La desigualdad de Minkowski de tipo débil y aplicaciones

La desigualdad de Minkowski de
tipo débil y aplicaciones
Consuelo Ramı́rez Torreblanca
2
Sean (X, M, µ), (Y, N , ν) dos espacios de medida.
Sea T un operador que transforma funciones M-medibles en funciones N -medibles.
1. T es de tipo fuerte (p, q) con constante C ≥ 0 si
µZ
µZ
¶ 1q
¶ p1
q
p
≤C
|T f | dν
|f | dµ
Y
X
para toda función medible f .
2. T es de tipo débil (p, q) con constante C ≥ 0 si
¶ p1
µZ
1
C
p
q
(ν({y ∈ Y : |T f (y)| > λ})) ≤
|f | dµ
λ
X
para toda función medible f y todo λ > 0.
3. T es de tipo débil restringido (p, q) con constante C ≥ 0 si
1
1
C
(ν({y ∈ Y : |T χE (y)| > λ})) q ≤ (µ(E)) p
λ
para todo conjunto medible E ⊂ X y todo λ > 0.
3
DESIGUALDAD INTEGRAL DE MINKOWSKI
Sean (X, M, µ), (Y, N , ν) dos espacios de medida.
Si p ≥ 1, entonces
°
°Z
°
°
° f (·, y)dν(y)°
°
°
Y
Z
≤
p;dµ
kf (·, y)kp,dµ dν(y).
Y
APLICACIÓN: Dar condiciones suficientes para que un operador
integral
Z
K(x, y)f (y)dy
T f (x) =
p
esté acotado en el espacio L .
En efecto:
µZ
Z
kT f kp ≤
kK(·, y)kp |f (y)|dy ≤
Rn
Por tanto, si
Rn
R
Rn
0
Rn
0
kK(·, y)kpp dy
¶ 10
p
kf kp .
kK(·, y)kpp dy < ∞ entonces T está acotado en Lp .
4
¿Es posible dar una “ desigualdad de Minkowski de tipo débil”cuya
aplicación permita dar condiciones suficientes para que el operador
integral T sea de tipo débil (p, p)?.
5
DESIGUALDAD DE MINKOWSKI DE TIPO DÉBIL
Sean (X, M, µ) e (Y, N , ν) espacios de medida σ-finitos. Sea f : X ×
Y → R medible en el espacio producto. Sea p > 1 y p0 su exponente
conjugado. Entonces
°
°Z
Z
°
°
0
° f (x, ·)dµ(x)°
≤p
kf (x, ·)kp,∞;dν dµ(x).
°
°
X
p,∞;dν
X
6
Si (X, M, µ) es un espacio de medida σ-finito y p ≥ 1,
Lp,∞ (X) = {f : kf kp,∞;dµ < ∞}
donde
1
kf kp,∞;dµ = sup λ(µ{x ∈ X : |f (x)| > λ}) p .
λ>0
T es de tipo débil (p, p) con constante C si y sólo si kT f kp,∞ ≤ Ckf kp
para toda f ∈ Lp .
La función k · kp,∞;dµ no es una norma.
Si p > 1, p0 =
f y definimos
p
,
p−1
f ∗ es el reordenamiento decreciente de la función
kf k∗p,∞;dµ
= sup t
1
−1
p
t>0
Z
t
f ∗,
0
entonces k · k∗p,∞;dµ es una norma tal que
k · kp,∞;dµ ≤ k · k∗p,∞;dµ ≤ p0 k · kp,∞;dµ
y (Lp,∞ (X), k · k∗p,∞;dµ ) es un espacio de Banach de funciones.
