REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS: NOTAS PARA LA

REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS:
NOTAS PARA LA MATERIA
GRUPOS Y ÁLGEBRAS DE LIE
MATÍAS GRAÑA
1. Introducción. Creada originalmente para contestar una pregunta de Dedekind, la teorı́a de caracteres de grupos finitos fue introducida y trabajada por Frobenius en una serie de papers entre 1896 y 1899 (véase por ejemplo [8, 9]). Con
el tiempo, los caracteres resultaron ser extremadamente ricos y se convirtieron en
una de las herramientas fundamentales en la teorı́a de grupos. Es a través de los
caracteres, por ejemplo, que Burnside pudo probar que todo grupo de orden pa q b ,
con p, q primos, es soluble. La intención de estas notas es presentar de manera breve
esta teorı́a. Se incluyen ejercicios y “ejemplicios” (mezclas de ejercicios, ejemplos y
suplicios).
En el pasado, editar unas notas como éstas era muy complicado. Los métodos
de composición y reproducción eran caros, y solo buenas obras terminaban siendo
publicadas. Hoy en dı́a, la democratización que produjeron la computadora, el TEX
y la impresora permite que vean la luz notas oscuras, mal redactadas y redundantes
como la presente. El lector tiene la posibilidad de consultar la bibliografı́a y quedarse
con la buena literatura que hay al respecto. Existiendo esa buena literatura, el autor
no se hace cargo de los inconvenientes ocasionados por el uso de ésta.
2. Definición. Sea G un grupo. Una representación de G de grado n es un morfismo de grupos G 3 g 7→ ρ(g) ∈ Mn (k), donde Mn (k) es el anillo de matrices de
n × n a coeficientes en k. Si se quiere enfatizar el rol de k, se habla de “una representación sobre k”. El hecho de que se trate de un morfismo permite hacer algunas
cuentas con los elementos del grupo usando las matrices que los representan. Por
ejemplo, si se quiere saber si en G vale que gh = k, alcanza con ver que en una
representación ρ se tiene ρ(g)ρ(h) 6= ρ(k) para dar una respuesta negativa. O, si
se tiene una representación fiel (inyectiva), se pueden hacer todas las cuentas del
grupo con las matrices correspondientes. Dicho de otro modo, una representación
fiel resuelve entre otras cosas el problema de la palabra. Un grupo se dice lineal si
tiene una representación fiel.
Ejemplicio 2.1. Sea G el grupo con generadores x, y bajo las relaciones x2 =
0
que G es infinito. (Sug: tomar la representación x 7→ 10 −1
,
y 2 = 1. Probar
1
y 7→ 10 −1
).
Otra manera en que aparecen las representaciones es través de acciones. A menudo se tiene un espacio vectorial sobre el que actúa un grupo de manera lineal. En
ese caso, si se toma una base del espacio, se puede ver la acción de cada elemento
del grupo como una matriz. Estudiar entonces las representaciones del grupo en
cuestión permite dar información sobre el espacio vectorial y la acción del grupo.
Ejemplicio 2.2. En un cubo hay un número real en cada cara. Todos los dı́as se
cambia el número de cada cara por el promedio de los de las cuatro caras contiguas.
Encontrar el lı́mite de este proceso. (Sug: considerar en R6 , donde las 6-uplas
se identifican con las configuraciones del cubo, la acción del grupo de simetrı́as
1
2
MATÍAS GRAÑA
del cubo. Descomponer R6 = V + ⊕ V − , donde V + son las configuraciones en las
que cada cara tiene el mismo número que la opuesta y V − son aquéllas en las
que cada cara tiene “− el número de la opuesta”. A su vez, V + se puede seguir
descomponiendo como suma de dos subespacios estables por la acción del grupo).
3. Álgebra de grupo. Dado un grupo G y un cuerpo k, se considera el
Pálgebra de
grupo kG, que tiene como elementos las combinaciones lineales formales g∈G αg eg ,
donde αg ∈ k y αg = 0 salvo para finitos g ∈ G. La suma es la de espacios
vectoriales, el producto está dado por la distributividad y por eg eh = egh ∀g, h ∈ G.
A menudo se usará la notación g = eg . Dicho esto, el elemento unidad de kG se
puede escribir como
1 = e1 = 1 · e1 = 1 · 1
Como k ⊆ kG, un kG-módulo es automáticamente un k-espacio vectorial. Si M
es un kG-módulo de dimensión finita (como k-e.v.), se puede restringir la acción de
kG a G ⊂ kG, y se obtiene una representación de G. Recı́procamente, si se tiene una
representación ρ de grado n, se toma M = kn = kn×1 losP
vectores columna
P y se considera M como kG-módulo con la estructura dada por ( g αg g)v = ( g αg ρ(g))v.
Conclusión: es equivalente tener una representación de G sobre k de grado n a
tener un kG-módulo de dimensión n. A menudo llamaremos representación a un
kG-módulo M .
