1· Título 1· Números racionales

6
1· Números
racionales
Título
VAMOS A CONOCER…
El conjunto de los números
racionales
Tipos de fracciones
Representación gráfica de los
números racionales
Fracciones equivalentes
Clases de equivalencia
Comparación de fracciones
Operaciones con números
racionales
Propiedades de las operaciones
con números racionales
¿QUÉ NECESITAS SABER?
Jerarquía de las operaciones
Efectúa las siguientes operaciones:
a) 5 · 7 – 2 + 4 · 3
b) –3 + 4 – 5 · 2 + 12 : 6 – 3
Operaciones con paréntesis, corchetes y llaves
Efectúa las siguientes operaciones:
a) 3 – [5 · ( –2 + 3) + 2] + 1 –(–2)
b) 2 – {1 – [2 – (1 – 2)] – 2}
Representación de números enteros
Representa los siguientes números enteros en la recta:
a) –2
b) 5
c) 0
d) 8
e) –1
f) 7
g) 9
h) –5
El Imperio Romano basó buena parte de su grandeza en el poderío
militar. La estructura de sus ejércitos se basaba en las legiones que, a
principios del Imperio, constaban de 4 800 hombres, fraccionados de
la siguiente manera:
• Una legión la constituían 10 cohortes.
• Una cohorte estaba formada por 3 manípulos.
• Un manípulo lo constituían 2 centurias
• Cada centuria reunía a 80 hombres.
Y
Matemáticas
8
Y
1. El conjunto Q de los números racionales
Seis amigos que celebran una fiesta de cumpleaños intentan repartirse una
pizza. Como a todos les gusta mucho, deciden repartírsela equitativamente.
Si son 6 amigos, ¿qué cantidad de tarta le corresponde a cada uno?
!=
RECUERDA…
N {1, 2…}
Z {…, –2, –1, 0, 1, 2…}
=
Nos damos cuenta de que si dividimos la pizza en 6 raciones, a cada amigo
1
le corresponderá una de las 6 raciones. Pues bien, 1 de 6 se escribe .
6
Este tipo de números que nos indican una parte de un todo reciben el nombre de números racionales. El conjunto de estos números se representa con
la letra Q.
d
Q es el conjunto de los números racionales.
a
Q { / a, b Z, siendo b
b
=
∈
≠ 0}
Así, vemos que una fracción es el cociente entre dos números.
Ejemplo
Notación
→ está contenido en…
→ pertenece a…
→ distinto de…
→ tales que…
#
[
Þ
/
La fracción
12
coincide con el número entero 6.
2
Todo número entero admite una expresión racional: cualquier número
a
entero a admite la expresión racional . De esto se deduce que Z # Q.
1
Q
Z
N
!
RECUERDA…
a
Dada la fracción , el numerador
b
es a y el denominador es b.
La relación contraria no es cierta, es decir, no todo número racional admite
una expresión entera.
Ejemplo
El número racional
2
no se puede expresar como un número entero.
5
ACTIVIDADES
1. Si de una tarta de 5 raciones nos comemos 1 ración, ¿qué parte de la tarta nos
5
hemos comido? Si comiéramos
de la tarta, ¿cuánto nos habríamos comido?
5
2. De las siguientes figuras, indica con una fracción qué parte del total está coloreada:
a)
b)
1 · Números racionales
9
2. Tipos de fracciones
Fracción propia: es una fracción cuyo numerador es menor que el denominador y que, al hacer el cociente, resulta un número menor que la unidad.
Ejemplos
•
5
6
•
2
12
•
4
19
Fracción impropia: es una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador y cuyo cociente es mayor que la unidad.
Ejemplos
•
6
5
•
9
2
•
12
3
Con las fracciones impropias se pueden dar los dos casos siguientes:
Caso 1: el numerador es un múltiplo del denominador. En este caso tenemos un número entero.
Caso 2: el numerador no es múltiplo del denominador. En este caso aparece
el concepto de número mixto. Un número mixto es un número racional que
consta de parte entera y parte fraccionaria.
Ejemplos
• Caso 1:
• Caso 2:
15
3
16
3
=5

→ 

= 5 + 13 —
Parte fraccionaria
Parte entera
•
5
10
= 0’5
•
6
100
= 0’06
b) 3 +
1
3
c)
5
7
d)
65
56
e)
fracción procederemos así:
1 5 · 3 + 1 16
5+
3
3
3
=
=
Fracción como
número mixto
Para expresar
3. Clasifica los siguientes números racionales:
13
1 000
1
en forma de
3
=5
ACTIVIDADES
a)
Para expresar 5 +
= 13
Fracción decimal: es una fracción en la que el denominador es 10 o una de
sus potencias.
Ejemplos
Número mixto
como fracción
12
12
f)
7
4
g) 2 +
3
4
4. Expresa como números mixtos las fracciones impropias del ejercicio anterior y
los números mixtos exprésalos como fracciones impropias.
16
en forma de
3
número mixto realizamos la división
que representa la fracción. El cociente de la división, 5, será la parte
entera, el resto, 1, será el numerador
y el divisor, 3, será el denominador.
16 3
1 5
⇒ 163 = 5 + 13
5. Un pintor tarda tres horas y media en pintar una casa. Su ayudante tarda cuatro horas y cuarto en hacer el mismo trabajo. Expresa en forma numérica el
tiempo que tarda cada uno en pintar la casa.
