Poligonoak, perimetroak eta azalerak

9
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Helburuak
Hasi baino lehen
Hamabostaldi honetan, hau ikasiko
duzu:
1.Lerro poligonalak…………………………… 136. orr.
Definizioa eta sailkapena. Poligonoa

Poligonoen elementuak
zeintzuk diren esaten,
bereizten eta irudikatzen.

Triangeluak irudikatzen.

Zeintzuk diren triangeluetako
zuzen eta puntu
esanguratsuak.

Lauki motak bereizten eta
irudikatzen.

Beste poligono batzuk
identifikatzen.

Poligonoen perimetroak
kalkulatzen.

Poligonoen azalerak
kalkulatzen.

Poligonoen azaleren kalkulua
aplikatzen eguneroko bizitzako
egoeretan.
2.Triangeluak…………………………………… 136. orr.
Elementuak eta sailkapena
Triangeluak eraikitzen
Zuzen eta puntu esanguratsuak
3.Laukiak……………………………………………… 141. orr.
Elementuak eta sailkapena
Paralelogramoak
4.Poligono erregularrak ………………… 143. orr.
Definizioa
Simetria-ardatzak
5.Perimetroak eta azalerak…………… 145. orr.
Definizioa. Azalerak neutzen
Azalera-unitateak
5.Poligonoen azalerak……………………… 147. orr.
Laukien azalerak
Triangeluen azalerak
Poligono erregularren azalerak
Poligono irregularren azalerak
Praktikatzeko ariketak
Gehiago jakiteko
Laburpena
Autoebaluazioa
Tutoreari bidaltzeko jarduerak
MATEMATIKA 1. DBH 
133
134
 MATEMATIKA 1. DBH
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Hasi baino lehen
Bost piezako Tangram-a
Moztu goiko irudiak, eta ebazpenari begiratu
gabe, saiatu lauki bat eraikitzen pieza guztiekin.
Ondoren, saiatu beste irudi batzuk sortzen.
Aztertu
Beste zein tangram oinarritzen da lauki baten
banaketan? Zenbat pieza ditu?
MATEMATIKA 1. DBH 
135
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
1. Lerro poligonalak
Definizioa eta sailkapena. Poligonoak
Lerro poligonoala da lotuta dauden segmentu
batzuen multzoa (segmentu baten amaiera izango da
hurrengoaren hasiera). Irekiak edo itxiak izan
daitezke.
Lerro poligonal itxi batek osatzen
duen barrutia da poligonoa.
Lerro poligonal irekia
Ahurrak edo ganbilak izan daitezke poligonoak.
 Ganbila: 180º baino txikiagoak dira bere barneangelu guztiak.
 Ahurra: 180º baino handiagoa(k) d(ir)a barneangeluetako bat(zuk).
Unitate honetan, ikusiko dugu erregularrak edo
irregularrak izan daitezkeela poligonoak. Alde
kopuruaren arabera ere sailka daitezke.
Poligono ganbila
Poligono ahurra
2. Triangeluak
Elementuak eta sailkapena
Hiru aldeko poligonoa da triangelua. Triangeluaren
elementu garrantzitsuak hauek dira: aldeak, oinarria,
altuera, erpinak eta angeluak.
Triangelua
aldeak
erpinak
angeluak
oinarria
altuera
Triangelu
zorrotza
Triangelu
zuzena
Triangelu
aldekidea
Triangelu
isoszelea
Angeluen arabera sailka daitezke triangeluak:
 Zorrotza: hiru angeluak zorrotzak dira.
 Zuzena: angelu zuzen bat eta bi zorrotz.
 Kamutsa: angelu kamuts bat eta bi zorrotz.
Aldeen arabera ere sailka daitezke triangeluak:
 Aldekidea: hiru aldeak berdinak dira.
Triangelu
kamutsa
 Isoszelea: bi alde berdinak dira.
 Eskalenoa: hiru aldeak desberdinak dira.
Hiru aldeko poligonoa da triangelua.
136
 MATEMATIKA 1. DBH
Triangelu
eskalenoa
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
ARIKETA ebatziak
1.
Adierazi beheko poligonoak ahurrak ala ganbilak diren:
a) Ganbila: 180º baino txikiagoak dira barne-angelu guztiak.
b) Ahurra: 180º baino handiagoa da F angelua.
c) Ahurra: 180º baino handiagoak dira A eta D angeluak.
d) Ganbila: 180º baino txikiagoak dira barne-angelu guztiak.
2.
3.
Sailkatu beheko irudiak angeluen eta aldeen arabera:
a) Isoszelea eta zuzena.
d) Isoszelea eta zorrotza.
b) Eskalenoa eta kamutsa.
e) Aldekidea eta zorrotza.
c) Eskalenoa eta zorrotza.
f) Eskalenoa eta zuzena.
Bete beheko taula: gelaxketan BAI edo EZ idatzi beharko duzu triangelu bat
zutabean eta errenkadan adierazten den motakoa izatea posible denaren arabera:
Aldekidea
Isoszelea
Eskalenoa
Aldekidea
BAI
EZ
EZ
Isoszelea
BAI
BAI
BAI
Eskalenoa
BAI
BAI
BAI
Zorrotza
Zuzena
Kamutsa
Zorrotza
Zuzena
Kamutsa
MATEMATIKA 1.DBH 
137
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Triangeluak eraikitzen
Triangelu bat irudikatzeko, honako kasu hauetako
bat izan beharko dugu:

Hiru aldeak ezagutzea.
Segmentuetako bat hartuko dugu gure
triangeluaren oinarri.
Arku bat marraztuko dugu: zentroa oinarriaren
muturretako batean izango du, eta erradioa beste
aldeetako baten luzera izango da.
Beste arku bat marraztuko dugu: zentroa
oinarriaren beste muturra izango da, eta erradioa
hirugarren aldearn luzera.
Marraztutako
arkuen
ebaki
triangeluaren hirugarren erpina.
puntua
da

Oharra: triangelua eraiki ahal izateko, a aldearen
luzera baino handiagoa izan behar du b eta c aldeen
luzeren baturak.

Bi
alde
eta
ezagutzea.
bien
arteko
angelua
Segmentuetako bat hartuko dugu gure
triangeluaren oinarri.
Alde honen muturretako batean, irudikatuko dugu
ezaguna den angelua.
Zuzen bat marraztuko dugu: erreferentzia
moduan hartutako erpinetik igaroko da, eta
aurreko pausoan iruditutako angeluaren aldea
izango da. Zuzen horren gainean, puntu bat
markatuko dugu: bigarren aldearen luzera izango
da marraztutako angeluaren erpinetik puntu
horretara egongo den distantzia.
Segmentu batekin lotuko ditugu triangelua izten
lagunduko diguten erpin biak.