Dado entonces que las representaciones son módulos, tiene sentido tomar la suma
directa de representaciones. Si ρ : G → End(M ) es una representación y n ∈ N,
una notación conveniente es n · ρ = nρ := ρ ⊕ · · · ⊕ ρ (n veces). En términos de
módulos, nρ es M ⊕ · · · ⊕ M (n veces). Si g ∈ G, la matriz de (nρ)(g) tiene n × n
bloques, ρ(g) en la diagonal y 0 fuera.
4. Teorema de Maschke. Recordemos que dada un álgebra A, son equivalentes
que
1. todos los A-módulos son proyectivos,
2. todos los A-módulos son inyectivos,
3. toda sucesión exacta corta se escinde,
4. todo submódulo de un módulo tiene un complemento,
5. todos los A-módulos son completamente reducibles,
6. A es completamente reducible como A-módulo.
En este caso, el álgebra A se dice semisimple.
Teorema 4.1 (Maschke). Si G es un grupo finito y k es un cuerpo cuya caracterı́stica no divide al orden de G, entonces el álgebra de grupo kG es semisimple.
Demostración. La demostración se hace con un recurso canónico cuando se trabaja
con grupos finitos: promediar. Sea M un kG-módulo y N un submódulo. Sea π :
M → N una proyección de k-espacios vectoriales. Para convertir π en un morfismo
de módulos, se lo promedia:
1 X
1 X
gπg −1 ,
es decir, π̃(m) =
gπ(g −1 m).
π̃ : M → N,
π̃ =
|G|
|G|
g∈G
g∈G
Veamos que π es un morfismo de kG-módulos: si h ∈ G, se tiene
1 X
π̃(hm) =
gπ(g −1 hm)
|G|
g∈G
1 X −1
1
=
h
h gπ(g −1 hm) =
h
|G|
|G|
g∈G
X
h−1 g=t∈G
tπ(t−1 m) = hπ̃(m).
REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
3
Por otra parte, es claro que la imagen de π̃ está contenida en N , y si n ∈ N se tiene
1 X
1 X −1
π̃(n) =
gπ(g −1 n) =
gg n = n.
|G|
|G|
g∈G
g∈G
Esto prueba que toda sucesión exacta corta se escinde.
Ejemplicio 4.2. Para n ∈ N, Cn denota el grupo cı́clico de n elementos. Fijemos
un generador de Cn , g, y supongamos que en k hay una raı́z n-ésima primitiva de
1, ω. Probar que, para 0 ≤ i < n, el morfismo ρi : Cn → k, ρi (g j ) = ω ij da una
representación de Cn de grado 1. Probar que ρi ' ρj ⇐⇒ i = j. Probar que estas
son todas las representaciones irreducibles de Cn (módulo isomorfismo). En otras
palabras, probar que si ρ es una representación de Cn , entonces ρ ' ⊕0≤i<n mi ρi ,
donde mi ∈ N0 .
Recordemos que el teorema de Wederburn dice que una k-álgebra semisimple de
dimensión finita A es un producto de álgebras de matrices sobre extensiones de k.
Si las extensiones son de grado gi (i = 1, . . . , r) y las matrices son de tamaño ni ,
entonces
r
X
dim A =
gi n2i .
i=1
Por otra parte, cada una de las álgebras de matrices está asociada a uno de los
módulos irreducibles de A. Y en la descomposición de A como suma directa de
módulos irreducibles, cada módulo Mi aparece ni veces (tantas como el tamaño de
las matrices a las que está asociado). Por último, si k es algebraicamente cerrado,
las extensiones son triviales (de grado 1), por lo que
(1)
dim A =
r
X
n2i .
i=1
Ejemplicio 4.3. Dado n ∈ N, observar que sgn : Sn → k (sgn el signo) da una
representación de Sn de grado 1. Para n = 3, hay una representación de grado 2:
ρ(1 2) = ( 01 10 ) ,
ρ(1 2 3) = 01 −1
−1 .
Probar que esto define una representación y que es irreducible. Notar que por (1)
estas son todas las representaciones irreducibles de kS3 , ya que 6 = 12 + 12 + 22 .
5. Representaciones trivial y regular, representación dual. Esta sección
es trivial: todo grupo tiene una representación trivial. Se toma M = k como espacio
de la representación, y todos los elementos actúan por la identidad. Esto es,
X
X
(
αg g) · t = (
αg )t.
g∈G
g∈G
G
Dado un kG-módulo M , se nota por M el submódulo más grande isomorfo a una
suma de representaciones triviales. En otras palabras,
(2)
M G = {m ∈ M | g · m = m ∀g ∈ G}.
Los elementos de M G se suelen denominar los invariantes de M por la acción de
G.
Otra representación usual es la representación regular.
Se toma P
M = kG y
P
G actúa por multiplicación a izquierda. Esto es, g · ( h∈H αh h) = h∈G αh gh.
