Fractales, potencias, álgebra

Fractales, potencias, álgebra
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Mi nombre es Benoît Mandelbrot, nací en Polonia en 1924 y soy considerado el
principal creador de la geometría fractal. Esta geometría es ideal para modelar diferentes
objetos naturales que, como ustedes saben, no siguen patrones básicos:
las nubes no son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares,
ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo.
Estudiaremos a continuación el fractal conocido como Curva de Koch, pues a partir de él
puede obtenerse un modelo de un copo de nieve como puede verse en la figura.
El fractal conocido como la Curva de Koch puede ser creado a través de la repetición de
un proceso geométrico. Para generarlo, partimos de un segmento y lo dividimos en
tres partes iguales. Como primer paso se construye un triángulo equilátero sobre el
segmento central y se suprime el lado que está incluido en el segmento inicial. Se
obtiene así la etapa 1 del fractal que tiene cuatro lados. Repitiendo la operación en
Segmento inicial:
cada uno de los cuatro lados, se obtiene la etapa 2 de dieciséis lados. Procediendo
0 este
de la misma forma se obtiene la etapa 3 de sesenta y cuatro lados. Etapa
Si repetimos
proceso infinitas veces, se obtiene una curva que es la llamada Curva de Koch. Así, los
fractales pueden ser considerados como el resultado de la repetición infinita de un proceso geométrico bien determinado.
Etapa 1
Segmento inicial:
Etapa 0
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
Etapa 1
Segmento inicial:
Etapa 0
Etapa 2
Etapa 1
Etapa 3
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Etapa 4
Etapa 2
1. El segmento de la figura está
dividido en tercios. Utilízalo
como segmento inicial para
construir las etapas 1 y 2 del
fractal, usando regla y compás.
Etapa 3
2. Considerando que el segmento
inicial tiene longitud 1, calcula la
longitud de la poligonal de la etapa
Etapa 4
1, la etapa 2 y la etapa 3; y exprésalas como potencias de igual base.
3. ¿Cómo expresarías la suma de
las longitudes de los segmentos
de la etapa n del proceso?
4. Si consideramos el segmento inicial como poligonal de la
etapa cero, ¿qué valor asignarías
a la potencia de exponente cero
para que la expresión que permite obtener la longitud de cada
poligonal sea válida en cualquiera de los pasos del proceso?
18
Teniendo en cuenta que la longitud del segmento inicial es 1, seguramente
4
habrás calculado que la longitud de la poligonal de la etapa 1 es .
3
Para calcular la longitud de la poligonal de la etapa 2 podemos pensar que cada
1
1
16
segmento de esta poligonal es
del inicial, por tanto tenemos
×4×4= .
9
9
9
De la misma forma podemos calcular la longitud de la poligonal de la etapa 3
1
considerando que cada segmento de ella es
del segmento inicial, por lo tanto
27
1
64
su longitud será
× 4 ×16 =
.
27
27
Expresar la suma de las longitudes de los segmentos de la etapa n del proceso
es sencillo si podemos detectar un patrón que permita obtener la longitud de la
poligonal en cualquier etapa del proceso.
2
3
 4
16
4
4  4
64
4
4
4
En primer lugar observamos que
= × =  y
= × × =  .
9
3
3  3
27
3
3
3
 3
Resumiendo, tenemos que:
Segmento inicial:
Segmento
Etapa inicial:
0
Etapa 0
Segmento
Etapa inicial:
1
Etapa 0
1
Segmento inicial:
Etapa 2
Etapa
Etapa 0
1
2
tiene longitud
tiene longitud
Etapa 3
Etapa
Etapa 1
2
3
Etapa 4
Etapa
Etapa 2
3
4
tiene longitud
Etapa
Etapa 3
4
tiene longitud
Etapa 4
1
4
3
 4
 3 
2
 4
 3 
3
La longitud de cada poligonal queda entonces expresada como una potencia de
4
base
y exponente igual al lugar que ocupa la poligonal en el proceso iterativo.
3
En el caso de la poligonal de la etapa 1 es válido lo antedicho, en virtud de que
1
 4 4
 3  = 3 .
