B1. Algoritmos y sus costes. Fórmulas y algoritmos: la diferencia

B1. Algoritmos y sus costes.
Fórmulas y algoritmos: la diferencia entre expresar algo y calcularlo de modo eficiente.
Ejemplos de buenos algoritmos: m.c.d., multiplicación anidada, determinantes con Gauss.
Lento pero seguro: el ejemplo del método de bisección para localizar ceros.
Referencia: DLCN, Cap. 1.1
El haber estudiado diversos métodos para resolver ecuaciones nos hace juzgar muy distintas estas
situaciones, en las que se trata de hallar un número:
a) tener una expresión que lo define explı́citamente, de modo que “basta evaluarla”;
b) tener una expresión que lo define como el resultado de algún proceso de cálculo;
c) tener una ecuación que lo define como “su solución”.
La a) parece el objetivo a lograr a partir de la c), el punto en el que “el problema queda resuelto”.
Las expresiones que siguen permiten reflexionar sobre eso; cada una de ellas define un número:
d = m.c.d.(610, 377)
i)
ii)
p(x) = 3 − 2x − 7x2 + 12x3 + 5x4
iii)
d = det(A)
, con A = . . .
iv)
c = 2 sen(c) > 0
, con x =
√
37
(una matriz 4x4 dada)
.
1. Qué es hallar el número de i) está claro para todos: escribir su desarrollo decimal. ¿Cómo?
La definición implica un método torpı́simo; un poco de reflexión lo mejora, y da este algoritmo2 :
!
n := n/p , m := m/p
Ir dividiendo n, m por cada primo p que dé cocientes enteros:
; parar
d := dp
cuando el cuadrado del siguiente primo sea mayor que m < n .
Pero recordar: de la igualdad
algoritmo de Euclides:
mientras sea m > 0 , tomar
m.c.d.(n, m) = m.c.d.(m, r) , si n − r = m· entero,
"
n
m
#
:=
"
m
n − qm
#
resulta el
, con q el mayor entero tal que qm ≤ n .
! b1.1
√
2. Qué bobada ii), saquemos la calculadora . . . pero sólo nos dará una aproximación de 37 . Y
¿cómo busca la calculadora esa aproximación? (ver Tema 1).
Una vez hallado x , ¿qué hacer? Lo obvio (¿por qué lo es?) no es muy costoso, pero . . .
Algoritmo de multiplicación anidada (Horner):
p(x) = ((( 5x + 12)x − 7)x − 2)x + 3
$n
k
o en general,
p(x) = k=0 ak x = (. . . (an x + an−1 )x + . . .)x + a0
! b1.2
3. En el caso iii), es probable que el público tenga como definición el algoritmo recursivo de desarrollar
por una linea, pero también sepa cómo hallarlo usando Gauss; la definición formal de det(A) tiene
n! sumandos, cada uno de ellos el producto de n números, luego requiere (n − 1)n! productos.
! b1.3
4. En el caso iv), la calculadora no nos da directamente la respuesta, pero permite usar las ideas del
Tema 1: se ve sobre las gráficas que F (x) = x − 2 sen(x) se anula en c ∈(1.5 , 2) , y que será
F " (c) ∈(1.5 , 2) , luego un iterador muy simple (para usar con la calculadora) es
g(x) = x − F (x)/2 = sen(x) + x/2 .
Si tengo una calculadora programable, merece la pena usar Newton:
g(x) = x −
x − 2 sen(x)
1 − 2 cos(x)
pero ojo: si se me ocurre usar x0 = 1 , qué desastre . . .
1 Otra
lectura recomendada: Knuth. The Art of Computer Programming, 1. Fundamental Algorithms. Secc.1.1.
la notación := para la operación de asignar un nuevo valor a una variable en un algoritmo
2 Usaremos
1
5. El método “lento pero seguro” de bisección para localizar un cero de la función continua f :
si f (x0 ) f (x1 ) < 0 , tomar m = (x0 + x1 )/2 , hallar f (m) y conservar el xi que dé f (xi ) f (m) < 0 .
Pero tampoco hay que pasarse:
Regula Falsi: lo mismo pero tomando
m=
f (x1 )x0 − f (x0 )x1
f (x1 ) − f (x0 )
6. Ideas adicionales sobre los algoritmos vistos:
• el algoritmo de Euclides también puede usarse
– para dos racionales (r, s) , y halla su mı́nimo denominador común;
– para (r, 1) con r ∈ IR ; el algoritmo da entonces la fracción continua de r , y termina en
un número finito de pasos sii r es racional;
! b1.4
• el de Horner, usado con x = a , da el cociente de p(x) por x − a , además del resto p(a)
(y es también llamado regla de Ruffini en ese caso) ;
• sobre el de Gauss veremos muchas más ideas en el Tema 2.
2
Ejercicios para el Tema B1.
! b1.1.
Usar el método “ingenuo” y el algoritmo de Euclides para calcular d = m.c.d.(610, 377) , y comparar
el coste en términos del número de divisiones con resto (para saber si p divide a n, m hay que hacer las
divisiones n/p, m/p ).
Observar que el algoritmo de Euclides ha dado en este caso todos los cocientes =1, y razonar por qué
eso ha hecho la operación lo más larga posible; concretamente, probar que
si m < n ≤ 610 , el número de pasos para hallar el m.c.d.(n, m) es como máximo el de este ejemplo.
! b1.2.
$
Los dos procedimientos para evaluar el polinomio k ak xk suponen calcular unas “sumas parciales”:
!
sk−1 + ak xk , empezando con s0 = a0 es el “ingenuo”,
sk =
x sk+1 + ak , empezando con sn = an es la multiplicación anidada.
Escribir ambos como algoritmos, y comparar los costes:
1) de operaciones;
2) de almacenamiento, si en la primera versión vamos guardando los xk .
! b1.3.
Para hallar el det de una A sin entradas =0, el número Pn de productos y cocientes con cada uno de los
tres métodos es el que figura en la siguiente tabla: analizar los dos algoritmos para deducir las recurrencias
dadas, usar el caso n = 1 para llegar a los n = 4, 6, y tratar de deducir las aproximaciones que se dan.
número de productos y cocientes
n=4
con la definición formal de det(A) : (n − 1)n!
72
desarrollando por una linea: Pn = n(1 + Pn−1 ) ≈ (e − 1)n!
40
usando Gauss: Pn = n(n − 1) + 1 + Pn−1 ≈ n3 /3
23
n=6
3600
1236
75
! b1.4.
Empezando con un ξ0 > 1 , y mientras no se llegue a un ξk entero, definamos ξk+1 por
ξk = mk + 1/ξk+1 , con mk = &ξk ' , la parte entera de ξk ,
y llamemos qk al racional que da en este proceso los mismos mi hasta llegar a ξk = mk , es decir:
q0 = m0 , q1 = m0 + 1/m1 , q2 = m0 + 1/(m1 + 1/m2 ) , . . .
Esto se llama el desarrollo
de ξ0 en fracción continua, y los qk son sus convergentes.
√
Hallarlo para ξ0 = 2 , probar (inducción) que mk = 2, ∀k > 0 , y que los qk son los xk hallados para
√
√
aproximar 2 en el ejercicio ! 1.1 . Hacer lo mismo para el número ξ0 = (1 + 5)/2 (la razón áurea).
Probar que el proceso termina en un número finito de pasos si y sólo si ξ0 es racional, y que equivale
al algoritmo de Euclides aplicado a los r0 = ξ0 , r1 = 1 , r2 = r0 − m0 r1 = 1/ξ1 , r3 = 1/(ξ1 ξ2 ) , . . .
3