Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones

Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Félix Muñoz
Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones:
x
2
1
x2 − 4
x 2 − 3x + 2
x −2
;
y
Solución:
Común denominador:
x 2 − 4 = (x + 2)(x − 2)



x − 2 = x − 2
 → MCM = (x − 1)(x + 2)(x − 2)
 2

x − 3 x + 2 = (x − 2)(x − 1)
x
x −4
2
=
x (x − 1)
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
(x − 1)(x + 2)
1
=
x − 2 (x − 1)(x + 2)(x − 2)
2
x − 3 x+ 2
2
=
2(x + 2)
(x − 1)(x + 2)(x − 2)
;
;
Simplifica las siguientes fracciones, factorizando previamente:
x 4 − y4
xy − 2x − 3y + 6
5x 2 + 5y 2
xy − 2x
b)
a)
Solución:
xy − 2 x − 3 y + 6 x(y − 2) − 3(y − 2) (x − 3 )(y − 2) x − 3
=
=
=
xy − 2 x
x (y − 2)
x(y − 2)
x
a)
x4 − y4
5 x2 + 5 y2
=
(x
2
)(
− y2 x2 + y2
(
5 x2 + y2
)
)= x
2
− y2
5
b)
Resuelve la ecuación:
8x 6 − 63x 3 − 8 = 0
Solución:
La ecuación:
8 x 6 − 63 x 3 − 8 = 0
3
Resolvemos en x :
x3 =
63 ± 3969 + 256
1
⇒ x 3 = 8, x 3 = −
16
8
3
De x = 8, se sigue x = 2
3
De x = -1/8, se sigue x=-1/2
x 2 − (m + 2)x − 2 = 0
Dada la ecuación
, halla los valores de m para que las dos raíces de la ecuación se
diferencien en 3 unidades.
Solución:
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Las raíces de la ecuación de segundo grado
x1+ x 2 = −
b
a
x 1⋅ x 2 =
verifican:
c
a
y su producto es
Su suma es
Como la ecuación
ax 2 + bx + c = 0
x 2 − (m+ 2) x − 2 = 0
tiene como raíces
x1+ 3 + x1 = m+ 2 ↔ x1 =
x1 y 3 + x1
se tiene:
m− 1
2
De la suma de raíces:
m− 1 
m− 1 
⋅ 3 +
 = −2
2 
2 
Del producto de raíces:
, que es la ecuación que resuelve el problema.
m + 4 m+ 3 = 0
2
Operando y simplificando se tiene:
1
que tiene por soluciones m =-1 y m =-3.
Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales:
x + 4 − 3x + 1 = −1
Solución:
Ecuación:
x + 4 − 3 x + 1 = −1
Aislando un radical:
x+ 4 = 3 x+ 1 − 1
Elevando al cuadrado:
x+ 4 = 3 x+ 1 + 1 − 2 3 x+ 1
Aislando el radical:
2 3 x+ 1 = 2 x− 2 ↔ 3 x+ 1 = x− 1
Elevando al cuadrado:
3 x+ 1 = x 2 − 2 x+ 1
Operando:
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x2 − 5 x = 0
Resolviendo: x=0, x=5
Solución válida: x=5
2
Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación:
x
6−x
=
2x + 1 3x + 4
Solución:
Ecuación:
x
6−x
=
2 x+ 1 3 x+ 4
Igualando productos cruzados:
x(3 x + 4) = (6 − x)(2 x + 1) → 3 x 2 + 4 x = 12 x + 6 − 2 x 2 − x
Pasando términos al primer miembro y operando:
5 x 2 − 7 x− 6 = 0
Resolviendo:
x=
7 ± 49 + 120 7 ± 13
=
10
10
Las soluciones son:
x=
4
20
6
3
= 2; x = −
=−
10
10
5
Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales:
7 + 2x − 3 + x = 1
Solución:
Ecuación:
7 + 2x − 3 + x = 1
Aislando un radical:
7 + 2 x = 1+ 3 + x
Elevando al cuadrado:
7 + 2 x = 1 + 3 + x+ 2 3 + x
Aislando el radical:
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x+ 3 = 2 3 + x
Elevando al cuadrado:
x 2 + 9 + 6 x = 12 + 4 x
Operando:
x 2 + 2 x− 3 = 0
Resolviendo: x=-3, x=1
Solución válida: las dos
5
Resuelve la ecuación siguiente:
2x + 1 − x = x − 3
Solución:
Ecuación:
2 x+ 1 − x =
x− 3
Elevando al cuadrado:
2 x + 1 + x − 2 x(2 x + 1) = x − 3
Aislando el radical:
2 x + 4 = 2 x(2 x + 1)
Simplificando por 2:
x+ 2 =
x(2 x + 1)
Elevando al cuadrado:
x 2 + 4 x+ 4 = 2 x 2 + x
Simplificando:
x 2 − 3 x− 4 = 0
Resolviendo: x=-1, x=4
La primera solución no es válida
Solución x=4
6
Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación:
5x + 4 5x − 4 13
+
=
5x − 4 5x + 4
6
Solución:
Ecuación:
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5 x + 4 5 x − 4 13
+
=
5 x− 4 5 x+ 4
6
Multiplicando por el MCM=6(5x-4)(5x+4) se tiene:
6(5 x + 4) 2 + 6(5 x − 4) 2 = 13(5 x + 4)(5 x − 4)
Operando:
150 x 2 + 240 x + 96 + 150 x 2 − 240 x + 96 = 325 x 2 − 208
Pasando términos al primer miembro y simplificando, se tiene:
− 25 x 2 + 400 = 0 → x 2 =
400
= 16 → x = ±4
25
Las soluciones son x=-4; x=4.
1
Resuelve el siguiente sistema:
2x 2 + xy = 35
 2
x − 2xy = 55
Solución:
x=5,y=-3;x=-5,y=3
2
El producto de dos números es 45 y la diferencia de sus cuadrados es 216. Averigua cuáles son dichos
números.
Solución:
Se trata de resolver el sistema de ecuaciones no lineales.
x⋅ y = 45
 2 2
x − y = 216
Despejando y en la primera ecuación:
45
y=
x
y sustituyendo su valor en la segunda, se tiene:
2
 45 
4
2
x2 − 
 = 216 ⇒ x − 216 x − 2025 = 0
 x 
Haciendo el cambio:
x2 = z
se trata de resolver la ecuación:
z 2 − 216 z − 2025 = 0
cuyas soluciones son.
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z = 225, z = −9
Con lo cual, x=15, y=3; x=-15, y=-3
4
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
4 y
 x − 4 = 1

