Unidad 2 - Facultad de Ingeniería

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ
Unidad 2: Ecuaciones
UNIDAD 2 – Ecuaciones...................................................................................................... 25
Introducción ......................................................................................................................... 25
2.1.- Ecuaciones algebraicas ........................................................................................... 25
2.2.- Ecuación de primer grado con una incógnita ........................................................... 25
2.2.1.- Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita .......................... 26
2.3.- Ecuación de segundo grado con una incógnita ........................................................ 30
2.3.1.- Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita ...................... 31
2.3.2.- Tipos de soluciones de una ecuación cuadrática .............................................. 31
2.3.3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas ...................................................... 32
2.3.4.- Ecuaciones de segundo grado factorizadas ...................................................... 33
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 2 .............................................................................. 35
1.- Ecuaciones de primer grado ........................................................................................... 35
2.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado ....................................... 35
3.- Ecuaciones de segundo grado........................................................................................ 37
4.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado.................................... 38
5.- Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones...................... 39
6.- Problemas ...................................................................................................................... 39
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Unidad 2: Ecuaciones
UNIDAD 2 – Ecuaciones
Introducción
Es muy importante para un estudiante de Ingeniería adquirir la capacidad de resolver
situaciones problemáticas. En la mayor parte de los casos las condiciones que se plantean
en un problema pueden expresarse a través de ecuaciones.
En esta Unidad se abordará la formulación y solución de ecuaciones lineales y de
ecuaciones cuadráticas con una incógnita, convencidos de que su estudio es necesario para
facilitar el aprendizaje de los temas que se tratan en las unidades que siguen.
Las actividades propuestas han sido diseñadas para que el alumno pueda ejercitar y
desarrollar habilidades para interpretar enunciados y modelar matemáticamente situaciones
problemáticas sencillas, empleando las ecuaciones apropiadas.
2.1.- Ecuaciones algebraicas
Las siguientes expresiones matemáticas reciben el nombre de ecuaciones.
E1: x
3=2
E2:
x2 = 3
E3: x + y = 9
Una ecuación algebraica es una igualdad en la que aparecen números y letras ligados
mediante operaciones algebraicas. Las letras cuyos valores son desconocidos se llaman
incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican la
igualdad. Estos valores constituyen lo que se llama conjunto solución de la ecuación.
Por ejemplo, en el caso de E1:
x = 5 es solución, porque verifica la igualdad, es decir 5 3 = 2 .
2.2.- Ecuación de primer grado con una incógnita
La propuesta consiste en plantear una ecuación para cada uno de los problemas siguientes
y luego encontrar el conjunto solución.
1. En una competencia internacional,
los nadadores deben nadar tres estilos.
De la longitud total (medida en metros)
que deben nadar para completar la
2. Un cable de 20 m de longitud
debe cortarse en dos partes, de
modo tal que una sea igual a
3
lo deben hacer en estilo
8
1
en croll y 700 m en
mariposa,
3
la otra. ¿Cuál es la longitud del trozo
más corto?
prueba:
espalda. ¿Cuántos metros recorren los
nadadores que completan la prueba?
Curso de Ingreso
2
de
3
25
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Problema 1
¿Cómo escribir en lenguaje algebraico el enunciado del problema?
Longitud
recorrida en
estilo mariposa.
+
Longitud
recorrida en
estilo croll.
+
700 m en
=
estilo
espalda.
Longitud
prueba
de
la
La longitud (en m) de la prueba es la incógnita y se designará con x .
La longitud recorrida en estilo mariposa es
La longitud recorrida en estilo croll es
3
3
de x , es decir
x.
8
8
1
1
de x , es decir
x.
3
3
Por lo tanto, la ecuación que modela el problema 1 resulta:
3
1
x + x + 700 m = x
8
3
Dado que el mayor exponente al que está elevada la incógnita x es 1, la ecuación
planteada recibe el nombre de ecuación de primer grado o ecuación lineal con una
incógnita.
