Tema II - departamento de física de partículas

Tema II: Espacio Dual
José D. Edelstein
Universidade de Santiago de Compostela
F ÍSICA M ATEMÁTICA
Santiago de Compostela, marzo de 2011
Formas lineales. Aplicación adjunta. Distribuciones. Bases continuas.
José D. Edelstein (USC)
Tema II: Espacio Dual
mar-2011
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Formas lineales y espacio dual
Sea V un espacio lineal. Una forma o funcional lineal hu| (también llamada,
simplemente, bra), es una aplicación lineal: hu| : V → Ω,
hu| : |vi → hu|vi ∈ Ω
con
hu| (|v1 i + a|v2 i) = hu|v1 i + a hu|v2 i .
La evaluación de un bra, hu|, sobre un ket, |vi, se llama también contracción
o braket, hu|vi.
El conjunto de todas las forma lineales sobre V , con la operación natural de
suma y multiplicación por un elemento de Ω,
hw| = hw1 | + a hw2 |
⇐⇒
hw|vi = hw1 |vi + a hw2 |vi
∀ |vi ∈ V
constituye el espacio dual V ? .
Imponemos, además, que el elemento neutro de la suma, h0|, sea el único
con la propiedad
h0|vi = 0
∀ |vi ∈ V .
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Base y dimensión
En V , un conjunto linealmente independiente y maximal {|ei ii=1,...,n }, es una
base. Todo |vi ∈ V admite una expansión de la forma
|vi = v i |ei i :=
n
X
v i |ei i .
i=1
Utilizamos la convención de Einstein: los índices contraídos se suman.
V ? es un espacio lineal por lo que valen las mismas consideraciones que
para V . Cuando dim(V ) es finita, la situación se simplifica:
Teorema: Sea V un espacio lineal de dimensión finita dim(V ) = n. Entonces
V y V ? son isomorfos. En particular, la dimensión de V ? es igualmente n.
Trabajaremos en lo que sigue, si no se indica lo contrario, con espacios de
dimensión finita.
Corolario: V ? admite una base de formas lineales {hui |i=1,...,n }, tal que para
cualquier hw| ∈ V ? ,
hw| = wi hui | .
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Base canónica dual y componentes contravariantes
El uso de una base para V ? , {hui |}, unida a la de una base para V , {|ei i},
permite reducir la información necesaria para evaluar cualquier contracción,
hw|vi, al conjunto de contracciones elementales f i j = hui |ej i,
hw|vi = (wi hui |)(v j |ej i) = wi v j hui |ej i = wi v j f i j .
Dada una base {|ei i} de V , existe una única base canónica dual {hei |} de
V ? , definida por f i j = δ i j , i.e.,
hei |ej i = δ i j
∀ i, j = 1, . . . , n
En esta base una contracción general presenta la forma más simple
hw|vi = wi v j δ i j = wi v i .
El uso de la base dual permite recuperar las componentes contravariantes de
|vi mediante la contracción de dicho vector con los elementos de la base dual
v i = hei |vi .
Análogamente, las componentes wi de hw|, resultan de
wi = hw|ei i .
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Cambios de base
Un espacio vectorial admite infinitas bases. Sean {|ei i} y {|e0i i} dos de ellas.
Cualquier vector de una de ellas admite una expansión en la otra
|e0i i = O j i |ej i
O j i = he j |e0i i .
⇐⇒
El conjunto {O j i } caracteriza completamente el cambio de base.
Los coeficientes de expansión de un vector en ambas bases:
i
i
|vi = v j |ej i = v 0 |e0i i = v 0 O j i |ej i .
Por independencia lineal,
i
vj = O ji v0 .
El conjunto de números {O j i } relaciona las bases y los coeficientes de modo
inverso. En este sentido decimos que los coeficientes se transforman de
forma contravariante.
Un operador es una aplicación O : |ui ∈ V → |vi := O|ui ∈ V . Podemos ver
el cambio de base como el resultado de la acción de un operador lineal:
O|ei i := |e0i i = O j i |ej i .