 6 + y = 11
 x 6
3
Solución:
x = 2, y = 4
5
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
2 2
 + =7
x y
3xy = 1

Solución:
1
2
2
1
x = ,y = ; x = ,y =
2
3
3
2
6
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
x 2 + y 2 = 41

xy = 20
Solución:
x = -5, y = -4; x = 5, y = 4; x = -4, y = -5; x = 4, y = 5
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1
Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema compatible indeterminado:
− 2x + 5y + 2z = 4

x + 2y − 3z = −1
Solución:
−11 z − 13
4 z+ 2
x=
; y=
9
9
2
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
2x − y − z = 6

x + 2y + 3z = 1
3x + y + 2z = 3

Solución:
Eliminamos la incógnita y multiplicando la primera ecuación por 2 y sumándola con la segunda y sumando la
tercera ecuación con la primera, obteniendo el sistema:
5 x + z = 13

5 x + z = 9
que no tiene solución. El sistema propuesto es incompatible.
9
Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema compatible indeterminado:
3x + 2y − z = 3

− x + 3y + 2z = −1
Solución:
17 z + 11
−5 z
x=
; y=
11
11
10 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
x − 2y + z = 1

x + y + z = 4
2x − y + 2z = 5

Solución:
Eliminamos la incógnita y multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumándola con la primera y sumando la
tercera ecuación con la segunda, obteniendo el sistema:
3 x + 3 z = 9

3 x + 3 z = 9
que tiene infinitas soluciones, siempre que z=3-x, y=1. El sistema es compatible indeterminado
11 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss:
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 x y 13
 2 − 3 = 6

 5x + y = 1
 3
Solución:
x = 3; y = -2
12 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss:
1
 3x y
 2 − 2 = − 30

 x + 3y = 21
 4
2
20
Solución:
1
2
5
3
x= ;y=
14 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
4x + y − z = 4

x − 2y + z = 1
2x + 3y − z = 2

Solución:
Eliminamos la incógnita z sumando la primera ecuación y la segunda y restando la tercera ecuación a la
primera, obteniendo el sistema:
5 x − y = 5

2 x − 2 y = 2
Dividiendo la segunda ecuación por -2 y sumándola con la primera, resulta x=1, de donde y=0, z=0.
15 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
x + y − z = 1

3x + 2y + z = 1
5x + 3y + 4z = 2

Solución:
Eliminamos la incógnita z sumando la primera ecuación con la segunda y multiplicando la primera ecuación por
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4 y sumándola con la tercera, obteniendo el sistema:
4 x + 3 y = 2

9 x + 7 y = 6
Multiplicando la primera por 7 y la segunda por -3 y sumando ambas, resulta x=-4, de donde y=6, z=1
16 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
x + y + z = 2

3x − 2y + 2z = 3
2x + 3y + 6z = −3

Solución:
Eliminamos la incógnita z multiplicando la primera ecuación por -2 y sumándola con la segunda y multiplicando
la primera ecuación por 6 y restándole la tercera, obteniendo el sistema:
 x − 4 y = −1

4 x + 3 y = 15
Multiplicando la primera por -4 y sumándola con la segunda, y=1, de donde x=3, z=-2
17 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
x − y + z = 7

x + y + z = 1
x + y − z = 5

Solución:
Eliminamos la incógnita y sumando la primera ecuación con la segunda y la primera con la tercera, obteniendo
el sistema:
2 x + 2 z = 8

2 x = 12
De donde resulta:
x = 6, z = −2, y = −3