7
Sea B la bola unidad cerrada de (Lp,∞ (X))0 , el espacio asociado de
L (X). Entonces
°Z
°∗
¯Z
¯
Z
°
°
¯
¯
° f (x, ·)dµ(x)°
¯
¯ dν(y)
=
sup
|h(y)|
f
(x,
y)dµ(x)
°
°
¯
¯
h∈B
X
X
p,∞;dν
¶
ZY µZ
≤ sup
|f (x, y)h(y)|dν(y) dµ(x)
h∈Bµ X ZY
¶
Z
sup |f (x, y)h(y)|dν(y) dµ(x)
≤
ZX h∈B Y
=
kf (x, ·)k∗p,∞;dν dµ(x).
p,∞
X
Finalmente, las desigualdades k · kp,∞;dν ≤ k · k∗p,∞;dν ≤ p0 k · kp,∞;dν dan
el resultado.
8
Con la desigualdad de Minkowski de tipo débil, si p > 1 la condición
Z
0
kK(·, y)kpp,∞ dy < ∞
Rn
da el tipo débil (p, p) del operador integral T .
En efecto:
µZ
Z
0
kK(·, y)kp,∞ |f (y)|dy ≤ p
kT f kp,∞ ≤ p
Rn
0
Rn
0
kK(·, y)kpp,∞ dy
¶ 10
p
kf kp .
9
APLICACIONES
Hemos aplicado la desigualdad de Minkowski de tipo débil anterior
para:
1. Caracterizar desigualdades de tipo débil con pesos para operadores de Hardy modificados n-dimensionales y operadores geométricos
n-dimensionales.
2. Dar condiciones suficientes para que determinados operadores de convolución verifiquen desigualdades de tipo débil mixto con
pesos.
3. Desarrollar un método de rotaciones de tipo débil para p > 1.
10
DESIGUALDADES DE TIPO DÉBIL PARA OPERADORES DE
HARDY EN DIMENSIÓN SUPERIOR A UNO
Z
x1
Z
Z
x2
T f (x1 , x2 , . . . , xn ) = h(x1 , x2 , . . . , xn )
xn
...
0
f.
0
0
Caracterizaremos la siguiente desigualdad:
µZ
u
{(x1 ,x2 ,...,xn )∈(0,∞)n :T f (x1 ,x2 ,...,xn )>λ}
en el caso 1 < p < q < ∞.
¶ 1q
C
≤
λ
µZ
∞
Z
Z
∞
∞
...
0
0
f
0
p
¶ p1
(x1 , x2 , . . . , xn )Πni=1 vi (xi )
11
ANTECEDENTES
E. T. Sawyer, Weighted inequalities for the two-dimensional Hardy
operator , Studia Math. (1985).
E. Sawyer caracterizó los pares de pesos (u, v) para los que se verifica la desigualdad de tipo débil
ÃZ
! 1q
µZ ∞ Z ∞
¶ p1
C
p
u
≤
f v
R R
λ
0
0
{(x,y)∈(0,∞)2 : 0x 0y f >λ}
en el caso 1 < p ≤ q < ∞.
12
Teorema. Sean p, q ∈ R con 1 < p < q < ∞. Sea u una función no
negativa en (0, ∞)n y sean v1 , v2 , · · · , vn funciones no negativas en (0, ∞).
Sean s1 , s2 , . . . , sn ∈ (1, p). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) Existe C > 0 tal que la desigualdad
µZ
¶ 1q
u
{(x1 ,x2 ,...,xn )∈(0,∞)n :T f (x1 ,x2 ,...,xn )>λ}
µZ ∞ Z ∞
¶ p1
Z ∞
C
p
n
≤
...
f (x1 , x2 , . . . , xn )Πi=1 vi (xi )
λ
0
0
0
se verifica para toda función positiva f y todo λ > 0.
(ii) Bs1 ,s2 ,...,sn (p, q, u, v1 , v2 , . . . , vn , h) < ∞, donde
Bs1 ,s2 ,...,sn (p, q, u, v1 , v2 , . . . , vn , h)
=
sup
(t1 ,t2 ,...,tn )∈(0,∞)n
Πni=1 Vi (ti )
si −1
p
y
kχΠni=1 (ti ,∞) hΠni=1 Vi (xi )
Z
xi
Vi (xi ) =
0
p−si
p
kq,∞;u
0
vi1−p .
