Los principios básicos del equilibrio y de la cinemática en pequeñas

Equilibrio y cinemática
de sólidos y barras
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
Los principios básicos del equilibrio y de la
cinemática en pequeñas deformaciones
aplicados a sistemas de sólidos rígidos y barras
Índice
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
• Fuerza y momento
• Fuerza y momento en el plano
• Sistemas de fuerzas
• Equilibrio del sólido
• Apoyos y reacciones
• Sistemas de barras
• Ejemplos
• Cinemática del sólido y de las barras
• Ejemplo
Fuerza y momento
y
A
P
F
x
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
z
Fuerza y momento
y
! A = AP
!
! ∧F
M
MA
A
!r
P
d
!j
!i
!k
F
! A | = |F
! |d
|M
!
! !i
!
!
M A = !! rx
! Fx
x
!j
ry
Fy
!
!k !
!
rz !!
Fz !
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
z
Fuerza y momento
y
A
!r
P
d
!j
!i
!k
! A = AP
!
! ∧F
M
B
MA
F
! A | = |F
! |d
|M
!
! !i
!
!
M A = !! rx
! Fx
x
!j
ry
Fy
!
!k !
!
rz !!
Fz !
z
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
! B =M
! A + BA
!
! ∧F
M
Fuerza y momento en el plano
y
A
MA
F
MA
x
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
z
Fuerza y momento en el plano
y
A
MA
F
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
x
Operativa
dx
A
dy
Fy
+ M A = F x dy +F y dx
Fx
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
F
Ejercicio
B
C
F
Calcular el momento
de la fuerza F respecto a los puntos
A, B, C y D (en kN
m). Calcular la distancia de la recta soporte de la fuerza a
cada uno de los puntos.
D
A
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
Escala de fuerzas: 1 kN/división.
Escala de distancias: 1 dm/división.
Sistemas de fuerzas
Momento en un punto
A + M A = M A 1 +M A 2 +M A 3
!
+ M A = M Ai
F1
Resultante del sistema
F3
! =F
!1+F
!2+F
!3
R
!!
!
R = Fi
Teorema fundamental
F2
! y MA :
Dados R
!
! ∧R
M B = M A + BA
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
! aplicada en A
M B = M A + momento en B de R
Sistemas de fuerzas 2
! aplicada en A
M B = M A + momento en B de R
B
F1
B
A
A
F3
<>
R
MA
Este es el sistema
reducido en el punto A
F2
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
Estos dos sistemas son equivalentes
Sistemas de fuerzas 3
! aplicada en A
M B = M A + momento en B de R
Todo sistema puede reducirse a otro equivalente
formado por la resultante aplicada en un punto
y el momento en dicho punto.
resitencia
ingeniería
ma
!
R
C
C!
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
En sistemas planos,
existe por lo menos un
punto en el que el
momento es nulo. El
sistema se reduce a la
resultante pasando por
ese punto.
Equilibrio de un sólido
Un sólido está en equilibrio si el sistema de
todas las fuerzas exteriores (SFE) que actúan
sobre él es equivalente a CERO, es decir si
•
•
El momento del SFE en todos los puntos del espacio es
nulo; o
La resultante es nula y el momento en un punto es nulo:
Para sistemas planos:
!4
F
!3
F
!2
F
resitencia
ingeniería
ma
A
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
!1
F
! "
F xi = 0
!
"
⇒
R=0
F yi = 0
!
M Ai = 0
MA = 0 ⇒
Uniones, apoyos y reacciones
Un sólido está sujeto a su soporte (terreno, muro, p.ej.) mediante
uniones o apoyos en los que se producen reacciones, que son
acciones que impiden ciertos movimientos.
Para sistemas planos:
apoyo deslizante
articulación
empotramiento
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
empotramiento
deslizante
Reacciones sistemas planos
apoyo deslizante
Movimientos
Reacción Incógnitas
permite: giro, desplazamiento
impide: desplazamiento
1
permite: giro
impide: desplazamientos
2
permite:
impide: giro y
desplazamientos
3
articulación
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
empotramiento
Reacciones sistemas planos
Movimientos
empotramiento
deslizante
Reacción Incógnitas
permite: desplazamiento
impide: giro y
desplazamiento
2
biela / tirante
permite: giro, desplazamiento
impide: desplazamiento
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
resitencia
1
Ejercicio
Determinar las reacciones en la viga de la figura.
P
A
45°
B
L/3
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
L
Ejercicio
Determinar las reacciones
en todas las articulaciones
del conjunto de placas
cuadradas de lado a de la
figura sometidas a la única
fuerza P.
A
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
P
Cinemática
Giros infinitesimales I
ux
uy
θ
+
L
ux = Lcos θ − L = −L(1 − cos θ)
si θ ! 1 (en radianes)
uy ≈ Lθ
resitencia
ingeniería
ma
sin θ ≈ θ
1 − cos θ ≈ θ2 /2
ux ≈ 0
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
uy = Lsen θ
Cinemática
Giros infinitesimales 2
+
θ
L
α
dx
A
resitencia
ingeniería
ma
dy
dx
uy = Lθcosα = dx θ
dy
ux = −Lθsenα = −dy θ
Vectorialmente
!
!uB = !θ ∧ AB
!
! !i !j
!
!uB = !! 0
0
! dx dy
!k
θ
0
!θ = θ!k
!
!
!
!
!
!
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
ux
α uy
Lθ B
Cinemática
Traslación + giro
ux
Lθ
B uy
!uB = !uA + !u(giro centro en A)
θ
B
L
!
!uB = !uA + !θ ∧ AB
L
traslación
rotación
(infinitesimal)
A
resitencia
ingeniería
ma
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
A
Cinemática
Barras: alargamiento + giro
ux
θ(L + ∆L) = θL(1 + ") ≈ θL
∆L
− θdy = !dx − θdy
ux = dx
L
∆L u = d ∆L + θd
x = !dy + θdx
y
y
L
uy
dy
θ
L
α
dx
A
resitencia
ingeniería
ma
Vectorialmente
! + !θ ∧ AB
!
!uB = "AB
si A se mueve:
! + !θ ∧ AB
!
!uB = !uA + "AB
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
B
B
A
resitencia
ingeniería
ma
Las tres barras idénticas de la
figura miden 4 m cada una y están
hechas de un material con un
coeficiente de dilatación de
0.000023/°C. Determinar los
movimientos de los puntos A y B
si las barras experimentan un
aumento de temperatura de 25°C.
Determinar también el giro de
cada una de las barras, indicando
claramente su sentido.
Departamento de
te
ria
les
Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
Ejercicio