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Notación matricial
Existe una representación más compacta en términos de matrices.
j
Por ejemplo, colocamos los coeficientes v i y v 0 en matrices columna v y v0 ,
así como los O j i en una matriz O donde j etiqueta las filas e i las columnas:
 1   1
  01 
v
O 1 O12 · · · O1n
v
 v 2   O 2 1 O 2 2 · · · O 2 n   v 02 

 


v = O v0 ⇐⇒  .  =  .
..
..   ..  ,
..
 ..   ..


.
.
.
. 
vn
On1
On2
···
Onn
v 0n
y expresar las coordenadas finales en términos de las iniciales:
v0 = O−1 v .
El índice j de los vectores |ej i, en cambio, |e0i i = O j i |ej i, se suma con el de
i
las filas (notar la diferencia con v j = O j i v 0 ):
si e y e0 son matrices columna con entradas |ej i y |e0i i,
t
e0 = et O
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⇐⇒
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e0 = O t e .
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Notación para los índices de bases transformadas
Si construimos las matrices A y B con los elementos Ai j y B i j , entonces
(A B)i k =
n
X
Ai j B j k
(At B)i k =
j=1
n
X
Aj i B jk .
j=1
Usaremos la siguiente notación para los cambios de base. La base de partida
recibirá índices i, j, . . . y los de la transformada serán i 0 , j 0 , . . ., ambos dentro
del mismo rango (1, . . . , n).
Así, no es necesario mantener la prima encima de los objetos referidos a la
0
i0
base transformada; v i := v 0 y |ei 0 i := |e0i 0 i. Sólo al dar valores numéricos se
deberá restituir la prima; e.g., cuando i 0 = 2, |ei 0 i → |e02 i.
Con esta convención, es natural llamar O i j 0 al conjunto de datos necesarios
para expresar la base {|ei i} en la base {|ej 0 i},
|ej 0 i = O i j 0 |ei i
y
0
|ei i = O j i |ej 0 i ,
0
al cambio de base inverso generado por el conjunto O j i .
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Relación de cierre
Basta ahora componer dos transformaciones de ida y vuelta,
0
0
|ei i = O j i |ej 0 i = O j i O k j 0 |ek i ,
para descubrir que verifican la relación de cierre:
0
Ok j 0 O j i = δk i .
En lenguaje matricial esto quiere decir que las matrices formadas por los
0
números O i i 0 y O i i son inversas entre sí,
Oi i0 → O
0
O i i → O−1 ,
entonces la relación de cierre equivale a O O−1 = 1.
Tal como la distinción entre índices con prima y sin prima es convencional,
también debe verificarse la relación de cierre inversa
0
Oi j O j k 0 = δi
−1
o, matricialmente O
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0
k0
,
O = 1.
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Índices covariantes y contravariantes
0
En esta notación, la forma en la que aparece O i j es natural. Es la única
consistente al dejar los mismos índices libres en ambos miembros.
0
Análogamente, si queremos conectar los coeficientes v i con los v j , la única
forma gramaticalmente consistente es
0
0
v i = Oi j v j
0
v j = O j i0 v i ,
o bien
que muestra que las componentes son magnitudes contravariantes.
Esto pone de manifiesto el carácter bajo transformaciónes lineales de la base,
haciéndolo depender de la posición en la que se encuentran los índices.
Los índices para los elementos de la base dual también codifican sus propiedades de transformación. Si a {|ei i} le corresponde la base dual {hej |}, a la
0
base transformada {|ei 0 i} le deberá corresponder {hei |} que satisface
0
hei |ej 0 i = δ i
0
j0
⇒
0
hei |O i j 0 |ei i = δ i
0
j0
⇒
0
hei | = O i
0
k
hek | ,
puesto que, entonces:
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Índices covariantes y contravariantes
0
hei |ej 0 i = O i
0
k
O i j 0 hek |ei i = O i
0
k
Oi j 0 δk i = Oi
0
k
Ok j 0 = δi
0
j0
.