Bi angelu
ezagutzea.
eta
batera
duten
aldea
Ezagutzen dugun aldea izango da triangeluaren
oinarria. Eman diguten angeluetako bat
marraztuko dugu oinarriaren mutur batean. Zuzen
bat marraztuko dugu: erreferentzia moduan hartu
dugun erpinetik igaroko da, eta aurreko pausoan
neurtutako angeluaren aldea zuzen horren
gainean egongo da. Oinarriaren beste muturrean
irudikatuko dugu bigarren angelua, eta zuzen bat
marratuko dugu oinarriarekin angelu hori osatzen
duena. Zuzenki bi horien ebakipuntua izango da
triangeluaren hirugarren erpina.
138
 MATEMATIKA 1. DBH
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Zuzen eta puntu esanguratsuak
Lau zuzen mota definitzen dira triangelu batean;
zuzen esanguratsuak esaten zaie:
Erdibitzaileak eta zirkuntzentroa
 Erdibitzailea: aldearen erdiko puntutik igarotzen
den zuzen perpendikularra.
 Erdikaria: angelua beste bi angelu berdinetan
banatzen duen zuzena.
 Erdibidekoa: erpin batetik
erdiko puntura doan zuzena.
aurkako
aldearen
 Altuera:
erpin
batetik
perpendikularrean doan zuzena.
aurkako
aldera
Erdikariak eta intzentroa
Mota bakoitzeko hiru zuzen daude triangelu batean.
Zuzenkion
deritze:
ebaki
puntuei
puntu
esanguratsuak
 Zirkuntzentroa: hiru erdibitzaileen ebaki puntua.
Erdibidekoak eta barizentroa
 Intzentroa: hiru erdikarien ebaki puntua.
 Barizentroa: hiru erdibidekoen ebaki puntua.
 Ortozentroa:
hiru
altueren
ebaki
puntua.
Altuerak eta ortozentroa
Zein da triangelu baten barne-angeluen
batura?
A
Irudian ikus dezakezunez:
B
A + B + C = 180º
MATEMATIKA 1.DBH 
139
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
ARIKETA ebatziak
4.
Esan zeintzuk diren irudietako zuzen eta puntu esanguratsuak:
Altuerak eta ortozentroa Erdikariak eta intzentroa
5.
Erdibitzaileak,
zirkuntzentroa
Esan zeintzuk diren irudietako zuzen eta puntu esanguratsuak:
Erdikariak eta intzentroa Altuerak eta ortozentroa
6.
Erdibidekoak eta
barizentroa
Erdibitzaileak,
zirkuntzentroa
Erdibidekoak eta
barizentroa
Irudikatu 6, 7 eta 8 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Zorrotza da angelu guztiak
zorrotzak baitira. Barnean daude puntu esanguratsu guztiak.
7.
Irudikatu 6, 8 eta 10 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Zuzena da angelu zuzen
bat baitauka. Zirkuntzentroak bat egiten du hipotenusaren erdiko puntuarekin.
Angelu zuzenaren erpinean dago ortozentroa. Barnean daude barizentroa eta
intzentroa.
8.
Irudikatu 6, 8 eta 12 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Kamutsa da angelu
kamuts bat baitu. Kanpoan daude zirkuntzentroa eta ortozentroa. Barnean daude
barizentroa eta intzentroa.
9.
Irudikatu 6, 6 eta 6 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,
nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu
esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?
Aldekidea eta zorrotza da triangelua: angelu guztiak dira 60º-koak. Bat egiten dute
zuzen esanguratsuek; baita puntuek ere.
140
 MATEMATIKA 1. DBH
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
3. Laukiak
Elementuak eta sailkapena
Laukiak
Diagonalak
Laukia lau aldeko poligonoa da. Laukiaren elementu
garrantzitsuak: aldeak, erpinak, angeluak eta
diagonalak.
Zenbat alde paralelo dituzten, honela sailkatzen dirá
laukiak:
aldeak
erpinak
angeluak
 Trapezoideak: aldeak ez dira paraleloak.
 Trapezioak: bi alde paraleloak dira.
 Paralelogramoak: binaka paraleloak dira aldeak.
Trapezoidea
Trapezioa
Laukia lau aldeko poligonoa da.
Paralelogramoak
Paralelogramoak
Aurreko atalean esan den bezala, paralelogramoa
da aurkako aldeak beti paraleloak dituen laukia.
Bere angeluen eta aldeen arabera sailka daitezke
paralelogramoak:
Karratua
Laukizuzena
 Karratuak:
angeluak ere.
berdinak
dira
lau
aldeak;
baita
 Laukizuzenak: aldeak binaka desberdinak dira;
eta berdinak lau angeluak (zuzenak).
Erronboa
Erronboidea
Zein da lauki baten barneangeluen batura?
Diagonalak bi
triangelutan
banatzen du
laukia;
laukiaren
barne-angeluen
batura:
 Erronboak: angeluak binaka desberdinak dira; eta
berdinak lau aldeak.
 Erronboideak:
desberdinak dira.
angeluak
eta
aldeak
