Problemes de Fermi per introduir la modelització a Secundària

Los problemas de Fermi como actividades
para introducir la modelización:
qué sabemos y qué más deberíamos
saber
Lluís Albarracín Gordo
Universitat Autònoma de Barcelona
Contenidos
• ¿Qué son los Problemas de Fermi?
• Algunos ejemplos y comentarios
• Aspectos clave desde la investigación en
Educación Matemática:
Definición
Análisis de las producciones de los alumnos
Secuencias de problemas
Formación del profesorado
¿Qué es un problema de Fermi?
Enrico Fermi (1901-1954)
Físico, ganador del Premio Nobel por
su trabajo con materiales radiactivos
Participó en el proyecto Manhattan,
dirigiendo la creación de la bomba
atómica
En sus clases, utilizaba unos problemas
muy curiosos...
...enfocados a agilizar el trabajo
experimental
Trinity Test
• Justo los antes del Trinity Test, Fermi decidió que
quería una estimación aproximada de la potencia de la
explosión
• Antes de que llegaran los datos de diagnóstico usó
unos papelitos que se puso en la cabeza durante la
explosión
• Estimó que la explosión era equivalente a 10 kilotones
de TNT
• La verdadera respuesta resultó ser de 20 kilotones de
TNT, pero llegó unas semanas después
Mi primer problema de Fermi
• Paulos, JA – El hombre anumérico - 1990
¿Cuántos afinadores de piano hay en
Chicago?
•
•
•
•
•
•
Población de Chicago: 3 millones de personas
Promedio estimado de dos personas en cada casa
Una de cada veinte casas tiene un piano
Un piano se afina una vez al año
Tiempo para afinar un piano: 2 horas
Cada afinador trabaja 8 horas por día, 5 días a la semana y 50
semanas en un año
• (3.000.000 personas) / (2 personas/casa) * (1 piano/20 casas)
* (1 afinación por piano por año) = 75.000 afinaciones por año
• (50 semanas)*(5 días)*(8 horas)/(2 horas por afinación)= 1000
afinaciones por año y afinador
• Estimación de 75 afinadores
El naming de mi casa
• Un año de naming del Camp Nou son 15 millones de
euros al año
• Los Barça - Madrid los ven unos 400 millones de
personas en el mundo
• Esta gente puede tener de media un impacto
publicitario del nombre de Camp Nou cada semana
• Cada impacto publicitario vale 0,00072 euros
• Yo hablo de mi casa con unas 200 personas y puedo
impactar unas 10 veces al año
• El naming de mi casa valdría 1,44 euros al año
Problemas de Estimación de grandes
cantidades
Problemas de estimación de grandes
cantidades
Grandes concentraciones de gente
• Conciertos más multitudinarios
Jean Michel Jarre, Moscú (1997): 3.500.000 personas
Rod Stewart, Rio de Janeiro (1994): 3.500.000 personas
Jean Michel Jarre, París (1990): 2.500.000 personas
Love Parade, Berlin (1999): 2.500.000 personas
The Rolling Stones, Rio de Janeiro (2006): 2.000.000 personas
• Actos religiosos
Kumbha Mela (India): 70.000.000 personas
Entierro de Juan Pablo II (2005): 800.000 personas
• Manifestaciones
Marcha de Washington (Luther King) - 28 de agosto de 1963: 300.000
personas
Primavera egipcia - 30 de junio de 2013: 14.000.000 personas
No a la guerra - 20 de marzo de 2003: 1.300.000 personas en
Barcelona, 100.000 en Valencia; 36.000.000 personas en todo el
mundo
El concierto de Jarre en Moscú
Cálculos
Superficie ocupada = 3.500.000/densidad (2
ppmc) = 1.750.000 m2
1.750.000*360/150=pi*r2 --> r= 1.156,25 m
Sobre el terreno
Comentarios de tipo general
• Se pueden utilizar problemas de diferentes
campos del conocimiento
• Los alumnos de niveles educativos diferentes
pueden enfocar su resolución
• A nivel universitario, se pueden combinar con los
métodos habituales para fomentar el sentido
numérico en cada disciplina
• En Educación Primaria y Secundaria se pueden
utilizar para introducir la modelización
matemática en entornos de resolución de
problemas
Sobre la definición
Sobre la definición
• En artículos de Didáctica de la Física, no se explicita
una definición de problema de Fermi (Robinson, 2008)
• En otros casos se ejemplifica (básicamente con el
problema de los afinadores de piano)
• En otros casos se ofrece una descripción que incluye
términos como estimación u orden de magnitud
• Se refieren a ellos con otros nombres (back of envelope
problems) o trabajan con ellos sin denominarlos
directamente (Numerically-Driven Inference problems)
Sobre la definición
• Anderson y Sherman (2010)
A Fermi question is a type of order of magnitude
estimation, often introduced in physics courses,
which seeks an estimate at least as accurate as
the correct answer rounded to the nearest
power of ten.