La regla de transformación de hek | es la única consistente con la posición de
los índices: las formas lineales se transforman de manera contravariante con
respecto a los vectores.
Nos queda por examinar cómo se transforman las componentes wi de una
forma lineal. Frente a un cambio de base
0
0
hw| = wi hei | = wj 0 he j | = wj 0 O j i hei | .
Entonces, los números wi y wj 0 están relacionados por
0
wi = O j i wj 0
=⇒
wi 0 = O j i 0 wj ,
Tal como revela la posición de los subíndices, los coeficientes de las formas
se transforman igual que los vectores de la base de modo que se dice que lo
hacen de manera covariante.
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Resumiendo...
El conjunto de números, O i j 0 , define un cambio de base con respecto al cual
las cuatro magnitudes estudiadas se agrupan esencialmente en dos:
Covariantes: (con el índice abajo) se transforman como `i 0 = O i i 0 `i . Por
ejemplo los vectores de la base |ei i o las componentes de una forma wi .
0
0
Contravariantes: (con el índice arriba) se transforman como `i = O i i `i .
Por ejemplo las componentes de vectores v i o los vectores de la base
dual hei |.
La gran claridad y simetría de esta notación se obtiene a expensas de tener
que trabajar con índices. Nótese que en ningún momento hemos hablado de
matrices sino de conjuntos de números.
Se puede recurrir a la formulación matricial, pero hay que tener cuidado con
la identificación de los índices con las filas y columnas pudiendo requerirse la
inclusión de transposiciones o inversiones oportunas.
Un cambio de base es una transformación pasiva. El vector |vi no cambia, lo
que varía es su descripción debido a la modificación de la base |ei i → |ei 0 i.
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Transformaciones activas y pasivas
Las componentes contravariantes se transforman con la matriz inversa para
compensar el cambio producido en la base y mantener al vector invariante.
Por el contrario, una transformación activa implica un cambio del vector en
cuestión, quedando intacta la base: |vi → |v0 i = O |vi indica que el vector de
0
componentes v i pasa a otro de componentes v 0i en la misma base.
0
0
Si v 0i = O i i v i , la acción que representa O es inversa en las componentes y
en la base. Por ejemplo, pensemos que O es una rotación de ángulo θ en el
plano,
0
cos θ sen θ
Oi j =
.
− sen θ cos θ
El cambio que produce en las componentes admite dos interpretaciones:
0
a) (activa) el vector ha sido rotado un ángulo θ (O i i son las componentes de
O actuando sobre |vi).
b) (pasiva) el vector es el mismo, expresado en una base nueva, girada un
ángulo −θ con respecto a la antigua (O −1 actuando sobre la base {|ei i}).
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La aplicación adjunta, † : V → V ?
A cada ket le corresponde un bra. Sea (V , (, )) un H. El producto escalar da
una manera de elegir, para cada |vi ∈ V , un hv| ∈ V ? . Denominamos a ésta
aplicación adjunta, † : V → V ? :
|vi → |vi† := hv| .
Para cada |wi ∈ V el adjunto |wi† ≡ hw| ∈ V ? es el único elemento que
∀ |vi ∈ V
verifica
hw|vi = (|wi, |vi) .
Comprobamos la unicidad. Si |ui† = hu| = hu0 |, con hu| =
6 hu0 |, entonces
∀ |vi ∈ V
hu − u0 |vi = (|0i, |vi) = 0 ⇒ hu| − hu0 | = h0| ⇔ hu| = hu0 | .
El modo consistente de extender la acción de la aplicación adjunta a Ω, si
|ui = |vi + λ|wi, es hu| = hv| + λ? hw|, ya que hu|xi:
(|ui, |xi) = (|vi + λ|wi, |xi) = (|vi, |xi) + λ? (|wi, |xi) = (hv| + λ? hw|)|xi .
La acción de † se extiende a Ω como la conjugación compleja † : λ → λ? .
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Bases adjunta y dual
Denotemos con gij el conjunto de los productos escalares elementales entre
los elementos de la base |ei i,
gij := (|ei i, |ej i) = (|ej i, |ei i)? = gji? .
