EL MODELO ATOMICO DE BOHR

EL MODELO ATOMICO DE BOHR
En 1913, Niels Bohr ideó un modelo atómico que explica perfectamente los espectros
determinados experimentalmente para átomos hidrogenoides. Estos son sistemas formados solamente por dos cargas, una positiva y una negativa, y ejemplos de ellos
son el átomo de hidrógeno, H, los iones He+ , Li+2 , Be+3 , . . . .
El modelo de Bohr se puede describir por medio de cuatro postulados:
Postulado I
Un átomo hidrogenoide consta de un núcleo central con carga +Ze (dónde Z es el
número atómico) y de un electrón de carga −e girando alrededor del núcleo en una
órbita circular de radio r con velocidad v constante.
Un electrón que gira alrededor de un núcleo en una órbita de radio r y con
velocidad v se encuentra sujeto a la fuerza de atracción electrostática que el núcleo
de carga +Ze ejerce sobre él:
Fe =
(Ze)(−e)
Ze2
=
−
r2
r2
y a la fuerza centrı́fuga:
mv 2
r
A fin de que la órbita sea estable estas fuerzas deben compensarse, y cumplirse que:
Fc =
mv 2 Ze2
− 2 =0
(1)
r
r
En la ecuación anterior hay dos incógnitas, r y v, por lo que para conocerlas es
necesario encontrar otra relación entre ellas. Esta se obtiene del segundo postulado
de Bohr, el cual impone una condición sobre el momento angular del electrón.
Postulado II
El electrón recorre una determinada órbita n con momento angular:
µ
h
L = mvr = n
2π
¶
= nh̄
n = 1, 2, . . .
(2)
El segundo postulado implica que el momento angular del electrón está cuantizado, es decir, que sólo puede adquirir determinados valores caracterizados por el
número cuántico n. La ecuación 2 se puede explicar utilizando una simple analogı́a
entre el movimiento de la partı́cula y una onda estacionaria montada sobre la órbita,
1
como se explica a continuación.
Para que se establezca una onda estacionaria sobre el perı́metro 2πr de la órbita
circular, ésta debe ser tal que quepan un número entero de longitudes de onda:
2πr = nλ
n = 1, 2, . . .
(3)
Si n no fuera un número entero, las posiciones de los nodos cambiarı́an en cada
vuelta y la onda no serı́a estacionaria. Aplicando la relación de de Broglie a la ec. 3
se tiene que:
2πr = n
h
nh
=
p
mv
o sea:
mvr = nh̄
que es justamente el segundo postulado.
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 1 y 2 se pueden obtener expresiones para las incógnitas rn y vn correspondientes al radio y a la velocidad del
electrón cuando ocupa la órbita n:
n2 h̄2
Ze2 m
(4)
Ze2
nh̄
=
mrn
nh̄
(5)
rn =
y
vn =
Asimismo se puede determinar la energı́a total En del electrón en la órbita n:
En (total) = En (cinética) + En (potencial)
1
Ze2
=
mvn2 −
2
rn
De la ec. 1:
mvn2 =
Ze2
rn
En = −
1 Ze2
2 rn
de modo que:
2
(6)
Se observa que la energı́a total es la mitad de la energı́a potencial. Esta propiedad,
llamada teorema del virial, es válida para todos los sistemas en los cuales el potencial
es una función homogénea de grado (-1) en las coordenadas.
Substituyendo rn por su valor (ec. 4) se tiene, finalmente la expresión para la
energı́a:
Ã
e4 m
En = −
2h̄2
!
Z2
n2
(7)
Es interesante notar que las energı́as En están cuantizadas. Además, todas son
negativas y En tiende a cero cuando n tiende a infinito. Lo anterior es consecuencia de que el cero de energı́a potencial se ha escogido como el estado en que el
electrón y el núcleo se encuentran infinitamente separados, de manera que la energı́a
en cualquier estado ligado es menor que en el estado separado. Las energı́as en
orden creciente corresponden al orden creciente del número cuántico n; los En son
los niveles de energı́a.