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma:
a x + b = 0 con a, b R; a 0
2.2.1.- Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver una ecuación de este tipo, es decir, para encontrar el único valor de x que la
satisface (llamado también raíz de la ecuación lineal), es necesario tener en cuenta las
siguientes propiedades de la relación de igualdad:
• Si se suma a ambos miembros de una igualdad una misma expresión algebraica, se
obtiene una ecuación equivalente.
• Si se multiplican ambos miembros de una igualdad por una misma expresión
algebraica, se obtiene una ecuación equivalente.
Se recuerda que se llaman ecuaciones equivalentes
conjunto solución.
a aquellas que tienen el mismo
Ejemplo: Resolución de la ecuación que modela el Problema 1:
3
1
x + x + 700m = x
8
3
Con la finalidad de reunir en el primer miembro todos los términos en los que figura la
incógnita x , y dejar en el segundo miembro sólo el término independiente, se suma a
ambos miembros de la igualdad la expresión
x 700 m
26
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3
1
x + x + 700 m
8
3
x 700m = x
x 700m
Cancelando los términos que corresponda, se obtiene:
3
1
x+ x
8
3
x = 700m
Operando, resulta:
7
x = 700m
24
Se multiplican ambos miembros por el inverso de
7
x
24
7
24
24
= 700m
7
24
7
y simplificando se obtiene:
x = 2400 m
La ecuación presenta una única solución x = 2400 m y por lo tanto el conjunto solución es
S = { 2400 m} .
La respuesta a la pregunta planteada en el problema es: “Los nadadores deben recorrer
2400 m para completar la prueba”
Comprobación:
Para verificar si el valor de x obtenido es efectivamente la solución del problema, se
reemplaza dicho valor en la ecuación original comprobando si satisface la igualdad.
3
1
2400m + 2400m + 700 m = 2400m
8
3
Problema 2
Se deja como ejercicio el planteo y la resolución de este problema.
Otros ejemplos:
Ejemplo 1: Resolver x + 3 = 7
Si se suma a ambos miembros el opuesto aditivo de 3 , se obtiene:
x + 3 3 = 7 3.
Reduciendo términos queda:
x=7 3
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Se observa que el 3 que aparecía sumando en el primer miembro de la ecuación x + 3 = 7 ,
pasó al segundo miembro restando.
Entonces, x = 4 es la solución de la ecuación dada.
Ejemplo 2 : Resolver 5 x = 12
Si se multiplican ambos miembros por el recíproco de 5 , se obtiene
1
1
5 x = 12
5
5
Simplificando, queda:
x=
12
5
El 5 que aparecía multiplicando en el primer miembro de la ecuación 5 x = 12 , pasa al
segundo miembro dividiendo.
Ejemplo 3 : Determinar el valor de x que verifica la siguiente ecuación:
2 3x
3
3 ( x 4)
1 + 3x
=4
4
2
Se mostrará, a modo de guía, la resolución de esta ecuación que presenta varias de las
dificultades que usted deberá superar. Se indican los posibles pasos a seguir, aclarando que
no es ésta la única forma correcta de resolver el ejercicio.
• En primer lugar se separan términos y se efectúan las operaciones indicadas,
teniendo en cuenta la jerarquía, en lo que a orden de ejecución se refiere.
Considerando que la ecuación dada, también puede expresarse del siguiente modo:
1
(2 3x ) 3 ( x 4) = 4
3
4
1
(1 + 3x ) ,
2
si se aplica propiedad distributiva resulta:
2
3
x
3
x+3= 4
4
1
2
3
x.
2
• Se agrupan en un miembro todos los términos que contienen la incógnita x y en el
otro, todos los términos independientes.
x
3
3
x+ x=4
4
2
1
2
2
3
3
• Se efectúan las sumas indicadas en ambos miembros.
1
x=
4
1
6
• Se despeja la incógnita obteniéndose la solución de la ecuación.