Asociadas a la misma base de V tenemos dos bases para V ? :
(
base canónica dual:
hei |
hei |ej i = δ i j
|ei i →
base adjunta:
hei | = |ei i†
hei |ej i = (|ei i, |ej i) = gij
Ambas deben estar relacionadas linealmente, de forma que las expresiones
anteriores sean compatible. De hecho,
hei | = gij he j | .
Supongamos que expandimos un cierto ket en una base, |wi = w i |ei i. El bra
asociado, hw| = |wi† admite dos expansiones, según la base que utilicemos:
hw| = he j | wj o hw| = (w i |ei i)† = hei | w i? = gij he j | w i?
⇒
wj = w i? gij .
Se denomina a esta última operación, bajar el índice.
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Bases adjunta y dual
Si {|ei i} es una base ortonormal tenemos que
hei |ej i = (|ei i, |ej i) = δij
⇒
wi = w j? δji = w i? .
Si c ∈ C, a veces se escribe |c vi para denotar c |vi.
†
es anti-lineal:
hc v| = |c vi† = (c |vi)† = c ? hv|
Ejemplo: Estado Cuántico
En mecánica cuántica, el estado de un sistema viene caracterizado por un
vector de un cierto espacio de Hilbert complejo |ψi ∈ H. En general se utiliza
una base |ei i de autoestados de algún operador hermítico O (observable).
Escribiendo |ψi = c i |ei i, los coeficientes c i se interpretan como la densidad
de probabilidad de obtener como resultado de una medida el autovalor λi
asociado al autovector |ei i.
Por ser O hermítico, la base puede escogerse ortonormal; así, hψ| = cj he j |
con cj = c j? . Diremos que |ψi está
P normalizado (la suma de probabilidades
es la unidad) si hψ|ψi = ci c i = i |c i |2 = 1 .
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Producto escalar no-degenerado
A las propiedades del producto escalar le podemos añadir la siguiente
Si (|ui, |xi) = 0
no-degeneración:
∀ |ui
⇒
|xi = 0.
Cuando dim V es finita, demostramos que la condición de no-degeneración
es equivalente a la invertibilidad de gij . En efecto,
∀ ui
|ui = u i |ei i , |xi = x i |ei i ⇒ (|ui, |xi) = u i? gij x j = 0 =⇒ gij x j = 0 .
Este sistema homogéneo sólo debe tener por solución x j = 0, entonces:
(, ) no degenerado
⇐⇒
det gij 6= 0 .
Cuando el producto escalar es no-degenerado podemos invertir la matriz gij
en cualquier base. Denotamos su inversa mediante
g ij := gij−1 = g ji∗ .
Otra manera de decir lo mismo es afirmar que
g ik gkj = δ i j = gjk g ki .
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Subir índices: V ? → V
Si el producto escalar es no-degenerado podemos invertir wj = w i? gij
multiplicando en ambos lados por g jk ,
w k ? = wj g jk = g kj? wj
ya que
w i? gij g jk = w i? δi k = w k ? .
Es decir, conjugando esta ecuación,
w i = g ij wj? .
Hagamos una verificación de consistencia
hw|vi = wj v j = w i? gij g jk vk? = w i? δi k vk? = w i? vi? = (vi w i )? = hv|wi?
En resumen, en un espacio lineal de dimensión finita con producto escalar
no-degenerado, siempre podemos asociar a cualquier forma hw| un vector
|wi; las componentes se relacionan por la ecuación anterior.
Es decir, la aplicación adjunta es biyectiva.
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Dimensión infinita: Distribuciones
Si H es separable admite una base ortonormal numerable y los resultados
pueden extenderse sin más que dejar que los subíndices i, j, i 0 , j 0 , . . . ∈ N.
Sin embargo, deja de ser cierto que V y V ? sean automáticamente isomorfos
aunque H sea no-degenerado en el sentido de la sección anterior. No todos
los hw| ∈ V ? son de la forma (|wi, ·) para algún |wi ∈ V .
