Cuarto Control de Punto de Clase

Cuarto Control de Punto de Clase - Estadı́stica I
Ingenierı́a Industrial, G.32
7 de mayo, 2010 - Hoja A
Duración: 50 min
C1. Una empresa láctea realiza de manera automatizada el fraccionamiento de queso en envases de
1kg. Dado que envases de peso superior o inferior al peso nominal de 1kg no son beneficiosos
para la empresa, se desea controlar la calidad de dicho proceso, a través de la media y el rango
del peso X en gramos de dichos envases. Para ello, cada 30 minutos se han pesado 4 envases
hasta obtener un total de 11 muestras. Las medias y los rangos muestrales correspondientes
se recogen en la tabla que se muestra más abajo. Con dichas observaciones se desean obtener
los gráficos de control correspondientes para hacer un control del proceso por variables.
Por último, se sabe que para que los envases sean aceptables por el usuario final, éstos deben
pesar entre 993 y 1012 gramos.
Con esta información, se pide:
a) (4 puntos) Calcule los gráficos de control para la media y la dispersión de X, con los
que podremos realizar una monitorización en linea del proceso a posteriori.
b) (1 puntos) Estime la capacidad del proceso.
c) (1 puntos) Estime el ı́ndice de capacidad del proceso e interprete el resultado.
d) (4 puntos) Sabiendo que el sistema se ha desajustado, de forma que la media del peso
de los envases ha pasado a ser 3 unidades inferior, indique cuál será la probabilidad p de
que se detecte dicho desajuste y el número medio k de muestras de tamaño 4 necesarias
para detectarlo.
Muestra i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Medias muestrales xi
999.75
994.25
1003.25
999
998.25
999.5
1000.5
995.25
1001
1022.5
1002
Rangos muestrales Ri
3
30
10
4
9
5
5
11
4
127
6
En la siguiente tabla se indican los valores de las constantes c2 , d2 , B3 , B4 , D3 y D4 para un
tamaño muestral de n = 4.
n
4
c2
0.7979
d2
2.059
B3
0
1
B4
2.266
D3
0
D4
2.282
Solución
a) Primera iteración
k
=
11
n =
4
Pk
R̄
x̄i
11015,25
= 1001,386364
11
Pk
214
i=1 Ri
=
= 19,4545.
k
11
i=1
¯ =
x̄
k
=
=
Gráfico de control para la media (basado en rangos)
R̄
19,4545
√ = 1001,386364 + 3
= 1015,559175
2,059
×2
d2 4
`.c. = 1001,386364
19,4545
R̄
¯ − 3 √ = 1001,386364 + 3
= 987,2135529
L.C.I. = x̄
2,059 × 2
d2 4
¯+3
L.C.S. = x̄
Gráfico de control para la dispersión (basado en rangos)
D4 R̄ = 2,282 × 19,4545 = 44,3987
L.C.S. =
`.c. =
L.C.I.
R̄ = 19,4545
D3 R̄ = 0 × 19,4545 = 0
=
Se observa que la muestra 10 se escapa de ambos gráficos, ası́ que recalcularemos los
gráficos prescindiendo de dicha muestra.
Segunda iteración
k
=
10
n
=
4
Pk
¯
x̄
=
R̄
=
11015,25 − 1022,5
= 999,275
10
Pk
214 − 127
i=1 Ri
=
= 8,7.
k
10
i=1
k
x̄i
=
Gráfico de control para la media (basado en rangos)
R̄
√ = 1005,61
d2 4
999,275
R̄
¯ − 3 √ = 992,937
x̄
d2 4
¯+3
x̄
L.C.S. =
`.c. =
L.C.I.
=
Gráfico de control para la dispersión (basado en rangos)
L.C.S. =
`.c. =
L.C.I.
=
D4 R̄ = 2,282 × 8,7 = 19,8534
R̄ = 8,7
D3 R̄ = 0 × 8,7 = 0
2
Se observa que la muestra 2 se escapa del gráfico de dispersión (basado en rangos), ası́ que
recalcularemos los gráficos prescindiendo de dicha muestra.
Tercera iteración
k
=
9
n
=
4
Pk
¯
x̄
=
R̄
=
11015,25 − 1022,5 − 994,25
= 999,833
9
Pk
214 − 127 − 30
i=1 Ri
=
= 6,333.
k
9
i=1
k
x̄i
=
Gráfico de control para la media (basado en rangos)
R̄
√ = 1004,45
d2 4
999,833
R̄
¯ − 3 √ = 995,219
x̄
d2 4
¯+3
x̄
L.C.S. =
`.c. =
L.C.I.
=
Gráfico de control para la dispersión (basado en rangos)
L.C.S.
= D4 R̄ = 2,282 × 6,333 = 14,4538
`.c. = R̄ = 6,333
L.C.I.
= D3 R̄ = 0 × 6,333 = 0
Finalmente se observa que todas las muestras con las que se han calculado estos últimos
gráficos dan lugar a puntos dentro de los lı́mites de control de ambos gráficos, ası́ que
estos gráficos serán válidos para poder hacer una monitorización en linea del proceso a
posteriori. El motivo es que se han calculado con muestras provenientes de un proceso
que se encontraba bajo control.
b) La capacidad estimada del proceso viene dada por 6σ̂ = 6 × 3,0759 = 18,4556, donde
σ̂ = dR̄2 = 6,333
2,059 = 3,0759 estima σ, la desviación del proceso en estado de control. Nótese
que en la fórmula para estimar σ se ha utilizado el rango medio obtenido en la tercera
iteración del apartado a).
c) El ı́ndice de capacidad estimado es I.C. = Cp =
L.T.S.−L.T.I.
6σ̂
=
1012−993
18,4556
= 1,0295.
Dado que el ı́ndice de capacidad resulta mayor a 1, sabemos que el proceso es capaz, y
por tanto se producirá menos de un 0,27 % de artı́culos defectuosos. Sin embargo, como
el valor está muy próximo a 1, habrá que vigilar el proceso de cerca, ya que cualquier
pequeño cambio puede hacer que el proceso deje de ser capaz.
d) Dado que nos dicen que se ha producido una anomalı́a que ha llevado a que la media del
proceso se rebaje en 3 unidades, sabemos P
que X ∼ N ormal(µ = 999,833−3, σ = 3,0759).
n
Xi
√
En ese caso, también sabemos que X̄ = i=1
∼ N ormal(µ = 996,833, √σn = 3,0759
=
n
4
1,537965).
Para detectar que se ha producido un desajuste en el gráfico de medias ha de suceder
que X̄ > L.C.S. o bien X̄ < L.C.I., ası́ que la probabilidad de detectar dicho desajuste
3
se obtendrá mediante:
Pr
995,22 − 996,833
Pr N (0, 1) <
1,537965
1004,45 − 996,833
+ Pr N (0, 1) >
1,537965
= Pr(N (0, 1) < −1,05) + Pr(N (0, 1) > 4,95)
X̄ < L.C.I. ∪ X̄ > L.C.S.
=
=
1 − Pr(N (0, 1) ≤ 1,05) + 0
=
1 − 0,8531 = 0,1469.
Dado que Y , la v.a. que cuenta el número de muestras de tamaño n = 4 necesarias
para detectar en el gráfico de medias el desajuste producido en la media poblacional, se
distribuye según una Geométrica de parámetro p = 0,1469, se concluye que el número
medio de muestras de tamaño n = 4 necesarias para detectar dicho desajuste es:
E[Y ] =
1
1
=
≈ 6,8.
p
0,1469
4