OBJETIVO: El estudiante comprenderá cómo se

MÓDULO 2: Segunda ley de Newton
Curso de: FÍSICA FUNDAMENTAL I (código 106004M)
UNIDAD 2: Predecir el movimiento (DINÁMICA)
MÓDULO 2: Segunda Ley de Newton
Carlos Uribe Gartner
[email protected]
Mayo 2011
El texto guía nos dice en la introducción del capítulo 4 que las cantidades cinemáticas junto con dos
conceptos nuevos, fuerza y masa, constituyen los principios de la dinámica. En el primer módulo
de la unidad hablamos ampliamente del primero, aunque todavía nos falta su definición cuantitativa.
Hemos partido para conceptualizarlo de la experiencia común y de la física intuitiva, en la cual está
presente esta noción aunque en su concepción aristotélica. En cambio, el concepto de masa no
forma parte por los de la estructura cognoscitiva de la gente. Por ello los estudiantes lo asimilan
equivocadamente a la noción de peso. No ayuda mucho definir la masa como la “medida de la
inercia de un cuerpo” o como la “cantidad de materia” que contiene. El mismo Newton en sus
Principia1, donde apareció por primera vez en imprenta este concepto, tuvo muchas dificultades con
él: lo definió cuantitativamente como el producto de la densidad por el volumen, ¡habiendo definido
densidad como el cociente entre masa y volumen!
El texto guía no lo hace mucho mejor. En la sección 4.1 introduce la magnitud fuerza como la
cantidad que describe “cuánto” o “qué tan fuerte” la fuerza empuja o tira. Sin más aclaraciones,
especifica su unidad de medida, el newton, difiriendo su definición precisa para la sección 4.3. En
esta define la masa como el cociente entre la fuerza y la aceleración, y de allí pasa a definir la
magnitud de 1 N como la fuerza que produce una cierta aceleración en una masa de 1 Kg. Es clara
la “circularidad” de esta definición (definir algo usando en la definición lo definido), aunque quizás
no sea tan evidente como la de Newton.
En este módulo se presenta una definición cuantitativa de masa que no depende ni de la noción de
densidad ni de la de fuerza, escapando a las dificultades lógicas de la “definición” newtoniana o de
la presentación habitual en los textos. No es tarea fácil, y por ello exigirá del estudiante un gran
esfuerzo de razonamiento. Una vez cuantificada la masa, se define cuantitativamente la magnitud
cantidad de movimiento, y a partir de ésta definimos por fin la fuerza (neta) como la razón de
cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo. Esta definición sería un simple cambio de
nombre, sin ofrecernos un conocimiento nuevo, si no fuera porque las leyes de la naturaleza nos
especifican de manera independiente esa magnitud para los diferentes tipos de interacciones
fundamentales, y además nos dicen cómo combinar la acción de estas interacciones para dar la
fuerza neta (principio de superposición de fuerzas). Por este motivo, el módulo culmina con una
vuelta a la ley de la gravedad de Newton (explicando hasta dónde es posible actualmente el extraño
hallazgo de Galileo, de que todos los cuerpos caen en el vacío –caída libre- con la misma
aceleración independientemente de su peso), además de estudiar el concepto de “marco de
referencia inercial” (junto con su opuesto, igualmente importante, “marco de referencia no
inercial”), el otro elemento esencial y central del sistema conceptual de la dinámica newtoniana,
junto con los conceptos de inercia (masa), interacción (fuerza) y aceleración.
OBJETIVO: El estudiante comprenderá cómo se cuantifican la masa y la fuerza,
culminando la adquisición del sistema conceptual de la dinámica newtoniana.
1
Se suele abreviar con esta palabra el título de la obra magna de Newton, Principia Mathematica Philosophia Naturalis,
“Principios matemáticos de la filosofía natural”, publicada por primera vez en 1687.
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Desarrollo del módulo
1. Estudie las partes restantes del material didáctico: La transformación en la explicación y la
comprensión del movimiento (en paralelo con La ley de la gravedad, un ejemplo de ley física).
Posteriormente estudie la segunda parte de la sección 4.2 (Marcos inerciales de referencia),
complementada con la lectura 1, Descripción del movimiento en un sistema de referencia no
inercial, y los problemas de estudio propuestos 1 al 3, inclusive (4 a 6 horas).
2. Discusión en clase (2 horas)
3. Exploración 3: SINTIENDO LA RELACIÓN ENTRE FUERZA Y MOVIMIENTO (Trabajo
independiente colaborativo: 2 horas)
4. Trabajo independiente: Secciones 4.3 a 4.6 del texto guía, problemas de estudio propuestos 5 al
7, y ejercicios del fin del capítulo (6 a 9 horas).
5. Discusión en clase (2 horas)
1. Guía de estudio del material indicado en el desarrollo del módulo, n.1
Tenga en cuenta las indicaciones dadas en la guía de estudio para los capítulos 1 y 2 del material dadas en el
módulo 1. Sin embargo, el capítulo 3 supone una competencia matemática que no se requería en los capítulos
anteriores (ver Nota didáctica, pág. 58 del material), y por eso requiere una mayor concentración y empeño.
Complemente el tratamiento dado a la ley de la gravedad de Newton repasando la lectura de Feynman. El
concepto de marco de referencia inercial (páginas 126 y 127 del texto guía) requiere una reflexión detenida;
es muy recomendable repasar la lectura 6 de la unidad 1 y la sección 3.5 (centrándose en lo conceptual). El
tratamiento del texto guía deja sin respuesta ciertas preguntas profundas que una mente crítica se hace. Por
ejemplo, el libro nos dice que la Tierra no es un marco plenamente inercial debido a la aceleración asociada
a su rotación (p.126), pero no nos dice si existe algún marco “plenamente inercial”. Para responder esta y
otras preguntas, la lectura 1 hace una discusión profunda del concepto de marco de referencia inercial y de la
física en las marcos de referencia no inerciales.