• Centrada en las intenciones del que propone
el problema
Sobre la definición
• Ärlebäck (2009)
Open, non-standard problems requiring the
students to make assumptions about the
problem situation and estimate relevant
quantities before engaging in, often, simple
calculations.
• Centrada en el proceso realizado por el
resolutor
Sobre la definición
• Necesitamos una definición que vaya más allá
de aspectos relativos
• Que incluya decidir en cada caso si nos
encontramos ante un problema de Fermi
• También necesitamos establecer niveles de
complejidad y categorías de problemas de
Fermi (por uso, temática, dificultad…)
Análisis de las producciones de los
alumnos
Estudios sobre las producciones de
los alumnos
• Las publicaciones que analizan las
producciones de los alumnos son escasas
• Están realizadas desde la perspectiva de la
Educación Matemática y la modelización
• Están centradas en el proceso de resolución y
en la precisión de los resultados
Mi primer estudio
Estudio de correción en los resultados
Anderson, P. & Sherman, C. A. (2010). A Simplified Method of Fermi
Estimation for the Student Innovator. In Proceedings of the National
Collegiate Inventors and Innovators Alliance Conference.
Sobre la precisión de los resultados
• No se ha estudiado la relación entre la bondad
en la resolución de problemas de Fermi y la
construcción de significado numérico
• Algunos autores sugieren que puede ser el
camino pero no se ha concretado
• Phillips, R., & Milo, R. (2009). A feeling for the numbers in
biology. Proceedings of the National Academy of
Sciences, 106(51), 21465-21471.
• White, H. B. (2004). Math literacy. Biochemistry
and Molecular Biology Education, 32(6), 410-411.
Mi primer estudio (estrategias)
Qüestionari definitiu
Problemas
•
•
•
•
A: ¿Cuánta gente cabe en el patio en un concierto?
B: ¿Cuánta gente hay en una manifestación?
C: ¿Cuántos SMS se envían en un día en Cataluña?
D: ¿Cuántas gotas son necesarias para llenar un
cubo?
• E: ¿Cuántos vasos son necesarios para llenar una
piscina?
• F: ¿Cuántas monedas de euro llenan una caja fuerte
cúbica de un metro cúbico?
NS/NC
Recompte exhaustiu
Font externa
Densidad de población
Cuadrícula – regla del producto
Quadrícula 3D
Iteració d’una unitat de referència
Estrategias detectadas
• Albarracín, L., & Gorgorió, N. (2014). Devising a plan to solve Fermi
problems involving large numbers. Educational Studies in
Mathematics, 86(1), 79-96.
• Albarracín, L. i Gorgorió, N. (2013). Problemas de estimación de
magnitudes no alcanzables: estrategias y éxito en la resolución. PNA, 7(3),
103-115.
Influencia del contexto
•
Albarracín, L., & Gorgorió, N. (2013). Problemas de estimación de grandes
cantidades: modelización e influencia del contexto. Revista latinoamericana de
investigación en matemática educativa, 16(3), 289-315.
Sobre las estrategias utilizadas
• Sería interesante estudiar dos aspectos clave:
1. Cómo evolucionan las estrategias de
resolución para alumnos cada etapa
educativa
2. Cómo el trabajo de modelización promueve
la creación de conceptos de alto nivel
Análisis de los procesos de
modelización
Análisis de los procesos de
modelización
• Resolver problemas de Fermi es una actividad
de modelización
Blum, W., & Leiss, D. (2007). Filling Up -the problem of independencepreserving teacher interventions in lessons with demanding modelling
tasks. CERME 4–Proceedings.
Análisis de las producciones de los
alumnos
Ärlebäck, J. B. (2009). On the use of realistic Fermi problems for introducing
mathematical modelling in school. The Mathematics Enthusiast, 6(3), 331-364.
