CURSO DE MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS

2011
Realizó: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales
CURSO DE MATEMATICAS
ADMINISTRATIVAS
En este curso se incluyen todos los temas que se estudiaran
durante la materia matemáticas administrativas, involucrando en la
medida de lo posible problemas reales.
INSTITUTO
TECNOLOGICO
SUPERIOR DE
PUERTO PEÑASCO
Curso Propedéutico
“Matemáticas Para Administracion”
Contenido
I: Funciones Matemáticas Y Ecuaciones Lineales ................................................. 3
1.1
Definición de Función. .................................................................................. 3
1.2 Dominio y Rango ............................................................................................. 5
1.3 La Línea Recta ............................................................................................... 7
Primer Sección Ejercicios ......................................................................................10
1.4 Representación Gráfica De Funciones ............................................................13
Segunda Sección Ejercicios ..................................................................................14
II: Ecuaciones Y Funciones Lineales .....................................................................15
2.1 Ecuaciones Lineales .....................................................................................15
2.1.1 Ecuaciones Lineales Con 2 Incógnitas .........................................................16
Tercer Sección Ejercicios ......................................................................................20
2.2 Funciones Lineales .........................................................................................21
2.2.1 Función De Ingreso ......................................................................................22
2.2.2 Funciones De Costo: ...................................................................................23
2.2.3 Función Utilidad. ...........................................................................................25
Sección Cuarta Ejercicios .....................................................................................27
2.3 Modelos De Punto De Equilibrio .....................................................................28
Sección Sexta Ejercicios .......................................................................................30
III. Algebra Matricial ...............................................................................................32
3.1 Matriz..............................................................................................................32
3.2 Operaciones Con Matrices .............................................................................32
Sección Sexta de Ejercicios ..................................................................................35
Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales
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“Matemáticas Para Administracion”
I: Funciones Matemáticas Y Ecuaciones Lineales
1.1
Definición de Función.
Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo
que se escribe y = f(x).
Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos,
sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas:
La distancia recorrida por un auto al transcurrir el tiempo.
El volumen de un líquido al aumentar la temperatura.
El impuesto de circulación que paga un vehículo en una ciudad según la cilindrada del
motor del mismo.
El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma.
Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables:
La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas).
La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas).
- Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y.
- El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición
de la función.
- Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan
cuantificarse los valores de las dos variables.
¿Cuándo una gráfica no corresponde a una función?
De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una
función y la derecha no. Observa:
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En ésta a cada valor de x de la variable En ésta hay algunos valores de la variable
independiente
(ejede
abscisas)
le independiente x a los que corresponden más
corresponde un único valor imagen y de la de un valor de la dependiente, lo que
variable dependiente (ordenadas).
contradice la definición de función.
Ejemplo:
Para la función y  x3  4 x 2  20 x  10 , calcula:
a) f (1)
b) f (0)
c) f (2)
d) f (3)
El costo total en pesos de producción de cierto fabricante está dado por la función
C  0.2 x3  3x2  2,000 para 0  x  35 unidades. Calcula.
El costo de fabricar 10 unidades.
El costo de fabricar 15 unidades.
El costo de fabricar 30 unidades.
3. La compañía eléctrica de la localidad se vale del siguiente método para calcular las
facturas mensuales de una categoría de clientes. Para cada cliente se determina un cargo
mensual de $5 por concepto de servicio. Además la compañía cobra $0.60 dólares por
kilowatts-hora. A). Determine la función que expresa el cargo mensual de un cliente, en
función de un número de kilowatts-hora.
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b). Con esta función calcule la cuenta mensual de un cliente que utiliza 725 kilowatts-hora.
c) Y si utilizó 1200 Kw/hora?
4. El departamento de policía de una ciudad pequeña, estudia la compra de un carro
patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro (subcompacto pero
de gran potencia), completamente equipado, es de 18000 dólares. Han estimado también
un costo promedio de 0.40 dlls. Por milla.
a). Determínese la función matemática que represente el costo total C de la obtención y
operación del coche patrulla, en términos del numero de millas que recorra.
b) Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 millas en su vida útil?
c) y si recorre 100 000 millas?
1.2 Dominio y Rango
Dominio de una función
Llamado también conjunto de pre imágenes y esta dado por todas las primeras
componentes de los elementos de la función.
Rango de una función
Llamado también conjunto de imágenes y esta dado por todas las segundas componentes
pertenecientes a la función.