28
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1
:
6
x=
1
=
4
1
6
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( 4) = 4 = 2
6
3
La solución de la ecuación es x =
2
.
3
• Se verifica si el valor hallado satisface la ecuación original.
2 3
2
3
3
3
5
0+ = 4
2
5 5
=
2 2
2
2
4
1+ 3
3
3
=4
4
2
3
2
Al resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, de la forma
ó su equivalente
ax = b
, la solución es única, dada por x =
ax + b = 0
b
.
a
Ejemplos:
• 3 x 12 = 7 ( x
2) + 3
3 x 12 = 7 x 14 + 3
3 x 7 x = 14 + 3 + 12
4x = 1
x=
1
4
• 5 + 2x = 4x + 1 + 4
2x 4x = 1 + 4 5
2x = 0
x= 0
En ciertas ocasiones se pueden presentar expresiones algebraicas con apariencia de
ecuaciones lineales, que no son tales.
1º Caso: Si a = 0 y b
0 , entonces la ecuación ax + b = 0 no tiene solución.
Ejemplo:
• 5x
2( x 1) = 7 + 3 x
5x 2 x + 2 = 7 + 3x
5 x 2 x 3x = 7 2
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0x = 5
La ecuación no tiene solución, ya que no existe ningún número real x que satisfaga la
igualdad 0 x = 5 .
2º Caso: Si a = 0 y b = 0 , entonces la ecuación ax + b = 0 tiene infinitas soluciones.
Ejemplo:
• 3x + 5
3x
x = 2x 3 + 8
x 2x = 3 + 8 5
0x = 0
Cualquier número real x satisface la igualdad, ya que es una identidad.
2.3.- Ecuación de segundo grado con una incógnita
Se pide ahora plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas:
2. El producto de dos números
enteros consecutivos es 2070 .
¿Cuáles son dichos números?
1. Un diagramador debe definir las
dimensiones de un folleto turístico. El
área de cada página debe ser de
360 cm2 y se requiere que el largo sea
9 cm mayor que el ancho. ¿Cuáles
deberán ser las dimensiones del folleto
para
que
se
cumplan
ambas
condiciones?
Problema 1
¿Cómo escribir en lenguaje algebraico la situación planteada?
Ancho de
la página
×
Largo de
la página.
=
Área de la
página.
El ancho de la página es la incógnita y la llamaremos x .
El largo de la página es 9 cm mayor que el ancho, es decir x + 9cm .
La ecuación que modela el problema 1 es:
x ( x + 9 cm ) = 360 cm 2
Si se aplica propiedad distributiva resulta:
x 2 + 9cm x = 360cm 2 ,
que también puede expresarse como
x 2 + 9cm x 360cm 2 = 0 .
30
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La ecuación planteada se llama ecuación de segundo grado con una incógnita o ecuación
cuadrática ya que el mayor exponente al que está elevada la incógnita es igual a 2 .
Una ecuación de segundo grado con una incógnita, una vez simplificada y ordenada, adopta
la forma general:
a x 2 + b x + c = 0 con a
0;
a, b, c
R
2.3.1.- Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Las soluciones de la ecuación general se obtienen aplicando la fórmula:
x1, 2 =
b ± b2
2a
4ac
El doble signo que aparece en la fórmula proporciona las dos soluciones x1 y x2 que tiene
la ecuación.
Las soluciones x1 y x2 se llaman también raíces de la ecuación cuadrática.
Volviendo al problema 1, la ecuación que debe resolverse es:
x 2 + 9cm x 360cm 2 = 0 , donde a = 1 , b = 9cm y c = 360cm 2 .
Sus soluciones se calculan aplicando la fórmula correspondiente.
x1, 2 =
9cm ± 9 2 cm 2 4 1 ( 360cm 2 )
=
2 1
x1 =
9cm + 39cm
= 15cm
2
x2 =
9cm 39cm
= 24cm
2
9cm ± 1521cm 2
2
La solución x 2 = 24cm se descarta porque no tiene sentido en este problema, ya que el
ancho de la página no puede tener un valor negativo.