Aurkako aldeak paraleloak
laukia da paralelogramoa.
binaka
dituen
180º+180º=360º
MATEMATIKA 1.DBH 
141
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
ARIKETA ebatziak
10.
142
Sailkatu beheko laukiak:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
a) Trapezioa
b) Laukizuzena
c) Erronboidea
d) Erronboa
e) Trapezoidea
f) Trapezioa
g) Erronboidea
h) Erronboa
i) Laukizuzena
j) Karratua
k) Trapezioa
l) Trapezoidea
 MATEMATIKA 1. DBH
4. Poligono erregularrak
Elementuak.
aldeak
erpinak
Poligono erregularra da luzera
berdineko aldeak eta angelu berdinak
dituen poligonoa.
Poligono erregularraren elementu esagurantsuak:
Zentroa eta apotema Zentroa eta erradioa
 Aldea:
bakoitza.
lerro
poligonal
itxiaren
segmentuetako
 Erpina: ondoz ondoko bi aldek batera duten
puntuetako bakoitza.
 Zentroa: erpin guztietatik distantzia berdinera
dagoen puntua.
diagonala
Barne-angelua
 Apotema:
alde
batekiko
segmentu
perpendikularra:
poligonoaren
zentroan
dago
muturretako bat; bestea, aldean bertan.
 Erradioa: segmentu bat da, mutur bat zentroan
duena, eta bestea poligonoaren erpin batean.
 Diagonalak: segmentu bat da, muturrak ondoz
ondokoak ez diren erpinetan dituena.
 Barne-angelua: ondoz ondoko bi aldek osatzen
Pentagonoa
Hexagonoa
duten angelua (180º baino txikiagoa).
Alde kopuruaren
bakoitzak:
Heptagonoa
arabera,
izen
bat
du
poligono
Oktogonoa
 Hiru aldekoa: triangelu aldekidea.
 Lau aldekoa: laukia.
 Bost aldekoa: pentagonoa.
 Sei aldekoa: hexagonoa.
Eneagonoa
Dekagonoa
 Zazpi aldekoa: heptagonoa.
 Zortzi aldekoa: oktogonoa.
 Bederatzi aldekoa: eneagonoa.
 Hamar aldekoa: dekagonoa.
 Hamaika aldekoa: endekagonoa.
Endekagonoa
Dodekagonoa
 Hamabi aldekoa: dodekagonoa.
 Hamairu edo alde gehiagokoa: ez zaio izen
berezirik ematen; 13, 14... aldeko poligono
erregularra esaten zaio.
MATEMATIKA 1.DBH 
143
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Simetria-ardatzak
Badira lerro batzuk irudi bat erdibitu egiten dutenak;
irudia lerro horietatik tolestutakoan, aldeetako bat
beste batean gainjartzen da (biek bat egiten dute):
simetria-ardatza dute izena lerro horiek.
Poligonoek alde kopuru bikoitia edo bakoitia izan
dezakete. Ohartu zaitez zer antzekotasun eta
desberdintasun dituzten poligonoek simetria ardatzari
dagokiolarik.
Pentagonoaren simetria ardatza
Alde kopuru bakoitia duen poligono erregularraren
erpin bakoitzetik eta horien aurkako aldearen erdiko
puntutik igarotzen da simetria ardatza.
Bi motatako simetria ardatzak ditu alde kopuru
bikoitiko poligono erregular batek: aurkako erpinak
lotzen ditu batek; eta besteak aurkako alde biren
erdiko puntuak lotzen ditu.
Hexagonoaren simetria ardatza
ARIKETA ebatziak
11.
Kalkulatu angelu zentrala, barne-angelua eta
erregular batean, eta hexagono erregular batean:
Angelu zentrala: 360:5=72º
Barne-angelua: 180-72=108º
Kanpo-angelua: 180-108=72º
12.
144
kanpo-angelua
pentagono
Angelu zentrala: 360:6=60º
Barne-angelua: 180-60=120º
Kanpo-angelua: 180-120=60º
Irudikatu triangelu aldekidearen, laukiaren, heptagono erregularraren eta
oktogono erregularraren simetria ardatzak:
 MATEMATIKA 1. DBH
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
5. Perimetroak eta azalerak
Definizioa. Azalerak neurtzen.
Irudi lau baten perimetroa da aldeen luzeren
batura.
Poligono baten perimetroa
Irudiak betetzen duen azalera neurtzea da
irudiak betetzen duen eremuaren luze-zabala
kalkulatzea.
Zeharka kalkulatzen dira azalerak. Hau da, hainbat
formula matematiko erabiltzen dira, ezin baititugu
neurtu luzerekin egiten den moduan (besterik gabe
"irakur" dezakegu erregelarekin segmentu baten
luzera).
Perimetroa da poligonoaren aldeen
luzeren batura. Azalera ezin da modu
zuzenean
kalkulatu,
zeharkako
formuletara jo beharko dugu.
Azalera-unitatea
Azalera-unitateak
Metro bateko aldea duen karratuaren azalera da
azalerak neurtzeko unitatea. Metro koadro du izena
unitate horrek eta ikurra: m2.
Ezkerreko irudian ikusi nola lortzen den metro
koadroaren
lehenengo
azpimultiploa.
Azaleraunitateak ehunaka aldatzen direla ikusiko duzu.
Unitate handiagoetara aldaketa