R
Sea, por ejemplo, H = L2 (R). A cada función f (x), tal que R |f (x)|2 dx < ∞,
le corresponde un vector |fi ∈ L2 (R).
Podemos tomar una sucesión de vectores |unx0 i → uxn0 (x) con n ∈ N, dada por
(
1
0
|x − x0 | ≥ 2n
n
→
|unx0 i ∈ L2 (R) .
ux0 (x) =
1
n
|x − x0 | < 2n
∀ uxn0 (x), ∃ hunx0 | ∈ L2? (R) tal que, ∀ |gi ∈ L2 (R), se cumple
Z ∞
n
n
hux0 |gi = (|ux0 i, |gi) =
uxn0 (x) g(x)dx .
−∞
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Dimensión infinita: Distribuciones
Por un lado, la norma |||unx0 i|| =
√
n diverge cuando n → ∞,
/ L2 (R) .
lim |unx0 i ∈
n→∞
Sin embargo, en este límite la integral anterior alcanza un valor bien definido
Z ∞
Z ∞
uxn0 (x)dx = g(x0 ) ,
uxn0 (x) g(x)dx = lim g(x0 )
lim hunx0 |gi = lim
n→∞
n→∞
n→∞
−∞
−∞
∀ |gi ∈ L2 (R). La sucesión hunx0 | sí converge dentro de L2? (R),
lim hunx0 | = hx0 | ∈ L2? (R) ,
n→∞
y puede definirse por su acción sobre cualquier vector |gi ∈ L2 (R),
hx0 |gi = g(x0 ) .
Asociamos hx0 | a la delta de Dirac δ(x − x0 ) del mismo modo que |gi → g(x).
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Ondas Planas
Sea una sucesión de funciones con la forma de una onda plana truncada en
un intervalo de longitud L ∈ N.

|x| ≥ L2
 0
L
L
|vp0 i → vp0 (x) =
→ |vLp0 i ∈ L2 (R) .
1
 √ eip0 x
|x| < L2
2π
q
L
Cuando L → ∞, |||vLp0 i|| = 2π
→ ∞; el límite no es un elemento de L2 (R).
Sin embargo, si a cada elemento le asociamos un dual:
Z L/2
dx
L
L
√ e−ip0 x g(x) ,
hvp0 |gi = (|vp0 i, |gi) =
2π
−L/2
cuando L → ∞, la cantidad hvLp |gi alcanza un límite
Z ∞
dx
√ e−ip0 x g(x) = ḡ(p0 ) ,
lim hvLp0 |gi =
L→∞
2π
−∞
que es el valor de la transformada de Fourier ḡ(p0 ).
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Ondas Planas
En consecuencia, podemos definir
lim hvLp0 | ≡ hp0 | ∈ L2? (R) ,
L→∞
por su acción sobre todos los elementos |gi ∈ L2 (R) definida por
hp0 |gi = ḡ(p0 ) .
L2? (Ω) no es, por lo tanto, isomorfo a L2 (Ω), sino que es más grande.
Vimos que hay funciones que no son de cuadrado integrable y sin embargo
mantienen un producto escalar finito con cualquier vector de este espacio: se
les puede asociar un elemento de L2? (Ω).
Por ejemplo, los dos conjuntos de formas {hx|} (x ∈ R) y {hp|} (p ∈ R).
Se denomina distribuciones a estos elementos de L2? (Ω).
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Bases Continuas
Cualquiera de los dos conjuntos de formas, {hx|} (x ∈ R) y {hp|} (p ∈ R),
permite reconstruir completamente las funciones f (x) y f̄ (p), asociadas a
cualquier vector |fi ∈ L2 (R)
f (x) = hx|fi
f̄ (p) = hp|fi
Por tanto, podemos definir una base generalizada, formada por un conjunto
continuo de vectores hx| → |xi y hp| → |pi con los que poder escribir
Z ∞
Z ∞
|fi =
dx hx|fi |xi =
dx f (x) |xi ,
−∞
−∞
o bien
Z
|fi =
∞
Z
dp hp|fi |pi =
−∞
∞
dp f̄ (p) |pi .