Lectura 1. Descripción del movimiento en un sistema de referencia no inercial
La segunda parte de la sección 4.2, titulada Marcos inerciales de referencia (cuya lectura es prerrequisito para
comprender este material, al igual que el capítulo 3 del material La transformación en la explicación…), nos
enseña lo que es un marco de referencia inercial (MRI). Este concepto es muy abstracto y novedoso, pero es
de importancia crucial en el sistema conceptual de la mecánica newtoniana, al igual que su contrario, el
concepto de marco de referencia no inercial (MRNI), por lo que es conveniente completar y profundizar el
tratamiento demasiado elemental que hace el texto guía.
¿Qué es, hablando con propiedad, un “marco de referencia inercial”?
Observe de nuevo la figura 4.8 (a), que se encuentra en la página 127 del texto guía. Recuerde que la niña
calza unos patines y el piso del vagón no tiene fricción. Por lo tanto, como bien explica el texto, la niña,
VISTA DESDE AFUERA (por un observador en reposo con respecto a la Tierra), permanece en reposo
respecto a la Tierra cuando el vagón acelera. Pero, ¡intente convencer de ello a la niña! Lo que ELLA ve y
vive es su propio movimiento hacia la parte de atrás del tren: ¡a menos que algo la frene, va a estrellarse
contra la pared del fondo! Es decir, en su marco de referencia, el único que le interesa, ha adquirido una
velocidad en sentido opuesto a la del tren y de su misma magnitud, y por consiguiente ha sufrido una
aceleración de la misma magnitud que la del tren pero en sentido opuesto. Ahora bien, recordemos (Unidad
1, módulo 3) que el movimiento es inherentemente relativo. No podemos decir, como parece sugerir el texto
guía, que lo que “en realidad” se mueve es el tren y la niña está “en reposo absoluto”. Lo único que tiene
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significado físico es el movimiento relativo, de un cuerpo respecto a otro. En la película FRAMES OF
REFERENCE (disponible en: http://www.archive.org/details/frames_of_reference) se nos muestra
espectacularmente y con un gran despliegue cinematográfico lo erróneo de nuestra intuición de que el
movimiento es absoluto, una propiedad en sí del objeto independiente de cualquier otro cuerpo. Por esta
razón, ninguno de los dos marcos de referencia en cuestión tiene privilegio. De hecho, ¡nunca podemos estar
seguros de que un marco de referencia es real y “plenamente” inercial!
La razón de ello es que, según la definición recogida en el texto, un marco de referencia es inercial si y sólo sí
una “partícula libre de interacciones” obedece en él la primera ley de Newton, es decir, si su velocidad
medida en ese marco permanece constante. Pero, ¿cómo sabemos con certeza que una partícula es libre? Una
primera respuesta es decir que una partícula es libre si no hay interacciones que obran sobre ella. Si todas las
interacciones fueran por contacto directo esta respuesta sería suficiente, pero también hay interacciones a
distancia, o mejor interacciones mediadas por un campo. No podemos estar seguros de que no actúe ninguna
fuerza sobre un cuerpo simplemente porque ningún otro cuerpo lo toque. La única manera de saber que en
un lugar determinado no hay ningún campo es que toda partícula situada en ese lugar se mueve a velocidad
constante. Pero ¿velocidad constante respecto a qué marco de referencia? Pues, ¡un marco de referencia
inercial! Así pues, es patente que estamos ante un círculo vicioso: necesitamos el concepto de partícula libre
para definir lógicamente el de MRI, pero a su vez este concepto depende del de partícula libre.
Sin embargo, la situación no es desesperada porque sabemos que la totalidad de las interacciones conocidas
satisfacen leyes según las cuales disminuyen rápidamente con la distancia entre los cuerpos en interacción.
Por ejemplo, vimos que la atracción gravitatoria decrece de manera inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia. La aceleración que causa la Tierra sobre un cuerpo no sostenido por el suelo es de 980 cm/s2,
pero la que causa el Sol sobre cualquier cuerpo situado a la misma distancia que la Tierra es sólo de 0,6 cm/s2
(ver unidad 1 módulo 2 al final, solución al ejercicio 3.32 b). La aceleración debida a la atracción de toda la
masa galáctica en la posición del Sol es del orden de 2x10-10 m/s2. La estrella más cercana al Sol está
separada de éste por unos 4x1016 m, lo cual supone que está acelerándose (debido a la atracción del Sol) a
razón de unos 7x10-14 m/s2. Pero debido a que esa estrella está sometida también a la atracción de otras
vecinas, estadísticamente estas interacciones se compensan. Podemos esperar entonces que las estrellas a
nuestro alrededor definen un sistema de referencia no acelerado dentro de una aproximación excelente. Por
tanto constituyen el MRI respecto al cual podemos definir la aceleración del MCU en torno al eje de rotación
terrestre, el movimiento en que se encuentra cualquier marco de referencia fijo a la Tierra; la magnitud de esta
aceleración en el Ecuador (ver ejercicio 3.29), es 3,43 cm/s2.