En rigor, esta representación se puede definir (y se lo hace, claro) para cualquier
álgebra.
No tan trivial: si M es una representación de G, se llama representación dual
(o contragradiente) al módulo M ∗ que es el dual de M como espacio vectorial, y
donde (g · f )(m) := f (g −1 · m).
4
MATÍAS GRAÑA
Ejercicio 5.1. Probar que la representación dual M ∗ es realmente una representación. Observar que si se toma una base {mi } de M y su base dual {mi } de M ∗ ,
la matriz de ρM ∗ (g) en la base {mi } es la inversa traspuesta de la de ρM (g) en la
base {mi }.
6. Lema de Schur. La siguiente observación es de extrema utilidad y vale para un álgebra A cualquiera. Sean M, N dos A-módulos irreducibles. Entonces un
morfismo f : M → N no trivial es un isomorfismo. La demostración es elemental:
ker f ⊆ M e im f ⊆ N son submódulos. Por la irreducibilidad de M y N , si f no es
0 entonces es mono y epi. En particular, HomA (M, M ) es un álgebra de división.
Si k es algebraicamente cerrado y M es de dimensión finita, HomA (M, M ) ' k.
Ejercicio 6.1. Probar la última afirmación.
7. Producto tensorial de representaciones. Recuérdese que dados dos kespacios vectoriales V, W el producto tensorial V ⊗ W es el espacio vectorial generado por elementos v ⊗ w con v ∈ V , w ∈ W , bajo las relaciones (λv) ⊗ w =
λ(v ⊗ w) = v ⊗ (λw), (v + v 0 ) ⊗ w = v ⊗ w + v 0 ⊗ w, v ⊗ (w + w0 ) = v ⊗ w + v ⊗ w0 .
En particular, si {vi , i ∈ I} es base de V y {wj , j ∈ J} es base de W , entonces
{(vi ⊗ wj ), i ∈ I, j ∈ J} es base de V ⊗ W . Si M, N son dos representaciones de G,
el producto tensorial M ⊗ N es también una representación de G. Los elementos
de G actúan en M ⊗ N “de forma diagonal”. Explı́citamente,
g(m ⊗ n) = gm ⊗ gn ∀g ∈ G, m ∈ M, n ∈ N.
Ejercicio 7.1. Si M ó N tienen dimensión finita, probar que se tiene un isomorfismo de espacios vectoriales Hom(M, N ) ' N ⊗ M ∗ .
En Hom(M, N ) se considera la estructura de kG-módulo dada por (g · f )(m) =
g · f (g −1 · m).
Ejercicio 7.2. Probar que es realmente una estructura. Probar que el isomorfismo
del ejercicio anterior es un isomorfismo de kG-módulos, tomando a la derecha la
acción diagonal entre N y el dual M ∗ .
8. Caracteres: definición. Una de las herramientas básicas en la teorı́a de representaciones de grupos (y a la postre en la teorı́a de grupos) son los caracteres. Sea M un kG-módulo de dimensión finita, mirado como representación vı́a
ρ : G → End(M ). Cada g ∈ G actúa en M por una transformación lineal, y podemos tomarle la traza (que no depende de elecciones de bases). Definimos entonces
(3)
χM : G → k,
χM (g) = tr(ρ(g)).
Observación: si g y h son conjugados (es decir, si ∃k ∈ G tal que h = kgk −1 ),
entonces χM (g) = χM (h) para toda representación M . Luego, alcanza con calcular
un caracter en un elemento de cada clase de conjugación.
Ejemplo 8.1. Recordemos que las clases de conjugación de Sn están dadas por las
particiones de n. Especı́ficamente, si n = m1 +m2 +· · ·+m` , la clase de conjugación
que le corresponde es la de las permutaciones cuya escritura como productos de
ciclos disjuntos es con ciclos de longitudes m1 , m2 , . . . , m` . En particular, S3
tiene tres clases de conjugación:
{e} ! (3 = 1 + 1 + 1),
{(1 2), (1 3), (2 3)} ! (3 = 2 + 1),
{(1 2 3), (1 3 2)} ! (3 = 3).
Calculamos entonces los caracteres de ε la representación trivial, sgn la representación signo, y ρ la representación de 4.3.
REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
5
e (1 2) (1 2 3)
ε 1
1
1
sgn 1
−1
1
ρ 2
0
−1
Puede notarse que esta matriz es inversible. Esto se probará en breve en general.
Observación: es evidente que χM (e) da el grado de la representación M .
Ejercicio 8.2. Describir la tabla de caracteres del grupo cı́clico Cn y probar que
es una matriz inversible.