Ejercicios Complementarios
Ejercicios:
Determine si las siguientes ecuaciones son funciones o relaciones y halle el dominio y el
rango de las que sean funciones:
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1) y = x −15
2) y2 = x
3) y = 5
4) x = 10
5) y = x + 6
Cuando el precio de un producto esencial (como la gasolina) se eleva rápidamente, el
consumo baja lentamente al principio. Sin embargo, si el precio continúa elevándose,
puede alcanzarse un punto de “desplome”, en el cual el consumo adquiere una repentina
y sustancial caída. Suponga que la gráfica siguiente muestra el consumo de gasolina G(t),
en millones de galones, en una cierta zona. Suponemos que el precio está elevándose
rápidamente. Aquí t es el tiempo en meses después de que el precio comenzó a elevarse.
Usa la gráfica para calcular lo siguiente:
a) G(12)
b) G(16) Interpreta el resultado.
3. Al fabricar un producto, una empresa incurre en costos de 2 tipos. Tiene costos fijos
anuales por 200 000 Dlls. Sin importar el número de unidades producidas. Además cada
unidad producida le cuesta $8. Si C es el costo anual total en dólares y si “x” denota el
número de unidades producidas durante un año.
a). determine la función C = f(x) que exprese el costo anual.
b). Establezca el dominio y rango restringido de dicha función, si la capacidad máxima es
de 300, 000 unidades al año.
4. La función C(x) = 25X + 80000 expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar “x”
unidades de un producto. Si el numero máximo de unidades que pueden producirse es
igual a 20 000, establezca el dominio y rango restringidos de esta función de costo.
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1.3 La Línea Recta
PENDIENTE
Cualquier línea recta, con excepciones de las líneas verticales, puede caracterizarse por
medio de su pendiente. Por “pendiente” debe entenderse, básicamente, la inclinación de
una recta, ya sea que ésta suba o baje a medida que el observador se mueve de izquierda a
derecha a lo largo del eje x, la tasa que la recta suba o baje (en otras palabras, su grado de
inclinación).
La pendiente de una línea puede ser positiva, negativa, cero o indefinida.
Pendientes de las condiciones de las rectas
La pendiente de una línea se cuantifica por medio de un número real. El signo de la
pendiente (número) indica si la línea está subiendo o descendiendo. La magnitud (valor
absoluto) de la pendiente indica la inclinación relativa de la línea.
Si sobre una recta que no sea vertical hay dos puntos cualesquiera, es posible calcular la
pendiente como una relación del cambio en el valor de y, moviéndose de un punto a otro
dividido entre el cambio correspondiente en el valor de x, es decir
Cambioen y
Cambioen x
y


x
pendiente 
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La fórmula de los dos puntos es una manera de determinar la pendiente de una recta que
une dos puntos.
Fórmula de los dos puntos
La pendiente m de la recta que une dos puntos con las coordenadas x1 , y1  y , x2 , y2  ,
respectivamente, es
m
y y2  y1

x x2  x1
(3)
donde x1  x2
Forma de pendiente-intersección
La ecuación de una función lineal puede expresarse en la forma pendiente-intersección
y = mx + b
(1)
Donde m representa la pendiente de la línea que representa la ecuación y b es la coordenada de la
intersección con el eje y
Ejemplo 1
Rescriba la siguiente ecuación en la forma pendiente-intersección y determine la
pendiente y la intersección.
-3x + 4y = 48
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Se resuelve la ecuación para la variable y , se obtiene
y
3
x  12
4
3
Así pues, la pendiente es 4 y la intersección con el eje y es igual a (0, 12).
Determinación de la ecuación de una línea recta
i) Pendiente e intersección con el eje y
Determine la ecuación de la línea recta que tiene una pendiente de –7 y una intersección
con el eje y de (0, 10)
Si la pendiente de un recta es –2 y un punto que se encuentra en ella es (3,18) podemos
sustituir estos valores en la ecuación (1), obteniendo así
18  (2)(3)  b
b  18  6  24
o bien
Conocer que m = -2 y b = 24 conduce directamente a la ecuación pendiente-intersección
con el eje y
y  2 x  24
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iii) Dos puntos
Ejemplo 3.3.4
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por (-4,4) y (-2,-8)
Primero determinamos la pendiente de la ecuación (3), lo cual da
4  (8)
 4  (2)
12

 6
2
m
Sustituyendo m =-6 y las coordenadas (-4,4) en la ecuación (1) se obtiene
4  (6)(4)  b
b  4  24  28
Así pues, la forma de pendiente-intersección con el eje y de la ecuación es
y  6 x  28
Primer Sección Ejercicios
1.- Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1
(-1, -4) y P2 (5, 1)
2) Representa las siguientes rectas:
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a) y = 3x +2
b) y = -x +2
c) y = 5x -3
d) y = 5x +3
e) y = -x +4
f) y = -2x - 1
LEYES DE LOS SIGNOS
La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo
y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor
negativo.