El marco de referencia inercial patrón constituido por las estrellas (y en especial por la estrella Polar en el
hemisferio norte) se denomina “marco de referencia de las estrellas fijas”2. Es respecto a este marco, o
cualquier otro marco de referencia que se mueva respecto a él con velocidad uniforme, que son válidas,
estrictamente hablando, las leyes de Newton (en cuanto descripción del movimiento de los cuerpos
macroscópicos). De hecho, hay importantes fenómenos que ponen en evidencia la aceleración de un MRNI, y
específicamente la terrestre (distintos a la rotación aparente de las estrellas fijas en torno al polo norte celeste,
que puede interpretarse geocéntricamente como se hacía en la Cosmología aristotélica). El más evidente es la
variación de la aceleración de la gravedad con la latitud geográfica3. Al final de la lectura se mencionarán
otros de estos fenómenos, los que están relacionados con las llamadas “fuerzas de Coriolis”, de gran
2
El adjetivo „fijas‟ es una reliquia de la cosmología aristotélica. La última de las esferas celestes se llamaba “esfera de las
estrellas fijas”, porque las estrellas situadas en ella no cambiaban de posición, al contraste con las estrellas situadas en las
esferas interiores, que ahora sabemos son los Planetas de nuestro sistema solar. Pero actualmente sabemos que ninguna
estrella o galaxia está fija: ¡todo está en movimiento respecto a casi todo lo demás! Por tanto, no tiene sentido decir,
como hace el texto en la leyenda de la figura 4.8, que algo está en reposo, sin especificar el observador, el cual a su vez
puede estar moviéndose respecto a otro observador, y así indefinidamente. Para salir de este laberinto (lo que los lógicos
llaman una “regresión al infinito”) tenemos que considerar el concepto de reposo como uno de los conceptos básicos no
definibles de la mecánica: el observador se ha de considerar a sí mismo en tal condición a fin de poder describir sin
ambigüedad el movimiento de los otros cuerpos.
3
Mientras en el Ecuador es aprox. 9,78 m/s2, en los Polos es 9,83 m/s2. Como veremos, el defecto de gravedad en el
Ecuador, es debido en parte a la “fuerza centrífuga” actuando sobre cualquier objeto (que es máxima en esa latitud, igual a
3,43 cm/s2, como acabamos de ver, y se anula a la máxima latitud). Pero también es debido al aplanamiento de la Tierra
en los Polos (el cual también responde a la fuerza centrífuga actuando sobre la materia que la forma).
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importancia en Meteorología, Oceanografía y la navegación aérea. Sin embargo, para la gran mayoría de los
problemas prácticos, cualquier marco de referencia fijo a la Tierra puede considerarse como un MRI, puesto
que su aceleración es pequeña en comparación con las aceleraciones típicas en las aplicaciones de la física.
Fuerzas inerciales
Es perfectamente posible estipular que sólo es admisible usar el MRI de las estrellas fijas o sus
aproximaciones, como hace la mayoría de los autores de textos universitarios elementales como el nuestro,
por razones didácticas. Pero también es posible, y para muchas aplicaciones es muy conveniente, ampliar el
concepto de fuerza y de relatividad del movimiento, de modo que las leyes de Newton sean aplicables en
cualquier marco de referencia, y no sólo en los inerciales. Ya sabemos que nuestra descripción de los
fenómenos es diferente en diferentes marcos de referencia. Hasta el momento estas diferencias se referían
únicamente a las magnitudes cinemáticas: en un tren tenemos rapidez cero respecto a los demás pasajeros,
pero una rapidez considerable respecto a la Tierra. Lo mismo ocurre con las fuerzas. Volvamos a nuestra
patinadora de la figura 4.8. Las fuerzas medidas por los pasajeros dentro del tren son diferentes a las que
mide el físico situado en un laboratorio terrestre. La fuerza que ellos “sienten” (también fisiológicamente)
cuando el tren se acelera, y que tira de la niña hacia el fondo si nada la sostiene, para ella es tan real como la
fuerza de la gravedad que la haría caer si no estuviera soportada. Así pues, la niña sufre una fuerza en
dirección hacia el fondo del vagón. ¿Qué magnitud tiene esta fuerza? Apliquemos la segunda ley de Newton,
en su forma clásica (Fuerza neta = masa x aceleración). La aceleración ⃗ de la niña medida por los
pasajeros, si ella permanece en reposo respecto al observador en tierra, es el vector ⃗ , (siendo ⃗ la
aceleración del vagón medida por este observador). Sea m la masa de la niña. Luego, el valor de la fuerza
⃗ ejercida sobre la niña y que la tira hacia atrás, según es medida por los pasajeros (y también sentida por
ellos), es ⃗ = m ⃗ =  ⃗ . El nombre con el que se conoce esta “fuerza”, medida en el MRNI del tren, es
“fuerza de inercia”, por razones que en seguida discutimos.
Identifique situaciones cotidianas en las que Usted haya experimentado fuerzas de
inercia.
******
Si Usted ha comprendido la lectura hasta este punto, es casi seguro que Usted identificó la fuerza de inercia
presente en un bus que frena o acelera bruscamente. ¿Identificó también la fuerza de inercia que lo tira hacia
la derecha cuando el bus toma una curva hacia la izquierda a una alta rapidez? Lo que hace tan populares las
montañas rusas son las altísimas fuerzas de inercia verticales que se producen en una curva vertical (¿en qué
se diferencia la fuerza de inercia en una curva vertical cóncava –una “cima”- de una fuerza de inercia en una
curva vertical convexa –una “sima”?).
