Principio de Heisenberg

Principio de Heisenberg
Usando el principio de incertidumbre de Heisenberg, estimar el tamaño del átomo
de hidrógeno, su energı́a y la velocidad del electrón.
Solución
Datos:
h
= 1, 055 · 10−34 J · s
2π
me = 9, 109 · 10−31 kg
~=
e = 1, 602 · 10−19 C
C2
N · m2
Si ∆x y ∆p son los errores o incertidumbres que se cometen al medir la posición
y el momento del electrón, entonces el principio de incertidumbre establece que
0 = 8,854 · 10−12
∆x∆p ≥ ~
Tomaremos como incertidumbre en la posición el radio r del átomo y vamos a
coger como medida la propia incertidumbre, que supondremos es la menor posible.
Entonces escribimos
∆x ' r , ∆p ' p ⇒ pr ' ~
1
Poniendo
r'
~
p
en la energı́a clásica del electrón, obtenemos la aproximación
p2
e2
p2
e2 p
E=
−
'
−
2me 4π0 r
2me 4π0 ~
El sistema será estable en el estado de mı́nima energı́a, por tanto anulamos la primera
derivada
p
e2
e2 me
dE
=0⇒
−
= 0 ⇒ p0 '
dp
me 4π0 ~
4π0 ~
con lo que la velocidad del electrón es aproximadamente
v0 =
p0
m
km
e2
= 2, 186 · 106
' 8 · 106
'
me
4π0 ~
s
h
con esta velocidad el electrón tardarı́a unos 18 segundos en dar la vuelta a la Tierra.
El radio de la órbita es del orden de
4π0 ~2
~
=
= 5, 297 · 10−11 m ' 0, 5 · 10−10 m
r0 '
2
p0
me e
por lo que en un milı́metro se pueden alinear 10 millones de átomos.
Para la energı́a encontramos el valor
E'
p20
me e4
e2 p0
=−
= −2, 177 · 10−18 J ' −13, 6 eV
−
2me 4π0 ~
32π 2 20 ~2
que es efectivamente la energı́a de ligadura que se obtiene con el modelo de Bohr.
2