septiembre de 2007

U NIVERSIDAD C ARLOS III DE M ADRID
Ingenierı́a Informática
Examen de Investigación Operativa
12 de septiembre de 2007
Problema 1. (2.5 puntos) Un fabricante de productos informáticos produce 3 modelos de routers para conexión
a Internet: Backbone, Subnet y Local. Los costes de fabricación (en euros) junto con las horas necesarias para
su producción para cada tipo de router se muestran en la siguiente tabla:
Backbone
Subnet
Local
Coste/unidad Horas de producción/unidad
1000
30
700
20
500
20
El fabricante dispone de un presupuesto diario de 200000 euros y un máximo de 6600 horas/diarias para
producir routers. El beneficio diario por cada router que vende es de 200 euros para el tipo Backbone, de 150
euros para el Subnet y de 95 euros para el Local. Además, sabe que como mucho va a vender 100 routers al
dı́a del modelo Backbone, 200 del Subnet y 350 del Local.
a) (1 puntos) Formula un modelo de programación lineal que permita al fabricante crear un plan de producción
diaria para maximizar su beneficio.
b) (0.5 puntos) Formula el modelo anterior en forma estándar.
c) (1 puntos) Para el modelo en forma estándar, encuentra una solución básica factible y realiza una iteración
del método Simplex a partir de ésta.
Solución. a) Las variables de decisión son: x1 ≡ número de routers del modelo Backbone a producir al dı́a,
x2 ≡ número de routers del modelo Subnet, x3 ≡ número de routers del modelo Local.
maximizar 200x1 + 150x2 + 95x3
sujeto a 1000x1 + 700x2 + 500x3 ≤ 200000
30x1 + 20x2 + 20x3 ≤ 6600
x1 ≤ 100
x2 ≤ 200
x3 ≤ 350
x ≥ 0.
b) Forma estándar:
minimizar
sujeto a
− 200x1 − 150x2 − 95x3
1000x1 + 700x2 + 500x3 + s1 = 200000
30x1 + 20x2 + 20x3 + s2 = 6600
x1 + s3 = 100
x2 + s4 = 200
x3 + s5 = 350
x, s ≥ 0.
1
c) Solución básica factible: x0 = (0, 0, 0, 200000, 6600, 100, 200, 350).
Una iteración del Simplex: x1 = (100, 0, 0, 100000, 3600, 0, 200, 350).
Problema 2. (3 puntos) Un sistema de procesamiento compartido tiene 3 ordenadores diferentes (Oj , j =
1, 2, 3) y tiene que procesar 6 tareas (Ti i = 1, . . . , 6). Todas las tareas se pueden realizar en cualquier ordenador, pero no pueden fraccionarse (se deben completar en el ordenador en que se inician). Los tiempos de
procesamiento de cada tarea i en cada ordenador j, tij , varı́a según el ordenador y el tiempo disponible de cada
ordenador para ejecutar las tareas está limitado:
Ordenador
Tarea
O1 O2 O3
T1
18 16 12
T2
14 21 19
T3
23 27 33
T4
16 24 23
T5
17 24 24
T6
25 28 30
T. disp. (Cj ) 47 41 46
a) (1.75 puntos) Escribe un modelo de programación entera para decidir a qué ordenador se debe mandar cada
tarea si se quiere minimizar el tiempo total de procesamiento. Debes tener en cuenta la disponibilidad de
tiempo en cada ordenador.
b) (1.25 puntos) ¿Cómo cambiarı́as el modelo, si en lugar de querer minimizar el tiempo total de procesamiento, se quiere minimizar el tiempo que tardan en completarse todas las tareas cuando éstas se procesan en
paralelo en los 3 ordenadores? Hay que tener en cuenta que el modelo tiene que seguir siendo lineal entero.
Solución. a) Las variables de decisión son:
(
1, si la tarea i se asigna al ordenador j,
,
xij =
0, en otro caso.
i = 1, . . . , 6, j = 1, 2, 3. Las restricciones son:
Cada tarea se procesa en un sólo ordenador:
3
X
xij = 1,
i = 1, . . . , 6.
j=1
Limitación de tiempo disponible en cada ordenador:
18x11 + 14x21 + 23x31 + 16x41 + 17x51 + 25x61 ≤ 47
16x12 + 21x22 + 27x32 + 24x42 + 24x52 + 28x62 ≤ 41
12x13 + 19x23 + 33x33 + 23x43 + 24x53 + 30x63 ≤ 46
Y la función objetivo es:
T = 18x11 + 16x12 + 12x13 + 14x21 + 21x22 + 19x23 +
+ 23x31 + 27x32 + 33x33 + 16x41 + 24x42 + 23x43 +
+ 17x51 + 24x52 + 24x53 + 25x61 + 28x62 + 30x63
2
El modelo es entonces:
T = mı́n
6 X
3
X
tij xij
i=1 j=1
3
X
xij = 1,
i = 1, . . . , 6
j=1
6
X
tij xij ≤ Cj ,
j = 1, 2, 3
i=1
xij ∈ {0, 1}
b) La función objetivo, a minimizar, es ahora:
T = máx 18x11 + 14x21 + 23x31 + 16x41 + 17x51 + 25x61 ,
16x12 + 21x22 + 27x32 + 24x42 + 24x52 + 28x62 ,
12x13 + 19x23 + 33x33 + 23x43 + 24x53 + 30x63
Para linealizar el problema hay que añadir una variable adicional z, que sea igual al máximo anterior. El
modelo queda entonces:
T = mı́n z
6
X
ti1 xi1 ≤ z
i=1
6
X
ti2 xi2 ≤ z
i=1
6
X
ti3 xi3 ≤ z
i=1
3
X
xij = 1,
i = 1, . . . , 6
j=1
6
X
tij xij ≤ Cj ,
j = 1, 2, 3
i=1
xij ∈ {0, 1}
Problema 3. (1.5 puntos) Una compañı́a de productos informáticos está trabajando en el diseño y desarrollo
de un nuevo producto de software. Con el fin de establecer el plan de trabajo se definen 4 etapas consecutivas:
1) investigación, 2) desarrollo, 3) diseño y manufactura, y 4) producción y distribución. Cada una de estas
fases se puede llevar a cabo a 3 niveles diferentes de intensidad, lo que incide tanto en el coste como en el
tiempo requerido para su finalización. En las siguientes tablas se recogen los tiempos requeridos para llevar
a cabo cada etapa, dependiendo del nivel considerado, y el coste de cada etapa, también en función del nivel
seleccionado:
3
Nivel
Investigación
Tiempo
Desarrollo
Normal
Media
Alta
5 meses
4 meses
2 meses
(4 meses)
2 meses
2 meses
Diseño y
manufactura
(7 meses)
5 meses
3 meses
Producción y
distribución
(4 meses)
2 meses
1 meses
La compañı́a ha decidido no contemplar el nivel normal para las 3 últimas etapas, al considerar que los tiempos
son demasiado prolongados.