¿Por qué llamar a estas fuerzas, “fuerzas de inercia”? Porque, si se analiza el fenómeno desde un MRI, el
“movimiento” que causan (visto en el MRNI) es simplemente la continuación inercial de un movimiento que
ya se venía realizando (si se considera el reposo como equivalente al movimiento, algo que ya sabemos es uno
de los principios fundamentales que separan la física de los físicos de la física intuitiva). El hecho de que un
cuerpo persevere en su estado de movimiento no requiere una fuerza, sino al contrario (la fuerza es lo que
cambia el estado de movimiento), por lo cual en el MRI no existe la fuerza de inercia. Los efectos que el
observador no inercial atribuye a esta se pueden explicar, en la perspectiva del observador inercial, como
efectos de la inercia. Revise ahora cuidadosamente, a la luz de lo dicho hasta ahora, la explicación del libro
respecto a la figura 4.8 en las tres situaciones representadas, e intente ver alternativamente las cosas como las
vería un pasajero en el tren. De esta manera llegará a ver que tiene sentido el concepto de una fuerza que
existe para un observador y no existe para otro. Por esta razón otros autores usan el término „fuerzas ficticias‟
para referirse a las fuerzas inerciales; esta convención didácticamente no parece muy apropiada, pues para los
pasajeros del tren esas “fuerzas ficticias” pueden tener efectos que no son de ninguna manera ficticios. Sin
embargo, el calificativo de „ficticias‟ responde al hecho de que las fuerzas inerciales no describen
interacciones del cuerpo con otros cuerpos. Por la misma razón, ¡no obedecen la tercera ley de Newton!: no
existe una fuerza de la misma magnitud y de sentido opuesto a una fuerza de inercia que se ejerza sobre un
segundo cuerpo.
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Generalicemos matemáticamente la noción de fuerza inercial utilizando la transformación de Galileo de la
velocidad (figura 3.34 y ecuación 3.36) y la segunda ley de Newton (ecuación 4.7). Recordemos la notación:
P es el objeto estudiado, A y B dos observadores en movimiento traslacional uno respecto al otro, siendo ⃗ B/A
la velocidad de B medida por A. La velocidad de P medida por A está relacionada con su velocidad medida
por B mediante la ecuación:
⃗ P/A = ⃗ P/B + ⃗ B/A
(1)4
Derivando (1) respecto al tiempo término a término, obtenemos la relación entre la aceleración de P según es
medida por cada observador, y la aceleración de B respecto a A:
⃗ P/A = ⃗ P/B + ⃗ B/A
(2)
Sea A un observador inercial. Si ⃗ B/A es cero, B será también un observador inercial. La ecuación (2) nos
dice entonces que la aceleración de un cuerpo es la misma para todos los observadores inerciales, sin que
importe su velocidad. Si ⃗ B/A es distinta de cero, B será un observador no inercial, como supondremos en
adelante, y la aceleración de P respecto a B estará dada por ⃗ P/B = ⃗ P/A  ⃗ B/A = ⃗ P/A + ⃗ A/B.
Sea Σ⃗ i la fuerza neta que actúa sobre P, la resultante de las fuerzas debidas a interacciones con otros cuerpos
tal como son medidas por A. Como A es un observador inercial, para él son válidas las leyes de Newton; por
esta razón Σ⃗ está relacionada con ⃗ P/A por la segunda ley:
Σ⃗ = mP ⃗ P/A (siendo mP la masa de P)
(3)
A velocidades pequeñas con respecto a la velocidad de la luz, la magnitud y dirección de las fuerzas ⃗ i no
depende del marco de referencia, que puede ser inercial o no inercial. En consecuencia, B mide la misma
fuerza neta debida a las interacciones que A. Substituyendo (2) en (3) obtenemos:
Σ⃗ = mP (⃗ P/B + ⃗ B/A)
(4)
Si B insiste en usar la segunda ley de Newton a sabiendas de que no es un observador inercial, deberá
escribirla de la siguiente manera para tener en cuenta la posibilidad de que en su SRNI aparezca una fuerza
inercial adicional ⃗ inercial (es decir, no debida a las interacciones en las que participa P):
Σ⃗ + ⃗ inercial = mP ⃗ P/B
(5)
Si resto la ecuación (4) de la (5), obtengo la expresión buscada para la fuerza de inercia:
⃗ inercial =  mP ⃗ B/A
(6)
El hecho de que las fuerzas de inercia sean siempre proporcionales a la masa del cuerpo es otra justificación
de su nombre.
La fuerza de inercia se denomina “fuerza centrífuga” en el caso en que el observador no inercial B esté en
MCU en torno a A (por ejemplo, B puede ser el conductor
del auto, que está tomando una curva y A un observador
inercial en reposo en el centro de la curva). En este caso
A
⃗ B/A
B
𝒂
sabemos de la unidad 1, módulo 2, que ⃗ B/A es un vector
que va desde B hacia A siempre perpendicular a la
trayectoria circular que sigue B. Por lo tanto, en el marco
de referencia fijo al auto hay una fuerza inercial que tiende
a arrojar hacia afuera de la curva a los pasajeros, teniendo
en cuenta el signo negativo en (6).
La fuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra tiene un efecto similar, disminuyendo el peso de los
cuerpos. Sin embargo, debido a la forma esférica de la tierra, el efecto depende de la latitud geográfica. La
figura muestra un punto A sobre la superficie de la Tierra a una latitud  (el ángulo que el radio r = CA forma
4
La ecuación (1) es válida sólo si los ejes coordenados de B mantienen constante su orientación en el espacio. Cuando
los ejes de B rotan, la relación entre las velocidades y las aceleraciones de P medidas por A y B son más complejas.
