CÁLCULO DE TENSIONES EN LAS ESTRUCTURAS Se denomina

CÁLCULO DE TENSIONES EN LAS ESTRUCTURAS
Se denomina estructura a cualquier sistema de cuerpos unidos entre sí
que sea capaz de ejecer, soportar o transmitir esfuerzos.
Las estructuras están formadas por partes interconectadas entre sí
llamadas barras, las cuales se diseñan determinando las fuerzas y los pares
(momentos) que actúan sobre ellas. Las barras están unidas en sus extremos
por medio de articulaciones o nudos.
Por lo tanto, las barras son elementos sometidos a dos fuerzas, que son
iguales y opuestas y están dirigidas a lo largo de la barra.
Para que la capacidad resistente de una estructura se haga máxima, las
cargas externas se deben aplicar en los nudos, para evitar problemas de
flexión o pandeo.
Cada barra se puede considerar como un sólido sometido a dos cargas
equivalentes en sus extremos. Cuando estas fuerzas se alejan una de la otra la
barra está trabajando a tracción (T), mientras que si las fuerzas se acercan
entre sí, la barra se dice que está a compresión (C).
Tipos de apoyos
Las estructuras se apoyan sobre elementos que, dependiendo de su
naturaleza, tendrán diferentes tipos de reacciones.
El apoyo móvil permite el desplazamiento horizontal, por lo tanto, tendrá
una única reacción que será vertical.
El apoyo fijo o articulación no permite desplazamientos y tendrá 2
reacciones: una vertical y otra horizontal.
Todas las estructuras articuladas simples, compuestas y complejas son
isostáticas interiormente, y en ellas se puede calcular las tensiones en la
barras, empleando distintos procedimientos gráficos o analíticos. En los si
guientes apartados estudiaremos el método de los nudos y el de las secciones
o Ritter.
Con carácter general, cualquiera que sea el método utilizado, deberá
aislarse previamente la estructura y calcular las reacciones, para conocer todas
las fuerzas exteriores.
MÉTODO DE LOS NUDOS
Este método consiste en desmontar la estructura, dibujando por
separado los diagramas de sólido libre de cada una de las partes (barras y
nudos), y aplicar las condiciones de equilibrio a cada una de ellas.
Cada una de las tensiones se simbolizará con una T afectada de
subíndice que identifican a los nudos extremos de la barra. Así, por ejemplo,
mediante el símbolo T AB se representa la tensión de la barra que une los
nudos A y B.
El sentido de dicha fuerza vendrá dado por el signo correspondiente: si
este signo es positivo significa que la fuerza tiene el sentido que se le asignó
en el diagrama de sólido libre, mientras que si es negativo, el sentido de la
fuerza será opuesto al asignado.
Las fuerzas que apuntan hacia fuera de la barra tienden a estirarla y se
dice que son fuerzas de tracción.
Por el contrario, las que apuntan hacia la barra tienden a comprimirla y
son fuerzas de compresión.
De antemano no suele saberse si una barra está sometida a compresión
o a tracción.
De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que un
pasador ejerce sobre una barra es igual y opuesta a la que la barra ejerce
sobre el pasador. Por lo tanto, se utilizará el mismo símbolo T AB para la fuerza
que la barra AB ejerce sobre el pasador B que para la fuerza que este pasador
ejerce sobre la barra AB.
Si en el diagrama de sólido libre para una barra se representan las dos
fuerzas que actúan en sus extremos, con ello ya se asegura el equilibrio de la
barra; por este motivo, las barras pueden suprimirse en el resto del análisis y
considerar tan sólo el equilibrio de los nudos.
Este equilibrio se expresa dibujando un diagrama de sólido libre para
cada nudo y aplicando las ecuaciones de equilibrio:
Σ FX = 0
Σ FY = 0
Como las fuerzas que actúan en cada nudo son concurrentes y
coplanarias, el equilibrio de momentos no suministrará información útil alguna;
por ello, se utilizan solamente las dos ecuaciones anteriores.
En la práctica se comienza aislando un nudo en el que haya un enlace
exterior y se continúa luego con los nudos restantes, procurando que en cada
uno de ellos sólo haya dos tensiones desconocidas.
Conviene tener en cuenta que las tensiones que salen de un nudo
corresponden a tracciones de la barra correspondiente, y que un valor negativo
de dicha tensión indica que la barra está sometida a compresión y no a
tracción.
Ejemplo:
Hallar, por el método de los nudos, la tensión de cada una de las barras
de la estructura de la figura, indicando si se trata de fuerzas de tracción o de
compresión.
Solución:
En primer lugar se construye el diagrama de sólido libre de la estructura.
Para obtener las reacciones en A y en B,.aplicamos las ecuaciones de
equilibrio:
Σ FX = 0
R AX =0
Σ FY = 0
R AY +R B - 200 N - 300 N - 150 N =0
ΣM A = 0
R B · 10 m – 200 N · 2,5 m – 150 N · 5 m - 300 N · 7,5 m = 0
Resolviendo el sistema:
R AX = 0
R AY = 300 N
R B = 350 N
A continuación aislamos los nudos, empezando por el nudo A.
Nudo A:
Σ FY = 0 ; R AX - T AC · sen 60º = 0; T AC =
R AX
= 346 N
sen 60º
Como T AC es positiva y la hemos dibujado hacia el nudo, es una fuerza
de compresión.