Unitate batetik ondoz-ondoan duen goiko
unitatera pasatzeko, 100ekin zatitu behar da.

Unitate batetik ondoz-ondoan duen beheko
unitatera pasatzeko, 100ekin biderkatu behar
da.
Metro koadroa (m2) da azaleraunitatea.
Area da lursailen azalerak neurtzeko erabiltzen den
azalera-unitatea: dekametro karratua da, edo ehun
metro koadro.
Unitate txikiagoetara aldaketa
MATEMATIKA 1.DBH 
145
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
ARIKETA ebatziak
13.
Kalkulatu beheko poligono erregularren perimetroa. Adierazi perimetroa
dekametrotan, metrotan, dezimetrotan, zentimetrotan eta milimetrotan:
aldea: 5 cm.
aldea: 8 m.
aldea: 2 dm.
aldea: 4 mm.
a) Pentagonoaren perimetroa: 0.025 dam = 0.25 m = 2.5 dm = 25 cm = 250 mm
b) Hexagonoaren perimetroa: 4.8 dam = 48 m = 480 dm = 4800 cm = 48000 mm
c) Oktogonoaren perimetroa: 0.16 dam = 1.6 m = 16 dm = 160 cm = 1600 mm
d) Dekagonoaren perimetroa: 0.004 dam = 0.04 m = 0.4 dm = 4 cm = 40 mm
14.
Zenbat cm2 dira 40 m2?
m2–tik cm2–ra pasatzeko, bi posizio jaitsi behar ditugu: bi aldiz bider 100 egin
behar dugu; hau da, bider 10000 egin behar dugu.
40 m2 = 40 · 100 · 100 = 40 · 10000 = 400000 cm2.
15.
Zenbat m2 dira 500 mm2?
mm2-tik m2–ra pasatzeko, hiru posizio igo behar ditugu: hiru aldiz zati 100 egin
behar dugu; hau da, zati 1000000:
500 mm2 = 500 : 100 : 100 : 100 = 500 : 1000000 = 0.0005 m2.
16.
Zenbat dm2 dira 7 km2?
km2-tik dm2-ra pasatzeko, lau posizio jaitsi behar ditugu: lau aldiz bider 100 egin
behar dugu. Hau da, bider 100000000:
7 km2 = 7 · 100000000 = 700000000 dm2.
17.
Zenbat hm2 dira 24 dam2?
dam2-tik hm2–ra pasatzeko, posizio bat igo behar dugu: zati 100 egin behar dugu.
24 dam2 = 24 : 100 = 0.24 hm2.
18.
Zenbat mm2 dira 0.125 hm2?
hm2-tik mm2–ra pasatzeko bost posizio jaitsi behar ditugu: bost aldiz bider 100
egin behar dugu. Hau da, bider 10000000000.
0.125 hm2 = 0.125 · 10000000000 = 1250000000 mm2.
146
 MATEMATIKA 1. DBH
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
6. Poligonoen azalerak
Laukien azalerak
Oso erraza da laukizuzenaren, karratuaren
erronboidearen azalera kalkulatzea.
eta
A = 7 x 4 = 28 cm2
Funtsezkoa da laukizuzen baten
azalera kalkulatzen jakitea beste
irudi lau batzuen azaleren kalkulua
ulertzeko.
 Laukizuzenaren azalera. Oinarria eta altuera
biderkatuz lortzen da: A = oinarria x altuera.
A = 5 x 5 = 25 cm2
 Karratuaren azalera. A = aldea x aldea = aldea2.
 Erronboidearen
azalera.
Laukizuzenaren
azaleran oinarritzen da: erronboidearen oinarria bider
altuera (ez da beste aldearekin biderkatu behar).
A = 6 x 4 = 24 cm2
A = oinarria x altuera.
 Erronboaren
azalera.
Erronbotik
abiatuz,
laukizuzen bat lor daiteke ezkerreko irudian ikus
dezakezun bezala. Diagonal handia da oinarria, eta
diagonal txikiaren erdia laukizuzenaren altuera:
A=
6x4
2
2
= 12 cm
 Trapezioaren azalera. Ezkerreko irudian ikus
daitekeen bezala, trapezioa aldrebes ipiniz gero,