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con el radio CD situado en el ecuador). Cuando la tierra gira alrededor del eje
NS, el punto A describe un círculo de centro B y radio R=AB tal que R=r cos
. La aceleración centrípeta del punto A está dirigida hacia B y tiene
magnitud 2R = 2rcos =3,34 x 10-2 cos  m/s2. Por tanto la fuerza de
inercia está dirigida desde B hacia A. Al ser sumada vectorialmente al peso
(ecuación 5) produce una pequeña desviación de la vertical (la dirección de la
plomada) respecto a la dirección radial hacia el centro de la Tierra CA. Vemos
en la figura que en el hemisferio norte la plomada se desvía hacia el sur y en el
hemisferio sur hacia el norte. La componente de la fuerza centrífuga en la
dirección radial CA, m2rcos2, es la disminución del peso del cuerpo medido
en el marco de referencia terrestre. Dividiendo por la masa se obtiene el valor
efectivo de la gravedad, go  2rcos2 (siendo go la gravedad en ausencia de
rotación terrestre).
¿Cómo sabemos que es la Tierra la que gira alrededor de su eje y no las
estrellas las que giran alrededor de la Tierra?
Estamos ya en condiciones de responder la pregunta que nos hicimos al comienzo del curso, y cuya
investigación desencadenó la revolución científica de los siglos XVI y XVII que dio nacimiento a la física que
conocemos actualmente. La propuesta tan radical de Copérnico suscitó, como era de esperarse teniendo en
cuenta los conocimientos de entonces, gran resistencia entre los entendidos, en su casi totalidad partidarios el
del sistema de Ptolomeo5. El conflicto entre la ciencia antigua bien establecida y la ciencia nueva naciente
llegó a su culmen en el famoso “caso Galileo”. La complejidad de este episodio ha dado lugar a una gran
cantidad de investigación histórica, que ha permitido despejar los mitos que se han formado al respecto. Su
pretensión de haber “probado” la rotación de la Tierra con su teoría sobre las mareas (explicándolas como
resultado de la conjunción de la rotación diaria del planeta con su movimiento de traslación alrededor del sol),
teoría que no resistía la crítica de los especialistas, tuvo mucho que ver en el desenlace. En la moderna
concepción relativista, a la que Galileo contribuyó decisivamente (para eliminar la objeción de sentido común
al movimiento de la Tierra, de que la vemos en reposo), Copérnico y Ptolomeo diferían apenas en la elección
del marco de referencia utilizado para describir los movimientos observados. Francis Bacon escribió a
principios del siglo XVII: “Ahora es fácil ver que tanto los partidarios de una Tierra que gira, como
aquellos que defendían el primum mobile y el antiguo esquema, están casi igual e indiferentemente apoyados
por los fenómenos.” (citado por Holton y Brush, op. cit., p.43).
La rotación de la Tierra fue evidenciada experimentalmente por primera vez por el físico francés Jean Leon
Foucault en 1851. Inventó un péndulo, una masa colgante de un hilo, cuya sujeción al techo permitía girar al
extremo superior del hilo con libertad en cualquier dirección. La longitud del hilo era de unos 67 m, y la
masa suspendida era de 28 kg. Alrededor del punto del suelo directamente debajo del punto de suspensión se
amontonó arena formando un círculo de unos 3 m de radio. Durante cada oscilación, una aguja situada en la
esfera barría la arena, dejando marcada la dirección de oscilación. Se observó que el plano de oscilación
rotaba a razón de 11°15‟ cada hora.
¿Por qué gira el plano del péndulo? Analicemos el experimento
cuando se realiza en el polo Norte, poniendo el punto de suspensión
exactamente encima del mismo. Cuando la amplitud de las
oscilaciones es pequeña, podemos suponer que el movimiento de la
esfera es a lo largo de una trayectoria horizontal. Si el péndulo
inicialmente oscilara en la dirección este-oeste y fuera liberado en A
(ver figura), continuaría oscilando entre A y B si la Tierra no
estuviera rotando. Pero a causa de la rotación de la Tierra en sentido
contrario a las agujas del reloj cuando se ve por encima del polo
Norte desde el marco de referencia inercial de las estrellas fija, la
5
Véase Holton, G., y Brush, S., Introducción a los conceptos y teorías de las ciencias físicas (Barcelona, Ed. Reverté,
1989). La sección 2.4 (p.41 a 44) resume
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trayectoria del péndulo en el marco de referencia no inercial pegado a la Tierra se desvía continuamente hacia
la derecha. El movimiento observado en aquel marco sería oscilatorio en el plano fijo en el espacio EW,
mientras la Tierra giraría bajo el péndulo dando una vuelta cada 24 horas. Así, durante la primera oscilación
la Tierra gira llevando el punto B‟ hasta el punto B. Pero para un observador terrestre el movimiento de la
esfera habrá seguido la trayectoria curva AB‟. A su regreso llega a A‟ y no a A. Luego, en oscilaciones
completas sucesivas llega a A‟‟, A‟‟‟, etc. Lo que ve el experimentador es una rotación del plano de
oscilación en sentido horario, dando una vuelta. El efecto ha sido muy exagerado en la figura por claridad. A
latitudes más bajas la situación es más difícil de analizar. Se puede mostrar que el tiempo T para dar una
vuelta completa a la latitud  está dado por T= 24 horas / sen . En el Ecuador =0 y el tiempo es infinito.
En el marco no inercial fijo a la Tierra, se atribuye la desviación de la trayectoria del péndulo de Foucault a
una fuerza inercial denominada “fuerza de Coriolis”, descubierta por el físico francés Gaspard-Gustave
Coriolis (1792–1843). En el hemisferio norte ésta desvía hacia la derecha un móvil que se desplaza
horizontalmente, mientras en el hemisferio sur lo hace hacia la izquierda.
