ s ⇒ PQ ⋅ v = 0 ⇒ t = 1  Q(1, 1, 2)
10. S.. dadas las rectas r : x − 1 =
y +1
= z−2 ,
2
x − y + z = 2
s:
. Se pide:
3 x − y − z = −4
a) Posición relativa de ambas rectas
b) Área de uno de los cuadrados, dos de cuyos lados están sobre r y s
Sol.: a)
r ( A, u ) / A(1, − 1, 2) , u = (1, 2, 1) 
 rg (u, v) = 1 , rg ( AB, u, v = 2
S (b, v) / B(− 3 , − 5, 0) , v = (1, 2, 1)
Luego, las rectas dadas son paralelas
b) El cuadrado tendrá por lados
d (r , s ) = d ( A, s ) =
AB ∧ v
=
(0,
2, − 4 )
v
Luego,
=
v
30
3
A = [ d (r , s ) ] = 10 / 3
2
x = λ
x−3

= y = z − 1 y s ≡  y = −λ
11. S. dadas las rectas: r ≡
2
 z = −λ

hallar los puntos que dan la mínima
distancia y determinar la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas.
Sol.:
P ∈ r ( A, u ) : P(3 + 2a, a, 1 + a ) , Q ∈ s ( B, v) : Q(λ , − λ , − λ )
PQ ⊥ u ⇒ PQ ⋅ u = 0 ⇒ a = −7 / 6 ; PQ ⊥ v ⇒ PQ ⋅ v = 0 ⇒ λ = 2 / 3
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Luego,
P(2 / 3, − 7 / 6, − 1 / 6) , Q(2 / 3, − 2 / 3, − 2 / 3)
r ( P, w) / w || PQ : r : (x,
y, z ) = (2 / 3, − 7 / 6, − 1 / 6) + (0, 1, − 1) µ
12. S. Considera un cuadrado cuyo centro es el punto C (1, 1, − 1) y tiene uno de sus lados en la recta
z −1
r : x −1 = y −1 =
0
a) Calcula la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado
b) Calcula la longitud del lado del cuadrado.
Sol: a)
b)
π
pasa por C y contiene a r:
l = 2 d (C , r ) = 2
CA ∧ u
u
=
( )
r A, u → π (C , CA, u ) → π : 2 x − 2 y − z − 1 = 0
(− 2,
2, 1 )
2
=
9
2
=
3 2
2
13. Calcula las coordenadas del punto simétrico de P(3, 3, 0) respecto del plano
π : x + 2y − z + 3 = 0
Sol.: El punto simétrico de P respecto de π es otro punto P ' tal que la recta PP ' es perpendicular a π y
además d ( P, π ) = d ( P ' , π ) . Para hallarlo, calcularemos el punto Q proyección ortogonal de P sobre π
x−3 y −3
z
Q = r ∩π / r ⊥ π , P ∈ r → r :
=
; Q(1, − 1, 2)
=
1
2
−1
Q es el punto medio de P y P’ → P ' (− 1, − 5, 4)
14. . Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1, 2, 1) y corta perpendicularmente a la
x y −3 z +4
recta: r : =
=
2
1
−2
Sol.: s ( P, PQ ) / Q es la proyección ortogonal de P sobre r. Para hallar Q, calcularemos el plano π
que pasa por P y es perpendicular a r. π : 2 x − 2 y + z + 1 = 0 . Q = r ∩ π = (2, 1, − 3)
x −1 y − 2 z −1
Luego, s :
=
=
1
−1
−4
15. Dos caras de un cubo están contenidas en cada uno de los planos:
α : 3x + 4 z − 1 = 0 , π : 3x + 4 z + 9 = 0 ¿Cuál es el volumen?
Sol.: Los planos son paralelos por lo que la arista del cubo es a = d (α , π ) . El punto
[ 3.(−1) + 4.1 + 9 ] = 2
P(− 1, 0, 1) ∈ α → d (α , π ) = d ( P, π ) =
32 + 4 2
3
3
Luego, V = a = 8 (u )
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