Carta al estudiante

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
MA–710: Tópicos de Álgebra Superior
II Ciclo del 2015
Carta al estudiante
La teoría de representaciones estudia la simetría mediante aplicaciones lineales. Tradicionalmente, se esconde en otras disciplinas: se habla de representaciones de grupos, de álgebras
asociativas y de álgebras de Lie. El enfoque moderno subsume estos temas en un esquema global.
La estructura unificador es la del álgebra asociativa: dado un cuerpo de escalares F, cada grupo
finito G genera un álgebra de grupo F[G]; y cada álgebra de Lie g se extiende a un álgebra U(g). Al
representar álgebras como transformaciones lineales de espacios F-vectoriales, se obtiene también
representaciones de grupos y de álgebras de Lie.
Este es un curso introductorio sobre representaciones: asume un conocimiento de grupos finitos
y buenas bases de álgebra lineal. El curso tendrá una página web, al cual se puede acceder por el
enlace hhttp://163.178.101.243/claroline/claroline/course/index.php?cid=MA0729i. (La
sigla ‘729’ es ficticia, para dejar lugar a otros cursos optativos con sigla ‘710’.) Los materiales del
curso (apuntes, tareas, exámenes) serán colocados en esta página.
Programa
1
Álgebras asociativas
Álgebras sobre un cuerpo F. Representaciones irreducibles e indescomponibles, el lema de Schur.
Ejemplos: el álgebra F[G] de un grupo finito, el álgebra de caminos de un carcaj, las álgebras
tensorial, simétrica y exterior de un espacio vectorial. Álgebras de Lie y sus álgebras envolventes,
el teorema de Poincaré, Birkhoff y Witt. Representaciones irreducibles del álgebra de Lie sl(2, C).
2
Representaciones de álgebras
Representaciones semisimples, el teorema de densidad. Estructura de álgebras finitodimensionales.
Representaciones indescomponibles, el teorema de Krull y Schmidt.
3
Representaciones de grupos finitos
Semisimplicidad y el teorema de Maschke. Caracteres de un grupo, funciones de clase. Relaciones
de ortogonalidad de Schur. Tablas de caracteres. Representaciones inducidas, la reciprocidad de
Frobenius. Representaciones del grupo Sn , el teorema de Schur y Weyl, los diagramas de Young.
Polinomios simétricos, los polinomios de Schur, la fórmula de caracteres de Frobenius.
4
Álgebras de Lie semisimples
Elementos de Casimir, el teorema de reducibilidad completa. Subálgebras de Cartan y sistemas de
raíces. El grupo de Weyl de un álgebra de Lie semisimple. Ejemplos de sistemas de raíces. Las
álgebras de Lie simples clásicas (An , Bn , Cn y Dn ) y excepcionales (E6 , E7 , E8 , F4 y G2 ).
Evaluación
Habrá tres exámenes parciales, en las siguientes fechas, sujetas a confirmación por la Oficina del
Registro:
sábado 19 de setiembre;
sábado 24 de octubre;
jueves 3 de diciembre.
Cada examen valdrá un 33.3% de la nota final (N). Los estudiantes con N > 7, 0 aprobarán el
curso; los que tengan N < 6, 0 lo perderán; los que obtengan 6, 0 6 N < 7, 0 tendrán derecho a un
examen de ampliación. Esta prueba de ampliación se realizará el día miércoles 9 de diciembre.
Bibliografía
El temario sigue en parte las lecciones de Etingof: Introduction to Representation Theory. Otros
tratamientos unificadores son los libros de Fulton & Harris y de Zhelobenko. Algunos libros de
esta lista enfatizan las representaciones de grupos o álgebras de Lie, pero también ofrecen una
perspectiva global.
[1] Pavel Etingof et al, Introduction to Representation Theory, Student Mathematical Library
59: American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
[2] W. Fulton, Young Tableaux, London Mathematical Society Student Texts 35: Cambridge
University Press, 1997.
[3] W. Fulton & J. Harris, Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics
129: Springer, New York, 2004.
[4] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts
in Mathematics 9: Springer, New York, 1972.
[5] C. Procesi, Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations, Universitext:
Springer, New York, 2007.
[6] J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Graduate Texts in Mathematics 42:
Springer, New York, 1977.
[7] G. E. Shilov, Linear Algebra, Dover Books, Mineola, NY, 1977.
[8] B. Simon, Representations of Finite and Compact Groups, Graduate Studies in Mathematics
10: American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
[9] D. P. Zhelobenko, Principal Structures and Methods of Representation Theory, Translations
of Mathematical Monographs 228: American Mathematical Society, Providence, RI, 2006.
— Joseph C. Várilly