6. Un barco pesquero lleva en sus bodegas tres toneladas y media de sardinas.
Expresa en forma numérica las toneladas de pescado del barco.
7. En el problema anterior, si son siete los pescadores y se reparten equitativamente el pescado, ¿cuántas toneladas le corresponden a cada uno?
Y
Matemáticas
10
Y
3. Representación gráfica de los números
racionales
Para representar los números racionales consideraremos una recta
horizontal sobre la que indicaremos los números enteros, siendo el punto
0 el origen.
1
0
-1
-2
-3
Para representar la fracción propia
3
2
2
dividiremos la unidad de longitud en
3
3 partes iguales y tomaremos 2.
-2
-3
¿Por qué?
Por el teorema de
que__ los__segmentos
__
y AD’, AE y AE’ son
por tanto, como
__
__
long(AC) long(CD)
=
Tales
__ sabemos
__ __
AC y AC’, AD
proporcionales,
= long(DE__)
deducimos que
___
___
long(AC’ ) long(C’D’)
=
___
= long(D’B
)
0
-1
1
2
3
3
1
3
2
Para dividir un segmento
en tres partes iguales procederemos así:
__
E
1. Dado el segmento AB ,
trazamos una semirecta
D
con vértice en A sobre la
C
que llevaremos tres
veces la misma medida,
A
C’
D’
B
obteniendo los puntos
C, D, E.
__
__
2. Trazamos el segmento BE. Finalmente trazamos paralelas
al
segmento
BE
__
__
por los puntos D y C, obteniéndose los segmentos DD’ y CC’.
Ejemplo
Para representar la fracción impropia
9
primero calcularemos su expre4
sión como número mixto:
9
4
= 2 + 14
Posteriormente, dividiremos la unidad de longitud en 4 partes iguales y
tomaremos 1, pero las llevaremos a partir de 2:
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
ACTIVIDADES
8. Representa sobre la recta los siguientes números racionales:
4
7
a) –5
b) –
c)
5
3
d) 5 +
2
3
1 · Números racionales
11
4. Fracciones equivalentes
Consideremos las fracciones
•
3·5
4·5
3 15
y
. Vamos a observar las siguientes operaciones:
4 20
= 15
20
•
15 : 5
20 : 5
= 34
En el primer caso diremos que hemos amplificado la fracción
3
y que
4
hemos encontrando un múltiplo de la misma. En el segundo caso diremos
que hemos simplificado la fracción
d
15
.
20
Dos fracciones son equivalentes si y sólo si representan el mismo valor.
Simplificación de fracciones
La simplificación de una fracción se puede calcular, como en el ejemplo
siguiente, con divisiones sucesivas:
24
36
: 2 12 12 : 2 6 6 : 3 2
= 24
= =
= = =
36 : 2 18 18 : 2 9 9 : 3 3
o bien dividiendo numerador y denominador por su máximo común divisor, como vemos a continuación:
144
216
d
: 72 2
= 144
= ya que MCD(144, 216) = 72
216 : 72 3
Observación
2+7
2+9
≠ 79 ; 22 ·· 79 = 79
En general:
Para simplificar una fracción dividiremos numerador y denominador
por su máximo común divisor.
•
a+b
a+c
≠ bc
•
a·b
a·c
= bc
Cuando una fracción no se puede reducir más diremos que es irreducible.
d
La fracción
a
es irreducible si y sólo si MCD(a, b)
b
=1
a
es irreducible si y sólo si el numerador
b
y el denominador son primos entre sí.
O lo que es lo mismo, la fracción
ACTIVIDADES
9. De las siguientes fracciones, indica cuáles son equivalentes. Razona tu respuesta:
5
10
4
12
3
15
2
8
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
6
6
7
21
25
50
9 36
10. Simplifica las siguientes fracciones utilizando los dos métodos:
60
28
432
84
a)
b)
c)
d)
120
49
2 160
96
e)
30
32
Y
Matemáticas
12
Y
5. Clases de equivalencia
2 18
y
, observamos la relación siguiente:
3 27
Dados los números racionales
2 · 27
= 3 · 18
Las fracciones en las que se de la relación anterior diremos que son equivalentes. Esta relación, llamada relación de equivalencia, la solemos expresar de la siguiente manera:
2
3
d
EJEMPLO
Clase de equivalencia:
3
6
9
12
7
14
21
28
=
=
=
Dos fracciones
= 18
⇔ 2 · 27 = 3 · 18
27
a c
y son equivalentes si y sólo si a · b
b d
= b · c.
Y se lee de la siguiente manera:
a c
y son equivalentes si y sólo si el producto de extremos
b d
es igual al producto de medios.»
«Las fracciones
=…
a
, existen infinitas fracciones equivalentes a ella. Todas
b
las fracciones equivalentes a ella forman un conjunto llamado clase de
equivalencia.
Dada una fracción
De cada clase de equivalencia solemos tomar como representante su fracción irreducible. Este será el llamado representante canónico. En el caso de
que el número racional sea negativo, su representante canónico llevará el
signo en el numerador.
Ejemplo
La clase de equivalencia
± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 12!  tiene por represen 4 8 12 16 
tante canónico a la fracción irreducible
± 34 .