Bañeras en una piscina
• Civil, E. (2013). Estratègies en l’estimació de
magnituds de volum inabastable. Trabajo Final
de Máster no publicado. UAB.
Realidad vs modelo ideal
• Civil, E. (2013). Estratègies en l’estimació de
magnituds de volum inabastable. Trabajo Final de
Máster no publicado. UAB.
En Educación Primaria
• Los alumnos de Educación Primaria (10 años)
también generan modelos y siguen procesos
complejos en la resolución
• Peter-Koop, A. (2004). Fermi problems in primary
mathematics classrooms: Pupils’ interactive
modelling processes. Mathematics education for the
third millenium: Towards 2010, 454-461.
En Educación Primaria
• Albarracín, L., Lorente, C., Lopera, A., Pérez, H. & Gorgorió, N. (2015).
Problemas de estimación de grandes cantidades en las aulas de Primaria.
Epsilon, 32(1).
Estrategias detectadas
• Albarracín, L., Lorente, C., Lopera, A., Pérez, H. &
Gorgorió, N. (2015). Problemas de estimación de
grandes cantidades en las aulas de Primaria. Epsilon,
32(1).
A nivel universitario (propuestas)
• Anderson, P. M., & Sherman, C. A. (2010). Applying the Fermi
estimation technique to business problems. The Journal of
Applied Business and Economics, 10(5), 33.
Fermi problems vs calificaciones
• Robinson, A. W. (2008). Don’t just stand
there—teach Fermi problems! Physics
Education, 43(1), 83.
Secuencias didácticas
Secuencias de problemas (intención
didáctica)
Kaiser, G., & Sriraman, B. (2006). A global survey of
international perspectives on modelling in mathematics
education. ZDM, 38(3), 302-310.
Modelling Development sequences
• Ärlebäck, J. B., & Doerr, H. M. (2015). Moving Beyond a Single Modelling
Activity. In Mathematical Modelling in Education Research and
Practice (pp. 293-303). Springer International Publishing.
Secuencia de problemas sobre
concentraciones de personas
Elaboración del concepto de densidad
de población
• Albarracín, L. & Gorgorió, N. Densidad de población: Construcción de un
modelo matemático universal en el aula de secundaria. En revisión.
Matemática crítica con problemas de
Fermi - El caso del Palau St. Jordi
• Estimaciones de los alumnos: 15.000 – 24.000
• Aforo real: 17.896
•
Albarracín, L., & Gorgorió, N. (2015). On the role of inconceivable magnitude estimation
problems to improve critical thinking. En Educational Paths to Mathematics (pp. 263-277).
Springer International Publishing.
Caracterizando modelos
• Gallart, C., Ferrando, I., García-Raffi, L. M., Albarracín, L. y Gorgorió, N.
(2015). Una herramienta para la caracterización de modelos producidos en
la resolución de Problemas de Fermi. En Investigación en Educación
Matemática XIX (pp. 269-278). SEIEM.
Formación del profesorado
Formació del professorat
• Albarracín, L., Chico, J. & Guinjoan, M. (2015). Aprendiendo a enseñar
matemáticas a partir de la propia experiencia. Procedia-Social and
Behavioral Sciences, 196, 113-119.
Posada en comú
Formación del profesorado
• ¿Qué dificultades puede tener el profesorado
al implementar secuencias de problemas de
Fermi?, ¿cómo superarlas?
• Conocimiento de la realidad estudiada,
métodos de validación de resultados
• Gran variedad de estrategias de
resolución/modelos
A modo de conclusión
Conclusiones
• Los problemas de Fermi son versátiles y se han
demostrado útiles en diferentes contextos
educativos
• Permiten ser creativos (a los alumnos y al
profesorado)
• Tenemos evidencias de algunas de sus
posibilidades didácticas pero queda mucho
terreno por explorar
Lluís Albarracín Gordo
Universitat Autònoma de Barcelona
La V - Barcelona
• 11 de setembre de 2014
La V – Barcelona (els meus càlculs)
• Recollida de dades sobre quadrats de 3 metres de
costat
19
24
27
21
24
27
21
25
28
23
25
29
23
25
23
26
• Mitjana per quadrat=390/16=24,375
• Mitjana per metre quadrat=24,375/9=2,708
La V – Barcelona (els meus càlculs)
• 11,3 km de llargària
• 32 m d’ample
• 2,708 persones x m2
• 979.213 persones