grafikoak

8
Funtzioak eta grafikoak
Helburuak
En esta quincena aprenderás a:
•
Funtzioak eta horiek
irudikatzeko era desberdinak
ezagutzen eta interpretatzen.
•
Funtzio baten eremua eta
ibilbidea ezagutzen.
•
Funtzio bat jarraia edo etena
den zehazten.
•
Tarte batean funtzio baten
batez besteko aldakuntza-tasa
aurkitzen.
1.Funtzio errealak……………………………………orria. 132
Funtzioak, kontzeptua
Funtzio baten grafikoa
Eremua eta ibilbidea
Zatika definituriko funtzioak
2.Funtzioen ezaugarriak......................orria. 136
Jarraitutasuna eta desjarraitutasuna
Funtzio periodikoak
Simetriak
•
Funtzio baten hazkundea edo
beherapena zehazten eta
haren maximoak eta minimoak
aurkitzen.
3.Aldakuntza-tasa eta hazkundea......orria. 138
Batez besteko aldakuntza-tasa
Hazkundea eta beherapena
Maximoak eta minimoak
Inflexio-puntuak
•
Inflexio-puntuak ezagutzen.
Ariketak
•
Jatorriarekiko eta OY
ardatzarekiko zenbait
funtzioren simetria frogatzen.
Gehiago jakiteko
•
Funtzio bat periodikoa den
jakiten.
Laburpena
Autoebaluazioa
Tutoreari bidaltzeko jarduerak
MATEMATIKA B „
129
130
„ MATEMATIKA B
Funtzioak eta grafikoak
Hasi baino lehen
Grafikoen hizkuntza
Ibex 35en bilakaera data honez
geroztik: (1987)
Eskala logaritmikoa
Susperraldia
17 hilabetean
Susperraldia
6 urtean
Susperraldia 6 urte eta erdian
(x,y)
Susperraldia 3
urtean
Funtzio bat irudikatzeko modu ezberdinetatik (enuntziatuan, taulan, adierazpen aljebraikoan
edo grafikoan), azken honek ematen digu begirada bakar batez portaera globala ikusteko
aukera, eta horregatik da garrantzitsua. Gai honetan ezaugarri nagusiak ezagutzen eta
interpretatzen ikasiko duzu.
Ikertu
90º
Imajina ezazu noria batean igotzen zarela,
haren erradioak 30 m neurtzen ditu eta kabina
laranjan sartzeko 5 m igo behar dira. Noria
biraka hasten da, nolakoa izango litzateke zein
altueratan zauden adierazten duen funtzioaren
grafikoa? Lagun batzuk kabina berdean daude,
nolakoa da haien grafikoa?
MATEMATIKA B „
131
Funtzioak eta grafikoak
1. Funtzio errealak
Funtzioaren kontzeptua
Funtzioa
bi
zenbaki-multzoren
arteko
korrespondentzia da, hasierako multzoko elementu
bakoitzari azken multzoko, irudiko, elementu bat eta
bakarra dagokiola.
Horrela erlazionatzen dira
eta y deitu ohi direnak,
bi aldagai numerikoak, x
f: x → y=f(x)
9 x aldagai independentea
9 y aldagai dependentea
f: egindako km → altitudea m-tan
km
0
alt
24
540 1280
34
71
740
129
0
87
113
630
102
0
121
153
160
168
720
113
0
152
0
188
2
Grafikoak 2007ko Txirrindularitza
Itzuliko
9.
Etaparen
ibilbidea
deskribatzen du, guztizko km-ak eta
ibilbideko puntu nagusien altitudea
adieraziz.
Ezkerraldean
aurreko
grafikoa
agertzen da ardatz kartesiar batzuen
gainean trazatuta; sinplifikatzeko,
segmentuen bidez lotu dira puntu
nagusiak. Egindako km-en arabera
altitudea ematen duen funtzioa da.
Ikus ezazu balioen taula.
Funtzio baten grafikoa
Funtzio baten portaera ikusteko, f:x → y, bere
irudikapen
grafikoa
hartzen
dugu,
ardatz
kartesiarretan, abzisen ardatzean (OX) aldagai
independentea eta ordenatuen ardatzean (OY)
dependentea;
grafikoaren
puntu
bakoitzaren
koordenatuak hauek direla: (x, f(x)).
Irudian irudikatzen da funtzioa:
f(x)= 0,5x2+3x+3,5
Balio-taula bat eginez, lortutako puntuak irudikatzen
dira, x abzisen ardatzean (OX), f(x) ordenatuenean
(OY).
x
-2
f(x) -4,5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
3,5
6
7,5
8
7,5
6
3,5
0
-4,5
Puntu batzuek arreta berezia eskatzen dute, grafikoak
ardatz
koordenatuetan mozten
dituen
horiek.
Kalkulatzeko:
9 Ebakidura OY ardatzean:
Ordenatuen ardatzeko puntuek 0 abzisa dute.
Nahikoa da x=0 egitea funtzioaren formulan.