Por lo tanto:
Ancho: 15cm
Largo: (15 + 9)cm
Se concluye que el folleto deberá tener 15 cm de ancho y 24 cm de largo.
Problema 2
Se deja como ejercicio el planteo y la resolución de este problema.
2.3.2.- Tipos de soluciones de una ecuación cuadrática
Analizando el radicando de la fórmula utilizada para el cálculo de las raíces, es decir:
b2
4ac es posible determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática
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ax 2 + bx + c = 0 . Por este motivo, dicha expresión recibe el nombre de discriminante de la
ecuación.
• Si b 2 4ac > 0 , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) reales
y distintas
2x 2 + 5x 3 = 0
Ejemplo: Resolver
b2
4ac = 25 4 2 ( 3) = 49 > 0
5 ± 49
4
x1, 2 =
Soluciones: x1 =
1
2
x2 = 3
y
• Si b 2 4ac = 0 , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones) reales
y coincidentes.
x2
Ejemplo: Resolver
b2
2x + 1 = 0
4ac = 4 4 1 1 = 0
x1, 2 =
2± 4 4
2
Soluciones: x1 = x2 = 1
• Si b 2 4ac < 0 , entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces (soluciones)
complejas conjugadas.
x2
Ejemplo: Resolver
b2
4 x + 13 = 0
4ac = 16 4 1 13 = 16 52 = 36 < 0
x1, 2 =
4±
36
2
Soluciones: x1 = 2 + 3 i
y
=
4 ± 36 ( 1) 4 ± 36
=
2
2
1
=
4 ± 6i
2
x2 = 2 3 i
2.3.3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas
Para que ax 2 + bx + c = 0 sea una ecuación de segundo grado, debe ser a 0 , pero puede
faltar el término lineal, o el término independiente. Esto da lugar a ecuaciones incompletas
de fácil solución.
2
• Si b = 0 , se tiene ax + c = 0
Ejemplo: 2 x 2
x2 =
3=0
3
2
32
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Soluciones: x1 =
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3
2
y
3
2
x2 =
2
• Si c = 0 , se tiene ax + bx = 0
Ejemplo: 2 x 2 + 5 x = 0
x=0
x (2 x + 5) = 0 si
o
2x + 5 = 0
Soluciones: x1 = 0
y
x=
5
2
5
2
x2 =
2
• Si b = 0 y c = 0 , se tiene ax = 0
Ejemplo: 3 x 2 = 0
Soluciones: x1 = x2 = 0
2.3.4.- Ecuaciones de segundo grado factorizadas
En este caso la ecuación aparece descompuesta en factores e igualada a cero.
Ejemplo: 4 ( x
2) ( x + 3) = 0
El primer miembro de la ecuación aparece como producto de tres factores y la igualdad se
verifica cuando alguno de ellos es cero.
Es evidente que, de los tres factores, sólo pueden anularse el segundo y el tercero.
Por lo tanto,
4 ( x 2) ( x + 3) = 0 si
x 2=0
x=2
o
x+3= 0
x= 3
De esta forma se han obtenido las dos raíces de la ecuación dada: x1 = 2 y x 2 = 3 .
Si se aplica propiedad distributiva a la expresión factorizada, se obtiene la forma general de
la ecuación de segundo grado.
4 ( x 2) ( x + 3) = 0
(4 x 8) ( x + 3) = 0
4 x 2 + 12 x 8 x 24 = 0
4 x 2 + 4 x 24 = 0
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Se puede comprobar que las raíces de esta ecuación, halladas a partir de la fórmula ya
conocida, son efectivamente x1 = 2 y x 2 = 3 .
Si ax 2 + bx + c = 0 tiene raíces x1 y x2 , entonces ax 2 + bx + c = a ( x
34
x1 ) ( x
x2 ) .