Multiplicación
División
(+) por (+) da (+)
(+)
entre
(+)
da
(+)
(+) por (-) da (-)
(+)
entre
(-)
da
(-)
(-) por (+) da (-)
(-)
entre
(+)
da
(-)
(-) por (-) da (+)
(-) entre (-) da (+)
° Suma. Valor numérico
(+) + (+) = + suma de valores absolutos. ------------------------- ( 4 ) + ( 2 ) = 6
(-) + (-) = - suma de valores absolutos. ------------------------- (-7) + (-10) = -17
(+) + (-) = signo de él número con mayor valor absoluto. ( 20) + (-13) = 7
(-) + (+) = El valor numérico de la operación es la diferencia de valores absolutos.
° Producto
( + ) ( + ) = + Valor numérico productos de los valores absolutos ( 3 ) ( 4 ) =12
( - ) ( - ) = + (-6 ) (-5 )=30
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( + ) ( - ) = - ( 9 ) (-2 ) = 18
( - ) ( + ) = - (-10 ) ( 4 ) = -40
° Cociente
+/+ = + 8 / 2 = 4
-/- = + Valor numérico división de los valores absolutos. -35 / -5 = 7
+/- = - 12 / -4 = -3
-/+ = - -72 / 3 = -24
° Sustracción
(+) - (+) = + - ( 4 ) - ( 3 ) = 1
(-) - (-) = - + ( -9 ) - (-25 ) = 16
(+) - (-) = + + ( 10 ) - (-10 ) = 20
(-) - (+) = - - se invierte el signo de él sustraendo y se aplica leyes (-14 ) - ( 16 ) = 30
de signos para la suma.
Ejemplos :
1 ) [-2+6-4+9] + [-7+10-12+13] - [-4+6-16] = [15-6]+[23-19]-[6-20] = [9]+[4]-[-14] =
9+4+14= 27
2 ) [(-4+3-9+10)(6-10+25+4)] - [(-3+5+15-30)-(11+4-5)] = [(13-13)(35-10)]-[(20-33)-(15-5)] =
[(0)(25)]-[(-13)-(10)] = -[-13-10] = -[-23] = 23
3 ) [(-2+4-16+20) ÷ (-16+15+17-14)] + [(4+3-13)-(9+3)] = [(24-18)÷(32-30)] + [(7-13)-(12)] =
[(6) ÷ (2)] + [-6-12] = [3] + [-18] = -15
Resuelva las siguientes operaciones con signos.
(+4) (-4) =
(+2)
(+18)
=
(-8) (-3) =
(-18)
(+2)
=
(-10) (-10)=
(+7) (-12) =
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(-4.2) (-6) =
(+8.5) (-4) =
(-8/-4) =
(-5/+2) =
(+1/-3) =
(+18/-9) =
(+14) - (-6) =
(-25) + (-15) =
(-18)
(+0.333)
+
-
(-22)
=
(0.666)
=
(-18) - (-22) =
1.4 Representación Gráfica De Funciones
GRAFICACION DE ECUACION CON DOS VARIABLES
Graficar la ecuación lineal 4x – 7y = 0
La gráfica de esta ecuación se obtiene identificando dos pares cualesquiera de valores x y
y que satisfagan la ecuación.
Solución
Si x = 0,
4(0) –7y = 0 entonces y = 0
Si x = 7,
4(7) – 7y = 0 entonces y = 4
Por lo tanto dos miembros del conjunto solución son, pues, (0,0) y (7,4).
La figura muestra la gráfica de la ecuación.
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Segunda Sección Ejercicios
Ejercicios; grafique las siguientes funciones y explique si es lineal, cuadrática o cúbica.
Y = f(x) = x² - 4
Y = f(x) = x³ + 5
Y = f(x) = -x³
Y = f(x) = 3x + 2
1 La compañía de mudanzas Ramírez cobra $70 por transportar cierta máquina 15 millas y
$100 por transportar la misma máquina 25 millas.
Determine la relación entre la tarifa total y la distancia recorrida, suponiendo que es
lineal.
¿Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina?
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¿Cuál es la cuota por cada milla que la máquina es transportada?
2 Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas
ascienden a 2000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de
2400 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
3 Un fabricante de herramientas puede vender 3000 martillos al mes a $2 cada uno, mientras que sólo pueden venderse 2000 martillos a $2.75 cada uno. Determine la ley de
demanda, suponiendo que es lineal.
4 Bienes Raíces Georgia posee un complejo habitacional que tiene 50 apartamentos. A una
renta mensual de $400, todos los apartamentos son rentados, mientras que si la renta se
incrementa a $460 mensuales, sólo pueden rentarse 47.
Suponiendo una relación lineal entre la renta mensual p y el número de apartamentos x
que pueden rentarse, encuentre esta relación.
¿Cuántos apartamentos se rentarán, si la renta mensual aumenta a $500?
¿Cuántos apartamentos se rentarán, si la renta disminuye a $380 mensuales?