0.1
UNIDADES ATOMICAS
Es conveniente agrupar las constantes fundamentales m, e y h̄ en las ecuaciones
ec. 4, 5 y 7 y definir nuevas unidades más adecuadas a los cálculos atómicos. Para
el átomo de hidrógeno (Z = 1) en el estado fundamental (n=1), el electrón ocupa la
órbita más próxima al núcleo. El radio de la órbita, la velocidad del electrón y su
energı́a son:
r1 (H) ≡ a0 =
v1 (H) =
h̄2
= 1 bohr,
e2 m
e2
= 1 u.a.v.,
h̄
(8)
(9)
y
E1 (H) = −
e4 m
= −1 rydberg
2h̄2
(10)
El bohr:
1 bohr = 0.529 Å
es utilizado como unidad de distancia atómica. La unidad atómica de velocidad es:
1 u.a.v. = 2.19 × 106 m s−1 =
3
c
137
y el rydberg:
1 rydberg = 2.18 × 10−18 Joules
es la unidad atómica de energı́a.
En estas unidades, las relaciones 4, 5 y 7 se simplifican y quedan expresadas
exclusivamente en términos de los números enteros Z y n:
rn =
n2
bohrs,
Z
(11)
vn =
Z
u.a.v.,
n
(12)
Z2
rydbergs
n2
(13)
y
En = −
0.2
TRANSICIONES
El electrón que gira en su órbita es atraı́do por la carga nuclear y consecuentemente
sufre una fuerza dirigida hacia el núcleo, y también una aceleración. Ahora bien, de
acuerdo con la teorı́a electromagnética clásica una carga en movimiento acelerado
emite radiación. Sin embargo, si el electrón recorriendo su órbita emitiera radiación
contı́nuamente acabarı́a por perder su energı́a y caerı́a en el núcleo. Como ésto no
ocurre Bohr propuso, simplemente, que el electrón no emite luz mientras recorre una
órbita determinada.
Postulado III
Mientras el electrón está en una órbita no emite ni absorbe luz. Se dice que el
electrón se encuentra en un estado estacionario.
Postulado IV
Cuando el electrón pasa de un estado estacionario a otro emite o absorbe luz de
frecuencia ν = ∆E/h donde ∆E es la diferencia de energı́a entre los dos estados. Se
dice que el electrón hace una transición del estado inicial al final.
La frecuencia correspondiente a una transición es
|∆E|
(14)
h
donde se toma el valor absoluto de ∆E = Ef inal − Einicial , pues la frecuencia no
puede ser negativa. Si ∆E es negativo, se trata de un fotón emitido. Si ∆E es
ν=
4
positivo, se trata de un fotón absorbido.
Por ejemplo, para una transición de n2 a n1 (con n2 > n1 ):
¯Ã
ν =
=
Z 2 e4 m
1 ¯¯
¯ −
h¯
2h̄2 n21
2π 2 Z 2 e4 m
h3
µ
Z2
h
µ
!
Ã
Z 2 e4 m
− − 2 2
2h̄ n2
1
1
− 2
2
n1 n2
!¯
¯
¯
¯
¯
¶
(15)
o, en unidades atómicas:
ν =
1
1
−
n21 n22
¶
(16)
con h expresado en rydbergs × seg (h=3.0396 × 10−16 rydbergs × seg ). Substituyendo, se obtiene:
µ
ν = 3.29 × 1015 Z 2
1
1
−
n21 n22
¶
s−1
(17)
A veces, en vez de la frecuencia se utiliza el número de onda:
ν
1
=
λ
c
El número de onda correspondiente a la transición de n2 a n1 en el átomo de Bohr
es:
ν̄ =
ν̄1→2
2π 2 Z 2 e4 m
=
h3 c
µ
1
1
− 2
2
n1 n2
¶
µ
2π 2 e4 m 2 1
1
=
Z
− 2
2
3
h c
n1 n2
¶
n2 > n1
La constante:
RH =
2π 2 e4 m
h3 c
es la constante de Rydberg, que vale:
RH = 109737.3177 cm−1
en perfecto acuerdo con el valor experimental. De ahı́ el gran éxito de la teorı́a de
Bohr.