9. Caracteres de suma y producto. Notamos con Fun(G, k) el espacio vectorial de funciones G → k. Este espacio tiene una estructura de álgebra, multiplicando
funciones punto a punto. Dadas dos representaciones de G, ρM : G → End(M ) y
ρN : G → End(N ), podemos considerar sus caracteres χM y χN como elementos
de Fun(G, k). Sea g ∈ G, y miremos ρM ⊕N (g) ∈ End(M ⊕ N ). Si tomamos una
base {mi , i ∈ I} de M y otra {nj , j ∈ J} de N , es claro que en la base {mi , nj }
la matriz de ρM ⊕N (g) es en bloques, y que su traza es la suma de la traza en M y
la traza en N . Esto es,
χM ⊕N = χM + χN ∈ Fun(G, k).
Tomamos ahora la base
i ⊗ nj , (i, j) ∈ I × J}. Si escribimos
P{mki
P los coeficientes
matriciales ρM (g)(mi ) = kP
ρM (g)mk , tenemos que χM (g) = k ρkk
M (g). Hacemos
lo mismo con N , y χN (g) = l ρll
(g).
Además,
N
ρM ⊗N (g)(mi ⊗ nj ) = (ρM (g)(mi )) ⊗ (ρN (g)(nj )) =
X
lj
(ρki
M (g)mi ) ⊗ (ρN (g)nl ),
k,l
por lo que
χM ⊗N (g) =
X
ll
ρkk
M (g)ρN (g) = χM (g)χN (g),
k,l
esto es,
χM ⊗N = χM χN ∈ Fun(G, k).
Ejemplicio 9.1. Sea ρ la representación irreducible de grado 2 de S3 . Calcular
cómo se descomponen en suma directa de representaciones irreducibles los productos
tensoriales ρ ⊗ ρ y ρ ⊗ ρ ⊗ ρ.
Ejercicio 9.2. Sean D4 y H los grupos diedral (de 8 elementos) y cuaterniónico
respectivamente. Encontrar para cada uno cuatro representaciones irreducibles de
grado 1 y una irreducible de grado 2 (en este caso se puede tomar k = C o un
cuerpo con raı́ces cuadradas de −1).
10. Los subespacios HomG y HomG . Si M, N son dos representaciones de G,
podemos tomar Hom(M, N ) el espacio de transformaciones lineales de M a N , y
HomG (M, N ) el espacio de morfismos de representaciones, i.e.,
HomG (M, N ) = {f ∈ Hom(M, N ) | f (g · m) = g · f (m)}.
Recordemos del ejercicio 7.2 la estructura de módulo de Hom(M, N ). Dentro de
este espacio tenemos dos subespacios importantes: HomG (M, N ) y los invariantes
(Hom(M, N ))G (mirar la sección 2). Observamos, entonces, que estos subespacios
6
MATÍAS GRAÑA
coinciden:
f ∈ HomG (M, N ) ⇐⇒ f (gm) = gf (m) ∀m ∈ M, g ∈ G
⇐⇒ f (g −1 m) = g −1 f (m) ∀m ∈ M, g ∈ G
⇐⇒ gf (g −1 m) = f (m) ∀m ∈ M, g ∈ G
⇐⇒ g · f = f ∀g ∈ G
⇐⇒ f ∈ (Hom(M, N ))G .
Supongamos ahora que M y N son irreducibles. Por el lema de Schur, si k es
algebraicamente cerrado,
dim HomG (M, N ) = δM,N
(si k no es algebraicamente cerrado, sigue valiendo dim HomG (M, N ) = 0 ⇐⇒
M 6' N ). En otras palabras, en la representación Hom(M, N ) aparece la representación trivial una vez si M ' N y ninguna vez si M 6' N .
11. Proyección sobre los invariantes. De ahora en adelante, G
Pes un grupo
1
finito, k es algebraicamente cerrado y car k - |G|. Tomamos Λ = |G|
g∈G g ∈ kG.
G
Afirmamos que si M es un kG-módulo, entonces M = im(Λ), viendo Λ ∈ End(M ).
Demostración. Si m ∈ M , queremos ver que Λm ∈ M G . Calculamos
1 X
1 X
1 X
g(Λm) = g(
h)m =
ghm =
hm = Λm.
|G|
|G|
|G|
h∈G
h∈G
G
Recı́procamente, sea m ∈ M . Entonces Λm =
por lo que m ∈ ΛM .
h∈G
1
|G|
P
g∈G
gm =
1
|G|
P
g∈G
m = m,
La última cuenta de la prueba indica además que Λ ∈ End(M ) es un proyector.
Por lo tanto, la dimensión de su imagen coincide con su traza (piénsese en la matriz
de un proyector tomando una base compuesta por vectores de la imagen y vectores
del núcleo). Conclusión:
1 X
1 X
tr(g) =
χM (g).
(4)
dim M G = tr(Λ) =
|G|
|G|
g∈G
g∈G
Ejemplicio 11.1. Probar que si ρ es la representación irreducible de grado 2 de
S3 , entonces la representación trivial aparece (2n + (−1)n 2)/6 veces en ρ⊗n .
