2.2.29. Demostrar que
P
n≤x (Ω(n)
− ω(n))2 = O(x).
Solución: Para el resto de la prueba, p y q representan siempre un
número P
primo. Vamos a P
empezar poniendo la definición de esas funciones,
Ω(n) = pα |n 1 y ω(n) = p|n 1, por tanto lo que queremos estimar es:
X
XX
(Ω(n) − ω(n))2 =
(
1)2 .
n≤x pα |n
α≥2
n≤x
Donde α es un entero mayor o igual a 2 y como mucho será log x/ log 2,
ası́ que la suma es finita. Como tenemos una cantidad elevada al cuadrado,
podemos poner eso como
X
XX X
(Ω(n) − ω(n))2 =
(
1)(
1).
n≤x pα |n
α≥2
n≤x
Reordenando esas sumas llegamos a
XXXXX
n≤x α≥2 β≥2
pα |n
q β |n
β≥2
1.
q β |n
Invertimos el orden de sumación
XXXXX
1.
(1)
α≥2 β≥2 n≤x pα |n q β |n
P
P
P
Y nos fijamos en los tres últimos sumatorios,
n≤x
pα |n
q β |n 1. de
nuevo aquı́ cambiando el orden de las sumas llegamos a otra expresión más
manejable:
XXX
XXX
1=
1.
n≤x pα |n q β |n
p≤x q≤x n≤x
pα |n
q β |n
Ahora tenemos que dividir en casos, en el último sumatorio si tenemos que
p 6= q entonces sumar 1 por cada n tal que pα |n y q β |n es lo mismo que sumar
1 cada vez que nos encontremos un n tal que pα q β |n. Por tanto el sumatorio
de arriba es igual a
XXX
1=
p≤x q≤x n≤x
pα |n
q β |n
XXX
1+
XXX
1.
p≤x q=p n≤x
pα |n
q β |n
p≤x q≤x n≤x
q6=p pα |n
q β |n
El caso en que p 6= q es más sencillo ya que tenemos
XXX
XX X
XX x 1=
1=
pα q β
p≤x q≤x n≤x
p≤x q≤x n≤x
p≤x q≤x
q6=p pα |n
q β |n
q6=p pα q β |n
q6=p
XX 1
X 1
≤x
=
x
pα q β
pα
p≤x q≤x
p≤x
!
X 1
qβ
q≤x
!
.
q6=p
Y si nos acordamos esto estaba sumado en α y en β por la fórmula (1), por
tanto nos queda este primer trozo estimado por
X 1
x
pα
α≥2 β≥2
p≤x
XX
!
X 1
qβ
q≤x
!
XX 1
=x
pα
α≥2 p≤x
!
XX 1
qβ
β≥2 q≤x
!
Y ahora de nuevo invirtiendo el orden de sumación nos queda
XX 1
≤x
pα
p≤x α≥2
!
XX 1
qβ
q≤x β≥2
!
=x
X
p≤x
1
p2 − p
!
X
q≤x
1
q2 − q
!
= O(x).
Donde hemos acotado las dos últimas series por la serie completa (que es
convergente ya los términos se comportan como 1/n2 ). Recapitulando, lo
que hemos visto es que
X
XXXXX
(Ω(n) − ω(n))2 = O(x) +
1.
n≤x
α≥2 β≥2 p≤x q=p n≤x
pα |n
q β |n
Ahora hay que lidiar con ese otro sumando. Para empezar, la condición
p |n y q β |n se transforma sencillamente en pmax(α,β) |n. Y lo que tenemos es
α
XXXX
X
α≥2 β≥2 p≤x q=p
n≤x
pmax(α,β) |n
P
P
P
n≤x 1
α≥2 p≤x pα |n
+P
1=
P
P
2 α>β≥2 p≤x n≤x 1.
pα |n
Donde lo que hemos hecho ha sido sencillamente separar el caso α = β del
caso α 6= β que por simetrı́a es dos veces el caso α > β ≥ 2. De nuevo, lo que
queremos ver es que esas cantidades son O(x). Para la primera procedemos
ası́:
XXX
XX 1
XX x XX 1
≤
x
1=
=
x
pα
pα
pα
α≥2 p≤x n≤x
α≥2 p≤x
α≥2 p≤x
p≤x α≥2
pα |n
=x
X
p≤x
p2
1
= O(x).
−p
Y en el segundo caso (α = max(α, β)):
X X x X X 1
2
1=2
≤
2x
pα
pα
α>β≥2 p≤x n≤x
α>β≥2 p≤x
α>β≥2 p≤x
X XX
pα |n
= 2x
XX X 1
XX 1
X 1
x
x
x.
pα
pβ+1
p3
p≤x β≥2 α≥β+1
p≤x β≥2
p≤x
Donde he usado la notación de f g cuando quiero decir f = O(g). Por
tanto poniendolo todo junto efectivamente sale que
X
(Ω(n) − ω(n))2 = O(x).
n≤x
Problema escrito por Diego González Sánchez.
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