Repita el análisis del péndulo de Foucault colocado en el Polo Sur, para mostrar que la
rotación del plano de oscilación es en la dirección opuesta a la del hemisferio norte.
El efecto de la fuerza de Coriolis sobre el movimiento de las masas de aire es mucho más pronunciado,
haciendo que en los huracanes del hemisferio norte el viento gire en sentido antihorario y en los del
hemisferio sur en sentido horario. Si se desarrolla un centro de baja presión en la atmósfera, el viento fluirá
hacia el centro. Sin embargo, la fuerza de Coriolis desvía las moléculas del aire hacia la derecha (en el
hemisferio norte), dando por resultado el movimiento que se observa en la figura.
El efecto de la fuerza de Coriolis es diferente para los cuerpos en movimiento vertical. En este caso la
deflexión de la trayectoria es siempre hacia el este, tanto en el hemisferio norte como en el sur. La magnitud
de ambos efectos, la deflexión horizontal y la vertical, dependen de la velocidad del móvil y la rapidez
angular de la tierra, así como de la latitud geográfica. El estudiante interesado en las correspondientes
relaciones matemáticas puede consultar la Física de Alonso y Finn, capítulo 6 (de donde se tomaron las
figuras).
Preguntas de comprensión
1.
Calcule la pendiente y el intercepto de la recta que representa los datos de la tabla 1 a partir de la gráfica
e interprete lo que significa cada cantidad en el contexto de la situación experimental a la que se refiere.
2.
En la ecuación (2), primero aparece el símbolo de “igualdad” (=) y luego el símbolo de “identidad” ().
Esto significa que esta ecuación resume en realidad dos proposiciones o enunciados declarativos.
¿Cuáles son estos enunciados (en otras palabras, diga explícitamente la información contenida en esta
ecuación)?
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3.
Lo que los experimentos de choques sin fricción o la balanza nos permiten medir es la “masa relativa”
de los objetos que chocan o cuyo peso se compara. ¿Qué significa la expresión „masa relativa‟?
Explique cómo se pasa de la masa relativa a la “masa absoluta”, o simplemente “masa”.
4.
Al final de la página 62 se define implícitamente el concepto de “sistema físico”. Construya una
definición explícita de este concepto.
5.
Los experimentos de choque y todos los demás experimentos en los que se miden las velocidades
iniciales y finales de los cuerpos en interacción o que forman un sistema físico nos muestran que la
cantidad ∑ ⃗ no cambia durante el trascurso del tiempo, siendo ⃗
, el producto de la masa del
móvil por su vector velocidad ¿Por qué se asimila este producto con el análogo newtoniano del ímpetus
(ver capítulo 1), es decir, con la cantidad de movimiento?
6.
¿Por qué es necesario conocer la posición y velocidad del cuerpo para un cierto instante dado para
calcular el movimiento del cuerpo a partir de las leyes de fuerza que describen las interacciones a las que
está sometido y la ecuación de movimiento?
7.
¿Por qué se dice en la página 69 que es impropio hablar del peso de los objetos de tamaño similar al
nuestro? (dé ejemplos numéricos que ilustren el hecho de que un objeto determinado puede cambiar “su”
peso)
8.
Resuma los elementos esenciales de la explicación de la ley de caída libre y sus conexiones mediante un
“mapa conceptual” como los presentados en la autoevaluación de la unidad 1.
9.
Localice en la lectura de Feynman los enunciados de la primera y segunda leyes del movimiento de
Newton y compárelos con los dados en el material.
10. Feynman no diferencia explícitamente entre masa gravitacional y masa inercial, pero señala que los
experimentos de Eötvös y de Dicke (ver p.33) demostraron con una inmensa precisión que la fuerza de
gravedad es exactamente proporcional a la masa. ¿Se puede decir entonces que lo que estos
experimentos mostraron fue la proporcionalidad entre la masa gravitacional y la inercial?
11. Considere la siguiente afirmación: La primera ley del movimiento establece la condición necesaria
para que haya aceleración, y la segunda establece una condición suficiente. ¿Es cierta? En caso de
serlo elabore o amplíe la afirmación, y en caso de no serlo corríjala.
12. De otros ejemplos de marcos de referencia no inerciales distintos a los del texto guía.
13. Complete la tabla siguiente, que compara los marcos de referencia inerciales y no inerciales (explicando
cada fila)
Marcos inerciales
Marcos de referencia no inerciales
En ellos se satisfacen las leyes de Newton
Se observan movimientos no causados por
interacciones identificables, que se atribuyen a
fuerzas llamadas _________
El observador tiene __________ no nula respecto a
un marco de referencia inercial
3. EXPLORACIÓN 1: “Sintiendo” la relación entre fuerza y movimiento
Objetivo: Comprender experiencialmente la relación entre la fuerza aplicada a un cuerpo, su masa y el
movimiento resultante usando un recurso didáctico informático (simulación)
Materiales:
 Computador con acceso a Internet, Java y Excel
 Simulación “Fuerzas en una dimensión”, disponible en:
http://phet.colorado.edu/sims/forces-1d/forces-1d_es_CO.jnlp )
UNIDAD 2: Predecir el movimiento (DINÁMICA)
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MÓDULO 2: Segunda ley de Newton
Procedimiento:
1. Cargue la simulación y familiarícese con los controles interactivos en una exploración libre de las
diversas funciones. Efectúe diversas corridas fijando el valor de la fuerza en valores arbitrarios.