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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 2
1.- Ecuaciones de primer grado
1.1. Comprobar que x = 12 es solución de la ecuación 3 x 10 = 5 x + 2
x
1.2- Calcular el valor de x que verifica cada una de las siguientes ecuaciones.
a. 5( x + 1) 3 = x
b. ( x + 10 )
c. 2 x
(x
(2 + x )
2) = 4 ( x 1)
x+4
1
+ 3x 2 =
6
3
d.
1
1
x+ x
2
3
x
=x 1
2
e.
3
(x 1) 2 (2 x 4) = 1
5
3
2
f.
2x 3
x 1 12 x + 4
+x+
=
9
3
9
g.
4 x + 1 3(x + 5) 2 2 x
=
5
6
4
h.
4x 6
12
3x 8 2 x 9
=
4
3
x
x 4
8
2.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado
2.1. La suma de dos números consecutivos da como resultado el cuadrado de 5. ¿Cuáles
son dichos números?
2.2 La suma de dos números pares consecutivos es 74. ¿Cuáles son dichos números?
2.3. Hallar tres números consecutivos tales que el primero, más la mitad del segundo, más
la tercera parte del tercero, sea igual a 58.
2.4. Averiguar un número tal que el duplo del mismo disminuido en 1 es a 8, como la mitad
del número es a 3.
2.5. María tiene que subir rollos de tela en un ascensor en el que se pueden cargar hasta
350Kg. ¿Cuál es el mayor número de rollos que puede subir en cada viaje, si ella pesa 55kg
y cada rollo pesa 18kg?
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2.6. Un padre tiene 36 años y su hija 6. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el
doble que la edad de la hija?
2.7. Eduardo salió el sábado con sus amigos. La mitad del dinero que llevaba lo gastó en
comer, la mitad de lo que le quedó lo gastó en ir a bailar y aún le sobraron $13. ¿Con cuánto
dinero salió de su casa?
2.8. Después de recorrer
7
1
de un camino aún quedan
km para completar la mitad del
15
3
recorrido. ¿Qué longitud tiene el camino?
2.9. El abuelo de Victoria se dedica a la cría de canarios. La semana pasada, distribuyó sus
250 pájaros en tres jaulas grandes: en la primera hay 30 menos que en la segunda, y en
ésta, 10 menos que en la tercera. ¿Cuántos canarios hay en cada jaula?
2.10. Si gasté
5
del dinero que tenía y $20 más; me quedé con la cuarta parte de lo que
8
tenía y $16 más. ¿Cuánto dinero tenía?
2.11. ¿Cuál es el ancho de un rectángulo que mide 16 cm de largo si su área es equivalente
al área de un cuadrado de 12 cm de lado?
2.12. En un rectángulo, el largo excede en 8 cm al ancho. Si el perímetro mide 72 cm. ¿Cuál
es su área?
2.13. El perímetro de un cuadrado de lado 2m es igual al perímetro de un rectángulo cuyo
largo es el triple del ancho. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?
2.14. Todas las figuras tienen área 1m2. Hallar el valor de x. Expresar todos los resultados
sin radicales en el denominador.
a.
(
5
b.
)
2 m
h = 7m
x
x
c.
2m
x
6m
2.15. El señor López retiró el 25% de sus ahorros para comprarse una campera cuyo costo
es de $250. ¿Cuántos pesos tenía ahorrados?
36
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2.16. Se vende mercadería en $77,60 perdiendo el 3% de lo que costó. ¿Cuál es el costo?
3.- Ecuaciones de segundo grado
3.1. Calcular los valores de x, v, t o z que satisfacen cada una de las siguientes ecuaciones.
2
a. 2 x + 8 = 0
2
b. x + x +
i.
1
=0
4
j.