II: Ecuaciones Y Funciones Lineales
2.1 Ecuaciones Lineales
En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:
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El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que
satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la
aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Resolución De Sistemas De Ecuaciones Lineales
El objetivo de este apartado es examinar los aspectos numéricos que se presentan al
resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma:
Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, x1, x2, ..., xn. Los elementos aij y bi
son números reales fijados.
2.1.1 Ecuaciones Lineales Con 2 Incógnitas
Método de sustitución
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Es
aconsejable
Despejamos la
en
sistemas
en
los
que
aparecen
coeficientes
o
.
de la primera ecuación:
Sustituimos en la otra ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Para averiguar el valor de sustituimos el valor de
en la expresión obtenida el paso
1
Método de igualación
Despejamos
la
misma
variable
de
ambas
ecuaciones
Igualamos las dos expresiones anteriores
Resolvemos la ecuación resultante
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Para calcular el valor de x sustituimos
en cualquiera de las expresiones obtenidas en
el paso 1
Método de reducción
Combinación lineal de ecuaciones: se multiplica una ecuación por un número, la otra por
otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente
a las ecuaciones originales del sistema.
El
método
de
reducción
Vamos a eliminar la
consiste
en
eliminar
una
incógnita
del
sistema.
. Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2:
Sumando ambas ecuaciones desaparecen las x y nos queda
Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la
primera nos queda
Método de Gauss-Jordan
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La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método
aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la
matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener
ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma
fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de
manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:
Su matriz aumentada será esta:
En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera
multiplicada por
, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita
cual les sumamos la segunda multiplicada por
en la primera y tercera fila, para lo
y por
, respectivamente.
Por último, eliminamos la
, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la
tercera multiplicada por
y por
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, respectivamente.
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Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por ,
y
respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última
columna
Tercer Sección Ejercicios
1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2.
2x  3y  4
5 x  4 y  33
El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de
1000. Si el pasaje de niño cuesta $2, el de adulto $4 y el ingreso total obtenido del cobro de
los pasajes es de $3400, ¿cuántos niños y cuántos adultos utilizaron el autobús en la
mañana?
Kelly Fisher tiene un total de $30 000 invertidos en dos tipos de bonos que producen 8% y
10% de interés simple por año, respectivamente. Si los intereses anuales que recibe suman
$2640, ¿cuánto dinero ha invertido en cada bono?
Una máquina en una fábrica de cerámica tarda 3 minutos hacer un tazón y 2 minutos en
hacer un plato. El material para el tazón cuesta $0.25 y el material para un plato cuesta
$0.20. Si la máquina funciona durante 8 horas y se gastan exactamente $44 en material,
¿cuántos tazones y platos pueden producirse?
La granja Johnson tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maíz y trigo. El costo
respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de $42 y $30 por acre.
El señor Johnson dispone de $18600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la
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tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente, ¿cuántos acres
debe plantar de cada cultivo?
Las tiendas McFrugal Snack planean contratar dos compañías de relaciones públicas para
encuestar 750 clientes por teléfono y 250 personalmente. La compañía García tiene
personal para hacer 30 encuestas por teléfono y 5 encuestas personales por hora. La
compañía Wong puede efectuar 10 encuestas por teléfono y 10 personales por hora. ¿Por
cuántas horas debe contratarse cada compañía para obtener el número exacto de
encuestas requeridas?
Una empresa electrónica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada
transistor requiere 3 unidades de cobre, 1 unidad de zinc y 2 unidades de vidrio. Cada
resistor requiere 3, 2 y 1 unidades de los tres materiales y cada chip requiere 2, 1 y 2
unidades de esos materiales, respectivamente. ¿Cuántos de cada producto pueden
fabricarse con 810 unidades de cobre, 410 unidades de zinc y 490 unidades de vidrio?
Una agencia de servicio social proporciona asesoramiento, comida y habitación a clientes
tipo I, II y III. Los clientes tipo I requieren un promedio de $100 para comida, $250 para
habitación y ningún asesoramiento. Los clientes tipo II requieren un promedio de $100
por asesoramiento, $200 para comida y ninguna habitación. Los clientes tipo III requieren
un promedio de $100 para asesoramiento, $150 para comida y $200 para habitación. La
agencia dispone de $25,000 para asesoramiento, $50,000 para comida y $32,500 para
habitación. ¿Cuántos clientes de cada tipo pueden atenderse?
2.2 Funciones Lineales
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2.2.1 Función De Ingreso
En el ámbito administrativo se conoce como ingreso, a la cantidad total de dinero que
obtiene una organización debido a la venta de sus productos o a la prestación de sus
servicios. Basándonos en este concepto puede verse claramente que el ingreso de
cualquier organización dependerá directamente del precio al que venda sus productos o
servicios, así como de la cantidad de servicios brindados o de productos vendidos.