2. Fije los controles del panel derecho como aparece en la figura 1 (Sin fricción, Cuerpo: nevera,
Posición inicial 0)
3. Intente reproducir la gráfica que aparece en la figura 1. Haga hipótesis sobre el comportamiento de
la velocidad y la aceleración del móvil a partir de la gráfica de posición.
4. Verifique sus hipótesis desplegando los gráficos de velocidad y aceleración.
5. Varíe ordenada y sistemáticamente las variables masa y fuerza aplicada, a fin de hallar un modelo
empírico del fenómeno en el que se describa el efecto de esas variables en la “variable de salida”
movimiento del sistema (a su vez descrito mediante la aceleración).
6. Compare su modelo empírico con el modelo teórico.
Figura 1
4. Guía de estudio, secciones 4.3 a 4.6 del texto guía
Concéntrese especialmente en la información sobre cómo aplicar las leyes de Newton en situaciones
específicas (en especial la contenida en los ejemplos), aunque no desdeñe la mayor comprensión que puede
lograr de la estructura conceptual de la dinámica en la exposición del texto principal. Ponga especialísima
atención a los párrafos de “Cuidado” de las páginas 132, 135, 137, 142 y 143. Estos párrafos son llamadas de
atención a malentendidos muy comunes, en los cuales se manifiesta el conflicto entre la “dinámica intuitiva”
(o del sentido común) y la dinámica newtoniana. También es importante que estudie con mucho detenimiento
los ejemplos conceptuales 4.8 a 4.11, y en general toda la sección 4.5, pues la tercera ley de Newton es uno de
los principios de la física newtoniana que suscitan mayor resistencia en el estudiante.
Preguntas de comprensión
1.
2.
3.
Resuelva todos los ejercicios Evalúe su comprensión al final de cada sección, y compare luego con la
solución ofrecida al final del capítulo. Igualmente, las preguntas para análisis P4.10, P4.12 a P4.16,
P4.20, P4.35, P4.40, P4.41. Es muy conveniente que Usted discuta las dudas que se le puedan
presentar con su grupo de estudio, dado que el libro no ofrece realimentación.
Indique y elabore los aspectos de la segunda ley de Newton, diferentes a los señalados en los
párrafos de “Cuidado”, que requieren atención especial. Esta pregunta no se refiere sólo a los
señalados explícitamente en el texto como tales, sino a cualquier dificultad de comprensión que
Usted encuentre en su estudio o al comparar su análisis de los ejemplos resueltos con el que ofrece el
texto o el profesor.
¿Es correcto decir que “sentimos el peso de un cuerpo cuando lo sostenemos con las manos”?
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Demuestre que la fuerza de soporte ejercida por el piso en el ejemplo 4.4, cuando la caja está en
reposo, tiene como dirección la vertical hacia arriba y como magnitud el peso de la caja.
Demuestre que, cuando la caja se pone en movimiento en el anterior ejemplo, la fuerza indicada en la
pregunta 3 no se modifica ni en magnitud ni en dirección.
Si el obrero de la figura 4.15 saca o pone baldosas en la caja, ¿qué sucede con la fuerza de soporte
ejercida por el piso? (haga una o varias hipótesis explicativas del comportamiento de esta fuerza).
Identifique, describa y compare por lo menos cuatro (4) métodos de medición de la masa. ¿Cómo
sabemos que estos métodos miden en realidad la misma propiedad?
Repita el ejemplo conceptual 4.6 para las siguientes situaciones: (a) la moneda se arroja
verticalmente hacia arriba (cuando todavía va subiendo, en el punto más alto y cuando baja); (b) la
moneda se lanza con una velocidad inicial horizontal (al poco tiempo de ser lanzada, en la mitad de
su trayectoria, y cuando está a punto de llegar al suelo).
Analice la estructura gramatical del enunciado del ejemplo 4.7. ¿Qué significa precisamente la frase
“Un Lincoln Town Car de 1,96 x 104 N”?
Analice la afirmación: La aceleración de un cuerpo expresada como múltiplo de g es
necesariamente igual a la razón entre la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y su peso.
En la página 138, tras el enunciado verbal de la tercera ley del movimiento de Newton se lee: «En
este enunciado, „acción‟ y „reacción‟ son las dos fuerzas opuestas, y podemos llamarlas par acciónreacción. Esto no implica una relación de causa y efecto; podemos considerar cualquiera de las dos
fuerzas como la „acción‟ y la otra la „reacción‟.» Esta “equivalencia causal” del par de fuerzas que
describe el efecto de la interacción sobre los dos cuerpos interactuantes es evidente en el caso de la
interacción gravitatoria, pero no así en el caso de la interacción entre el obrero de la figura 4.23 y la
Tierra. Pues es el obrero quien determina con cuánta fuerza empuja contra el piso, y no al revés. Tal
fuerza, que es ejercida piso, tiene un origen “activo”, en la contracción muscular voluntaria del
obrero; el piso “en reacción” ejerce una fuerza sobre el obrero. ¿Cuál es la magnitud y dirección de
esta “fuerza reactiva”?
El concepto de “estado de tensión” es crucial para muchas aplicaciones de la dinámica en la que
figuran cuerdas o cadenas. Uno de los hechos fundamentales de la dinámica de las cuerdas es que la
fuerza neta aplicada a una cuerda que está a la vez en estado de tensión y de equilibrio es cero, a
pesar de que exista una “fuerza de tensión” en su interior. Explique esta aparente paradoja.
