cálculo de proposiciones - Departamento de Matematicas

Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Proposiciones atómicas y compuestas
Sintaxis
La sintaxis del cálculo de proposiciones es muy simple. Por un lado, tenemos
el conjunto
PA = {p, q, r, p0 , . . . }
ANÁLISIS LÓGICO
CÁLCULO DE PROPOSICIONES
de proposiciones atómicas y, por otro lado, las conectivas lógicas usuales:
Francisco Hernández Quiroz
¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔ .
O en notación de Backus-Naur:
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias, UNAM
E-mail: [email protected]
Página Web: www.matematicas.unam.mx/fhq
α ::= PA | ¬α | (α ∨ α) | (α ∧ α) | (α ⇒ α) | (α ⇔ α)
donde
Facultad de Ciencias
PA ::= p | q | r | pN | qN | rN ,
donde N es un número natural.
Francisco Hernández Quiroz
Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Francisco Hernández Quiroz
Análisis Lógico
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Semántica
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Cálculo de proposiciones
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Funciones boolenas
La semántica del cálculo de proposiciones se expresa en términos de
valores de verdad (generalmente).
Funciones de 0 argumentos
Los valores de verdad más utilizados son los valores booleanos
B = {V , F }.
Funciones de un argumento
V 0 y F 0.
Una evaluación es una fúnción e : PA → B.
Esta función se puede extender a proposiciones compuestas cuando se
combina con funciones booleanas asociadas a cada una de las
conectivas.
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Cálculo de proposiciones
Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
V
F
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id / π11
V
F
V1
V
V
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F1
F
F
¬
F
V
Análisis Lógico
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Funciones boolenas binarias
V
V
F
F
V
F
V
F
π1
V
V
F
F
π2
V
F
V
F
V2
V
V
V
V
F2
F
F
F
F
∧
V
F
F
F
π1 es la proyección 1
V 2 es la constante verdadero
∧ es la conjunción
⇒ es la implicación
6≡ es el o exclusivo
↓ es la negación alternativa
las 4 siguientes no tienen
un nombre estándar
Francisco Hernández Quiroz
Interdefinibilidad
∨
V
V
V
F
⇒
V
F
V
V
⇔
V
F
F
V
6≡
F
V
V
F
↑
F
F
F
V
↓
F
V
V
V
⇐
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
π2 es la proyección del 2
F 2 es la constante falso
∨ es la disyunción
⇔ es doble implicación
↑ es la negación conjunta
⇐ es la contraimplicación
Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
Teorema
Todas las conectivas se pueden definir en términos de
1
¬ y una de las siguientes
1
2
3
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2
↑;
3
↓.
∨;
∧;
⇒;
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Análisis Lógico
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Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Bastan las conectivas binarias para todo
Cálculo de proposiciones
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Demostración
Por inducción en el número de argumentos de la función, con una
salvedad:
Los casos básicos son las constantes, las conectivas unarias y las
binarias.
La hipótesis inductiva es:
Para toda k < n, toda función booleana f : {V , F }k → {V , F } se
puede definir con alguna de las opciones del teorema.
Caso inductivo: toda función booleana g : {V , F }n → {V , F } se
puede definir con alguna de las opciones del teorema.
Sugerencia: g se puede expresar como una combinación de una
función
h : {V , F }n−1 → {V , F }
El teorema anterior parece referirse sólo a las conectivas binarias o
unarias.
Sin embargo, se aplica a las funciones boolenas de cualquier número
de argumentos.
Por ejemplo, la conectiva ternaria siguiente se puede definir en
términos de dos binarias:
if p then q else r ≡def (p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ r)
Y esto se puede generalizar a cualquier valor de n.
y una función
b : {V , F }2 → {V , F }.