erronboide bat lor daiteke. Erronboide horren azalera
da trapezioaren azaleraren bikoitza. Erronboidearen
oinarria da trapezioaren oinarrien batura, eta
erronboidearen altuera da trapezioaren altuera.
A=
(7 + 4) x 3
2
2
= 16,5 cm
MATEMATIKA 1.DBH 
147
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Triangeluen azalerak
Edozein triangeluren azalera nola kalkulatzen den
ulertzeko, irudian ikus dezakezunez, triangelua
aldebrez ipiniz gero, erronboide bat lortzen da.
Triangeluaren
azaleraren
bikoitza
izango
da
erronboidearen azalera. Oinarri eta altuera bera
dituzte erronboideak eta triangeluak.
Oinarria bider altuera zati bi da
triangeluaren azalera.
Poligono erregularren azalerak
Edozein poligono erregularren azalera kalkulatzeko,
triangelutan
banatzen
da
poligonoa:
erpinak
zentroarekin lotuz lortuko ditugu. Poligonoaren
apotema da triangeluen altuera. Triangelu baten
azalera kalkulatzen da, eta gero triangeluen
kopuruagatik biderkatu.
A=
7x6
2
2
= 21 cm
Perimetroa bider apotema zati bi da
poligono erregular baten azalera.
Poligono irregularren azalera
Zeharkako metodoak erabiliko ditugu edozein
poligono irregularren azalera kalkulatzeko. Hiru dira
metodoak: triangulazioa, bilbe kuadrikulatua eta
poligonoa lauki ezagunetan banatzea.
Poligono irregularraren triangulazioa
148
 MATEMATIKA 1. DBH
ARIKETA ebatziak
19.
Kalkulatu paralelogramo hauen azalera:
A = 24  16
2
A =11
2
A = 384 cm
A =121 cm
A = 30  18
A=
2
2
A = 540 cm
20.
2
A =192 cm
Kalkulatu lauki hauen azalera:
A=
(35+7)21
2
A=
2
A =120 cm
Kalkulatu triangelu hauen azalera:
A=
12 7
2
A=
2
A =18 cm
Kalkulatu polígono irregular hauen azalera:
A=
5 8 5.5
2
A=
2
6 10  8.66
2
2
A =110 cm
23.
4 9
2
2
A = 42 cm
22.
(12+8)12
2
2
A = 441 cm
21.
2416
2
A = 259.8 cm
Kalkulatu polígono hauen azalera:
8 ×2
2
= 8 cm
2
8 ×6
2
A2 =
= 24 cm
2
2
A1 =
A = 5  3 =15 cm
A=
2
A = 8+24 = 32 cm
(5+2)4
2
 14 cm
2
2
A =15+14 = 29 cm
MATEMATIKA 1.DBH 
149
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Praktikatzeko
1. Markoan jarri nahi dugu 103 cm-ko
oinarria eta 63 cm-ko altuerako
koadro bat. Zer luzera izango du
erabili nahi dugun moldurak? 7,2 €/m
da molduraren prezioa. Kalkulatu
markoaren prezioa.
2. Pentagono
irregular baten formako
parke bat dago hiri batean. Aldeen
neurriak: 45, 39, 29, 17 eta 39
metro.
Zer
luzera
du
parkea
inguratzen duen hesiak?
3. Erromerietarako karpa bat jarri dute
herrian: 11 aldeko polígono irregular
baten forma du. Bonbillez osatutako
girlanda bat jarri dute bere inguruan.
Girlandaren luzera: 68 m. Zer luzera
du karparen alde batek?
erregularretan
moztutako
ohiala
erabiltzen du horretarako. 173 cmkoa da eguzkitakoaren aldea, eta
266,21 cm-koa bere apotema. Zer
luzerako ohiala beharko dugu 10
aldeko 36 eguzkitako egiteko?
9. Irudiko mosaikoan, koro poligonalak
osatzen dituzte hexagonoen inguruko
karratuek
eta
triangeluek.
Hexagonoaren
aldea
eta
dodekagonoarena berdinak dira, eta