Segmento inicial:
Etapa 0
Etapa 1
19
Etapa 2
Etapa 3
De esta forma podemos llegar a generalizar que, en cualquier paso del proceso
n
 4
iterativo, la longitud de la poligonal de la etapa n es   .
 3
Etapa 4
Si convenimos en considerar el segmento inicial como poligonal de la etapa 0,
para que el patrón que permite obtener la longitud de cada poligonal en cual0
 4
quiera de los pasos del proceso iterativo sea válido, deberá ser   = 1.
 3
A partir del trabajo realizado recordaremos la definición de potencia de base real
y exponente natural. Como vimos, la potencia de exponente 0 se define como 1 y
la potencia de exponente 1 es igual a la base. Para el caso de exponente natural
mayor o igual que 2, la potencia es igual al producto de tantos factores iguales a
la base como indique el exponente.
Si realizamos el proceso anterior pero ahora sobre los lados de un triángulo
equilátero, obtenemos el fractal copo de nieve.
Etapa 0
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
a. Calcula el perímetro de las figuras en la etapa 1, la etapa 2 y la etapa 3,
considerando que el lado del triángulo es 1.
b. ¿Cómo expresarías el perímetro de la figura de la etapa n del proceso?
2
 7
7
a. ¿Es lo mismo   que
× 2? Fundamenta tu respuesta.
5
 5
b. ¿Es cierto que 230 = 1 y (–23)0 = –1? Explica tu respuesta.
c. Utilizando potencias de bases diferentes, escribe el número 1 de tres formas
distintas.
d. ¿Es cierto que p0 = 3,14? ¿Por qué?
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Expresa en lenguaje simbólico.
a. El cuadrado de un número real cualquiera.
b. La diferencia de los cuadrados de dos números reales cualesquiera.
c. El cuadrado de la diferencia de dos números reales cualesquiera.
d. El cubo de un número real cualquiera.
Potencia de base real y exponente natural
En el curso anterior ya estudiaste que:
a 0 = 1 donde a representa un número real cualquiera distinto de 0.
a1 = a donde a representa un número real cualquiera.
an = a ∙ a ∙ a ∙ a …. a donde a representa un número real cualquiera y n
un número natural mayor o igual que dos.
n factores
an
Potencia
a es la base de la potencia
n es el exponente
Propiedades de la potenciación
Cuenta la leyenda que el hijo de un rey llamado Yadava murió en una batalla y
el rey se retiró inconsolable.
Yadava recobró su alegría y accedió a conceder a Lahur lo que deseara:
“Quiero: un grano de trigo para la primera casilla; dos granos para la segunda;
el doble de la cantidad anterior (cuatro granos) para la tercera casilla; otra vez
el doble de la cantidad anterior (ocho granos) para la cuarta casilla; y así hasta
la 64ª casilla”.
Creyendo que era muy poco, los contadores del rey iniciaron los cálculos para
saber cuánto se debía pagar. El total de granos que se debían entregar a Lahur
era 1 + 21 + 22 + 23 + … + 263 es decir: ¡18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo!
Si contáramos los granos de a uno, contando un grano por segundo, tardaríamos cerca de 6 billones de siglos. Si colocáramos uno por centímetro cuadrado cubriríamos toda la superficie de la Tierra, incluidos los mares. Si todos los
campos de la India se sembraran, pasarían más de 2000 siglos para producir el
trigo necesario.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
Cierto día, un joven llamado Lahur Sessa mostró al rey un juego que simulaba
una batalla: era el ajedrez.
21
El rey, asombrado, ante este gran número entendió la apariencia engañadora
de los números (y de los hombres) y nombró a Lahur gran visir. (Fuente: El hombre que calculaba de Malba Tahan.)
a. Expresa, utilizando una potencia, la cantidad de granos de trigo que corresponderían a las casillas número 5, 6, 7, 8 y 10.
b. ¿Qué potencia permite expresar la cantidad de granos de trigo que corresponden a la primera casilla?
c. Expresa, con tus palabras, qué relación existe entre el exponente de la
potencia que indica la cantidad de granos de trigo y el número de la casilla
correspondiente.
d. ¿Cómo expresarías, mediante una potencia, la cantidad de granos de trigo
de la casilla número n?
e. Completa las siguientes oraciones utilizando una potencia de base 2:
• Si multiplicamos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la
casilla 5 por
obtenemos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la casilla 8.