5
0.3
EL POTENCIAL DE IONIZACION
El potencial de ionización es la energı́a necesaria para arrancar un electrón de un
átomo. El primer potencial de ionización, IZI , corresponde a la energı́a para retirar el
electrón más externo; IZII es la energı́a para retirar el segundo electrón cuando ya el
primero ha sido arrancado, . . . , etc. En general, para ionizar un átomo hidrogenoide
retirándole el electrón de la órbita ni :
µ
IZi
= ∆Eni →∞ = Z
2
1
1
−
2
n
∞
¶
rydbergs
(18)
Para el hidrógeno en su estado fundamental:
µ
IZI (H) = 1 −
1
∞
¶
= 1 rydberg
Para el He+ en su estado fundamental,
IZI (He+ ) = IZII (He) = 4 rydbergs
El potencial de ionización de un átomo o de un ión estable es siempre positivo.
0.4
ESPECTROS DE EMISION Y DE ABSORCION
Hay dos mecanismos principales mediante los cuales un átomo se puede excitar: la
absorción de un fotón cuya energı́a debe ser exactamente la diferencia entre las energı́as de los estados inicial y final; y la colisión de un átomo con otra partı́cula. Durante una colisión parte de la energı́a cinética es transformada en energı́a electrónica.
El primer mecanismo puede ser aprovechado para obtener el espectro de absorción de la muestra. Se hace incidir radiación proveniente de una lámpara de
filamento (por ejemplo, tungsteno, que proporciona una distribución contı́nua de
radiación de todas las longitudes de onda entre 3000 y 10,000 Å, aproximadamente)
sobre la muestra, y se analiza el espectro de la radiación emergente. Las longitudes
de onda correspondientes a transiciones permitidas son absorbidas, y en una placa
fotográfica aparecen lı́neas oscuras sobre fondo claro.
Para excitar los átomos por el mecanismo de colisiones, dos de las técnicas experimentales más utilizadas son las descargas eléctricas y las temperaturas elevadas
(por ejemplo, las llamas). El espectro de la radiación emitida por los átomos cuando
regresan a su estado fundamental presenta lı́neas caracterı́sticas (claras sobre fondo
oscuro) que constituyen el espectro de emisión de la muestra.
6
Como la mayoria de los átomos están, a temperatura ambiente, en su estado
fundamental, el espectro de absorción presenta solamente las lı́neas correspondientes
a transiciones desde el estado fundamental a estados excitados. El espectro de
emisión, sin embargo, contiene, en general, un número mayor de lı́neas, pues cuando
el átomo se encuentra en un estado excitado puede regresar al estado fundamental
por varios caminos.
0.5
EJERCICIOS
1. Dos de las lı́neas correspondientes a la emisión amarilla del sodio, llamadas
“lı́neas D”, se usan para calibrar espectroscopios. La longitud de onda de una
de esas lı́neas es 5890 Å. ¿Cuál es su energı́a?
2. Calcule la longitud de onda de de Broglie de un haz de electrones cuya velocidad es 137 veces menor que la velocidad de la luz. La masa del electrón es
9.11 x 10−28 gramos.
3. Calcule la energı́a, la cantidad de movimiento y la longitud de onda del fotón
emitido por un átomo de hidrógeno en una transición directa desde el estado
excitado n=10 al estado basal.
4. Calcule la longitud de onda de las tres primeras lı́neas de la serie de Lyman
del espectro del hidrógeno atómico. ¿Cuál es el lı́mite de la serie de Lyman
del hidrógeno?
5. Calcule IZII del átomo de helio.
6. Suponga que la fórmula de Bohr es válida para el electrón de la órbita n = 3
del átomo de sodio. Utilice una carga efectiva Zef = 2.2, y calcule el radio
atómico y el potencial de ionización IZI . Calcule la longitud de onda de la luz
emitida en la transición n = 4 a n = 3
7. Urey et al. reportaron la existencia de lı́neas muy ténues al lado de las de la
serie de Balmer, en el espectro del átomo de hidrógeno. Estas lı́neas fueron
atribuı́das a la presencia de deuterio. Calcule el corrimiento de la primera
lı́nea de la serie de Balmer del deuterio con respecto a la del hidrógeno.
7