12. Caracter del Hom. De ahora en adelante, k = C. Ya vimos (ver 7.2) que
Hom(M, N ) ' N ⊗ M ∗ como representaciones de G. Luego,
χHom(M,N ) = χN ⊗M ∗ = χN χM ∗ ,
por lo que serı́a útil tener χM ∗ . Ahora bien, si g ∈ G, como G es finito tenemos g n =
1 para algún n ∈ N, y por lo tanto ρM (g)n = 1. Luego, ρM (g) es diagonalizable, y su
traza es la suma de sus autovalores. Por otra parte, sus autovalores tienen módulo
1 (pues son raı́ces n-ésimas de la unidad). Ası́ las cosas, ρM (g −1 ) es diagonalizable
y sus autovalores son los inversos (y por lo tanto los conjugados) de los de ρM (g).
Luego, χM (g −1 ) = χM (g). Es claro además que la acción de g en M ∗ es la traspuesta
de la acción de g −1 en M (mirar la definición en la sección 5). Esto dice que
(5)
χM ∗ = χM .
Finalmente, entonces, χHom(M,N ) = χN χM . Resumiendo lo dicho en la sección
10 y usando (4), obtenemos:
REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
7
Proposición 12.1. Si M, N son irreducibles, entonces
(
1 si M ' N,
1 X
χM (g)χN (g) =
|G|
0 si M 6' N.
g∈G
13. Producto interno en Fun(G, C) y funciones centrales. Por lo anterior,
es claro que conviene definir en Fun(G, C) el producto interno (hermitiano)
1 X
f1 (g)f2 (g).
(f1 | f2 ) =
|G|
g∈G
Si tenemos un conjunto de representaciones irreducibles de G no isomorfas entre sı́,
por 12.1 sus caracteres serán un conjunto ortonormal de Fun(G, C) con este producto interno. Veremos que los caracteres generan un subespacio particularmente
importante: el de las funciones centrales. Una función central de G es simplemente
una función G → k que es constante en cada clase de conjugación. En otras palabras, f : G → k es central si y solo si f (gh) = f (hg) ∀g, h ∈ G. Ya observamos que
los caracteres son funciones centrales. Afirmamos que si f ∈ Fun(G, C) es central
y es ortogonal a todos los caracteres, entonces es trivial. Por la no degeneración de
( | ), esto probará que los caracteres generan las funciones centrales.
P
1
−1
∈ CG. Para mostrar
Demostración. Tomamos el elemento Λf = |G|
g∈G f (g)g
que f = 0, alcanza con probar que Λf actúa por 0 en cualquier representación de
G (¿por qué?). Para esto, gracias al teorema de Maschke, alcanza con probarlo en
cualquier representación irreducible. Primero, veamos que Λf ∈ Z(CG), el centro
de CG:
X
1 X
1
Λf h =
f (g)g −1 h =
f (hth−1 )ht−1
|G|
|G| −1
g∈G
h
gh=t∈G
1 X
f (t)t−1 = hΛf .
=h
|G|
t∈G
Si M es irreducible, por el lema de Schur Λf ∈ End(M ) actúa por un escalar, y por
lo tanto actúa por 0 si y solo si su traza es 0. Veamos que tr(Λf ) = 0:
1 X
1 X
f (g)χM (g −1 ) =
f (g)χM (g) = (χM | f ) = 0.
tr(Λf ) =
|G|
|G|
g∈G
g∈G
Hemos probado que si M1 , . . . , Mθ son representantes de las clases de isomorfismo
de las representaciones irreducibles de G sobre C, entonces ρM1 , . . . , ρMθ son una
base ortonormal del espacio de funciones centrales. Como la dimensión del espacio
de funciones centrales coincide con la cantidad de clases de conjugación de G,
resulta:
Proposición 13.1. Hay tantas representaciones irreducibles como clases de conjugación.
Ası́, la tabla de caracteres de un grupo es siempre cuadrada; y por último vemos
que como las filas son un conjunto ortonormal, la tabla, vista como matriz, es
inversible.
Ejemplicio 13.2. Corroborar que las filas de la tabla en el ejercicio 8.1 son una
base ortonormal de las funciones centrales en Fun(S3 , C) (hay que tener en cuenta
el cardinal de cada clase de conjugación).
8
MATÍAS GRAÑA
Ejercicio 13.3. Encontrar las tablas de caracteres de D4 y H (mirar el ejercicio
9.2). Probar que los anillos de Grothendieck CD4 y CH son isomorfos. Comentario:
¡++¿
14. Un ejemplo: las representaciones de S4 . Como todo grupo simétrico, S4
tiene además de la representación trivial la representación signo. Podemos también
conseguir una representación de dimensión 2 a partir de ρ, la representación de S3
de 4.3: dentro de S4 está el subgrupo de Klein, una copia de C2 × C2 , dada por la
identidad y los productos de dos trasposiciones disjuntas,
S4 ⊃ K = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.