Matemáticamente pudiera expresarse como:
Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida)
Asumiendo que el precio de todos los productos es el mismo, sin embargo, si dicho precio
variara, el ingreso total sería la suma de los ingresos individuales obtenidos por cada
producto o servicio al precio en que se vendió.
Ejemplo: 1. Una empresa en la que se fabrican relojes de pulso vende a sus clientes
mayoristas dichos relojes a un costo de $120.00. Si para ser considerado como cliente
mayorista necesitan hacer una compra de al menos 1000 productos. ¿Cuál será el ingreso
menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente mayoritario?
Solución: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso Total=
($120.00) (1000 productos)
Ingreso total= $120,000.00
Ejemplo 2: Retomando el problema anterior, supóngase que además de vender 1000
relojes a un mayorista vende 500 a un medio mayorista al cual le ofrece un precio de
$150.00. ¿Cuál será su ingreso total?
Solución: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso total=
($120.00) (1000 productos) + ($150.00) (500 productos)
Ingreso Total= $120,000.00 + $75, 000.00
Ingreso Total = $195, 000.00
El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado por las
ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar como el
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producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio.
I = p. q
Si la empresa comercializa n productos distintos, la función se define como
I = p1q1 + p2q2+ . . . + pnqn
que se podemos expresar
Es decir que el ingreso se determina como la suma de los productos de los precios por
las cantidades vendidas de cada uno de los bienes.
2.2.2 Funciones De Costo:
El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de
factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio.
Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemático simplificado
de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los costos de producción de un bien o
de prestación de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le
atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo.
Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los
problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se
buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es
más sencilla.
Costo lineal
Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una
serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en
función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fijos y costos
variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades
de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local,
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depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos
variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del
servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.)
El costo total es la suma de ambos
Costo total = Costos fijos + Costos variables
Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en
presencia de una función constante de la forma f(x) = b
Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de CF (x) = 6
Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo
valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una función constante.
Para simplificar nuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable
por unidad de artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán
proporcionales a la cantidad de artículos producidos.
Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x
unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la
forma g(x) = ax
Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la función de costo variable:
CV(x) = 0,8 x
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Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores,
tenemos
CT(x) = CV(x) + CF(x)
CT(x) = ax + b
(función afín)
CT(x) = 0,8 x + 6
2.2.3 Función Utilidad.
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La utilidad de una organización es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo
total. Matemáticamente pudiera expresarse como:
Utilidad = Ingreso Total – Costo total
Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como
ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el nombre de pérdida o
déficit. Cuando tanto la función de ingreso como la de costo son funciones lineales de una
misma variable, es decir, de la cantidad de artículos producidos o servicios brindados la
función de la utilidad también será una función lineal de la misma variable. Es decir, si el
ingreso total fuera la función I(x) y el costo total C(x), la función utilidad sería:
Utilidad o pérdida = I(x) + C(x)
Ejemplo: Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00, si sus gastos por mano de
obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 por producto
teniendo costos fijos de $1„000, 000.00 mensuales, si su producción mensual es de 50,000
artículos determina la utilidad mensual de la empresa. Solución:
El ingreso estaría definido por:
Ingreso total = $100 (x)
El costo total sería:
Costo total = $25.00 (x) + $1 000, 000
La utilidad es:
Utilidad = 100(x) – ($25.00(x) + $1 000, 000)
Agrupando tenemos:
Utilidad = $75.00(x) – 1 000, 000
Utilidad Mensual = $ 75.00 (50,000 artículos) - $ 1000, 000
Utilidad Mensual= $3, 750 000 - $ 1000, 000
Utilidad Mensual = $2, 750 000
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Sección Cuarta Ejercicios
1) La sociedad ecológica de la universidad científica está organizando su compaña
anual de adquisición de fondos, el comidatlon, se cobrara 50 centavos por persona
por servirle una orden de pasta. Los únicos gastos de la sociedad son el gasto de la
pasta, que se estima en 15 centavos por ración y 350 $ por la renta de las
instalaciones.
a) escriba las ecuaciones correspondientes de costo, ingreso y utilidad.
b) cuantas raciones de pasta debe vender la sociedad para llegar al equilibrio.
c) que utilidad o pérdida resultara al vender 1500 raciones de pasta.
2) Un fabricante de pianos tiene un costo fijo diario de 1200$ y un costo marginal de
1500$ por piano.
a) calcule la ecuación de costo de fabricar "x" piano en un día.
b) en un día determinado, cual es el costo de fabricar 3 pianos.
c) cual es el costo de fabricar el 3er piso en ese día.
d) cual es el costo de fabricar el vigesimoquinto piano ese día.