• Si multiplicamos la cantidad de granos de trigo que corresponden a
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
la casilla 10 por
obtenemos la cantidad de granos de trigo que
corresponden a la casilla 17.
• Si dividimos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la casilla
7 por
obtenemos la cantidad de granos de trigo que corresponden
a la casilla 3.
• Si dividimos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la casilla
15 por
obtenemos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la casilla 9.
f. Escribe cada una de las oraciones de la parte e. utilizando únicamente potencias y las operaciones multiplicación y división.
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Expresa mediante una única potencia los siguientes números reales:
a. ((-3)4)5 =
3
 4 2 
b.    =
 7  
(
)
6 0
3
c. ((p
π) )
En las actividades anteriores trabajaste con potencias de base real y exponente
natural. Las situaciones que abordaste seguramente te permitieron recordar las
siguientes propiedades de la potenciación:
1) am ∙ ap = am + p
2) am : ap = am – p
(a ≠ 0 y m ≥ p)
3) (am)p = am ∙ p
¿Por qué en la propiedad 2) se indica que a ≠ 0 y m ≥ p?
Potencia de base real y exponente entero negativo
Completa con el número que corresponde en cada línea punteada.
3 4 = 81
:3
3 3 = 27
:3
32 = 9
31 = 3
:3
30 = 1
:3
3 –1 =
:3
3 –2 =
:3
3 –3 =
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
:3
23
¿Qué potencia está escrita debajo de cada papelito?
1
3−2 =
( −5)
−3
=
7−1 =
 3
 4 
1
−4
=
1
1
A partir de lo trabajado anteriormente habrás visto que la potencia de base real
y exponente entero negativo se define de la siguiente forma:
a–n =
1
an
a≠ 0
–n es un entero negativo
a. ¿Qué números están escritos debajo de los papelitos? Ten en cuenta que,
en el caso de los papeles amarillos, dichos números están expresados en forma
de potencia.
7−3 ⋅ 75 =
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
I
1
⋅ 75 =
75
= 75− = 7
II
b. La definición de potencia de exponente entero negativo permite justificar la
igualdad I , ¿qué propiedad permite justificar la igualdad II ?
c. ¿7–3 ∙ 75 es igual a 7–3 + 5? Justifica tu respuesta.
Notación científica
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído de Álgebra recreativa, de Y.
Perelman, y luego contesta las preguntas.
Es probable que nadie haga tanto uso de la potenciación como los astrónomos. Los exploradores del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por una o dos cifras significativas seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo expresar con los medios
ordinarios tales cantidades, llamadas con razón astronómicas y, sobre todo, operar con ellas.
Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda se representan con la siguiente cifra:
95 000 000 000 000 000 000.
Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con kilómetros u otras unidades aun mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia antes
referida lleva cinco ceros más:
9 500 000 000 000 000 000 000 000.
La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si
hemos de registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos. La masa del Sol, en gramos,
es igual a:
1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Está de más decir los inconvenientes que representaría operar con números tan desmesurados y lo fácil que sería incurrir en error en tales casos. Además, las cantidades referidas están
muy lejos de ser las mayores en la astronomía.
La potenciación aligera los cálculos. La unidad seguida de varios ceros se expresa con el
número 10 elevado a una determinada potencia
100 = 102; 1000 = 103; 10 000 = 104; etcétera.
Los enormes números citados anteriormente pueden representarse como sigue:
el segundo 95 ∙ 1023 ; el tercero 1983 ∙ 1030.
Se expresan así no solo para economizar espacio, sino también para facilitar los cálculos. Si hubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos números entre sí, bastaría hallar el
producto de 95 × 1983 = 188 385 y tras él colocar el factor 1023+30 de la forma siguiente:
95 ∙ 1023 × 1983 ∙ 1030 = 188 385 ∙ 1053 .