Más aún, si C es la mejor constante en la desigualdad de tipo débil, entonces
³
´p

 p1
p
¶1
n
n µ
Y
Y
p−si
p − 1 p0


³
´p
Bs1 ,s2 ,...,sn
Cp,q Bs1 ,s2 ,...,sn .
≤C≤
p
p − si
+ 1
i=1
i=1
p−si
si −1
13
Aplicaremos el siguiente lema, que es una consecuencia sencilla de
la desigualdad de Minkowski de tipo débil.
Lemma 1. Sea 1 < p < q < ∞ y sean g, f , u funciones no negativas en
(0, ∞)n . Entonces
°
µZ x1 Z x2
Z xn ¶ p1 °
°
°p
°
°
...
f °
°g(x1 , x2 , . . . , xn )
°
°
0
0
0
q,∞;u
Z ∞Z ∞
Z ∞
≤ Dp,q
...
f (t1 , t2 , . . . , tn )kχΠni=1 (ti ,∞) gkpq,∞;u dt1 dt2 . . . dtn .
0
0
0
14
(i) ⇒ (ii) La condición (ii) se obtiene aplicando la desigualdad de
tipo débil a la función g definida por:
g=
n µµ
Y
i=1
p
p − si
¶p
−si
Vi (ti )
1−p0
vi (xi )
−si
χ(0,ti ) (xi ) + Vi (xi )
1−p0
vi (xi )
¶
χ(ti ,∞) (xi ) .
15
(ii) ⇒ (i) Sean g > 0 , λ > 0 y
Z
n
Oλ = {x ∈ (0, ∞) : h(x)
x1
Z
Z
x2
xn
...
0
0
0
1
− p1
g p Πni=1 vi
> λ}.
Si x ∈ Oλ , la desigualdad de Hölder da
µZ x1 Z x2
µ
¶ 10
¶ p1 Y
Z xn
n
p
p−si
p
−
1
si −1
n
λ < h(x)
.
Vi (xi ) p
...
gΠi=1 Vi
p − si
0
0
0
i=1
16
Entonces, por la desigualdad de Minkowski de tipo débil n-dimensional
y la definición de Bs1 ,s2 ,··· ,sn , tenemos
µZ
¶ 1q °
µZ x1 Z x2
¶ p1 Y
µ
¶ 10 °
Z xn
n
°
°
p
p−si
p
−
1
°
°
si −1
n
p
λ
u
≤ °h(x)
...
gΠi=1 Vi
Vi (xi )
°
°
°
p − si
Oλ
0
0
0
i=1
q,∞;u
1
¶
µ
n
Y
p − 1 p0
≤ Cp,q
p − si
¶ p1
µZ i=1
p−si
n
si −1
n
p
×
g(t1 , t2 , . . . , tn )Πi=1 Vi (ti )
khΠi=1 χ(ti ,∞) Vi (xi ) p kq,∞;u dt1 dt2 · · · dtn
(0,∞)n
¶ 1 µZ ∞ Z ∞
Z ∞ ¶ p1
n µ
Y
p − 1 p0
,
≤ Cp,q Bs1 ,s2 ,...,sn
...
g
p
−
s
i
0
0
0
i=1
que es equivalente a (i).
17
OPERADOR DE MEDIAS GEOMÉTRICAS N -DIMENSIONAL
µ
Gn f (x1 , x2 , . . . , xn ) = exp
1
x1 x2 · · · xn
Z
x1
Z
Z
x2
...
0
0
¶
xn
log f
0
ANTECEDENTES
A. Wedestig, Weighted inequalities for the Sawyer two-dimensional
Hardy operator and its limiting geometric mean operator , J. Inequalities Appl. (2005).