ACTIVIDADES
11. De los siguientes números racionales, indica cuál es su representante canónico:
a) –
6
16
c)
212
200
e) –
12
60
b) –
20
4
d)
1 204
446
f) –
5
25
12. De las siguientes fracciones, indica cuáles pertenecen a la clase de equivalencia
2
cuyo representante canónico es :
5
a)
11
12
c)
16
40
b)
10
25
d) –
48
45
e) –
f)
22
55
213
417
1 · Números racionales
13
6. Comparación de fracciones
Queremos saber cuál de los dos niños comió más tarta.
Las fracciones pueden ayudarnos a resolver el problema pues, en realidad,
se trata de saber cuál de las fracciones
4 3
y es mayor.
6 4
Para poder comparar fracciones lo primero que hacemos es reducirlas a
denominador común:
2 3
y .
3 4
Escribimos las fracciones en su expresión irreducible:
El denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores. En nuestro caso, mcm(3, 4) 12.
=
Obtenemos el numerador dividiendo el mínimo común múltiplo entre cada
uno de los denominadores y multiplicando el resultado obtenido por el
numerador inicial de cada fracción. En nuestro caso sería así:
2
3
= (12 :123) · 2 = 412· 2 = 128
3
4
=
( )
12 : 4 · 3
12
= 312· 3 = 129
Observación
Teniendo dos fracciones de distinto
signo siempre será mayor la positiva.
Ahora sí que las podemos comparar: como 9 partes de 12 son más que 8
partes de 12, resulta:
9
8
>
12
12
⇒ 34 > 23 ⇒ 34 > 46
Luego comió más el niño al que dieron 3 raciones de la segunda tarta que
al que dieron 4 raciones de la primera.
ACTIVIDADES
13. Calcula el denominador común de las siguientes fracciones:
a)
2 7
5
,
y
6 8 12
c)
1 3
6
,
y
8 6 24
e)
8 3
7
,
y
10 5 15
b)
3 2
4
,
y
4 10 14
d)
5
6
5
,–
y
12 12 6
f)
2 12
7
,–
y
3 15 12
14. Ordena las fracciones del ejercicio anterior de menor a mayor.
15. Ordena los siguientes números racionales de mayor a menor:
a) 4 +
1 6
12
,
y
3 4
6
b) 5 +
2
5
1
, 3+
y 7+
3
6
9
Y
Matemáticas
14
Y
7. Suma y resta de números racionales
En este apartado recordaremos cómo sumar y restar números racionales.
7.1. Fracciones con el mismo denominador
d
Observación
a
c
+
b
b
=
Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador,
se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador.
Ejemplo
a+c
b
2
3
+
7
7
= 2 +7 3 = 57
7.2. Fracciones con distinto denominador
d
Observación
a
c
+
b
d
M
= (M :Mb) · a + (M :Md) · c
= mcm(b, d)
Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador,
las reducimos a denominador común y después sumamos o restamos
los numeradores.
Ejemplos
2
•
5
+ =
3
7
⋅
35
2
5
35
+
⋅
35
3
7
35
15 29
= 735⋅ 2 + 535⋅ 3 = 14
+
=
35 35 35
30
30
30
⋅
⋅
⋅ 7 25 − 42 + 70 53
5−
7+


5 7
1 5 7 7
5
3
• − + 2 +  = − + = 6
= 30 = 30
6 5 
3 6 5 3
30
•
7.3. Opuesto de una fracción
d
a
a
será el número racional – .
b
b
El opuesto del número racional
Ejemplo
El opuesto de
2
2
es – .
3
3
ACTIVIDADES
16. Efectúa las siguientes operaciones:
a)
2
4
2
+
–
3
5
15
b) 7 +
3
1
–
4
2
c) 2 –
1
2
+
5
7
d)
1
1
+
+1
3
6
17. Efectúa las siguientes operaciones entre fracciones, números mixtos y números
enteros:
5
17
1
7
3
a) 1 +
+
–2
e) 1 +
– 3+
–
6
36
3
9
4
( )
( )
( )
) (
(
)
b) 2 +
4
4
–
+2
5
5
f)
c) 7 +
5
1
1
–
+
12
4
6
g) 5 +
1
1
1
–4+
+
3
2
6
h) 2 +
3
1
1
1
+ 5+
+ 6+
–
10
5
5
10
d)
7
2
1
1
+
+
–
6
3
2
3
7
1
1
+ 1+
+
10
20
4
)
(
(
(
)
) (
) (
)
1 · Números racionales
15
8. Producto y cociente de números racionales
d
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de
los denominadores.
a c
a·c
·
b d b·d
=
Ejemplo
2 5
·
3 7
d
=
2·5
3·7
= 10
21
Dada la fracción
a
con b
b
≠ 0, su inversa es la fracción ba .
Observación
1
a
b
Ejemplo
La inversa de
d
3
5
es la fracción .
5
3
Para dividir la fracción
ción
= ba
a
c
multiplicamos la fracentre la fracción
b
d
a
c
por la inversa de la fracción .
b
d
a c
:
b d
= ba ·· dc
Ejemplo
2 12
:
5 20
4 2
= 25 ·· 20
=
=
12 6 3
Podemos observar que primero hemos dividido 20 entre 5 para obtener
el numerador y luego hemos simplificado 12 entre 2 para obtener el
denominador. ¿Para qué multiplicar 2 por 20 y 5 por 12 para luego simplificar el resultado? ¿No es más fácil simplificar primero, con lo que los
números nos saldrán más «manejables», y operar después?