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Tautologías, contradicciones y contingencias I
Tautologías, contradicciones y contingencias II
La mayoría de las proposiciones compuestas son contingentes:
algunas asignaciones de valores de verdad a sus proposiciones
atómicas producen V y otras F . Ejemplo:
Algunas proposiciones siempre son verdaderas sin importar la
asignación de valores a sus proposiciones atómicas. Ejemplo:
(p ∨ ¬p),
(p ∧ q)
Estas proposiciones se conocen como tautologías. Se acostumbra
distinguirlas anteponiendo el símbolo |=.
pues si
e(p) = e(q) = V
Y otras siempre producen F . Ejemplo:
entonces
e((p ∧ q)) = V ,
(p ∧ ¬p).
en cambio, si
e(p) = V
Éstas se conocen como contradicciones.
e(q) = F
entonces
e((p ∧ q)) = F .
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Análisis Lógico
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
¿Cuánto tiempo toma verificar si una proposición es una
tautología?
El símbolo |= también denota una relación entre conjuntos de proposiciones
y fórmulas individuales:
α1 , . . . αn |= β.
Que se lee así
La forma de resolverlo es construir la tabla de verdad de la proposición.
“β es consecuencia lógica de α1 , . . . , αn ”
Sin embargo, hay otras estrategias de evaluación que en la mayoría de
los casos son más eficientes.
Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Consecuencia lógica
Este problema es equivalente al célebre problema de SAT, el cual es
NP -completo.
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Cálculo de proposiciones
Las proposiciones α1 , . . . , αn se conocen como las premisas; y β, como la
conclusión.
La expresión completa se conoce como argumento.
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Funciones booleanas Interdefinibilidad Consecuencia lógica
Definición Deducción natural Propiedades
Argumentos válidos e inválidos
Sistemas de demostración
Definición
Un argumento
Los sistemas de demostración son herramientas para verificar la
validez de argumentos lógicos por medios estrictamente sintácticos.
α1 , . . . αn |= β.
Un sistema de demostración está formado por un conjunto
(generalmente finito) de reglas de inferencia e instrucciones sobre
cómo aplicar estas reglas.
es válido sii para toda evaluación
e : PA → {V , F }
El concepto de demostración es el núcleo de un sistema: una
demostración es un conjunto de fórmulas que permiten ir de las
premisas a la conclusión por medio de transformaciones sintácticas.
se tiene que si
e(α1 ) = V . . . e(αn ) = V ,
entonces
Para que un sistema de demostración sea útil debe cumplir un conjunto
de propiedades metateóricas: corrección, completitud, etc.
e(β) = V .
En caso contrario, se dice que el argumento es inválido.
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Análisis Lógico
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Definición Deducción natural Propiedades
Definición Deducción natural Propiedades
Reglas de inferencia
Cálculo de proposiciones
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Ejemplo: Sistema de Łukasiewicz
Sean α1 , . . . αn y β fórmulas del cálculo de proposiciones. Una regla de
inferencia tiene la siguiente forma
Axiomas de Łukasiewiecz:
α1 , . . . , αn
β
R
A1
A2
A3
donde
0 ≤ n;
p ⇒ (q ⇒ p)
(p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r))
(¬p ⇒ ¬q) ⇒ (q ⇒ p)
Se tiene una sola regla de derivación: modus ponens
α1 , . . . , αn son las premisas;
β es la conclusión;
MP
R es el nombre de la regla.
p⇒q
q
p
Si n = 0, el conjunto de premisas es vacío y este tipo de reglas se conoce
como axioma.
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Definición Deducción natural Propiedades
Definición Deducción natural Propiedades
Demostraciones I
Demostraciones II
Sean η1 , . . . , ηm y θ fórmulas y sea S un sistema de demostración.