Es evidente que esto resulta más cómodo que escribir un número seguido de 23 ceros, otro
de 30 ceros y, por último, un tercero acompañado de 53 ceros. Y no solo más sencillo sino
también más seguro, por cuanto al escribir tal fila de ceros puede ser omitido alguno, lo que
arrojaría un resultado erróneo.
a. ¿Por qué se recurre a las potencias de base 10 para expresar los números
que aparecen en el texto?
b. Para expresar 95 ∙ 1023 × 1983 ∙ 1030 como 188 385 ∙ 1053, ¿qué propiedades se
aplicaron?
c. El número 95 ∙ 1023 también puede escribirse como 9,5 ∙ 1024. Explica por qué.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
24
25
d. ¿Es correcto?
1983 ∙ 1030 = 1,983 ∙ 1033
1983 ∙ 1030 = 19,83 ∙ 1031
1983 ∙ 1030 = 198,3 ∙ 1031
Como observaste anteriormente, el número 95 ∙ 1023 puede escribirse también
como 9,5 ∙ 1024. Esta última notación recibe el nombre de notación científica.
Para escribir un número utilizando notación científica, dicho número
debe expresarse de la forma a ∙ 10b donde a representa un número real
mayor o igual que 1 y menor que 10, y b representa un número entero.
a. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
357 000 000 = 35,7 ∙ 106
740 000 = 74 ∙ 104
13 590 000 000 000 = 1,359 ∙ 1013
2 300 000 = 2,3 ∙ 105
540 000 000 = 5,4 ∙ 108
18 230 000 = 1,823 ∙ 107
2 300 000 = 2,3 ∙ 106
171 000 000 000 000 000 000 = 17,1 ∙ 1016
b. En el caso en que la proposición es verdadera, indica si el número escrito a
la derecha del signo de igual está expresado en notación científica.
Completa con el exponente que falta para que los siguientes números queden
expresados en notación científica.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
9 340 000 = 9,34 · 10
0,000125 = 1,25 · 10
789 200 = 7,892 · 10
0,0089 = 8,9 · 10
137 = 1,37 · 10
0,000035 = 3,5 · 10
2 = 2 · 10
Sabías que…
El primer intento
de representar
números demasiados grandes
fue emprendido
por el matemático griego
Arquímedes
(siglo iii a. de C.).
Evidencia de esto
aparece en su
libro Arenario.
Arquímedes propone un sistema
capaz de expresar
números hasta
8 × 1063 pues considera que este
es un número lo
suficientemente
grande como
para contar
todos los granos
de arena que
podrían caber en
el universo que él
concebía.
Este universo de
Arquímedes era
una esfera limitada por las estrellas fijas. Él estimaba el diámetro
de esta esfera en
10 000 diámetros
terrestres.
(Fuente: Arquímedes.
Alrededor del
círculo, de Torija, R.)
26
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído de Matemática recreativa,
de Y. Perelman, y luego contesta las preguntas.
En el interior del cuerpo humano se ocultan números gigantes. Vamos a
demostrarlo tomando como ejemplo la sangre. Si observamos al microscopio una gota de sangre, veremos que en ella nada una multitud enorme de
corpúsculos pequeñísimos de color rojo, que son los que dan ese color a la
sangre. Esos corpúsculos sanguíneos, llamados glóbulos rojos, son de forma
circular discoidea, o sea, oval aplanada, hundida en su parte central, como se
observa en la figura.
En todas las personas, los glóbulos rojos son de dimensiones aproximadamente iguales, de 0,007 milímetros de diámetro y de 0,002 mm de espesor.
Pero su número es fantástico. Una gotita pequeñísima de sangre, de 1 mm
cúbico, contiene 5 millones de glóbulos rojos. ¿Cuál es su número total en
nuestro cuerpo? Por término medio, hay en el cuerpo humano un número
de litros de sangre 14 veces menor que el número de kilogramos que pesa
la persona. Si pesas 40 kg, tu cuerpo contiene aproximadamente 3 litros de
sangre, o lo que es lo mismo, 3 000 000 de mm cúbicos. Dado que en cada
milímetro cúbico hay 5 000 000 de glóbulos rojos, el número total de estos en
tu sangre será:
5 000 000 x 3 000 000 = 15 000 000 000 000.
a. ¿Cómo expresarías cada uno de los números presentes en la siguiente igualdad utilizando notación científica?