ACTIVIDADES
(
18. Efectúa las siguientes operaciones simplificando todo lo que puedas:
b) 7 ·
c) 5
6 14
·
7
3
d)
12 38
⋅ − 19
⋅4
2 6
·
8 5
19. Realiza las siguientes divisiones de números racionales:
a)
16
9
: 83
b)
4
25
: 153
c)
−2 : 16
17
d)
7
:
5
(
− 67
(
2 8 35
·
·
7 5 18
(
a)
Y
Matemáticas
Y
9. Propiedad distributiva
La propiedad distributiva del producto respecto de la suma de fracciones es
la siguiente:
d
a
b
(
(
(
(
⋅ dc + ef = ba ⋅ dc + ba ⋅ ef
Como ejercicio, podemos comprobar que la propiedad anterior se cumple
en el siguiente ejemplo:
2
3
⋅ 65 + 129 = 32 ⋅ 65 + 32 ⋅ 129
(
Si leemos la propiedad anterior de derecha a izquierda, tenemos:
⋅ + ba ⋅ ef = ba ⋅ dc + ef
a c
b d
d
(
Esta lectura de la propiedad es muy útil para simplificar expresiones y se
conoce como sacar factor común.
Ejemplo
(
Saca factor común en la siguiente suma de fracciones:
⋅ + 52 ⋅ 67 = 52 ⋅ 53 + 67
2 5
5 3
(
2
Podemos observar que la fracción que se repite es
y es ella la que se
5
convierte en el factor común.
(
(
(
ACTIVIDADES
20. Comprueba que se verifica la propiedad distributiva en las siguientes operaciones:
(
− 113 ⋅ 119 + 229
b)
8
12
⋅
36
40
+ 24
48
(
a)
c)
21. Saca factor común en los ejercicios siguientes:
⋅ + 57 ⋅ 1622
a)
5 6
7 11
b)
8 72
13 16
c)
2 18
9 6
⋅ + 138 ⋅ 1632
⋅ + 92 ⋅ 96
22. Opera extrayendo primero factor común:
⋅ + 274 ⋅ 34 + 274 ⋅ 56
a) 4 2
27 3
⋅ + 1243 ⋅ 127 + 1243 ⋅ 249
b) 12 5
43 6
⋅ − 56 ⋅ 31
c) 5 1
6 2
− 115 ⋅
6
10
+ 147
(
16
1 · Números racionales
17
10. Propiedades de la suma y el producto de los
números racionales
• Propiedad conmutativa:
a
b
(
• Propiedad asociativa:
(
+ dc + ef = ba + dc + ef
+ dc = dc + ba
a
b
(
(
10.1. Propiedades de la suma
MATEMÁTICAS
EN EL
TIEMPO
La Prehistoria
• Existencia de elemento neutro: 0
a
a
se verifica que + 0
b
b
Para todo número racional
= ba .
• Existencia de elemento opuesto:
(
Todo número racional
(
+ − ba = 0 .
(
(
10.2. Propiedades del producto
• Propiedad conmutativa:
(
• Propiedad asociativa:
⋅ ⋅ ef = ba ⋅ dc ⋅ ef
a c
b d
⋅ = dc ⋅ ba
a c
b d
c
(
a
b
a
a
posee un opuesto, llamado – , tal que
b
b
• Existencia de elemento neutro: 1
a
a
se verifica que · 1
b
b
Para todo número racional
= ba .
• Existencia de elemento inverso:
Todo número racional
tal que
a b
·
b a
a
posee un inverso, que llamaremos
b
= 1.
ACTIVIDADES
(
(
 a  = b ,
b a
–1
¿Cuándo aparecieron las matemáticas? Probablemente, desde el mismo
momento en que aparece el hombre.
Las primeras pruebas de que el hombre empleaba las Matemáticas en la
Antigüedad datan del Neolítico. En
África apareció un hueso de 35 000
años de antigüedad con una serie de
muescas que coinciden con un calendario que aún se usa en algunos países
africanos.
Posteriormente apareció otro hueso de
20 000 años de antigüedad con una
serie de muescas que indican un calendario lunar. Y no debemos olvidar que
el estudio de la astronomía produjo en
la Antigüedad un importante desarrollo de las Matemáticas.
23. Comprueba la propiedad asociativa de la suma en el siguiente ejemplo:
(
+ 54 + 56 = 32 + 54 + 56
(
2
3
24. Comprueba la propiedad conmutativa de la suma en el siguiente ejemplo:
(
1
6
+ 53 = 35 + 61
(
25. Verifica la propiedad asociativa del producto en el siguiente ejemplo:
= 32 ·
6 10
·
5 3
(
(
2 6 10
·
·
3 5
3
c
d
Y
Matemáticas
18
Y
INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Matemáticas de Microsoft
Este programa, que acompaña al libro, es una herramienta muy potente para
hacer Matemáticas. Por ejemplo, si queremos resolver cualquier ejercicio de la
unidad él. Por ejemplo, vamos a calcular la siguiente operación con fracciones:
1
2
+
6 2 1
– : =
⋅
3 4 3 2
2
Introducimos los datos en la línea de edición escribiendo directamente lo
siguiente: "1/2+(2/3)*(6/4)–(2/3)/(1/2)". Mientras vamos introduciendo los datos
vemos como la expresión toma forma:
La calculadora
También podemos utilizar la calculadora que aparece a la izquierda de la pantalla para escribir la expresión.