9 Ebakidurak OX ardatzean:
Abzisen ardatzeko puntuek y=0 dute. Ekuazioa
ebazten da f(x)=0
132
„ MATEMATIKA B
Ardatzekiko ebakidurak
OY ARDATZA: f(0)=3,5
Puntua (0, 3,5)
OX ARDATZA: Ekuazioa ebatziz:
0,5x2+3x+3,5=0
Hau ematen du:
x=
−3± 9+7
=3±4 =
− 2 ⋅ 0,5
Puntuak (7, 0) (-1, 0)
7
−1
Funtzioak eta grafikoak
Eremua eta ibilbidea
Emandako funtzio bat f:x → y
9 f-ren
eremua
deitzen
zaio
aldagai
independenteak, x-ek, hartzen duen baliomultzioari. f eremu gisa adierazten da.
f eremu=[-10, 10]
Kalkulatu eremuak
• Funtzioaren adierazpen analitikoa
Eremua, beraz, funtzioa duten x-en balio
guztiek, hau da, f(x) bat dutenek osatzen dute.
9 Ibilbidea
aldagai dependenteak, y-k, har
dezakeen balio-multzoa da, hau da, irudien
multzoa. f irudi gisa adierazten da.
polinomioa bada, eremua zenbaki
erreal guztiak dira.
f(x)=-x4+4x2+1
f eremu = IR
f irudi = (-∞ , 5]
•
Funtzio baten adierazpen analitikoa
zatidura baldin bada, eremua
zenbaki erreal guztiek osatzen
dute, izendatzailean 0 egiten
dutenak izan ezik.
f(x) =
2
x −1
f eremu = IR - {1}
f irudi = (-∞ , 0) U (0, +∞)
•
Funtzioaren adierazpen analitikoa
erro karratua baldin bada, eremua
errokizun positiboa duten zenbaki
erreal guztiek osatzen dute.
f(x) =
x+3
f eremu = [-3,+∞)
f irudi = [0,+∞)
f(x) =
1
x+2
f eremu = (-2,+∞)
Im f = (0,+∞)
Zatika definituriko funtzioak
X-en
balioen
arabera
adierazpen
aljebraiko
desberdinen bidez definitzen den funtzioei; zatika
definituriko funtzioak deitzen diegu.
⎧ −x − 2
x < −2
⎪
f(x) = ⎨
−2
−2≤ x ≤ 3
⎪0 ,5x − 3,5
x>3
⎩
Beste funtzioen zatiek osatutako funtzio bat
analitikoki
definitzeko
tarte
desberdinetako
adierazpenak ematen dira, ezkerretik eskuinera, tarte
bakoitzean funtzioa definituta dagoen x-en balioak
adieraziz.
Agertokian ikus dezakezu funtzio mota honetako
zenbait adibide eta horien irudikapen grafikoa.
MATEMATIKA B „
133
Funtzioak eta grafikoak
Ebatzitako ARIKETAK
5. Ondorengo grafiko hauetatik adierazi zeintzuk dagozkion funtzioari eta zeintzuk ez.
• Funtzio baten grafikoak
dira a), c) eta e),
izan ere, eremuaren x
bakoitzari y-ren balio
bakarra dagokio.
• b) eta d) ez dira funtzio
baten grafikoak.
Egin ezazu balio-taula bat, marraz itzazu lortutako puntuak eta irudika ezazu funtzioa.
a) f(x)=2x-3
f(x)
x
f(x)
0
-3
0
0
1
-1
1
3
2
1
2
4
3
3
3
3
-1
-5
4
0
-2
-7
-1
-5
x
4x
c) f(x) =
134
b) f(x)=-x2+4x
2
x +1
x
f(x)
0
0
1
2
-1
-2
2
1,67
-2
-1,67
4
0,9
„ MATEMATIKA B
• GOGOAN IZAN
Balio-taula bat egiteko, funtzioaren
adierazpenetik abiatuta, ordezka ezazu
formulan x-a nahi duzun balioekin,
egin eragiketa eta kalkulatu y=f(x)
ekuazioari dagozkionak. Oroh ar, saia
zaitez balio positiboak eta negatiboak
txandakatzen.
Marraz itzazu horrela lortutako (x,y)
puntuak eta lotu itzazu.
Funtzioak eta grafikoak
Ebatzitako ARIKETAK
3.
Kalkula ezazu ondorengo funtzioen eremua.
a)
b)
f eremu = IR– {-2, 0, 4}
f eremu = IR – {-1, 1, 5}
Adierazitako puntuetan, bi kasuetan, ezin da f(x) aurkitu grafikoan.
x
c) f(x)= x3-2x2+5x
d) f(x)=
x−2
Dom f = IR
, polinomioa delako
f eremu = IR – {2}
e) f(x)= x − 5
x-5≥0, x≥5
g) f(x)=
f) f(x)= 5 − x
⇒ f eremu = [5, +∞)
3
h) f(x)=
x+4
x+4>0, x>-4
⇒ f eremu = (-∞ , 5]
5-x≥0, 5≥x
⇒ f eremu = (-4, +∞)
1
2−x
⇒ f eremu = (-∞ , 2)
2-x>0, 2>x
(Kasu hauetan -4 eta 2, hurrenez hurren, ez dira eremukoak, izendatzailea baliogabetzen
baitute)
4.