30 cm-ko luzera dute. Hexagonoaren
apotema 25,98 cm-koa da eta
dodekagonoarena
55,98
cm-koa.
Kalkulatu koro poligonalen azalera.
4. Lauza karratuak jarri nahi dira eraikin
bateko
barne-patioan.
Lausaren
aldearen luzera: 30 cm. Laukizuzena
da patioa. Patioaren neurriak: 10 m
bider 1 m. Zenbat lauza behar dira?
5. Apurtu egin da itsasontzi baten bela,
eta beste bat ipini behar dugu. 21 €/
m2
kobratzen
dizkigute
bela
berriagatik. Belaren altuera 8 m-koa
bada, eta altuera 4 m-koa; zenbat
ordaindu beharko dugu?
6. Ohial-biribilki baten zabalera 2 m-koa
da; eta 1050 zapi karratu egiteko
erabili da. Zapien aldea: 20 cm. Ez da
ohialik falta izan, ezta sobratu ere;
beraz, zer luzer zuen biribilkiko
ohialak?
7. Erronbo
formako kometa bat egin
dugu. 393 eta 205 cm-koak dira
erronboaren diagonalak. Plastikozko
lamina laukizuzen bat erabili da
kometa
egiteko.
Laukizuzenaren
luzera eta zabalera eta kometarenak
berdinak dira. Kalkulatu kometaren
azalera; bainta laminarena ere.
8. Hondartzarako
ditu
150
eguzkitakoak egiten
enpresa
batek.
Poligono
 MATEMATIKA 1. DBH
10. Oinarri hexagonalekoa da aintzinako
fortifikazio baten dorrea. 166,27 m2koa da dorrearen oinarriaren azalera,
eta 8 m-koa paretaren zabalera. Zer
luzera du dorrearen apotemak?
2
2
11. a) Zenbat dam dira 97 hm ?
b) Zenbat dm2 dira 172 dam2?
c) Zenbat cm2 dira 0.5 km2?
d) Zenbat dm2 dira 2 km2?
e) Zenbat mm2 dira 256 m2?
2
2
12. a) Zenbat m dira 250000 mm ?
b) Zenbat dam2 dira 6 m2?
c) Zenbat hm2 dira 1423 mm2?
d) Zenbat km2 dira 8000 dm2?
e) Zenbat m2 dira 1500000 cm2?
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Gehiago jakiteko
Euler-en zuzena
Edozein triangeluren lau puntu esanguratsuak marraztutakoan hau ikusiko dugu:
zirkuntzentroa, barizentroa eta ortozentroa lerrokatuta daude. Euler-en zuzena
esaten zaio puntu horietatik igarotzen den zuzenari.
Euler-en zuzena triangelu zorrotz
batean
Euler-en zuzena triangelu zuzen
batean.
Triangelu isoszele batean, lau puntuak lerrokatuta
daude.Euler-en zuzenean dago intzentroa.
Euler-en zuzena triangelu kamuts
batean.
Triangelu aldekide batean, bat egiten dute lau puntuek.
Ez dago Euler-en zuzenik.
Planoa betetzen
Zer poligonok planoa guztiz betetzen duten -espazio hutsik utzi gabe eta bata bestearen
gainean jarri gabe- jakitea oso interesgarria da bai artean, bai ehun-diseinuan, baita
matematikan ere. Horietako batzuekin probatu ahalko duzu hurrengo eszenan. Zeintzuk
erabil ditzakegu planoa guztiz betetzeko?
Triangelu aldekideekin bete Karratuekin bete dezakegu
dezakegu planoa.
planoa.
Pentagono erregularrekin
ezin dugu planoa bete.
Hexagono erregularrekin
planoa bete dezakegu.
Beste poligono erregularrekin ezin da planoa bete, baina poligono desberdinak erabiliz gero bai.
Adibidez, karratuekin eta oktogonoekin.
MATEMATIKA 1. DBH 
151
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
perímetros
áreas
Gogorayezazu
garrantzitsuena