5 000 000 x 3 000 000 = 15 000 000 000 000.
b. ¿Qué longitud se obtendría si se dispusiera en fila esta cantidad de glóbulos
rojos sin dejar espacio entre uno y otro?
c. ¿Cuántas vueltas a la Tierra podrían darse con esa fila?
d. ¿Cómo expresarías el diámetro y el espesor de un glóbulo rojo utilizando
notación científica?
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
¡Quince billones de glóbulos rojos!
27
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído del capítulo 28 de El hombre que calculaba, de Malba Tahan.
¿Es posible extraer en Matemática una regla falsa de
una propiedad verdadera? Quiero oír tu respuesta, ¡oh,
calculador!, ilustrada con un ejemplo sencillo y perfecto.
Beremís calló durante un rato, reflexivamente. Luego salió
del recogimiento y dijo: —Admitamos que un algebrista
curioso deseara determinar la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras. Sabemos que la raíz cuadrada de un
número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da un producto igual
al número dado.
Vamos a suponer aun que el algebrista, tomando libremente tres números a
su gusto, destacase los siguientes números: 2025, 3025, 9801.
Iniciemos la resolución del problema por el número 2025. Hechos los cálculos para dicho número, el investigador hallaría que la raíz cuadrada es 45. En
efecto: 45 veces 45 es igual a 2025. Pero se puede comprobar que 45 se obtiene de la suma de 20 + 25, que son partes del número 2025 descompuesto
mediante un punto, de esta manera: 20.25.
Lo mismo podría comprobar el matemático para el número 3025, cuya raíz
cuadrada es 55 y conviene notar que 55 es la suma de 30 + 25, partes ambas
del número 3025. Idéntica propiedad se destaca con relación al número 9801,
cuya raíz cuadrada es 99, es decir, 98 + 01.
La raíz cuadrada
de 9801 es 99 porque 992 = 9801.
Esto lo expresamos de la siguiente manera:
9801 = 99 porque 992 = 9801
2
Usualmente el
índice 2 del radical se omite y se
escribe simplemente:
9801 =99.
Frente a esos tres casos, el inadvertido algebrista podría sentirse inclinado a
enunciar la siguiente regla:
“Para calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras, se divide el
número por medio de un punto en dos partes de dos cifras cada una, y se
suman las partes así formadas. La suma obtenida será la raíz cuadrada del
número dado”.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
a. Explica por qué la raíz cuadrada de 9801 es 99.
Índice
2
Símbolo
radical
9801
b. ¿Existen otros ejemplos de números naturales de cuatro cifras que cumplan
idéntica propiedad que los que aparecen en el texto? Explica tu respuesta.
c. ¿Recuerdas a qué números se les llama “cuadrados perfectos”?
d. Analiza e investiga si la regla enunciada es válida para cualquier número
natural de cuatro cifras que sea un cuadrado perfecto.
a. ¿Es posible calcular −1521? ¿Por qué?
b. Explica por qué la raíz cuadrada de un número real no negativo es también
no negativa.
Radicando
28
De manera que la raíz cuadrada
de un número real x no negativo es
un número real también no negativo que
elevado al cuadrado es igual a x.
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído del capítulo 18 de El hombre que calculaba de Malba Tahan.