Ondorengo funtzioetan, zatika zehaztutakoetan, kalkula itzazu adierazitako xbalioen irudiak.
x < −2
⎧− 0,5x − 1 si
⎪
si − 2 ≤ x ≤ 3
a) f(x)= ⎨ − 2
⎪ x −5
si
x>3
⎩
x=-4 goian ordezten da (-4<-2)
x=-2, x=1 eta x=3 erdikoan
ordezten dira, [-2,3]en baitaude.
x
f(x)
-4
1
-2
-2
1
-2
3
-2
6
1
x
f(x)
-6
-1
x=6 behean ordezten da, izan ere,
6>3
x ≤ −2
⎧0,5x + 2 si
⎪
c) f(x)= ⎨ − x + 1 si − 2 < x < 2
⎪0,5x − 2 si
x≥2
⎩
x=-6, x=-2 goian ordezten da.
x=0 erdikoan ordezten da, hemen
baitaude: -2<0<2.
x=2, x=4 behean ordezten da.
-2
3
0
1
2
-1
4
0
MATEMATIKA B „
135
Funtzioak eta grafikoak
2. Funtzioen ezaugarriak
Jarraitutasuna
Funtzio jarraiaren lehenengo ideia marra batez
irudika daitekeela da, arkatza paperetik jaso gabe.
Funtzioa jarraia ez denean, desjarraitutasunen bat
daukala esaten da.
Behean marraztutako hiru funtzioak etenak
x=2n, baina eten-mota desberdinak dituzte.
dira
y=f(x) funtzioa jarraia da hemen:
x=a, baldin eta:
• Funtzioa hemen definituta dago:
x=a, badago f(a)=b.
• a hurbileko balioen irudiek brantz jotzen dute.
Badira zenbait arrazoi funtzio bat
puntu batean jarraia ez izateko:
•
•
⎧ x +1
x<2
f(x) = ⎨
⎩ − 2x + 5 x ≥ 2
f(2)=1
Grafikoak jauzi bat
agertzen du.
x 3 − 2x 2 + x + 6
f (x ) =
x−2
x=2
ez
da
eremukoa.
Eten
hori
"sahiesteko
modukoa" da.
x2 − 6
f (x) =
x −2
x=2
ez
da
eremukoa.
Grafikoak
jauzi
infinitu bat agertzen
du.
•
Jauzi bat dauka.
"Zulo" bat dago grafikoan, bai
funtzioa puntuan definituta ez
dagoelako, bai balioa besteetatik
bananduta geratzen delako.
Funtzioaren balioa mugagabe
hazten da (edo txikitzen da)
puntu
batera
hurbiltzen
garenean.
Funtzio periodikoak
Naturan eta zure ohiko ingurunean badira tarte
erregularretan errepikatzen diren fenomenoak, hala
nola itsasaldiak, penduluak eta malgukiak, soinua,
etab.
Fenomeno hauek deskribatzen
periodikoak esaten zaie.
dituzten
funtzioei
Funtzio bat periodikoa da bere balioa
errepikatzen denean, aldagai independenteak
tarte zehatz bat igarotzen duen bakoitzean.
Tarte honetako balioari periodoa deitzen zaio.
f(x+periodoa)=f(x)
Bi funtzio periodiko garrantzitsu:
periodoa
Zisterna automatikoki bildu eta husten
da, 6 minuturo 5 litro ateraz,
grafikoaren erritmoari jarraituz. Urbiltegia hutsik dago, betetzen hasten
da, 1 minututan betetzen da, 3,5
minututan beteta dago eta 0,5
minututan husten da; gero prozesua
errepikatzen da periodikoki 5 minuturo.
Une oro ur-biltegiko ur-bolumenaren
berri izateko, nahikoa da lehen 5
minutuetan gertatzen dena jakitea.
Zein ur-kopuru dago 14 minutu eta
gero? f(14)=f(4+2·5)=f(4)=6
14:5
zatitzean,
hondarra=5
periodoa
136
„ MATEMATIKA B
zatidura=2
Oro har, periodoa 5 baldin bada:
f(x+5·n)=f(x)
Funtzioak eta grafikoak
Simetriak
Funtzio batzuen grafikoak simetriaren bat izan
dezake, eta aldez aurretik aztertuz gero, errazago
marrazten da.
9 Funtzio bat simetrikoa da OY ardatzarekiko,
baldin eta f(-x)=f(x).
Kasu horretan funtzioari BIKOITIA esaten
zaio.
BIKOITIA
f(-x)=f(x)
BAKOITIA
f(-x)=-f(x)
9 Funtzio bat simetrikoa da koordenatuen
jatorriarekiko f(-x)=-f(x) denean.
Grafikoa bi ardatzetatik
tolesten denan, bi
adar r ak ba t e to r tz e n
d
i
r
a
.
Grafikoa ordenatuen
ardatzetik tolestuta, bi
adarrak bat etortzen
d
i
r
a
.
En kasu horretan funtzioari BAKOITIA esaten
zaio.
Ikus itzazu grafikoak ezagutzeko.
Ebatzitako ARIKETAK
5.