Este subgrupo es normal, y el cociente S4 /K es isomorfo a S3 . Podemos calcular
exactamente el isomorfismo anterior si pensamos, por ejemplo, en cómo actúa S4
en el conjunto de particiones
A = ({1, 2}{3, 4}), B = ({1, 3}{2, 4}), C = ({1, 4}{2, 3})
Entonces, por ejemplo, el elemento (1 2 4) va a parar a (A B C), ya que (1 2 4)
manda {1, 2} a {2, 4} y {3, 4} a {3, 1}. Si hemos de calcular el caracter de esta
representación, alcanza con calcular la imagen de un elemento por cada clase de
conjugación. Ya calculamos la imagen de un triciclo, falta ver la imagen de una
trasposición, dos trasposiciones disjuntas, y un cuatriciclo. Y vemos que (1 2) 7→
(B C), (1 2)(3 4) 7→ e, (1 2 3 4) 7→ (A C). Como el morfismo S4 → S3 es epi y ρ es
irreducible, esta representación también lo es. Llamaremos ρ̃ a esta representación.
Como dijimos ayer, Sn tiene tantas clases de conjugación (y, a la postre, representaciones irreducibles) como particiones de n. Para n = 4, tenemos
4=1+1+1+1
4=2+1+1
4=2+2
4=3+1
4=4
por lo que nos faltan dos representaciones irreducibles. Pongamos d4 y d5 los grados
de estas representaciones. Por (1), tenemos 24 = |S4 | = 1 + 1 + 4 + d24 + d25 . La única
solución de esta ecuación es d4 = d5 = 3.
Tomemos ahora la acción natural de S4 en C4 cambiando las coordenadas. Es
decir,
σ(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (xσ1 , xσ2 , xσ3 , xσ4 ).
Llamemos t a esta representación. Su caracter es fácil de calcular:
χt (e) = 4,
χt ((1 2)) = 2,
χt ((1 2)(3 4)) = 0,
χt ((1 2 3)) = 1,
χt ((1 2 3 4)) = 0.
Es claro que t = εP⊕ t0 , donde ε es el submódulo {(x, x, x, x)} y t0 el submódulo
{(x1 , x2 , x3 , x4 ) |
xi = 0}. Entonces χt0 = χt − χε , por lo que
χt0 (e) = 3,
χt0 ((1 2)) = 1,
χt0 ((1 2)(3 4)) = −1,
χt0 ((1 2 3)) = 0,
χt0 ((1 2 3 4)) = −1.
Ejemplicio 14.1. Probar que t0 es irreducible (sale muy fácil leyendo la sección
siguiente, lo divertido es hacerlo sin mirar).
REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
9
Ya tenemos una de las representaciones irreducibles que estábamos buscando.
La última se puede conseguir usando el producto tensorial. En general, el producto
tensorial de dos representaciones irreducibles no es necesariamente irreducible. Pero
sı́ lo es si alguna de las dos representaciones tiene grado 1.
Ejercicio 14.2. Probarlo.
Podemos entonces tensorizar t0 ⊗sgn y obtenemos una representación irreducible.
Para ver que es distinta de las otras basta mirar su caracter. La tabla de caracteres
de S4 queda entonces
#
ε
sgn
ρ̃
t0
t0 ⊗ sgn
1+1+1+1
1
1
1
2
3
3
2+1+1
6
1
−1
0
1
−1
2+2
3
1
1
2
−1
−1
3+1
8
1
1
−1
0
0
4
6
1
−1
0
−1
1
(En la segunda lı́nea se puso el cardinal de cada clase de conjugación).
Ejemplicio 14.3. Corroborar que es una base ortonormal de las funciones centrales
de S4 .
15. Irreducibilidad, proyectores y caracteres. Hay un criterio elemental para saber si una representación es irreducible. Ya vimos que los caracteres de representaciones irreducibles son un conjunto ortonormal. Luego, si M = ⊕i mi Mi , donde
mi ∈ N y Mi son irreducibles y distintas, se tiene
X
X
X
X
(χM | χM ) = (
mi χMi |
mj χMj ) =
mi mj (χMi | χMj ) =
m2i ,
i
j
i,j
i
con lo que M es irreducible si y solo si (χM | χM ) = 1. En particular, esto prueba
inmediatamente que la representación t0 de la sección anterior es irreducible, ya
que
1 2
(χt0 | χt0 ) =
3 · 1 + 12 · 6 + (−1)2 · 3 + 02 · 8 + (−1)2 · 6 = 1.
24
Otra pregunta que puede responderse es ¿cuántas veces aparece la representación
irreducible Mj en M ? La ortonormalidad de los caracteres dice que
X
(χM | χMj ) =
mi (χMi | χMj ) = mj ,
i
con lo que la respuesta es simplemente (χM | χMj ). En particular, recuperamos sin
usar el teorema de Wedderburn para el caso A = CG lo siguiente:
Proposición 15.1. Sea M = CG la representación regular. Entonces M = ⊕i mi Mi
(donde las Mi son representantes de las irreducibles) con mi = dim Mi . En otras
palabras, cada representación iireducible aparece en la regular tantas veces como su
dimensión.