El hombre que calculaba empezó así:
—Nueve o diez siglos antes de Mahoma, vivió en la India un brahmán ilustre
que se llamaba Apastamba. Con intención de ilustrar a los sacerdotes sobre
los sistemas de construcción de altares y sobre la orientación de los templos,
este sabio escribió una obra llamada Suba-Sultra, que contiene numerosas
enseñanzas matemáticas. Es poco probable que esta obra pudiera recibir la
influencia de los pitagóricos, pues la geometría del sacerdote hindú no sigue
el método de los investigadores griegos. Se encuentran, sin embargo, en las
páginas de Suba-Sultra varios teoremas de Matemáticas y pequeñas reglas
sobre construcción de figuras. Para enseñar la transformación conveniente
de un altar, el sabio Apastamba propone la construcción de un triángulo
rectángulo cuyos lados miden respectivamente 39, 36 y 15 pulgadas. Para la
solución de este curioso problema aplicaba el brahmán un principio que era
atribuido al griego Pitágoras:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre
los catetos.
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
—Deseamos, ¡oh, calculador! —prosiguió Iezid—, tu ayuda para que podamos aclarar una duda sugerida por el príncipe Cluzir Schá. ¿Cuál fue la contribución con que la ciencia de los hindúes enriqueció a la Matemática? ¿Cuáles
fueron los principales geómetras que más se destacaron en la India por sus
estudios e investigaciones?
—¡Jeque generoso! —respondió Beremiz—. Siento que la tarea que acabáis
de lanzar sobre mis hombros es de las que exigen erudición y serenidad.
Erudición para conocer, con todos los detalles, los datos recopilados por la
Historia de las Ciencias y serenidad para analizarlos y juzgarlos con elevación
y discernimiento. Vuestros menores deseos, ¡oh, Jeque!, son, sin embargo,
órdenes para mí. Expondré en esta brillante reunión, como humilde homenaje al príncipe Cluzir Schá —a quien acabo de tener el honor de conocer—,
las pequeñas nociones que aprendí en los libros sobre el desarrollo de la
Matemática en el país del Ganges.
29
a. Dibuja un triángulo rectángulo e interpreta gráficamente el principio atribuido a Pitágoras.
b. Expresa algebraicamente este principio.
c. Aplicando este principio, ¿cómo calcularías la medida de la hipotenusa de
un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 36 y 15 respectivamente?
d. ¿Coincide el valor que obtuviste con la medida de la hipotenusa del triángulo sugerido por Apastamba?
Sabías que…
¿Cómo calcularías la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados
miden 1,5 y 2 respectivamente?
Ahora con raíz cúbica.
a. ¿Es cierto que
3
b. ¿Cuál es mayor:
c. ¿Es cierto que
3
8 = 2 ? ¿Por qué?
3
8 o
8
3?
−8 = −2 ? ¿Por qué?
Uso de calculadora científica
Para calcular, por ejemplo, 0,85 con la calculadora científica, tecleas así:
0
0
.
.
8
8
^
^
0
1.
1
8.
.
1,21 tecleas
así:
^
5
2
1
2
1 y obtienes 1,1.
Para calcular, por ejemplo,
1
2
3
3.
4
Para calcular, por ejemplo, 343
3
3
4
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
[]
3
[]
3
3
[]
5
5
1
3
tecleas así:
3
4
3
0
.
8
[]
0
1
.
.
8
2
[]
4
×01
..
tan
8
25
=
5
1
[]
4
×1
tan
25
=
1
4
×
tan
5
=
.
y obtienes en pantalla: 0,32768.
5
5
1
y obtienes en la pantalla 7.
La palabra raíz
proviene del
latín: radix, que
designa la parte
inferior de un
árbol y por generalización ‘base’ o
‘fundamento’.
El símbolo
surge de la inicial
de la palabra
radix (letra r)
que al ser escrita
a mano se fue
transformando en
el símbolo que
hoy utilizamos
con la intención
de abarcar todo
el radicando.
Actividades
1) El fractal de Cantor
En 1883, el matemático Georg Cantor construyó este fractal que hoy lleva su nombre. Se
comienza por un segmento cuya longitud consideraremos de 1 unidad. Luego quitamos el
tercio del medio y obtenemos la etapa 1. Después, a cada uno de los tercios restantes les
quitamos el tercio del medio, generando la etapa 2. Repitiendo este proceso infinitamente,
se obtiene un fractal que es llamado Conjunto de Cantor.