Kalkula ezazu k-ren balioa ondorengo funtzioak jarraiak izan daitezen grafikoa
aldatzen den puntuan:
Ikus itzazu grafikoak ezagutzeko.
x ≤1
⎧0,5x + k x ≤ 4
⎧ k
b) f(x) = ⎨
a) f(x) = ⎨
⎩ x −3
x>4
⎩− x + 1 x > 1
f(4)=0,5·4+k=2+k
f(1)=k
Beste zatian definitu izan balitz honela izango
litzateke: f(4)=4-3=1
bi zatiek bat egin behar dutenez:
Beste zatian definituta egon balitz honela
izango litzateke:
f(1)=-1+1=0
bi zatiek bat egin behar dutenez: k=0
2+k=1 ⇒ k=1-2=-1
6.
Zein da ondorengo funtzioen periodoa? Kasu bakoitzean kalkula ezazu f(45).
a)
b)
Periodoa = 4
45=4·11+1
f(45)=f(1)=2
7.
45=5·9
Periodoa = 5
f(45)=f(0)=0
Ondorengo grafikoen artean aukera itzazu funtzio bikoitiei eta funtzio bakoitiei
dagozkienak.
Bikoitia: C
Bakoitia: A y D
B B ez da bikoitia, ezta bakoitia ere
8.
Ondorengo funtzioak (7. adibidekoei dagozkie) bikoitiak ala bakoitiak dira?
a) f(x)=x3–3x
f(-x)=(-x)3–3(-x)=-x3+3x=–f(x)
Bakoitia
b) f(x)=2x2–2x-2
f(-x)=2(-x)2–2(-x)–2=2x2+2x–2
Ez BIKOITIA, ezta
BAKOITIA ere
6
4
c) f(x)= x –x –x
d) f(x)=-1/x
2
6
4
2
6
4
2
f(-x)=(-x) –(-x) –(-x) =2x –x –x =f(x)
Bikoitia
f(-x)=-1/(-x)=1/x=–f(x)
Bakoitia
MATEMATIKA B „
137
Funtzioak eta grafikoak
3. Aldakuntza-tasa
eta hazkundea
TV[0,30]=15
TV[17,22]=4,5
Funtzio baten aldakuntza-tasa
La Funtzio baten aldakuntza-tasa edo hazkuntza
funtzioak jasaten duen gehikuntza edo gutxitzea da,
aldagai independentea balio batetik bestera igarotzen
denean.
TV[x1,x2]=f(x1)-f(x2)
Erabilgarriagoa da batez besteko aldakuntza-tasa
deritzona kalkulatzea; horrek adierazten digu
funtzioaren
aldaketa
erlatiboa
aldagai
independentearekiko:
TVM[x1 , x 2 ] =
TVM
Grafikoan,
txirrindulari
batek
denboraren arabera (minututan) egiten
duen distantzia (km-tan) irudikatzen
da.
TV denbora-tarte batean
distantziari dagokio.
egindako
TVM denbora-tarte jakin bateko batez
besteko abiadura da.
f(x 2 ) − f(x1 )
x 2 − x1
TVM[15,21]=4/6
TVM[22,30]=1/2
4 km
8 min
4 km
6 min
TVM
TVM[5,12] =
6 − 2,5 3,5
=
= 0,5
12 − 5
7
Gorakorra
f(x2 ) − f(x1)
TVM
>0
TVM[x1, x2 ] =
x2 − x1
Hazkundea eta beherapena
Grafikoetan oso erraz ikus daitekeen funtzioen
ezaugarria monotonia da. x-en balioa handitzean
y=f(x) balioa handitzen denean, grafikoa "igo egiten
da" eta esaten da funtzioa gorakorra dela.
Alderantziz, x handitzean y txikitzen bada, grafikoa
"jaitsi egiten da", eta funtzioa beherakorra da.
Gehiago zehaztuta:
Beherakorra
[
Funtzio bat tarte batean gorakorra da, edozein bi
puntu emanda
•
Baldin etax1<x2 orduan f(x1)<f(x2)
Eta beherakorra izango da:
•
Baldin eta x1<x2 orduan f(x1)>f(x2)
Konstantea
Gorakorra
x∈(0 , 10)
Funtzio
guztiak ez
dira berdin
haztzen edo
txikitzen.
f(x)=x2 da
x∈(10 , 15)
Beherakorra
x∈(15 , 25)
azkarren
hazten dena,
g(x)=x
hazkunde
lineala du,
h(x)= x
motelago
da
138
„ MATEMATIKA B
]
TVM x1, x2 =
TVM
hazten
f(x2 ) − f(x1)
<0
x2 − x1
Funtzioak eta grafikoak
Maximoak eta minimoak
Maximoa
x=a puntuan funtzio jarraia izanik, maximo
erlatiboa duela esaten da, aipaturiko puntu horren
ezkerraldean
funtzioa
gorakorra
bada
eta
eskuinaldean, berriz, beherakorra.
Minimoa
Aitzitik, funtzioa beherakorra bada ezkerraldean eta
gorakorra ezkerraldean, minimo erlatiboa dago.