3) El periódico EL INFORMADOR, tiene costos fijos de $70 por edición, y costos
marginales de impresión y distribución de 40 centavos por ejemplar. El periódico
se vende a 50 centavos por periódico.
a) encuentre la ecuación de costo, ingreso y utilidad.
b) que utilidad o perdida de obtiene al vender 500 periódicos.
c) cuantos periódicos se deben vender para estar en equilibrio.
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2.3 Modelos De Punto De Equilibrio
En la determinación de las ganancias o beneficios de una organización, expresada como
la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere gran importancia el concepto
de punto de equilibrio, es decir el punto de beneficio 0 (cero) en donde
CT
=
I.
Cualquier cambio en esta igualdad genera déficit o superávit, ganancia o pérdida.
Para este análisis suponemos que los costos variables o costo por unidad de producción y
los ingresos por ventas son lineales
Punto de equilibrio:
Si el costo total de producción excede a los ingresos obtenidos por las ventas de los
objetos producidos, la empresa sufre una pérdida; si, por el contrario, los ingresos
superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos obtenidos por las
ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de
equilibrio o de beneficio cero.
Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x),
dadas por:
C(x) = cx + k
c: costo de producción por unidad;
k: costo fijo
x: cantidad producida del bien
I(x) = sx
s: precio de venta por unidad
X: cantidad vendida del bien
La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función de ingresos y la
función de costos.
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B(x) = I(x) - C(x)
B(x) = (s - c)x - k
En
el
punto
de
equilibrio
la
empresa
no
tiene
ganancias
ni
pérdidas
B(x´) = 0, entonces I(x´) = C(x´)
El punto P(x´; p´) es la solución simultánea de las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el
nombre de punto de equilibrio; x´ es la cantidad de equilibrio y p´es el precio de
equilibrio.
Geométricamente P(x´; p´) es la intersección de las rectas que representan a las funciones
de costos y de ingresos.
Si x < x´, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con
pérdidas.
Si x = x´ se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde.
Si x > x´, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con
ganancias.
Gráfica de la zona de pérdida
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Gráfica de la zona de ganancias
Sección Sexta Ejercicios
1. Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los costos
variables son de $3.50 por unidad.
Si el productor vende cada uno a $6.00,
¿cuántos artículos deberán producirse y venderse para garantizar que no haya
ganancias ni pérdidas?
2. Un fabricante produce artículos a un costo variable de 85¢ cada uno y los costos
fijos son de $280 al día. Si cada artículo puede venderse a $1.10, determina el
punto de equilibrio.
3. El costo de producir x artículos a la semana está dado por yC  1000  5x . Si cada
artículo puede venderse a $7, determine el punto de equilibrio.
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Si el fabricante
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puede reducir los costos variables a $4 por artículo incrementando los costos fijos a
$1200 a la semana, ¿le convendría hacerlo?
4. El costo de producir x artículos a la semana está dado por yC  2000  100 x . Si
cada artículo puede venderse a $10, determine el punto de equilibrio.
5. Encuentra el punto de equilibrio para la compañía Z, que vende todo lo que
produce, si el costo variable por unidad es de $2, los costos fijos de $1050 y los
ingresos yI  50 x , donde x es el número de unidades producidas.
Equilibrio De Mercado
Determina el precio y cantidad de equilibrio para las curvas de demanda y oferta
siguientes:
Demanda: 2 p  3x  100
Oferta: p  101 x  2
Demanda:
p  200  2 x 2
Oferta: p  2 x  20
Demanda:
p  388  16 x  x 2
Oferta: p  ( x  10)2
Demanda:
p
Demanda:
p  x  20
3000
x  200
Oferta: p  15 x  5
Oferta: p 
x  10
La ley de la demanda para cierto artículo es de 5 p  2 x  200 y la ley de la oferta es
p  54 x  10 . Determina:
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El Precio Y La Cantidad De Equilibrio
el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de
$6/unidad.
Determine el incremento en el precio y la disminución en la cantidad
demandada.
III. Algebra Matricial
3.1 Matriz
Tabla
La
ordenada
matriz
A
de
tiene
nº
reales
dimensión
en
3x4,
m
siendo
filas
m
y
=
n
3
y
columnas.
n
=
4
Los elementos en rojo forman la diagonal principal.
3.2 Operaciones Con Matrices
Suma de matrices
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La única regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo
número de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.
Lo que se hace es sumar cada posición de una matriz con la misma de la otra, por lo que
la matriz resultante es una con el mismo número de filas y columnas que las demás y
cuyos
valores
son
la
suma
de
los
valore
de
las
otras
2
matrices.
Por ejemplo:
=
+
Como se puede ver, la matriz resultante tiene en su posición 1,1 la
suma de la posición 1,1 de la primera matriz mas la 1,1 de la
segunda, y así se van poniendo todas las sumas de las posiciones, y
es todo lo que hay que decir acerca de la suma de matrices
Multiplicación de matrices
La
multiplicación
de
matrices
es
un
poco
más
complicada.