Etapa 0
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
a. Calcula para cada una de las etapas que aparecen en la figura la suma de las longitudes
de los segmentos de cada una de ellas. (Recuerda que la longitud del segmento de la
etapa 0 es una unidad.)
b. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los segmentos de la etapa 7? ¿Y de la 18?
c. ¿En qué etapa la suma de las longitudes de todos los segmentos de la figura es
1024
?
59049
d. ¿Cómo expresarías la suma de las longitudes de los segmentos de la etapa n del proceso?
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2) Un palíndromo es una palabra o frase
que se lee igual de izquierda a derecha
que de derecha a izquierda. Por ejemplo:
3) De acuerdo a la historia griega, cerca del
año 400 a. de C., los habitantes de la isla
de Delos estaban sufriendo una grave
epidemia. Como era de costumbre en
ANILINA
esa época, los líderes de la comunidad
consultaron al oráculo la forma de dete¿ACASO HUBO BÚHOS ACÁ?
ner la epidemia. Este les ordenó duplicar
el tamaño del altar de Apolo (que tenía
Aplicaremos también la denominación palínforma de cubo) y los habitantes construdromo a números como:
yeron un cubo de arista doble pero la
epidemia no cesó.
121
64946
a. Eleva al cuadrado los naturales del 1 al
9. Escribe el último dígito de cada uno de
los números obtenidos, uno a continuación del otro. ¿El número obtenido es un
palíndromo?
b. Eleva al cubo los naturales del 1 al 9.
Escribe el último dígito de cada uno de
los números obtenidos, uno a continuación del otro. ¿El número obtenido es un
palíndromo?
c. ¿Qué sucede si trabajas ahora con las
potencias cuartas?
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d. Continúa analizando qué sucede si
consideras todas las potencias hasta las
de exponente 10.
Altar original
Nuevo altar
a. ¿Por qué no cesó la epidemia? ¿Será
que al duplicar la arista no se duplica el
volumen? Investiga.
b. Si el altar original tenía arista 1, su
volumen es 13 que es igual a 1. Por tanto
el nuevo altar debería tener volumen 2.
¿Cuál debía ser la medida de su arista?
4) La máxima distancia d que puede verse
e. Indica para qué exponentes de los
analizados en las partes anteriores puedes encontrar patrones para el último
dígito de las potencias obtenidas.
desde lo alto de un edificio está modelada
f. Si el último dígito de un número natural
de varias cifras es 6, ¿es posible que su raíz
cuadrada sea un número natural? ¿Y la raíz
cúbica? ¿Y la raíz cuarta? ¿Y la raíz quinta?
a. Calcula la distancia máxima que puede
verse desde la azotea de la Torre de las
Telecomunicaciones de antel.
g. Si el último dígito de un número natural
de varias cifras es 3, ¿es posible que su
raíz cuadrada sea un número natural? ¿Y
la raíz cúbica? ¿Y la raíz cuarta? ¿Y la raíz
quinta?
por la siguiente fórmula: d ≅ 117,7∙ h ,
donde h indica la altura del edificio expresada en kilómetros.
b. La altura del Palacio Municipal es
aproximadamente la mitad de la altura
de la Torre de las Telecomunicaciones. La
distancia máxima que puede verse desde
la azotea del Municipio, ¿es la mitad de la
que calculaste en la parte a?
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Caleidoscopio
El proceso de utilizar fractales para crear arte se llama decalcomanía, y produce obras como
las siguientes:
El proceso de la decalcomanía consiste en verter acuarela opaca negra diluida en una hoja de
papel blanco que posee una determinada textura. Luego se cubre esta hoja con otra y, a continuación, se ejerce presión sobre ambas, con el fin de extender la acuarela. De este proceso
resulta una imagen en negro, gris y blanco, donde aparecen fractales y en la que pueden
descubrirse paisajes, perfiles, formas de animales o plantas desconocidas. Posteriormente,
el artista plástico pinta sobre esta imagen con su creatividad, aplicándole colores, texturas y
sombras para generar la obra de arte final.
Extraído de http://www.srbyte.com/2008/12/el-arte-y-los-fractales-arte-fractal.html
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
Obras del artista Max Ernst