Maximoa
(6 , 7)
Gorakorra
Beherakorra
Gorakorra
Minimoa
(20 , 1,1)
Maximo absolutua
f(a)>f(x) egiaztatzen bada, eremuko edozein x
baliotarako, eta ez bakarrik "inguruko" balioetarako,
x=a maximo absolutuaz hitz egiten da.
Minimo absolutua
Eta era berean esaten da a-n minimo absolutua
dagoela f(a)<f(x) eremuko edozein x-rako baldin
bada.
Ahurtasuna, ganbiltasuna
eta inflexio-puntuak
Ahurra
Funtzioen grafikoetako beste ezaugarri interesgarria
ahurtasuna da, grafikoa beherantz edo gorantz
kurbatzen den tarteak aztertzea.
Ganbila
9 Funtzio bat ahurra da tarte batean, kurbako
edozein bi puntu lotzen dituen segmentua
horren azpian geratzen denean, eta ganbila,
kurbaren gainean geratzen denean.
Funtzioa ahurretik ganbilera edo alderantziz bihurtzen
den eremuko puntuak inflexio-puntuak deitzen dira.
x=0 -n aldatu egiten
da ahurtasuna, baina
ez dago inflexiopunturik,
ez da eremukoa.
Ganbila
(0,+∞)
inflexio-puntua
Ahurra
(-∞,13)
(13 , 4)
Ganbila
(13,+∞)
Ahurra
(-∞,0)
MATEMATIKA B „
139
Funtzioak eta grafikoak
Ebatzitako ARIKETAK
12.
Kalkula ezazu adierazitako puntuen arteko ondorengo funtzioen batez besteko
aldakuntza-tasa. Egiazta ezazu irudian grafikoan zuzen bat duten funtzioetan TVM
konstantea dela.
Triangelu
antzekoak
13.
b) y=0,5x+3
9−5 4
TVM[1,3]=
=
=2
3 −1 2
TVM[1,3]= =
TVM[-5,-2]=
−1 + 7
6
=
=2
−2+5 3
TVM[-3,0]=
4,5 − 3,5
= 0,5
2
3 − 1,5
= 0,5
3
Grafikoek ontzi desberdinen betetzea irudikatzen dute. Zein grafiko dagokio
bakoitzari?
Al
t
u
e
r
a
1
Bolumena
a
14.
a) y=2x+3
Al
2
t
u
e
r
a Bolumena
Al
t
u
e
r
a
c
b
Al
t
uA
elt
ru
ae
3
Bolumena
d
4
Bolumena
e
Al 5
t
uA
e lt
r u
Bolu
a e Bolumena
a→2
b→4
c→5
d→3
e→1
Gogora ezazu Itzuliko etapa baten "profila" ematen zuen funtzioa, lehenengo
kapituluan ikusitakoa. a) idatzi handitze- edo txikitze-tarteak; b) Zein kilometropuntutan erdiesten dira maximo erlatiboak?, zein balio hartzen dute?, eta
minimoak?; c) Ba al dago maximo edo minimo absoluturik?
a)
Gorakorra
(0,24)U(34,71)U(87,113)U(121,1
68)
Beherakorra
(24,34)U(71,87)U(113,121)
b)
MAX:
km
0
24
34
71
87
113
121
153
160
168
alt
540
1280
740
129
0
630
102
0
720
1130
152
0
188
2
IRTEERA
MIN:
x=24, y=1280
x=71, y=1290
x=113, y=1020
x=34, y=740
x=87, y=630
x=121, y=720
c)
Kasu honetan funtzioak maximo
eta minimo absolutuak ditu, eta
biek
eremuaren
muturretan
minimoa (hemen: x=0, 540 m-ko
140
„ MATEMATIKA B
Funtzioak eta grafikoak
Praktikatzeko
⎧− x + 3 x ≤ −1
hemen x=-1
x > −1
⎩ 4
d) f(x)= ⎨
7. Aztertu funtzioaren simetria:
1. Kontuan hartu zenbaki bakoitzari bere
karratua ken 1 ematen dion funtzioa.
Idatzi
adierazpen
analitikoa
eta
kalkulatu hauen irudiak: -1, 1 eta 2.
Kalkula itzazu ardatzekiko ebakidurak
ere.
a) f(x)= x3+2x
c) f(x)= 2 x2 + 1 d) f(x)=
e) f(x)=
2. Kontuan hartu zenbaki bakoitzari bere
erdia gehi 3 ematen dion funtzioa.
Idatzi
adierazpen
analitikoa
eta
kalkulatu hauen irudiak: -1, 1 eta 3.
Kalkula itzazu ardatzekiko ebakidurak
ere.
3. Kontuan hartu zenbaki bakoitzari bere
bikoitza ken 5 ematen dion funtzioa.
Idatzi
adierazpen
analitikoa
eta
kalkulatu hauen irudiak: -2, -1 eta 1.
Kalkula itzazu ardatzekiko ebakidurak
ere.