Ahora, pulsando Intro aparece la fracción solución y su valor decimal:
También podemos calcular el mínimo común múltiplo de varios números, por
ejemplo, 3, 6, 12 y 32. Para ello tenemos que pinchar en el botón Icm (lower
Para escribir las expresiones en la
línea de edición también podemos
utilizar la calculadora. Esta herramienta es muy útil para escribir elementos que no podemos indicar
directamente desde el teclado,
como potencias, raíces, desigualdades...
Para escribir fracciones tenemos
que pulsar el botón c/d .
common multiple) de la caluladora y nos aparecerá en la línea de edición la expresión «lmc(», a continuación de la cual deberemos escribir los números separados por comas:
Ahora, pulsando Intro aparece el valor del mínimo común múltiplo:
1 · Números racionales
19
ACTIVIDADES RESUELTAS
y al mediano le deja lo que queda. ¿A quién legó más
cantidad de terreno? Si la finca mide 70 ha, ¿cuántas
hectáreas le corresponden a cada hermano?
Solución
3
Al menor le deja los
del resto. Como el resto es
7
= 35 , al menor le deja:
3 3
·
= 359 partes de la finca.
7 5
2
= 14
partes, luego el mediano recibirá:
El mayor recibe
5
35
2
5
−
(
+
14
35
= − =
23
1
35
12
partes de la finca.
35
Las hectáreas que recibe cada uno son:
→
• Hermano mediano —→
• Hermano menor —→
—
• Hermano mayor
= 1435· 70 = 28 ha
12
12 · 70
· 70 =
= 24 ha
35
35
9
9 · 70
· 70 =
= 18 ha
35
35
14
· 70
35
1
+
1
+
1
1
Solución
1
1
1
1
1
1
1
2
+
+
+
=
1
+
=
1
1
1
+ 31
1
+
+ 21
1
1
1
+ 32
Solución
En el primer rebote la pelota llegará a una altura de:
3
· 25’6
4
= 19’2 m
En el segundo rebote alcanzará:
3
· 19’2
4
= 14’4 m
Finalmente, en el tercer rebote la pelota llegará a los
3
· 14’4
4
= 11’4 m de altura
Opera y simplifica:
1
3
1
3
1
=
1
1
+
1
5
3
=
1
+
3
1
5
= 81 = 58
5
(
− 56 + 125 − 185
− 32 + 11
1−
5
(
− ( 56 + 125 − 185 31 − 30 +3615 −10 31 − 35
= 2 1 == 2 365 ==
2
1
−3 + 4
−3 + 1
−3 + 4
1−
5
5
−
== − + = – 2336⋅⋅127 = – 2321
12 35
36
8 15
12
2
Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado como número mixto:
+ 21 + 7 + 31
1
1
8 + −7 +
10
5
5
Un grifo llena un tonel en 3 h. Para vaciarlo empleamos otro grifo que tarda 4 h. Si dejamos los dos grifos
abiertos, ¿cuánto tardará en llenarse el tonel?
Solución
En una hora el primer grifo llena
Solución
+ 21 + 7 + 31 112 − 223 33 +6 44 776
= 41 71 = 82 − 71 = 11 =
1
1
8+ −7 +
−
5
10
5 10
10
10
/
/
7 ⋅ 11
⋅
2/ ⋅ 5
77 · 10
35
2
= 6 ⋅ 11 = 3 ⋅ 2/ ⋅ 11/ / = 3 = 11 + 3
5
3
de la altitud del rebote
4
anterior. ¿Qué altura alcanzará la pelota en el tercer
rebote?
Solución
Simplifica la siguiente fracción:
1
rebote la pelota alcanza los
(
1
9
35
(
1–
Un niño deja caer una pelota desde la ventana de su
casa, que está a una altura de 25’6 m. En cada
(
2
3
mayor le deja
de la misma, al menor los
del resto
5
7
(
Un padre deja en herencia a sus tres hijos una finca. Al
grifo vacía
1
de tonel y el segundo
3
1
del mismo. Luego al cabo de 1 h, abiertos
4
los dos grifos, se llenará:
1
1
–
3
4
= 121 del tonel.
Por lo tanto, el tonel se llenará al cabo de 1
: 121 = 12 h.