Demostración. Basta observar que, tomando como base de CG al conjunto G, la
matriz de la acción de g ∈ G en CG es de permutación. Más aun, si g 6= e se tiene
gh 6= h, por lo que la matriz de g tiene ceros en la diagonal. Y si g = e, la matriz
de g es la identidad de tamaño |G|. Ası́,
(
|G| si g = e,
χM (g) =
0
si g 6= e.
10
MATÍAS GRAÑA
Entonces
mi = (χM | χMi ) =
1 X
χM (g)χMi (g)
|G| g
= χMi (e) = dim Mi .
Por último, ¿cómo se calcula la proyección en las componentes isotı́picas M →
mi Mi ? Si se toma la representación trivial ya sabemos por la sección
P 11 que el
1
proyector sobre la componente correspondiente está dado por Λ = |G|
g∈G g. Este
elemento se parece notablemente al caracter de la representación
trivial.
Podemos
P
1
−1
χ
(g)g
. Como
tomar, como lo hicimos también en la sección 13, Λi = |G|
M
i
g∈G
χMi es central, Λi está en el centro de kG:
P
Ejercicio 15.2. Probar que f : G → k es central sii
g∈G f (g)g ∈ Z(kG) (la
parte (⇒) está hecha en la sección 13).
Luego, Λi actúa en cada representación por un morfismo de kG-módulos. Veamos
cómo actúa Λi en cada representación irreducible Mj . Por el Lema de Schur, actúa
por un escalar; y por lo tanto podemos recuperar el escalar dividiendo la traza de
Λi en Mj por la dimensión de Mj . Sea dj = dim Mj ; tenemos
1
1 X
1 X
Λi |Mj =
tr(Λi ) =
χMi (g) tr(g −1 |Mj ) =
χMi (g)χMj (g −1 )
dj
dj |G|
dj |G|
g∈G
g∈G
1 X
1
=
χMi (g)χMj (g) = (χMj | χMi )
dj |G|
dj
g∈G
1
= δi,j .
dj
Conclusión: el proyector sobre mi Mi está dado por di Λi .
Ejemplicio 15.3. Sea en Cn la acción de Sn dada por
σ(x1 , . . . , xn ) = (xσ1 , . . . , xσn ).
Encontrar la cantidad de veces que aparecen la representación trivial y la signo en
este módulo.
Ejercicio 15.4. Encontrar la tabla de caracteres de S5 (se puede hacer a mano.
Sug: considerar la representación del ej. 15.3). Más difı́cil: realizar las representaciones irreducibles de S5 .
16. Teorema de Burnside. Como ejemplo de la teorı́a de caracteres, podemos
probar el teorema de Burnside:
Teorema 16.1. Sea G un grupo finito y M una representación irreducible de G
sobre C. Entonces dim M divide a |G|.
Demostración. Numeramos las clases de conjugación de G y las llamamos C1 , . . . , Cr .
Numeramos también las representaciones irreducibles de G sobre C y las llamamos
M1 , . . . , Mr . Para i = 1, . . . , r, ponemos
X
Zi =
g,
g∈Ci
que está en el centro de CG. Más aun, todo elemento del centro de CG se escribe
k
como combinación lineal de los Zi . Entonces existen enteros αij
tales que
Zi Zj =
r
X
k=1
k
αij
Zk ∈ CG.
REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
11
k
La entereza de los αij
es inmediata una vez que se nota que Zi Zj es una combinación
lineal entera (e incluso con coeficientes en N0 ) de los elementos de g.
Por otra parte, por estar Zj en el centro y por ser Mi irreducible, el lema de
Schur dice que Zj actúa por un escalar en Mi . Llamemos ρi : G → End(Mi ) a la
representación de G dada por Mi . Entonces ρi (Zj ) es escalar. Llamamos λij a ese
escalar. Podemos calcular λij por
P
1
1
|Cj |χi (gj )
g∈Cj χi (g)
λij =
tr ρi (Zj ) =
χi (Zj ) =
=
,
dim Mi
dim Mi
dim Mi
dim Mi
donde gj ∈ Cj es un elemento cualquiera de la clase Cj .
Miremos ahora ρs (Zi Zj ) = ρs (Zi )ρs (Zj ), que es nuevamente una matriz escalar.