4. Kalkula
ezazu
eremua.
ondorengo
funtzioen
b) f(x)=
4x2 + 1
2x
x2 − 3
5x2
x +1
x −1
f) f(x)= x4-3x2-3
8. Kasu
bakoitzean grafikoak funtzio
periodiko baten zatia edo periodoa
irudikatzen du. Adierazi periodoa eta
kalkulatu
adierazitako
abzisako
puntuaren irudia:
a) f(-2)
b) f(-3)
a) f(x)=-2x2+5x-6
b) f(x)=
2x
2x − 4
c) f(x)= − 4x2 + 12
3
e) f(x)=
2x − 4
5. Azter
ezazu
jarraitutasuna:
a) f(x)=
c) f(-1)
4x2 + 20
d) f(x)=
x −2
x −3
ondorengo
b) f(x)=
funtzioen
−x
x+3
6. Azter
ezazu
ondorengo
funtzioen
jarraitutasuna adierazitako puntuetan:
9. Kalkula
itzazu
grafikoko
funtzioen
TVMak tarte hauetan: [0,4] eta [2,4].
a)
b)
⎧ x+2 x ≤1
hemen x=1
⎩− x + 2 x > 1
a) f(x)= ⎨
⎧2x + 2 x ≤ 0
hemen x=0
⎩x+2 x > 0
b) f(x)= ⎨
⎧− x + 3 x ≤ −1
hemen x=-1
x > −1
⎩ 4
c) f(x)= ⎨
MATEMATIKA B „
141
Funtzioak eta grafikoak
10. Autobidetik egindako 520 km-ko bidala
batean nire autoan dagoen gasolina nola
aldatzen den erakusten du grafikoak.
a)Zenbart gasolina zegoen 240km eta gero?
Deposituan 40 litro sartzen dira, noiz zegoen
beteta depositu erdia baino gehiago?
b) Zenbat zerbitzugunetan gelditu
nintzen? Zein zerbitzugunetan hartu
nuen gasolina gehiago? Inon gelditu ez
banintz, non geratuko nintzatekeen
gasolinarik gabe?
c)
Zenbat
gasolina
erabili
nuen
lehenengo 200 km-tan?. Zenbat erabili
nuen bidaia osoan? Zenbat litro
kontsumitzen du nire autoak, autobide
honetan, 100 km-ko?
11. María
eta Jorge bi pertsona nahiko
arruntak
dira.
Grafikoan
konpara
dezakezu nola gehitu den haien pisua
lehenengo 20 urtetan.
12. Grafikoak ibilbide berbera egiten duten
bi autoek egindako espazioa ematen du.
a) Zein da egindako distantzia? Lehen
autoa 10:00etan atera bazen, zer ordutan
atera zen 2.a? Zenbat denbora behar izan
du auto bakoitzak ibilbidea osatzeko?
b) Zenbat denboran egon zen geldirik
auto bakoitza? Zein km-tan gelditu
ziren? Zein km-tan aurreratu du
bigarrenak
lehena?
Zein
km-tan
aurreratuko du lehen autoak bigarrena?
c) Zein izan zen auto bakoitzaren batez
besteko abiadura ibilbide osoan? Zein
denbora tartean izan zen handiena auto
bakoitzaren abiadura?
13. Ondorengo grafikoak I eta II funtzioei
dagozkie.
I) f(x)=x3-6x2+9x
II) f(x)= −
x2 + 1
x
Kalkulatu bakoitzean:
a) Zenbat pisatzen zuen Jorgek 8
urterekin? Eta Maríak 12 urterekin? Noiz
gainditu zituen Jorgek 45 kg-ak?
b) Zein adinetan pisatzen zuten biek
berdin? Noiz pisatzen zuen Jorgek
Maríak baino gehiago? Noiz pisatzen
zuen Maríak Jorgek baino gehiago?
c) Zein izan zen bien pisu gehikuntza,
11 eta 15 urte artean? Zein izan zen
aurreko tartean urteko batez besteko
gehikuntza? Bere bizitzako zein alditan
hazi zen azkarren María? Eta Jorge?
142
„ MATEMATIKA B
a) Eremua.
b) Ardatzekiko ebakidura-puntuak.
c) Funtzioa positiboa
duten x-en balioak.
eta
negatiboa
d) Handitze- eta txikitze-tarteak.
e) Maximoak eta minimoak.
f) Zenbat inflexio-puntu dituzte?.
g) Ahurtasun- eta ganbiltasun-tarteak.
Funtzioak eta grafikoak
Gehiago jakiteko
Lehen funtzioa
untzio bat eraikitzen lehena Galileo (1564-1642) izan zen.
Pisako Dorre makurtuaren tontorretik bi bola jaurti zituen,
bata burdinazkoa eta bestea zurezkoa, eta egiaztatu zuen,
pisu aldea gorabehera, biak batera heltzen zirela lurrera;
gorputzen erorketaren legea aurkitu zuen.
Azterketari jarraituz eta tramankulu bitxi bat erabiliz,
egiaztatu zuen ibilitako espazioa denboraren karratuaren
araberakoa dela, eta historiako lehen funtzioa idatzi zuen.
Sakatu hemen gaiari buruz gehiago irakurtzeko.
Funtzioaren lehen definizio formala Eulerri zor zaio,
Introductio in analysis infinitorum izeneko liburuan, 1748an
argitaratutakoan. Hauxe dio:
Kopuru aldagarri baten funtzioa adierazpen analitikoa da,
edozein modutan kopuru aldagarri batez osatua, edo
zenbakiz edo kopuru konstantez.