Y
Matemáticas
20
Y
ACTIVIDADES FINALES
d EJERCICIOS
26. De las siguientes fracciones, indica cuáles son equivalentes y cuáles no:
a)
5
3
y
6
5
c)
4
6
y
12
18
e)
8
40
y
90
18
b)
3
2
y
9
6
d)
15
9
y
5
3
f)
15
2
y
6
5
27. Expresa las siguientes fracciones como números mixtos:
33. Reduce a común denominador y ordena las siguientes
fracciones:
a)
1
1
y
3
6
c)
1
4
y
12
15
b)
1
2
y
6
15
d)
25
18
y
100 32
34. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:
a)
6
5
c)
25
21
e)
17
15
a)
1
5
3
,
y
21 14
28
e)
1 5
3
,
y
14 4
8
b)
21
14
d)
16
13
f)
40
36
b)
1 5
3
,
y
2 5
12
f)
3
5
3
,
y
16 18
14
c)
5 7
3
,
y
2 5
20
g)
9 1
3
,
y
16 2
4
d)
1 5
2
,
y
4 6
7
h)
2 3
4
,
y
3 4
5
28. Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las
dadas:
5
a)
6
b)
3
c)
12
3
5
d)
25
e)
21
15
16
35. Escribe una fracción comprendida entre las siguientes:
12
6
f)
29. Completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes:
= 25
10
d)
6
14
= 8?
e)
9
3
f)
25
15
a)
5
?
b)
6
12
c)
?
6
= 92
= 3?
g)
4
5
= 27?
h)
11
?
= 15?
i)
35
?
= 12?
= 22
10
= 146
6
cuyo denomi30. Encuentra una fracción equivalente a
7
nador sea 35.
a)
2
5
y
3
3
c)
3
6
y
5
7
b)
4
2
y
6
9
d)
3
6
y
14
45
36. Realiza las siguientes operaciones y expresa las fracciones impropias que resulten como un número mixto:
a)
1
1
+
2
3
f)
5
1
–
4
2
b)
2
2
–
3
5
g)
15
1
–
6
3
c)
11
3
–
2
8
h) 4 +
d) 1 +
31. Simplifica las siguientes fracciones hasta convertirlas en
irreducibles:
a)
b)
c)
16
32
d)
14
32
e)
16
38
f)
90
242
g)
44
48
h)
480
210
i)
240
210
j)
36
180
k)
62
108
32. Encuentra dos fracciones equivalentes a
como denominadores 35 y 49.
l)
35
75
64
112
e)
5
1
+
6
12
i)
5
7
–6+
3
6
j)
7
5
7
–
+
9
4
12
37. Opera y expresa las fracciones impropias que resulten
en forma de número mixto:
a)
6
2
2
–
+
7
14
21
d)
3
1
+1–
17
17
b)
5
1
–
+2
6
18
e)
2
2
1
+
–
5
15
3
f)
2
2
2
+
+
9
18
27
425
75
2
que tengan
7
1
2
2
17
c) 3 –
5
6
1 · Números racionales
38. Realiza las siguientes operaciones y, si es posible, simplifica el resultado:
42. Realiza las siguientes operaciones combinadas. Recuerda
la jerarquía de las operaciones:
a) 3 ·
2
9
e)
3
· 16
8
i)
25 2
·
3
5
a) 1 +
b) 5 ·
5
6
f)
16
· 14
7
j)
6 10
·
8 12
b)
c) 7 ·
2
3
g)
2 6
·
3 4
k)
4
21
d) 15 ·
h)
3 7
·
5 3
l)
7
30
·
16 21
6 10
·
5 12
e)
b) 5 ·
7
10
·
14 15
f) 4 +
c) 4 ·
12 32
·
16 10
g) 8 +
2
1
· 30 ·
3
15
(
1
6
–
3
4
(
1
25
·
5
2
(
h) 7 +
)
b)
)
):
23
3
(
1
5
):
3
10
: 13
f) 5 +
c) 7
: 212
g)
6
5
(
1
5
h)
16
3
):
3
10
: 283
4
7
b) 1
:
101
100
210
c)
56
d)
2
5
:
: 27
30
4
7
4
+5
2
2
f)
7
–1
4
:
2
12
: 2 + (3 + 14 )
: 1 + 5 : 13
): (
(
d) 5 +
1
4
5 − 1 + 2 − 1
 6 2  3 2
1 1 1 
b)  −  −  + 2
18 36 12 
2 3 
c) 8 +  − 
5 10
2
9
: 46
3 + 1  : 5
8 10 20
5 3
+ − 11
b) 7 6
1−
7
a)
: 12
10
: (9 · 18 )
:
45
f)
48
7
g)
6
h)
9
8
:3
2
15
: 20
25
i)
3
11
6
j)
18
95
k)
12
l)
4
19
1
3
1
– 1+
+
2
8
2
)
 + 1  −  1 − 1
 20 3 5
 1 2 1
e) 5 +  −  + 
 6   3 2
 45 60
f) 2 −  + 
50 75
d) 1
 4 − 1 :  22 + 1
 3 9  3 
 5  2 
d) 3 +  − 1 − 
 6  12
c)
46. Opera:
+ 31
a)
1
1−
3
1
e)
: 46 + 12 · 14
45. Opera y simplifica. Ten en cuenta la jerarquía de las
operaciones:
41. Opera y simplifica:
a)
e)
1
1
1
1
1
+
–
c)
–
5
10
15
2
3
a)
)
4
7
e) 6 +
d) 4 +
1
14
3
2
+
5
12
44. Realiza las siguientes operaciones con paréntesis:
3
15
·
5
19
(
5 12
·
6 15
b) 5
c)
− 71
a) 1 +
40. Realiza las siguientes divisiones y, si es posible, simplifica
el resultado:
a)
1
: 105
d)
43. Opera y simplifica. Recuerda que la jerarquía de las
operaciones es importante:
a) 2 ·
5
2
·
9 10
2 12
·
6
3
17 4
15
1
·
–
–
4
3
6
3
16 121
·
11
12
39. Opera y simplifica el resultado:
d) 18 ·
21
: 26
:
:
2
5
: 385
−
1
+
2
1
1
⋅ 11
+ 51
47. Opera las siguientes fracciones:
b)
a)
3
15
14
b) 1
1
−
−
1
4
3
− 21
− 61
20
7
⋅  − 21 + 41 ⋅ 65 : 51 ⋅ 32 + 5
1 − 2 1 + 1 ⋅ 1+ 7
  4   3
2 1
Y
Matemáticas
22
Y
ACTIVIDADES FINALES
d PROBLEMAS
1
48. En un instituto hay 630 estudiantes, de los cuales
3
son chicos. ¿Cuántas alumnas hay en el instituto?