La regla aquí es que el numero de columnas de la primera matriz sea igual al
número de filas de la segunda, esto es, que se puede hacer una multiplicación de
una matriz 2x3 por una de 3x5, y la matriz resultante tiene el numero de filas de
la primer matriz y las columnas de la segunda, por lo que quedaría una matriz de
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2x5.
Además, a diferencia de la suma y la resta, la multiplicación no es posición por
posición,
sino
que
se
hace
de
la
siguiente
manera:
Se toma la primera fila de la primer matriz y la primer columna de la segunda
matriz, y lo que se hace es multiplicar una posición de fila por una de columna:
X
=
En el ejemplo de arriba se multiplica una matriz de 2x3 por una de 3x1, y se toma
la primera fila de la primer matriz, o sea 2,4,6 y la primer columna de la otra, o
sea
-5,-7,6, y la resultante toma las filas de la primera, o sea 2 y las columnas
de la segunda, o sea 1, y quedan 2 lugares solamente.
Se llenan haciendo la multiplicación (2x-5) + (4x-7) + (6*6) o sea posición de fila
por posición de columna.
Después si la segunda matriz tuviera más columnas, se pasa a la siguiente, y sin
cambiar de fila en la primera se vuelve a hacer la multiplicación y las sumas
hasta que se acaben las columnas de la segunda matriz.
Ya que se acabaron las filas de la segunda, se pasa a la siguiente fila en la primera
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y se empieza de nuevo: (-1x-5) + (3x-7) + (9x6) y se pone en el segundo lugar de
la matriz, en este caso el único que queda, pero si hubiera más columnas se va
llenando hasta que se completen las columnas y luego se baja a la siguiente fila.
Así se sigue hasta que se acaben las filas de la primera matriz.
Sección Séptima de Ejercicios
1.
Un grupo de inversionistas que planean abrir un centro comercial decidieron incluir
un supermercado, una peluquería, una tienda miscelánea, una farmacia y una pastelería.
Estimaron el costo inicial y la renta garantizada (ambas en dólares por pie cuadrado) para
cada tipo de tienda, respectivamente, como sigue: costo inicial: 18, 10, 8, 10 y 10; renta
garantizada: 2.7, 1.5, 1.0, 2.0 y 1.7. Escriba esta información primero como una matriz de 5
X 2 y luego como una matriz de 2 X 5.
2.
Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias.
Como parte del tratamiento, se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruz lleva la
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dieta I; Jiménez la dieta II, y Sánchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles
de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses 1, 2, 3 y 4, dichos niveles eran:
Cruz: 220, 215, 210 y 205
Sánchez: 215,205, 195 y 190
3.
Jiménez: 220, 210, 200 y 195
Represente esta información en una matriz 3 X 4.
El inventario de una librería universitaria es:
Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción 2320; referencia, 1890
Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940
El inventario de una librería orientada al mercado preparatoriano es:
Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción 1790; referencia, 1980
Rústica: ficción, 3100; no ficción, 1720; referencia,2710 ; libros de texto, 2050
Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A.
Represente el inventario de la librería preparatoriana como una matriz B.
Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario total de la nueva
librería.
4.
Un dietista prepara una dieta especificando las cantidades que un paciente debe
tomar de cuatro grupos básicos de alimentos: grupo I, carnes; grupo II, frutas y
legumbres; grupo III, panes y harinas; grupo IV, productos lácteos. Las cantidades se dan
en “intercambios” que representan 1 onza (carne), 1/2 taza (frutas y legumbres), 1 rebanada (pan), 8 onzas (leche), u otras medidas apropiadas.
El número de “intercambios” para el desayuno para cada uno de los cuatro grupos de
alimentos, son respectivamente, 2, 1, 2 y 1; para la comida, 3, 2, 2 y 1; y para la cena, 4,3,2
y 1. Escriba una matriz de 3 X 4 usando esta información.
Las cantidades de grasa, carbohidratos y proteínas en cada grupo de alimentos,
respectivamente, son como sigue.
Grasas:
5, 0, 0, 10
Carbohidratos:
0, 10, 15, 12
Proteínas:
7, 1, 2, 8
Use esta información para escribir una matriz de 4 X 3.
Hay 8 calorías por unidad de grasas, 4 calorías por unidad de carbohidratos y 5 calorías
por unidad de proteínas; resuma estos datos en una matriz de 3 X 1.
Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales
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5.
Al principio de un experimento en laboratorio, cinco ratas jóvenes midieron 5.6, 6.4,
6.9, 7.6 y 6.1 centímetros de longitud y pesaron 144, 138, 149, 152 y 146 gramos,
respectivamente.
Escriba una matriz de 2 X 5 usando esta información.