Σ FX = 0 ; T AE - T AC · cos 60º = 0; T AE = T AC · cos 60º = 173 N (tracción)
Nudo B:
Σ FY = 0 ; R B - T BD · sen 60º = 0; T BD =
RB
= 404,14 N (compresión)
sen 60º
Σ FX = 0 ; T BD · cos 60º - T BE = 0; T BE = T BD · cos 60º = 202,07 N (tracción)
Nudo C:
Σ FY = 0 ; T AC · sen 60º - F 1 - T CE · sen 60º = 0;
T CE =
T · sen 60º - F1
=115, 47 N (tracción)
sen 60º
Σ FX = 0 ; T AC · cos 60º + T CE · cos 60º - T CD = 0;
T CD = T AC · cos 60º + T CE · cos 60º = 230,7 N. (compresión)
Nudo D:
Σ FX = 0 ;
T DE · cos 60º + T BD
T - T · cos 60º
T DE = CD BD
= 57,26 N. (tracción)
cos 60º
Barra
AC
AE
BD
BE
CE
CD
DE
Tensión
346 N
173 N
404,14 N
202,07 N
115,47 N
230,7 N
57,26 N
Tipo
Compresión
Tracción
Compresión
Tracción
Tracción
Compresión
Tracción
·
cos
60º
-
T CD =
0;
METODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER.
Este método ofrece la ventaja de que permite calcular directamente la
tensión de una barra determinada sin necesidad de obtener las de las barras
restantes, como sucede con el método de los nudos.
En el método de Ritter la estructura articulada plana, una vez
determinadas las reacciones en los soportes, se divide en dos fragmentos por
medio de una sección (recta o curva) que corte como máximo a tres barras de
tensiones desconocidas.
A continuación se aísla uno de los fragmentos y se traza el
correspondiente diagrama de fuerzas del sólido libre, sustituyendo las barras
cortadas por las tensiones respectivas. Como no se sabe si dichas barras están
a tracción o a compresión, se suelen representar en tracción.
Por último, por tratarse de fuerzas coplanarias, se aplican las tres
ecuaciones de equilibrio, evitando resolverlas simultáneamente.
Conviene tomar momentos con respecto a un punto que recaiga en la
intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas, para que de
este modo se obtenga directamente la tercera fuerza.
A modo de ejemplo, supongamos que queremos determinar la tensión
en la barra BD de la estructura plana de la figura siguiente.
Se traza la sección 1-2, que divide a toda la estructura en dos partes,
cortando solamente tres barras: una de ellas la BD, que es la barra cuya
tensión se desea calcular.
Cualquiera de las dos partes puede utilizarse como sólido libre, aunque
se suele escoger aquélla sobre la que actúe el menor número de fuerzas; en
nuestro caso, la de la izquierda.
Las fuerzas que actúan sobre este sólido libre son las cargas F 1 y F 2
aplicadas en los puntos A y B y las tres tensiones desconocidas T BD , TBE y
T CE .
Como no se sabe si las barras cortadas estaban en tracción o en
compresión, en el diagrama se ha supuesto que las tres estaban en tracción.
Si únicamente queremos conocer T BD , sólo es necesaria una ecuación
de equilibrio, a condición de que en ella no figuren las otras incógnitas.
Esta ecuación será: ΣM E = 0
Ejemplo:
Empleando el método de las secciones, hallar las tensiones en las
barras EF, CF y BC de la estructura articulada plana de la figura.
Indicar si dichas barras se encuentran en tracción o en compresión.
Solución:
Primeramente es necesario determinar las reacciones exteriores en A y
en D (A: articulación; B: apoyo móvil).
Para ello, construiremos el diagrama de sólido libre de la estructura,
aplicando a continuación las condiciones de equilibrio:
Σ FX = 0 ;
4 kN - R AX =0; R AX = 4 kN
Σ FY = 0 ;
R AY + R D - 12 kN = 0
ΣM A = 0 ;
R D · 24 m – 12 kN · 16 m – 4 kN · 6 m = 0
La resolución de este sistema conduce a:
R AX = 4 kN ; R AY = 3 kN ; R D = 9 kN
Para la aplicación del método de Ritter elegiremos la sección 1-2, ya que
corta transversalmente las tres barras cuyas tensiones se quiere determinar.
Los diagramas de sólido libre correspondientes a la parte de la
estructura seccionada es la que aparece recogida en la figura siguiente.
Por comodidad, utilizaremos el diagrama de la izquierda, pues en él hay
un número menor de fuerzas involucradas.
Calculo de T BC :
Tomando momentos con respecto al punto F, los corresponfientes a las
tensiones T EF y T CF son nulos y de esta forma se calcula directamente T BC :
Σ M F = 0 ; T BC · 6 m – 3 kN · 8 m – 4 kN · 6 m = 0 ; T BC = 8 kN
La barra BC está en tracción, pues así se había supuesto al principio, y
el valor de T BC es positivo.
Cálculo de T EF :
Tomando momentos con respecto al punto C se obtiene directamente
T EF :
Σ M C = 0 ; - T EF · 6 m – 3 kN · 16 m = 0 ; T EF = - 8 kN
Teniendo en cuenta el sentido asignado inicialmente, la barra EF está en
compresión , y el valor de la tensión es: T EF = 8 KN
Cálculo de T CF :
Como T BC y T EF no tienen componentes verticales, el cálculo de T CF se
realiza directamente por medio de la condición Σ F Y = 0;
3 kN - T CF · cos θ = 0 ; T CF =
3 kN
3 kN
=
= 5 kN (tracción)
cos θ
6 / 62 + 8 2