18
Theorem 1. Sean 0 < p < q < ∞. Sea u una función no negativa en (0, ∞)n
y sea v una función positiva en (0, ∞)n . Sean s1 , s2 , . . . , sn > 1. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
(i) Existe C > 0 tal que la desigualdad
µZ
¶ 1q
µZ ∞ Z ∞
¶ p1
Z ∞
C
p
u
≤
...
f v
λ
{(x1 ,x2 ,...,xn )∈(0,∞)n :Gn f (x1 ,x2 ,...,xn )>λ}
0
0
0
se verifica para toda función positiva f y todo λ > 0.
(ii) Bexp,s1 ,s2 ,...,sn (p, q, u, v) < ∞, donde
Bexp,s1 ,s2 ,...,sn =
sup
(t1 ,t2 ,...,tn )∈(0,∞)n
1
si −1
p
Πni=1 ti
kχ
Πn
i=1 (ti ,∞)
−si
p
wΠni=1 xi
kq,∞;u
y w = Gn (v − p ).
Más aún, si C es la mejor constante de la desigualdad de tipo débil, entonces
¶− p1
n µ
Y
si −1
e−si
Bexp,s1 ,s2 ,...,sn
1+
≤ C ≤ Πni=1 e p Cp,q Bexp,s1 ,s2 ,...,sn .
si − 1
i=1
19
DESIGUALDADES DE TIPO DÉBIL MIXTO CON PESOS
PARA CONVOLUCIONES
µZ
w
{x:g(x)|T f (x)|>λ}
¶ 1q
C
≤
λ
µZ
p
|f | v
¶ p1
T es un operador que actúa sobre funciones medibles.
Las funciones g, w y v son medibles y no negativas.
20
ANTECEDENTES
1. K. F. Andersen y B. Muckenhoupt, Weighted weak type Hardy
inequalities with applications to Hilbert transforms and maximal
functions, Studia Math. (1982).
2. E. T. Sawyer, A weighted weak type inequality for the maximal
function, Proc. Amer. Math. Soc. (1985).
3. K. F. Andersen, Weighted inequalities for convolutions, Proc.
Amer. Math. Soc. (1995).
4. F. J. Martı́n-Reyes, P. Ortega Salvador y M. D. Sarrión Gavilán,
Boundedness of operators of Hardy type in Λp,q spaces and weighted
mixed inequalities for singular integral operators, Proc. Roy. Soc.
Edinburgh Sect. A (1997).
5. D. Cruz-Uribe, J. M. Martell y C. Pérez, Weighted weaktype inequalities and a conjecture of Sawyer , Int. Math. Res. Not.
(2005).
21
OPERADORES DE CONVOLUCIÓN EN (0, ∞)
Consideremos el operador de convolución T definido sobre funciones medibles no negativas en (0, ∞) por
Z ∞ µ ¶
x f (y)
T f (x) =
K
dy,
y
y
0
donde K es una función no negativa, decreciente, continua por la
derecha en (0, ∞) y tal que lim K(t) = 0.
t→∞
22
Teorema. Sean p y q con 1 ≤ p < ∞ y 1 < q < ∞. Sean w, v y g funciones
medibles no negativas definidas en (0, ∞). Supongamos que g es monótona si
q < p. Sea ϕ1 ≡ ϕ1(g,w,v) la función definida en (0, ∞) por
½
sups>0 kχ(0,st) gkq,∞;w ky −1 χ(s,∞) (y)v −1 (y)kp0 ;v si p ≤ q
1
ϕ(g,w,v) (t) =
,
kΦt kr,∞;w
si q < p
donde
1
r
=
1
q
Φt (x) =
−
1
p
y
sup
0<c<x<d<∞

µZ
¶ p1 ÃZ
d
 inf g(y)
∞
w
y∈(c,d)
c
! 10 
p
0
0
v(y)1−p y −p dy
d
t
Sea ΛK la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a la función K. Si
Z ∞
B1 =
ϕ1 (t)dΛK < ∞,
0
entonces existe Cp,q > 0 tal que
µZ
w
{x∈(0,∞):g(x)T f (x)>λ}
¶ 1q
Cp,q B1
≤
λ
µZ
∞
p
f v
0
para todo λ > 0 y toda función f medible no negativa.