Lerro poligonoala da lotuta dauden segmentu batzuen multzoa (segmentu baten
amaiera izango da hurrengoaren hasiera). Irekiak edo itxiak izan daitezke.

Lerro poligonal itxi baten barne-azalera da poligonoa. Ahurra edo ganbila izan
daiteke, eta erregularra edo irregularra.

Triangeluen sailkapena: zorrotza, zuzena eta kamutsa, bere angeluen arabera;
eta aldekidea, isoszelea eta eskalenoa, bere aldeen arabera.

Laukizuzenen sailkapena: paralelogramoak, trapezioak eta trapezoideak,
aldeen paralelotasunaren arabera.

Paralelogramoen
erronboideak.

Azalera-unitatea: metro kuadroa(m2). Azalera-unitateak ehunaka aldatzen dira.

Nekazaritzarako-unitateak deritzen unitateak erabiltzen dira lursailak neurtzeko:
area (a), hektarea (Ha) eta zentiarea (ca). Aurreko hiru unitate horiek beste
hauei dagozkie hurrenez hurren: dam2, Hm2 eta m2.

Formula desberdinak erabilitz kalkulatzen dira triangelu, lauki eta poligono
erregularren azalerak.

Poligono irregularren kasuan, azalerak kalkulatzeko, teknika hauek erabiltzen dira:
triangelaketa, koadrikulatzea eta deskonposaketa.
152
 MATEMATIKA 1. DBH
sailkapena:
karratuak,
laukizuzenak,
erronboak
eta
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
Autoebaluazioa
1. Aldeen arabera sailkatu ezkerreko triangelua
2. Puntu batean ebakitzen dira triangelu baten altuerak. Zer
izen du puntu horrek?
3. Sailkatu ezkerreko laukia.
4. Kalkulatu ezkerreko poligonoaren perimetroa.
5. Kalkulatu ezkerreko triangeluaren azalera. Datuak: oinarria 4
cm-koa da, alde berdinak 6,3 cm-koak eta altuera 6 cm-koa.
6. Kalkulatu ezkerreko laukiaren azalera.
7. Kalkulatu ezkerreko pentagonoaren azalera. Datuak: aldea 8
cm-koa da, eta apotema 8,30 cm-koa.
8. 9 m-ko oinarria eta 27 m2 -ko azalera ditu ezkerreko
publizitate-panelak. Zer altuera du?
9. Hexagono erregular bat da ezkerreko bonboi-kaxaren tapa.
314,86 cm2 -koa da bere azalera, eta 11 cm-koa bere aldea.
Kalkulatu taparen apotema.
10. Kalkulatu dekagono erregularraren barne-angelua.
MATEMATIKA 1. DBH 
153
Poligonoak, perimetroak eta azalerak
perímetros y áreas
Praktikatzeko ariketen erantzunak
1. 23,90 euro
11. a) 9700 dam2
2
2. 169 metro
b) 1720000 dm
3. 6,18 metro
c) 5000000000 cm
4. 1333 lauza
d) 200000000 dm
5. 336 euro
e) 256000000 mm
6. 21 metro
2
2
2
12. a) 0,25 m2
7. 4,03 metro, 8,06 metro
b) 0,06 dam
8. 23,03 metro koadro
c) 0.0000001423 hm
9. 7738,2 zentimetro koadro
d) 0,0008 km
10. 6,93 metro
e) 150 m
2
2
2
2
AUTOEBALUAZIOAREN
erantzunak
1. Isoszelea
2. Barizentroa
3. Trapezioa
4. 44,32 cm2
5. 12 cm2
6. 180 cm2
7. 232,4 cm2
8. 3 metro
9. 4,77 cm
10. 144º
154
 MATEMATIKA 1. DBH
Bidali jarduerak tutoreari