Cuestione el razonamiento del texto que lleva a concluir que “también si la cuerda está acelerando
pero tiene masa insignificante (…) la cuerda transmite al bloque, sin cambio, la fuerza que la
persona ejerce sobre la cuerda” (p.141) “
¿A qué se refiere exactamente el adjetivo „libre‟ en el término “Diagrama de cuerpo libre” (ver
sección 4.6)?
Resuelva el ejercicio 4.20
Problemas de estudio propuestos
1.
2.
3.
4.
Muestre que la ecuación (2) es equivalente a la tercera ley del movimiento de Newton (usando la
definición de la fuerza neta como la razón de cambio de la cantidad de movimiento).
La ecuación (6) define la “Fuerza media neta” sobre un cuerpo para un intervalo de tiempo. Obtenga una
relación entre la “Fuerza (instantánea) neta” sobre el cuerpo en un instante dado, y la cantidad de
movimiento como función del tiempo.
Usando el valor de G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 determinado experimentalmente por Cavendish en el
experimento descrito por Feynman (págs. 31-32), junto con el valor de g (medido por primera vez por el
sabio holandés Christiaan Huygens) y el valor del radio de la Tierra (6,38x106 m), conocido desde la
antigüedad, calcule la masa de la Tierra 6.
Imaginen que ustedes inventan un arnés para una hormiga, que le permite intentar jalar un gran bloque
de hielo muchísimo más pesado que ella, el cual reposa sobre un piso horizontal. Supongamos que no
existe ninguna fricción entre el bloque de hielo y el piso, aunque sí existe entre éste y las patas de la
hormiga. ¿Qué magnitud tiene la mínima fuerza que impartiría al menos alguna aceleración al bloque?
6
En realidad este fue el método por el que Cavendish midió la masa de la tierra. Por razones didácticas en el material se
asumió un valor conocida de la masa de la tierra y se calculó g.
UNIDAD 2: Predecir el movimiento (DINÁMICA)
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MÓDULO 2: Segunda ley de Newton
5.
(Pregunta P4.31) Si preguntamos qué fuerza hace que un auto acelere hacia adelante, la mayoría de la
gente contesta: “la fuerza del motor”. Sin embargo, ¿qué fuerza es directamente responsable de la
aceleración del auto?
6. (Pregunta P4.34) En la luna, g = 1,62 m/s2. Si un tabique de 2 kg cae
sobre su pie desde una altura de 2 m, ¿le dolerá más, menos o lo mismo en
la Luna que en la Tierra ?. Si se lanza el mismo tabique y lo golpea a
Usted moviéndose horizontalmente a 6 m/s, ¿le dolerá más, menos o lo
mismo en la Luna que en la Tierra ?
7. (Problema 4.33) Dos adultos y un niño quieren empujar un carrito en la
dirección X de la figura 4.29. Los adultos empujan con fuerzas
horizontales ⃗ y ⃗ como se muestra en la figura. a) Calcule la magnitud
y dirección de la fuerza más pequeña que el niño deberá ejercer. Se
pueden despreciar los efectos de la fricción. b) Si el niño ejerce la fuerza
mínima calculada en a), el carrito acelera a 2,0 m/s2 en la dirección X.
¿Cuánto pesa el carrito?
8. (Adaptado del problema 4.42) Una nave espacial desciende verticalmente cerca de la superficie del
Planeta X. Un empuje hacia arriba de 25,0 kN, producido por los motores, la frena a razón de 1,20 m/s2,
pero la nave aumenta su rapidez a razón de 0,80 m/s2 si el empuje es de 10,0 kN. a) En cada caso, ¿qué
dirección tiene la aceleración de la nave? b) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la nave. En cada
caso, aumentando o disminuyendo su rapidez, ¿qué dirección tiene la fuerza neta sobre la nave? c)
Aplique la segunda ley de Newton a cada caso para averiguar el peso de la nave cerca de la superficie
del planeta X. d) Los astronautas suponen hipotéticamente que la densidad promedio del planeta X es
igual a la de la Tierra , teniendo en cuenta su apariencia y toda la información disponible. Estime con
base en esta suposición el radio y la masa del planeta X.
9. (Problema 4.46). Un hombre de 75,0 kg se tira desde una plataforma situada 3,10 m sobre el suelo.
Mantiene las piernas rectas al caer pero, al tocar el piso, dobla las rodillas y, tratado como partícula,
avanza 0,60 m más antes de parar. a) ¿Qué rapidez tiene al tocar el suelo? b) Tratándolo como partícula,
¿con que aceleración (magnitud y dirección) se frena, si la aceleración se supone constante? c) Dibuje su
diagrama de cuerpo libre. En términos de las fuerzas del diagrama, ¿qué fuerza neta actúa sobre él? Use
las leyes de Newton y los resultados de la parte b) para calcular la fuerza media que sus pies ejercen
sobre el piso al amortiguar la caída. Exprese la fuerza en N y como múltiplo de su peso.
10. (Adaptado del problema 4.50) Un pesista de
vy
masa 90 kg, está levantando una barra de peso
490 N. La gráfica muestra la componente Y de
Cada división de
la velocidad vertical respecto al suelo que el
escala en el eje
atleta imprime a las pesas, en función del
horizontal equivale a
tiempo. Grafique la magnitud de la fuerza
1/3 s y en el vertical a
ejercida por el pesista sobre el suelo en función
t
0,1 m/s.
del tiempo.
Ejercicios y Problemas sugeridos:
4.10, 4.13, 4.23, 4.30, 4.31, 4.35, 4.38, 4.40, 4.44, 4.47, 4.49, 4,53
UNIDAD 2: Predecir el movimiento (DINÁMICA)
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