Obtenemos
r
r
X
X
k
k
λsi λsj = ρs (
αij
Zk ) =
αij
λsk .
k=1
t
k=1
k
Si v = (λs1 , . . . , λsr ) ∈ C
un vector columna, y A ∈ Cr×r , Ajk = αij
, la
igualdad anterior dice Av = λsi v, por lo que λsi es un autovalor de A si logramos
probar que v 6= 0. Esto último es sencillo: tomando la clase de conjugación de e ∈ G,
supongamos que es Z1 , tenemos λs1 = ρs (e) = dim Ms 6= 0. Como A ∈ Zr×r , su
caracterı́stico es un polinomio mónico con coeficientes enteros, y dado que λsi es
una raı́z de este polinomio, resulta ser un entero algebraico ∀s, i (recordemos que
los enteros algebraicos son las raı́ces de polinomios mónicos con coeficientes enteros,
que forman un subanillo de los complejos y que si un entero algebraico es racional,
entonces es entero).
Por otra parte, χi (gj ) es una suma de raı́ces de la unidad, ası́ que es también un
entero algebraico, y entonces también lo es χi (gj ). Luego,
r
X
j=1
r×1
λij χi (gj ) =
r
X
|Cj |χi (gj )χi (gj )
j=1
dim Mi
= |G|
(χi | χi )
|G|
=
dim Mi
dim Mi
es un entero algebraico. Pero también es un racional, y por lo tanto es entero.
17. Potencias simétricas y exteriores. Dado un espacio vectorial V , notamos
V ⊗n = V ⊗ · · · ⊗ V (n veces). Dentro de V ⊗n viven dos subespacios importantes,
definidos a continuación. El grupo simétrico Sn actúa en V ⊗n por
(6)
σ · (v1 ⊗ · · · ⊗ vn ) = vσ1 ⊗ · · · ⊗ vσn .
La n-ésima potencia simétrica de V es el subespacio de V ⊗n de los invariantes por
esta acción. La n-ésima potencia antisimétrica (o exterior ) de V es el subespacio
de V ⊗n de los “antiinvariantes” por esta acción. Explı́citamente:
S n (V ) = (V ⊗n )Sn = {x ∈ V ⊗n | σx = x ∀σ ∈ Sn },
Λn (V ) = {x ∈ V ⊗n | σx = sgn(σ)x ∀σ ∈ Sn }.
Ejemplicio 17.1. Probar que si car k = 0, entonces
1 X
S n (V ) = im(S),
S=
σ,
n!
σ∈Sn
1 X
Λn (V ) = im(A),
A=
sgn(σ)σ.
n!
σ∈Sn
Las representaciones S n (V ) y Λn (V ), a diferencia de las que vimos antes, tienen
una particularidad: no se pueden leer de la tabla de caracteres.
12
MATÍAS GRAÑA
Ejemplicio 17.2. Sean t1 , t2 las representaciones irreducibles de grado 2 de D4 y
H respectivamente (mirar 9.2). Probar que, pese a que las tablas de caracteres de
D4 y H coinciden, Λ2 (t1 ) y Λ2 (t2 ) corresponden a “distintas filas”.
Como conclusión: a veces la tabla de caracteres no alcanza para determinar un
grupo. En otros términos: el anillo de Grothendieck no da suficiente información.
Si agregamos las potencias simétricas y exteriores, realmente tenemos más información.
Referencias
[1] M. Burrow, Representation theory of finite groups. Corrected reprint of the 1971 edition,
Dover, New York, 1993.
[2] H. Cárdenas, E. Lluis, Semisimple modules and the representation of finite groups. Editorial
F. Trillas, S. A., Mexico City, 1970.
[3] M. J. Collins, Representations and characters of finite groups. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.
[4] C. W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras.
Reprint of the 1962 original, Wiley, New York, 1988.
[5] W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics,
129. Readings in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991.
[6] I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, Corrected reprint of the 1976 original, Dover,
New York, 1994.
[7] G. James, M. Liebeck, Representations and characters of groups. Second edition, Cambridge
Univ. Press, New York, 2001.
[8] T. Y. Lam, Representations of finite groups: a hundred years. I. Notices Amer. Math. Soc.
45 (1998), no. 3, 361–372.
[9] T. Y. Lam, Representations of finite groups: a hundred years. II. Notices Amer. Math. Soc.
45 (1998), no. 4, 465–474.
[10] M.-P. Malliavin, Les groupes finis et leurs représentations complexes. Masson, Paris, 1981.
[11] C. Musili, Representations of finite groups. Hindustan Book Agency, Delhi, 1993.
[12] P. Ribenboim, Linear representation of finite groups. Queen’s Univ., Kingston, Ont., 1966.
[13] R. Scognamillo, Representations of finite groups and their characters. Scuola Norm. Sup.,
Pisa, 1999.
[14] J.P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, Paris, 1978. Traducido al
inglés en Linear representations of finite groups. Springer, New York, 1977.
[15] J.P. Serre, Groupes finis. arXiv:math.GR/0503154.
[16] S. H. Weintraub, Representation theory of finite groups: algebra and arithmetic. Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 2003.
[17] A. V. Zelevinsky, Representations of finite classical groups. Springer, Berlin, 1981.