49. Juan se tiene que examinar de 12 temas de Matemáticas. Si ha estudiado 3 temas, ¿qué porción del total de
temas le queda por estudiar?
50. De un depósito de agua con 1 200 l de capacidad se ha
consumido la sexta parte. ¿Cuántos litros quedan en el
depósito?
51. A un avión, con capacidad para transportar 150 viajeros, han subido 50 personas. ¿Qué fracción representa
el número de viajeros que han subido al avión sobre la
capacidad de transporte del mismo?
56. Un señor quiere comprar 15 l de cerveza, pero en la
tienda sólo tienen latas de
1
de litro. ¿Cuántas
3
latas necesita comprar para obtener los 15 l de cerveza?
57. En un partido de baloncesto Carmen marca
puntos, Ángela
1
de los
6
2
y el resto de jugadores los 5 puntos
3
restantes. ¿Cuántos puntos hicieron Carmen y Ángela?
¿Y el equipo completo?
58. Una barrica tiene 300 l de vino. Si extraemos primero
1
1
de su capacidad, luego
del resto y finalmente
3
2
sacamos 25 l, ¿cuántos litros quedan?
59. En una granja hay en total 36 animales, de los cuales
1
1
1
son ovejas,
son vacas y
son cerdos. ¿Cuántos
2
3
6
animales hay de cada clase?
60. Una bandeja de pasteles está constituida así:
mismos son de crema,
52. En una finca hay 1 800 árboles, de los cuáles
robles y
1
son
3
1
de los restantes son encinas. Si el resto de
6
árboles son alcornoques, ¿cuántos alcornoques hay?
53. Un señor posee 60 † para hacer la compra. Si gasta
1
en el mostrador de carne y de lo que le queda en el
2
de pescado, ¿cuánto le queda para comprar la fruta?
54. Un padre quiere repartir 120 † entre sus cuatro hijos:
Atanasio, Rafael, Isabel y José. Si le entrega
a Atanasio,
1
del total
2
1
2
de lo que queda a Rafael y del resto a
2
3
1
1
de chocolate y
de nata.
3
6
¿Cuántos pasteles hay de cada clase?
61. Un niño tiene 12 juguetes,
y
1
3
1
de los
6
1
de los cuales son coches
2
1
son muñecos. Si deja el resto de sus juguetes a sus
3
amigos, ¿cuántos juguetes prestó?, ¿ y cuántos tiene de
cada clase?
1
1
de los viajeros son jóvenes, de mediana
3
4
edad y el resto son personas mayores. ¿Cuántas personas
mayores viajan en el tren si en total son 60 viajeros?
62. En un tren
1
63. Calcula un número tal que su décima parte más
del
3
mismo sumen 91.
Isabel, ¿cuánto le queda a José?
55. Luisa quiere gastar 120 † de la siguiente forma:
ropa,
1
en
3
1
1
en libros y
en comida. ¿Cuánto ha gastado
6
4
en cada cosa? ¿Cuánto le sobra?
64. Un obrero emplea los
obra. Después usa los
2
de un saco de cemento en una
3
2
del resto en otra obra. Si al final le
9
sobran 4 kg, ¿cuántos kilos pesaba inicialmente el saco?
1 · Números racionales
65. Para recorrer los
2
de 500 km, tardamos 2 h y media.
5
69. La obra de un pintor se compone de 3 200 cuadros, de
los cuales
¿Cuál ha sido la velocidad media a la hora?
66. Un camión cisterna contiene
riormente, en un depósito recupera
los
2
del total. Tras vaciar
5
1
2
está en poder de su familia,
del resto
10
3
en el museo de la ciudad y el resto ha sido vendido a
particulares. Calcula el número de cuadros que tiene su
familia, los que hay en el museo de la ciudad y los que
han sido vendidos a particulares.
3
de su capacidad.
4
1
de su contenido. Poste3
Tras un accidente pierde
23
70. Un camión ha recorrido 620 km, lo que supone
5
de lo que le queda en un gasolinera le restan 120 l.
6
2
de
3
su trayecto. ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer?
¿Cuántos litros de gasóleo tenía el camión al principio?
67. Un señor compra un coche y le rebajan
1
de su valor.
5
¿Cuál era el precio inicial del coche si, finalmente, el señor pagó 12 000 ¤?