Al final de dos semanas, sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 y 10.8 centímetros y
pesaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Escriba una matriz de 2 X 5 con esta información.
Use resta de matrices con las matrices encontradas en (a) y (b) para escribir una matriz
que dé la cantidad de cambio en longitud y peso para cada rata.
La siguiente semana las ratas crecieron 1.8, 1.5, 2.3, 1.8 y 2.0 centímetros, respectivamente,
y ganaron 25, 22, 29, 33 y 20 gramos, respectivamente. Establezca una matriz con esos
incrementos y use la adición matricial para encontrar sus longitudes y pesos al final de esa
semana.
6.
La matriz A representa los números de tres tipos de cuentas bancarias el primero
de enero en el Banco Central y sus sucursales.
Cuentas de cheques Cuentas de ahorro
A=
Cuentas de depósitos a plazo
Oficina matriz
2820
1470
1120
Sucursal del Oeste
1030
520
Sucursal del Norte
1170
540
480
460
La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre
y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo
periodo,
260 120 110
B  140 60 50 
120 70 50 
120 80 80 
C   70 30 40
 60 20 40
a) Encuentre la matriz D, la cual representa el número de cada tipo de cuenta al final del
primer trimestre en cada lugar.
b) Debido a la apertura de una fábrica cercana, se prevé un incremento de 10% en la cantidad de
cuentas en cada lugar durante el segundo trimestre. Escriba una matriz E que refleje este
incremento previsto.
Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales
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7.
Calcule la matriz 3B – 1/5 (A – C),
si
 1
7
3
A= 
,
 5 2
B= 
0
3
,
 1
C=
 6 1
  2 5


8.
Calcule las matriz
4 6 
6
3 
1/2A + 1/3B - (A – C ) si A = 
, C=
, B= 
9  12
 2 0
3 1


 7 15
9.
Un fabricante de camisetas tiene la siguiente producción ( en cientos de
piezas ) en sus fabrica de:
34 60 78 
ZONA INDUSTRIAL 22 10 46  ,
10
8
0 
10
0
50
BELENES 30 10 0 
40 20 30
Determine la matriz de la producción total en las dos plantas
Si la producción de Zona Industrial
se incrementa un 50% y un 25% en los Belenes,
calcule la nueva matriz que represente el total de ambas plantas.
10.
Hay tres tiendas de abarrotes en Gambier. Esta semana, la tienda I vendió 88
paquetes de pan, 48 cuartos de leche, 16 tarros de crema de maní y 112 libras de carnes
frías. La tienda II vendió 105 paquetes de pan, 72 cuartos de leche, 21 tarros de crema de
maní y 147 libras de carnes frías. La tienda III vendió 60 paquetes de pan, 40 cuartos de
leche, nada de crema de maní y 50 libras de carnes frías.
Use una matriz de 3 X 4 para expresar la información sobre las ventas de las tres tiendas.
Durante la siguiente semana, las ventas de esos productos en la tienda 1 se incrementaron
25%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 1/3 y las ventas en la tienda III se
incrementaron 10%. Escriba la matriz de ventas para esa semana.
Escriba una matriz que represente las ventas totales en el periodo de las dos semanas.
11.
Una compañía de juguetes tiene plantas en Boston, Chicago y Seattle que fabrican
cohetes y robots de juguete. La siguiente tabla da los costos de producción (en dólares)
para cada artículo en la planta de Boston:
Cohetes
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Robots
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Material
4.27
6.94
Mano de obra
3.45
3.65
En Chicago, un cohete cuesta $4.05 por materiales $3.27 por mano de obra; un robot
cuesta $7.1 por materiales y $3.51 por mano de obra. En Seattle, los costos materiales son
de $4.40 para los cohetes y de $6.90 los robots; los costos de mano de obra son de $3.54
para los cohetes y de $3.76 para los robots. Escriba las matrices de costos de producción
para Chicago y Seattle
Suponga que cada planta hace el mismo número de cada artículo. Escriba una matriz que
exprese los costos promedio de producción para las tres plantas.
Suponga que los costos de mano de obra se incrementan en $0.11 por artículo en Chicago
y los costos por material se incrementan ahí en $0.37 para un cohete y $ 0.42 para un
robot. ¿Cuál es la nueva matriz de costos producción para Chicago?
Después de los incrementos en costo en Chicago, la planta de Boston cierra y la
producción se divide en partes iguales entre las otras dos plantas. ¿Cuál es la matriz que
ahora expresa los costos promedio de producción para todo el país?
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus
correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema
gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
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EJERCICIOS
Calcule la determinante y resuelva la matriz
A.
(3/2)X+(2/3)Y=1
(2/3)X-(3/2)Y=0
B.
Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales
(1/2)X+(1/4)Y=(1/8)
(1/3)X-(1/5)Y=(1/5)
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