2
c. t + 4t = 0
d. 2 x 2
12 x = 0
e. (v + 7 )(v
3) = 0
f. 4 x 2 + 4 x + 1 = 0
g. 5 x
2
3x + 1 = 0
x
3
2
1
2
t
2
2
1
=0
4
3 +1 = 3
k.
21x 6 = 3x
l.
1
3
25 x 2 + = 5
5
4
m.
1
5
3
2
t +3
1
=1
9
x=0
2
h. 2 x 2
3.2. Utilizar el discriminante para determinar qué tipo de soluciones tienen las siguientes
ecuaciones:
a. 4 x 2
9=0
b. x 2
2x 4 = 0
x2
4
x 3=0
d. 2( x
2 )2 = 4
e. 2t 2
4t + 1 = 0
c.
f. 2 x + x + 9 = ( x + 4 ) ( x + 1)
2
g.
x
1
2
(2 x 1) = 0
3.3 ¿Para qué valor de k la ecuación kx 2
2kx + 1 = 0 tiene raíces reales iguales?
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4.- Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado
4.1. ¿Cuál es el número natural cuyo cuadrado menos su duplo es igual a 15?
4.2. Calcular los números que cumplen: la suma entre el número y la mitad de su cuadrado
es igual a 60.
4.3. Calcular un número tal que el producto entre la mitad de dicho número y su cuarta
parte, más la tercera parte de su antecesor es igual a 37.
4.4. Calcular la edad de Lorena si sabemos que el cuadrado de su edad menos las tres
cuartas partes del cuadrado de lo que va a tener el año que viene es igual a la edad que
tenía el año pasado más 43 años.
4.5. Una sección de un piso de madera mide 450 cm2 de área. Esta sección está formada
por 6 piezas rectangulares idénticas ubicadas como indica la figura. Calcular las dimensiones de cada pieza
x
x
.
4.6. Calcular el perímetro de cada una de las siguientes figuras.
a.
b.
5cm
x
A= 84cm
x+1cm
2x-3cm
2
x+7cm
c.
d.
x
x+1cm
x-3cm
x-7cm
e.
x+4cm
f.
x+9cm
4cm-8x
x+5cm
A=160cm
2x-5cm
2
x+2cm
x+11cm
A=90cm
38
2
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Unidad 2: Ecuaciones
4.7. En una empresa, la cantidad ”c” de conexiones telefónicas que se pueden hacer con un
1
n(n 1) .
2
El operador puede realizar con el conmutador 496 conexiones, ¿cuántos aparatos “n” están
conmutador, al cual están conectados “n” aparatos, está dado por la ecuación c =
conectados?
5.- Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones.
a. (4 x + 5) (3 x
2) = (2 x 3) (1 + 6 x )
b. ( x + 1) + 3 x
x2 = 3
2
c. 4
(x + 2) (x
2 ) = 8 x ( x + 5)
d. ( x 1) ( x + 1) = 0
e. (5 + x) ( x + 3) = 2
f. 2 = ( 2 x + 5) ( x + 1)
g.
x + 1 15 x + 11
=
2
6
6.- Problemas
6.1. En la primera etapa de un viaje se ha gastado la mitad del contenido de combustible de
un auto y en la segunda etapa se gastó la mitad de lo que quedaba. Aún quedan 15 litros.
¿Cuántos litros tenía el tanque de combustible al iniciar el viaje?
6.2. Sabiendo que la altura de un rectángulo es la mitad de su base y que su superficie mide
32cm2. ¿Cuánto miden la base y la altura?
6.3. Un filatelista dice poseer un número de estampillas tal que, triplicado y sumado a la
mitad de su consecutivo es igual a 6122. ¿Cuántas estampillas posee?
6.4. En una cancha de tenis el largo, de 26m, excede en 2m al doble de su ancho. ¿Cuál es
su ancho?
6.5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es 10cm mayor que el perímetro
de un rectángulo de largo igual al lado del cuadrado y de ancho igual a 4cm?