Diremos que θ se infiere de η1 , . . . , ηm en S sii existe una sucesión finita de
fórmulas hγ1 , . . . γk i tal que
tales que
γi1
γk = θ;
para todo i ≤ k se tiene uno de los siguientes casos:
1
2
...
existe j ≤ n tal que γi = ηj ;
existen
una regla de inferencia
= α1 σ
γin
= αn σ
γi
= βσ
En ese caso diremos que
α1 , . . . , αn
β
η 1 , . . . , η m `S θ
una sustitución de fórmulas atómicas por fórmulas
σ = [p1 := ψ1 ; . . . , pr := ψr ]
es un teorema de S.
y fórmulas
γi1 , . . . , γin
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(con i1 , . . . , in < i)
Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Definición Deducción natural Propiedades
Definición Deducción natural Propiedades
Ejemplo
Análisis Lógico
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Deducción natural
Aquí tenemos un ejemplo de una demostración: p, q ⇒ (p ⇒ r) `L q ⇒ r:
1
p
premisa
La deducción natural es un sistema con un conjunto grande de reglas
de inferencia.
2
q ⇒ (p ⇒ r)
premisa
La deducción natural tiene reglas para introducir (señaladas con I) o
eliminar (E) las conectivas lógicas.
3
p ⇒ (q ⇒ p)
A1
4
q⇒p
MP 1, 3
5
(q ⇒ (p ⇒ r)) ⇒ ((q ⇒ p) ⇒ (q ⇒ r))
A2
6
(q ⇒ p) ⇒ (q ⇒ r)
MP 2, 5
7
q⇒r
MP 4, 6
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
Además, hay tres reglas adicionales: contradicción (C), sustitución (S)
y falso (F ).
Algunas reglas contemplan la introducción de hipótesis adicionales. Por
esta razón, las inferencias que se hagan utilizando estas hipótesis
aparecen dentro de cajas. Las cajas se pueden cerrar extrayendo una
conclusión de acuerdo con las condiciones de cada regla.
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Cálculo de proposiciones
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Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
Definición Deducción natural Propiedades
Definición Deducción natural Propiedades
Reglas de deducción natural I
α β
α∧β
I∧
α
α∨β
I∨
E∧
β
α∨β
Reglas de deducción natural II
α∧β
α
α∨β
E∨
α∧β
β
α
..
.
β
..
.
γ
γ
γ
α
..
.
β
I⇒
α⇒β
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E⇒
α⇒β
β
Análisis Lógico
α⇒β β⇒α
α⇔β
I⇔
F
α ∧ ¬α
β
S
α ⇔ β γ[p:=α]
γ[p:=β]
α
Cálculo de proposiciones
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Definición Deducción natural Propiedades
Definición Deducción natural Propiedades
Ejemplo 1
α⇔β
β⇒α
α
..
.
¬α
..
.
β ∧ ¬β
β ∧ ¬β
¬α
α
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Ejemplo 2
Demostraremos algunos teoremas en `N .
Primero p ⇒ q, q ⇒ r `N p ⇒ r.
Ahora, un ejemplo de E∨ y F : p ∨ q, ¬p `N q
1 p⇒q
Premisa
2 q⇒r
Premisa
3
p
Hipótesis
4
q
E ⇒ 1, 3
5
r
E ⇒ 2, 4
6 p⇒r
Francisco Hernández Quiroz
C
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Sintaxis Semántica Sistemas de demostración
α⇔β
α⇒β
E⇔
Cálculo de proposiciones
Premisa
2 ¬p
Premisa
3
p
Hip.
6
4
p ∧ ¬p
I ∧ 3, 2
5
q
F4
q
Hip.
E ∨1
7 q
I⇒
Análisis Lógico
1 p∨q
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Análisis Lógico
Cálculo de proposiciones
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Definición Deducción natural Propiedades
Propiedades de los sistemas de demostración
Definición
Sea ` un sistema de demostración y sean α1 , . . . , αn y β fórmulas.
Diremos que ` es:
(a) correcto sii ` β implica que |= β;
(b) correcto en sentido amplio sii α1 , . . . , αn ` β implica α1 , . . . , αn |= β;
(c) completo sii |= β implica que ` β;
(d) completo en sentido amplio sii α1 , . . . , αn |= β implica α1 , . . . , αn ` β;
(e) consistente sii no existe una fórmula γ tal que ` γ y ` ¬γ;
(f) decidible sii existe un “procedimiento efectivo” para determinar, dada una
fórmula arbitraria γ, si ` γ o 6` γ.
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