Principio de Heisenberg
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Principio de Heisenberg Usando el principio de incertidumbre de Heisenberg, estimar el tamaño del átomo de hidrógeno, su energı́a y la velocidad del electrón. Solución Datos: h = 1, 055 · 10−34 J · s 2π me = 9, 109 · 10−31 kg ~= e = 1, 602 · 10−19 C C2 N · m2 Si ∆x y ∆p son los errores o incertidumbres que se cometen al medir la posición y el momento del electrón, entonces el principio de incertidumbre establece que 0 = 8,854 · 10−12 ∆x∆p ≥ ~ Tomaremos como incertidumbre en la posición el radio r del átomo y vamos a coger como medida la propia incertidumbre, que supondremos es la menor posible. Entonces escribimos ∆x ' r , ∆p ' p ⇒ pr ' ~ 1 Poniendo r' ~ p en la energı́a clásica del electrón, obtenemos la aproximación p2 e2 p2 e2 p E= − ' − 2me 4π0 r 2me 4π0 ~ El sistema será estable en el estado de mı́nima energı́a, por tanto anulamos la primera derivada p e2 e2 me dE =0⇒ − = 0 ⇒ p0 ' dp me 4π0 ~ 4π0 ~ con lo que la velocidad del electrón es aproximadamente v0 = p0 m km e2 = 2, 186 · 106 ' 8 · 106 ' me 4π0 ~ s h con esta velocidad el electrón tardarı́a unos 18 segundos en dar la vuelta a la Tierra. El radio de la órbita es del orden de 4π0 ~2 ~ = = 5, 297 · 10−11 m ' 0, 5 · 10−10 m r0 ' 2 p0 me e por lo que en un milı́metro se pueden alinear 10 millones de átomos. Para la energı́a encontramos el valor E' p20 me e4 e2 p0 =− = −2, 177 · 10−18 J ' −13, 6 eV − 2me 4π0 ~ 32π 2 20 ~2 que es efectivamente la energı́a de ligadura que se obtiene con el modelo de Bohr. 2