6.6. El cuadrado de un número menos su quíntuplo es igual a 6. ¿Cuál es el número natural
que verifica esta condición?
6.7. Un hombre cercó un terreno rectangular cuyo perímetro es 400m y pagó $3720. El
frente del terreno mide 60m. El precio por cada metro de cerca frontal es $2 más caro que el
precio por cada metro del resto de la cerca. ¿Cuál es el precio por cada metro para la cerca
frontal y para el resto?
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Unidad 2: Ecuaciones
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6.8. Encuentre dos números consecutivos enteros, cuyo producto es mayor en 41 a su
suma.
6.9. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte
del resto y quedan aún 1600l. Calcular la capacidad del depósito en cm3.
6.10. El triplo de un número supera en 2 a su cuadrado. ¿Cuáles son los números que
verifican esta condición?
6.11. La suma de tres corrientes es de 12 A (Amperes). Si la más pequeña es de 2A menos
que la siguiente, la que a su vez es 2A menos que la mayor. ¿Cuáles son los valores de
cada una de las tres corrientes?
6.12. Durante la mañana, se llenó la cuarta parte de la piscina de un club, durante la tarde
se llenaron las dos quintas partes y aún faltan 4116 litros para llenarla completamente.
¿Cuál es la capacidad de la piscina?
6.13. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos
semanas de vacaciones.
Durante la primera semana Aldo gastó la mitad de su dinero, durante la segunda semana
gastó la tercera parte de su dinero y el resto lo ahorró.
En cambio Bruno gastó la primera semana la cuarta parte de su dinero y logra ahorrar el
doble de lo que ahorró Aldo.
Si se tiene como información que Bruno ahorró $156. ¿Cuánto dinero gastó Bruno la
segunda semana?
6.14. De una pileta con agua se extrae la tercera parte de su contenido, después la mitad
del resto y quedan aún en la pileta 14875 litros de agua.
a. Calcule el volumen de agua que había en la pileta antes de comenzar el vaciado.
Exprese el resultado en m3
b. Determine el valor de la altura que alcanzaba el agua en la pileta, sabiendo que ésta
tiene forma de paralelepípedo con 75dm de largo y 35dm de ancho. Exprese el
resultado en m.
6.15. Con 29 baldosas más, el piso de mi habitación, que es cuadrada, tendría exactamente
una baldosa más por lado (ver figura).
Piso de mi habitación
n baldosas
(n+1) baldosas
n baldosas
(n+1) baldosas
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Unidad 2: Ecuaciones
a. ¿Cuántas baldosas tiene el piso de mi habitación?
b. La longitud del lado de cada baldosa es 25cm ¿cuál es el área del piso de mi
habitación?
6.15. Una gota de aceite de 9x10-7kg de masa y de 0,918g/cm3 de densidad se esparce en
un círculo de 41,8cm de radio sobre la superficie del agua. ¿Cuál es el espesor de esta
“película” de aceite?
6.16. Como consecuencia del calentamiento global del planeta, el hielo de algunos glaciares
se está derritiendo. Doce años después de que el hielo haya desaparecido, empiezan a
crecer en las rocas unas plantas diminutas, llamadas líquenes. Los líquenes crecen
aproximadamente en forma de círculo.
La relación entre el diámetro de este círculo y la edad del liquen se puede expresar
aproximadamente mediante la fórmula d = 7,0 (t 12 ) siendo d el diámetro del liquen en
mm y t el número de años transcurridos desde que el hielo ha desaparecido.
a. Calcular el diámetro que tendrá un liquen 16 años después de que el hielo haya
desaparecido.
b. ¿Qué puede decir de los líquenes cuando hayan transcurrido 8 años desde la
desaparición del hielo en el lugar?
c. Si el diámetro de un liquen mide 0,035m. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que
el hielo desapareció del lugar?
d. Si se mide otro liquen y se obtiene el doble del diámetro que en el caso anterior.
¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde que el hielo desapareció de ese lugar?
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