1755ean, Institutiones calculi differentialis izenekoan, gaiari
heltzen dio berriro, eta gaur egun erabiltzen dugunera
gehiago hurbildu zen bertan.
Funtzio bitxia
Dirichleten
funtzioa
izenekoan,
zenbaki erreal bakoitzari 1 ematen
zaio, arrazionala bada, eta 0
irrazionala bada. Etena da puntu
guztietan.
Tangentea, batez besteko aldakuntza-tasa eta
malda
x∈Q
⎧1
f(x) = ⎨
⎩0 x ∈ R − Q
x
x+h
tangentea
P→Q puntua, PQ zuzen ebakitzaileak P-n y=f(x) kurba
ukitzen duen zuzenerantz jotzen du. Sekantearen madla
tangentearenera jotzen duen TVM[P,Q] da.
Hurrengo
ikasturteetan
ikasiko
duzun
funtzioaren
f(x + h) − f(x)
deribatua da.
f ′(x) = lim
h→ 0
h
30
x
45º
Ikus itzazu bi grafikoak, bi funtzioak 2 periodoko periodikoak
diraπ, grafiko berdea desfasatuta dagoπ/2 laranjarekiko; Ikus
ezazu non erdiesten diren maximoak eta minimoak. Bi
grafikoek bat egiten dutenean, zein altueratan daude?,
x=r·sen 45º=21,21 m; 1) 35-21,21=13,79 2)35+21,21=56,21
MATEMATIKA B „
143
Funtzioak eta grafikoak
Gogora
ezazu garrantzitsuena
9 Funtzioa x eta y aldagaien arteko erlazioa da, era
horretan aldagai independenteari, x-ri, egokitzen
zaio aldagai dependentearen, y-ren, balio bakarra.
9 Funtzio baten eremua x-ek har ditzakeen balio
posible guztien multzoa da.
9 Funtzio baten grafikoa planoan irudikatzen diren
puntuen multzoa da, (x,f(x)).
Eremua
9 Funtzioa jarraia da marra batez irudika badaiteke.
Puntu batean etena da, "jauzi" bat baldin badauka
edo puntu horretan definituta ez badago.
9 Funtzioa periodikoa da, t periodoaz, grafikoa t
unitate
bakoitzean
errepikatzen
bada,
f(x+t)=f(x).
9 Funtzio bat simetrikoa da OY ardatzarekiko,
baldin eta f(-x)=f(x). eta simetrikoa da
jatorriarekiko, funtzio bakoitia, baldin eta f(x)=-f(x).
9 Funtzio baten bi punturen arteko aldakuntzatasa
(TV)
ondoko
diferentzia
da:
AT
[x1,x2]=f(x2)-f(x1)
Batez besteko aldakuntza-tasa (TVM) da:
TVM
BAT [x1 , x 2 ] =
f(x 2 ) − f(x 1 )
x 2 − x1
9 Funtzio bat tarte batean gorakorra da, bertako
edozein bi puntu emanda
• Baldin eta x1<x2 orduan f(x1)<f(x2)
Eta beherakorra da
• Baldin eta x1<x2 orduan f(x1)>f(x2)
9 Funtzio jarrai batek x=a puntuan, maximo
erlatiboa dauka, puntu horren ezkerraldean
gorakorra bada eta eskuinaldean beherakorra.
Aldiz, lehenengo beherakorra bada eta gero
gorakorra, minimo erlatiboa dago.
9 Funtzio baten grafikoa ahurra (beherantza) edo
ganbila (gorantza) izan daiteke. Ahurtasuna
aldatzen den eremuko puntuei inflexio-puntuak
deitzen zaie.
144
„ MATEMATIKA B
Erreal guztiak, 0 izan ezik
Jarraitutasuna
Ez da jarraia, 0-n jauzi infinituko etena
dauka.
Simetria
Simetrikoa
da
koordenatuen
jatorriarekiko, funtzio bakoitia.
Ardatzekiko ebakidurak
Abzisen ardatza mozten du (-1,0) eta
(1,0). Ez du ordenaten ardatza mozten.
Hazkuntza eta txikitzea
Gorakorra da hemen: (-∞, -2,5)U(2,5
,+∞)
Eta beherakorra hemen: (-2,5 ,0)U(0,
2,5)
Maximoak eta minimoak
Maximoa hemen: (2,5 ,3);
Minimoa hemen: (-2,5 ,3)
Ahurtasuna
ganbiltasuna
Inflexio-puntuak
eta
Ahurra da hemen: (-∞, -3)U(0,3)
Eta ganbila hemen: (-3 ,0)U(3, +∞)
(-3,0) eta (3,0) inflexio-puntuak dira.
x=0 -n aldatu egiten da ahurtasuna,
baina ez dago inflexio-punturik, ez
baita eremukoa.
Funtzioak eta grafikoak
Autoevaluación
1. Kalkulatu x=0 irudia funtzioan:
⎧2 x − 1 x ≤ 3
f (x ) = ⎨
x >3
⎩5
2. Kalkulatu ondoko funtzioaren eremua:
f(x) =
x +1
x2 − 4
3. Hurrengo puntuetatik (1,-2) (3,-15) (4,-26) zein ez dagokio
ondoko funtzioari f(x)=-x2-3x+2?.