68. Tres piratas se reparten un botín. Al primero le toca la
quinta parte menos dos monedas, al segundo la tercera
parte de las monedas menos una. Finalmente, el último
pirata recibe 20 monedas. ¿Cuántas monedas reciben
los dos primeros piratas?
AUTOEVALUACIÓN
1. Expresa las fracciones siguientes como números mixtos:
a)
12
7
b)
15
9
c)
7
6
d)
3
2
e)
120
100
2. De las siguientes fracciones, indica cuál es la mayor:
2 6
1
a) ,
y
5 7
4
4 10
4 15
4
4
b)
·
+
·
+
·
5
9
5
9
5 18
4. Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos:
3
4
b) 7 +
1
3
c) 5 +
4
5
d) 12 +
6
7
5. Simplifica las siguientes expresiones y, si es posible, exprésalas
como números mixtos:
a)
7
14
b)
212
46
c)
48
210
d)
54
45
1
5
–2+
2
6
b)
10
14
+3–
13
39
8. Opera y simplifica:
3. Saca factor común en las siguientes expresiones:
a) 2 +
7. Opera y simplifica:
a)
2 3 2
6
b) – , ,
y
3 2 3
9
2 9
2 7
a)
·
–
·
3 4
3 2
6. Indica de qué tipo son las fracciones que aparecen en la pregunta 1.
e)
39
65
a)
6
5
: 12
25
b) 4 +
2 2
19 1
·
–
·
5 3
5
3
9. En una piscifactoría la mitad de las truchas son alevines y
1
del
3
resto está reservado para la cría. ¿Cuántas truchas se pueden
vender si hay 1 200 en total?
10. Un hortelano planta la tercera parte de su finca de tomates, la
séptima parte de lechugas y el resto de maíz. Si la finca es de
420 ha, calcula la cantidad de hectáreas que dedicó a cada producto.
Y
Matemáticas
24
Y
MATEMÁTICAS RECREATIVAS
Un número interesante
Consideremos el número N
Y así sucesivamente, si multiplicamos N por 36, 45, 54, 63,
= 12 345 679.
72, 81. Compruébalo. (Recuerda que puedes hacerlo con
Derive.)
Si multiplicamos el número dado por 9 una vez obtenemos:
9·N
= 111 111 111
Otro número original
= 142 857.
Es decir, obtenemos un número formado por nueve unos.
Consideremos el número N
Si multiplicamos el número por 9 dos veces, obtenemos:
Si sumamos las tres primeras cifras más las tres últimas
2·9·N
= 18 · N = 222 222 222
cifras, obtenemos todo nueves:
142
+ 857
999
Es decir, obtenemos un número formado por nueve doses.
Si multiplicamos el número por 9 tres veces, obtenemos:
3·9
= 27 · N = 333 333 333
Pero multiplicando este mismo número por 7, también
obtenemos todo nueves:
7·N
Es decir, obtenemos un número formado por nueve treses.
= 99 999
Las primeras fracciones
Las fracciones no son un invento actual. Ya eran conocidas por los antiguos egipcios. Para expresarlas se servían del
siguiente jeroglífico en forma de ojo:
Debajo de este símbolo colocaban el número correspondiente al denominador (marcas verticales para las unidades y el
1
1
símbolo para las decenas)
:
5
10
=
=
Como vemos, los egipcios, salvo tres excepciones, no conocían fracciones con numerador distinto a la unidad. Así que cualquier fracción se representaba como suma
de este tipo de fracciones. Así, por ejemplo
47
era representado como la suma
60
de las siguientes fracciones:
47
60
= 13 + 14 + 15 →
(Se lee de izquierda a derecha.)
Las fracciones que se representaban de manera distinta eran las siguientes:
1
2
→
2
3
→
3
4
→
OLIMPIADA MATEMÁTICA
1. Queremos extraer exactamente 3 l de agua de una fuente. Para ello contamos solamente con 2 botellas. Una es de 9 l, la otra
es de 5 l. ¿Cómo lo harías?
2. Queremos coger un tesoro que se encuentra en una isla rodeada por un foso lleno de cocodrilos. EL ancho del foso es el mismo
en todo su perímetro. Como ayuda tenemos dos maderos cuyo largo es exactamente el ancho del foso. ¿Podremos llegar al
tesoro?
1 · Números racionales
25
EN RESUMEN
LOS NÚMEROS RACIONALES
Tipos de fracciones
Propias
a
b
=
Impropias
Números mixtos
Fracciones equivalentes
a
c
a·d b·c
b
d
= =⇔
a·n
b·n
a
b
=
a
b
≠ ba ++ nn
= irreducible ⇔ MCD(a, b) = 1
Denominador común: mcm de los denominadores
a
b
± =
c
d
M
·a
b
± Md · c
M
siendo M el mcm de a y b
a c
·
b d
a
b
= ba ·· dc
: =
c
d
a·d
b·c
Sacar factor común:
Propiedad distributiva
1
a
c
e
+
·
b
d
f
2 = ba · dc + ba · ef
a c
a e
·
+
·
b d
b f
= ba · 1 dc + ef 2
AMPLÍA CON…
JUEGOS
ALGEBRAICOS
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/mate3m.htm
NOCIONES
ALGEBRAICAS
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/algebra1.htm
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/algebra2.htm
CRIPTOGRAMAS
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/criptogr.htm
Y