−∞
Estrictamente hablando, ni |xi ni |pi tienen norma finita. Por ejemplo, ninguna
de las dos admite la interpretación de una función de onda.
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Base canónica dual de una base continua
Se trata de un par de bases continuas y sólo sirven al efecto de escribir una
expansión formal.
Su utilidad, sin embargo, es mayor al generalizar la relación de dualidad
canónica entre las bases {hx|, hp|} y {|xi, |pi} de la forma siguiente:
hx 0 |xi = δ(x 0 − x)
hp0 |pi = δ(p0 − p) .
Al tratar con bases continuas debemos sustituir δ i j por δ(x 0 − x).
0
0
El análogo de O j i = he j |ei i es, ahora,
1
hx|pi = √ eipx
2π
1
hp|xi = √ e−ipx ,
2π
mientras que el análogo de |e0i i = O j i |ej i debe leerse formalmente como
Z ∞
Z ∞
1
1
−ipx
√
√
|xi =
e
|pi dp
|pi =
eipx |xi dx .
2π −∞
2π −∞
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La delta de Dirac
La compatibilidad equivale a la transformada de Fourier de la delta de Dirac
Z ∞
Z ∞
0
0
0
0 0
0
0
δ(x − x) = hx |xi =
dp hx |p i hp |
dp hp|xi |pi
−∞
∞
−∞
0 0
eip x e−ipx
√
δ(p0 − p) =
dp0 dp √
2π 2π
−∞
ZZ
=
Análogamente,
δ(p0 − p) =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
dp ip(x 0 −x)
e
.
2π
dx −ix(p0 −p)
e
.
2π
Otras definiciones de δ(x) que pueden resultar útiles:
δ(x − x0 ) = lim
→0
(x−x0 )2
1
1
1 − |x−x0 |
= lim
= lim+ √
e− 2
e
2
2
→0 π (x − x0 ) + →0
2
2π
= lim
→0
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0
0
1 sen ( x−x
sen 2 ( x−x
)
)
= lim
= ···
2
→0 π (x − x0 )
π (x − x0 )
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Propiedades de δ(x)
Propiedades que se demuestran sobre cualquier función de prueba:
Sea g(x) una función y {xj } el conjunto de todas sus raíces, g(xj ) = 0,
X
1
δ(g(x)) =
δ(x − xj )| .
|g 0 (xj )|
j
Si g(x) tiene ceros múltiples (tales que g 0 (xj ) = 0), entonces δ(g(x)) no
tiene sentido. Esta propiedad implica, en particular
δ(c x) =
δ(−x) = δ(x)
1
δ(x) .
|c|
Se cumple la identidad x δ(x) = 0 y, de manera más general,
g(x) δ(x − x0 ) = g(x0 ) δ(x − x0 ) .
Definimos la derivada de δ(x) a través de la integración por partes
Z
Z
0
g(x) δ (x − x0 )dx = − g 0 (x) δ(x − x0 )dx = −g 0 (x0 ) .
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Derivadas y primitivas de δ(x)
Podemos obtener una expresión más general a partir de
Z
Z
∂f (n−1)
f (x) δ (n) (x)dx = −
δ
(x)dx .
∂x
Por lo tanto, si f (x) = x g(x),
Z
Z
Z
x g(x) δ 0 (x)dx = − (g(x) + x g 0 (x)) δ(x)dx = − g(x) δ(x)dx .
Podemos leer la ecuación anterior como:
x δ 0 (x) = −δ(x)
⇒
x n δ (n) (x) = (−1)n n! δ(x) .
La función escalón, θ(x − x0 ), definida por
(
1
θ(x − x0 ) =
0
si x > 0
si x < 0
tampoco pertenece a L2 (R). Verifica la siguiente relación con δ(x),
Z x
θ(x − x0 ) =
δ(x − x0 ) dx
⇔
δ(x − x0 ) = θ0 (x − x0 ) .
−∞
José D. Edelstein (USC)
Tema II: Espacio Dual
mar-2011
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