¶ p1
.
23
De acuerdo con Andersen
!
ÃZ
!
Z ∞
Z ∞ ÃZ ∞
dy
dy
T f (x) =
=
dΛK (t)
f (y)
f (y)
dΛK (t)
x
y
y
0
(x
,∞)
0
y
t
Z ∞
=
At f (x)dΛK (t),
0
donde
Z
At f (x) =
∞
f (y)
x
t
dy
.
y
Como B1 < ∞, ϕ1 es finita en casi todo punto respecto de la medida
ΛK , lo cual implica que los operadores At verifican
kgAt f kq,∞;w ≤ Cp,q ϕ1 (t)kf kp;v
para casi todo t (respecto de la medida ΛK ).
24
Entonces, la desigualdad de Minkowski de tipo débil nos da
°
°
Z ∞
Z ∞
°
°
0
°
°
kgT f kq,∞;w = °g(·)
At f (·)dΛK (t)°
≤q
kgAt f kq,∞;w dΛK (t)
0
q,∞;w
µ0 Z ∞
¶
≤ q 0 Cp,q
ϕ1 (t)dΛK (t) kf kp;v = q 0 Cp,q B1 kf kp;v .
0
25
OPERADORES DE CONVOLUCIÓN EN R
Consideremos ahora el operador T definido sobre funciones no
negativas en R por
Z
T f (x) =
K(|x − y|)f (y)dy,
R
donde K es una función definida en (0, ∞), no negativa, decreciente,
continua por la derecha y tal que lim K(t) = 0.
t→∞
26
Teorema. Sean p y q tales que 1 ≤ p < ∞ y 1 < q < ∞. Sean w, v
y g funciones medibles no negativas definidas en R. Supongamos que g es
monótona si q < p. Sea ϕ2 la función definida en (0, ∞) por
½
A(t)
si p ≤ q
2
ϕ (t) =
,
kΨt kr,∞;w si q < p
donde
1
r
=
1
q
− p1 , A(t) está definida por
A(t) =
sup
x<y;y−t≤x+t
kχ(x,y) gkq,∞;w kχ(y−t,x+t) v −1 kp0 ,v
y Ψt es la función definida en R por
µZ
Ψt (x) =
sup
inf g(y)
{c≤x≤d;d−t≤c+t} y∈(c,d)
Si
Z
∞
B2 =
entonces existe Cp,q > 0 tal que
µZ
¶ p1 µZ
d
c+t
v
w
1−p0
d−t
c
ϕ2 (t)dΛK < ∞,
0
w
{x∈R:g(x)T f (x)>λ}
¶ 1q
Cp,q B2
≤
λ
µZ
p
f v
R
para todo λ > 0 y toda función f medible no negativa.
¶ p1
¶ p10
.
27
MÉTODO DE ROTACIONES DE TIPO DÉBIL PARA p > 1
Sea T un operador unidimensional. Sea n > 1 y sea f : Rn −→ R.
Si u ∈ S n−1 y x⊥u definimos fux : R −→ R por:
fux (t) = f (tu + x).
Si x ∈ Rn definimos Tu f (x) por
Tu f (x) = T (fux )(t),
donde x = tu + x siendo x⊥u.
Sea Ω ∈ L1 (S n−1 ) y TΩ el operador n-dimensional definido por
Z
TΩ f (x) =
Ω(u)Tu f (x)dσ(u),
S n−1
donde σ es la medida de Lebesgue normalizada en S n−1 .
Teorema. Sea p ≥ 1 y sea T un operador unidimensional de tipo fuerte
(p, p) con constante Cp . Sea n > 1 y Ω ∈ L1 (S n−1 ). Entonces TΩ es de tipo
fuerte (p, p) con constante Cp kΩk1 .