4. Kalkulatu ebakidura puntuak zuzenaren y=-0,25 x-zuzenean
0,75 ardatz koordenatuetan.
5. y=f(x) funtzio BIKOITIA bada eta f(3)=-2 zenbat balio du
f(-3) funtzioak?
6. Grafikoak funtzio periodiko baten lehen tartea erakusten du:
periodoa 5 eta adierazpena f(x)=-x2+5x (baldin eta 0≤x<5).
Kalkulatu f(28).
7. Igar ezazu a-ren balioa ondorengo funtzioa x=3 puntuan
jarraia izan da.
⎧2 x + k x ≤ 3
f (x ) = ⎨
x >3
⎩6
8. Kalkula ezazu f(x)=-0,25x2-3x+1 funtzioaren TVM[-3,0].
km
9. Zehaztu grafikoaren funtzioa zein tartetan den gorakorra.
ordu
Txirrindularia
distantzia
Txirrindularia
distantzia
10. 10 Txirrindulari bat A puntutik 60 km-ra dagoen B puntura
abiatzen da 30 km/h-ko abiadura konstantean. Aldi berean,
beste txirrindulari bat Btik Aranzko norabidean abiatzen da,
40 km/h-ko abiaduran. Ikus ezazu grafikoa eta kalkulatu A
puntutik zenbat kilometrora gurutzatuko diren errepidean.
MATEMATIKA B „
145
Funtzioak eta grafikoak
Praktikatzeko ariketen ebazpenak
1. f(x)=x2-1 f(-1)=0, f(2)=3, f(1)=0
OY ebakidura: -1
y -1
OX ebakidura: 1
b)
x
+3
2
f(-1)=2,5 f(1)=3,5 f(3)=4,5
OY ebakidura: 3 OX ebakidura: -6
c)
2. y=
3. f(x)=2x-5
f(-2)=-9, f(-1)=-7, f(1)=-5
OY ebakidura: -5 OX ebakidura:
2,5
4. a) Polinomioa da, Dom(f)=IR
b) Erreal guztiak, 2a izan ezik.
c) ( − 3 , 3 )
d) Erreal guztiak
e) (2, +∞ )
5. a) Etena da hemen: x=3
b) Etena da hemen: x=-3
6. a) Etena da hemen: 1.
Ezkerraldean: 3; Eskuinaldean: 1
b) Jarraia hemen 0.
Ezkerraldean: 2; Eskuinaldean: 2
c) Jarraia hemen -1.
Ezkerraldean: 4; Eskuinaldean: 4
c) Jarraia hemen -1.
Ezkerraldean: 4; Eskuinaldean: 4
7. a) e) bakoitiak dira; b) c) eta f)
bikoitiak dira; d) ez da bikoitia, ezta
bakoitia ere
8. a) TVM[0,4]=TVM[2,4]=0,5
b) TVM[0,4]=1,2; TVM[2,4]=1,8
9. a)
10. a) 27,5 litro; 200. eta 360. km-en artean
eta 440. km-tik 520. km-ra.
b) Bitan, bat 200. km-an eta bestea 440. kman; gehiago bota nuen 1.ean; 280. km-an
c) 12,5 l; 32,5 l; 6,25 l/100 km
11. a) J. 25 kg, M. 35 kg ; 14 urterekin
b) 11rekin (30 kg) eta 15ekin (55 kg)
J-k M-k baino gehiago: 11ra arte eta 15etik
aurrera;
M-k J-k baino gehiago: 11tik 15era
c) 25 kg; 6,25 kg/urte; M-k 11 eta 12 artean
(10 kg/urte); J-k 12 eta 14 artean (10 kg/urte)
12. a) 80 km; 10:15ean; 75 eta 70 min
b) 10 min 20. km-an, 20 min 30. km-an;
20. eta 30. km-etan, hurrenez hurren.
c) 64 km/h eta 68,6 km/h; 1.: 60-75 min
2.: 15-30 min eta 70-85 min
13. I) a) IR;
b) (0,0)(3,0)
c) y>0 (0,+∞); y<0 (-∞,0);
d) gorak:(-∞,1)U(3,+∞), beherak:(1,3);
e) max x=1, min x=3;
f) Bat; ahur: (-∞,2) ganbil: (2,+∞)
II) a) IR-{0};
b) Ez du ebakitzen
c) y<0 (0,+∞); y>0 (-∞,0);
d) beherak.:(-∞,-1)U(1,+∞), gorak.:(1,0)U(0,1); e) max x=1, min x=-1;
f) Batere ez; ahur: (-∞,0) ganbil: (0,+∞)
Ebazpenak
AUTOEBALUAZIOA
1. f(0)= –1
2. IR - { 2, -2}
3. (3, -15)
4. (0, -0,75) (-3,0)
5. f(-3)=2
6. f(28)=f(3)=6
7. k=0
8. TVM[-3,0] = -2,25
9. (-3, 1)
10. 4,25 min-tik aurrera, A.
Ez ahaztu jarduerak tutoreari bidaltzea
MATEMATIKA B „
f
146