Nivel
Investigación
Coste
Desarrollo
Normal
Media
Alta
3
6
9
–
6
9
Diseño y
manufactura
–
9
12
Producción y
distribución
–
3
6
La administración de la empresa quiere determinar el nivel de prioridad que debe seleccionarse para cada
actividad con el fin de minimizar el tiempo total hasta su finalización, pero sin superar el presupuesto total
disponible, que asciende a 30 millones de euros.
Formula el problema que debe resolver la compañı́a para ello como un problema de programación matemática.
Solución. La formulación del problema como uno de PL es:
Minimizar 5x11 + 4x12 + 2x13 + 2x22 + 2x23 + 5x32 + 3x33 + 2x42 + 1x43
s.a x11 + x12 + x13 = 1
x22 + x23 = 1
x32 + x33 = 1
x42 + x43 = 1
3x11 + 6x12 + 9x13 + 6x22 + 9x23 + 9x32 + 12x33 + 3x42 + 6x43 ≤ 30
xij ∈ {0, 1}
donde las variables binarias
(
1,
xij =
0,
si la actividad i se lleva a cabo al nivel j,
en otro caso.
Problema 4. (3 puntos) Un supermercado dispone de una caja con un empleado para atender a los clientes.
Éstos llegan a la caja con una media de 24 personas cada hora (según una distribución de Poisson) y se les
atiende respetando su orden de llegada. El empleado tarda una media de 2 minutos en atender a cada cliente
(según una distribución exponencial).
Calcula:
a) (1 puntos) ¿Cuántas personas hay (en media) esperando para ser atendidos por el empleado? ¿Cuál es el
tiempo medio de espera en la cola antes de ser atendido?
b) (1 punto) El director del supermercado se plantea contratar a otro empleado para que ayude a los clientes
a introducir los artı́culos en las bolsas. Con esta ayuda, el director estima que la caja podrı́a atender a 40
clientes por hora (en media). Recalcula las medidas de comportamiento del apartado (a).
c) (1 punto) El nuevo empleado cobra 300 euros semanales por su ayuda. Por otra parte, el director ha estimado
que por cada minuto que espera un cliente en la cola, el supermercado pierde 150 euros semanales en ventas
pérdidas. ¿Le es rentable al director contratar al nuevo empleado? Razona la respuesta.
4
Puedes ayudarte de alguna de las fórmulas siguientes:
M/M/1
M/M/s
M/M/1/K (ρ 6= 1)
M/M/1/K (ρ = 1)
p0
pn
L
ρ
n
1−ρ
ρ p0
1−ρ
...........................................................
(λ/µ)n
p0 ; n 6 s
1
n!
s−1
(λ/µ)s p0 ρ
P (λ/µ)n + (λ/µ)s 1
+ µλ
s!(1−ρ)2
n!
s!
1−ρ
n=0
n
(λ/µ)
p ; n>s
s!sn−s 0
...........................................................
ρ(1−(K+1)ρK +KρK+1 )
1−ρ
ρn p 0
1−ρK+1
(1−ρ)(1−ρK+1 )
...........................................................
1
K+1
1
K+1
K
2
Solución. a) Es un modelo M/M/1, donde la tasa de llegadas es λ = 24 clientes por hora, la tasa de servicio
es µ = 30 clientes servidos por hora y el factor de utilización es ρ = 24/30 = 0.8 .
Lq =
ρλ
µ−λ
= 3.2 personas (en media) esperando para ser atendidos por el empleado.
Wq = Lq /λ = 0.13 horas ó 8 minutos de espera en la cola (en media).
b) Es un modelo M/M/1, donde la tasa de llegadas es λ = 24 clientes por hora, la tasa de servicio es µ = 40
clientes servidos por hora y el factor de utilización es ρ = 24/40 = 0.6 .
Lq =
ρλ
µ−λ
= 0.9 personas (en media) esperando para ser atendidos por el empleado.
Wq = Lq /λ = 0.0375 horas ó 2.25 minutos de espera en la cola (en media).
c) Si el director no contrata al nuevo empleado, entonces pierde 8 × 150 = 1200 euros semanales por ventas
perdidas. Si contrata al nuevo empleado, entonces pierde 2.25 × 150 = 337.5 euros semanales por ventas
perdidas más 300 euros semanales por el sueldo del nuevo empleado. Como 1200 > 337.5 + 300, al
director le compensa contratar al nuevo empleado.
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