28
Teorema. Sea p > 1 y sea T un operador unidimensional de tipo débil (resp.
tipo débil restringido) (p, p) con constante Cp . Sea n > 1 y Ω ∈ L1 (S n−1 ).
Entonces TΩ es de tipo débil (resp. tipo débil restringido) (p, p) con constante
p0 Cp kΩk1 .
29
Primero demostramos que los operadores Tu son de tipo débil (p, p)
con constante Cp usando que T es de tipo débil (p, p) con constante
Cp .
Z
n
χ{x∈Rn :|Tu f (x)|>λ} (x)dx
|{x ∈ R : |Tu f (x)| > λ}| =
Rn
¶
¶
Z µZ
Z µZ
=
χ{(t,x):|Tu f (t,x)|>λ} (t, x)dt dx =
χ{t∈R:|T (fux )(t)|>λ} (t)dt dx
L⊥
R
L⊥
R
uZ
u
¶
µ
Z
Z
Cpp
Cpp
≤ p
|f |p .
|fux (t)|p dt dx = p
λ L⊥u
λ
n
R
R
Por último aplicamos la desigualdad de Minkowski de tipo débil y
el tipo débil (p, p) uniforme de los operadores Tu .
kTΩ f kp,∞
°Z
°
=°
°
°
Z
°
0
°
Ω(u)Tu f (·)dσ(u)°
≤p
|Ω(u)|kTu f kp,∞ dσ(u)
S n−1
S n−1
p,∞
Z
≤ p0 Cp kf kp
|Ω(u)|dσ(u) = p0 Cp kΩk1 kf kp .
S n−1
Si T es de tipo débil restringido (p, p), la demostración es similar, teniendo en cuenta que si E es un subconjunto medible de Rn
entonces (χE )xu = χEux , donde Eux = {t ∈ R : tu + x ∈ E}.
30
UNA APLICACIÓN
El método de rotaciones de tipo débil para p > 1 permite obtener
resultados que no se pueden obtener con el método de rotaciones de
tipo fuerte.
Si T es un operador unidimensional que es de tipo débil o tipo débil
restringido (p0 , p0 ), p0 > 1, y no es de tipo fuerte (p0 , p0 ), entonces el
operador TΩ , es de tipo débil o tipo débil restringido (p0 , p0 ) aplicando
el método de rotaciones de tipo débil, pero este resultado no se puede
obtener con el método de rotaciones de tipo fuerte.
31
Consideremos el operador maximal de convolución
Ã
!
¶α
µ
Z
1
1
kx − yk
Mα,β,h f (x) = sup n n
|f (y)|
+ h logβ kx−yk
dy,
R
R>0 h R
+h
B(x,hR)
R
donde −1 < ¡α¢ < 0, β ≤ 0 y h es un número tal que 0 < h < 1 y
ϕ(t) = tα logβ 1t decrece en (0, h).
Cambiando a coordenadas polares, vemos que
µ
µ
¶ ¶
Z
Z Rh
³ρ
´α
1
1
β
sup
Mα,β,h f (x) ≤
|f (x + ρu)|
+ h log
dρ dσ(u)
ρ
R
+h
ZS n−1 R>0 Rh 0
R
=
Tu f (x)dσ(u),
S n−1
donde T es el operador maximal de convolución definido por
µ
¶
¶α
µ
Z Rh
t
1
1
β
|g(s + t)|
T g(s) = sup
+ h log
dt.
t
R
+h
R>0 Rh 0
R
32
A. L. Bernardis y F. J. Martı́n-Reyes han demostrado que si α ≤ β,
1
1
entonces T es de tipo débil restringido ( 1+α
, 1+α
) y no es de tipo débil
1
1
( 1+α , 1+α ).
Entonces, aplicando el Teorema anterior, obtenemos inmediatamente el siguiente resultado:
Teorema. Sea −1 < α < 0 y β ≤ 0 con α ≤ β. Entonces Mα,β,h es de tipo
1
1
, 1+α
).
débil restringido ( 1+α