Tema 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA • VECTORES FIJOS EN EL PLANO

Tema 8
GEOMETRÍA ANALÍTICA
• VECTORES FIJOS EN EL PLANO:
Un vector fijo
a un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el
punto B.
Un vector fijo queda determinado por:
a) Módulo: es su longitud, y se expresa por
b) Dirección: la de la recta que pasa por A y por B
c) Sentido: orientación del segmento que va desde A hasta B.
Las coordenadas de un vector, se hallan restando el punto extremo (B) y el punto origen (A)
Ejemplo: Dados los puntos A(1, 3) y B(3, -2), hallar las coordenadas del vector
= B – A = (3, -2) – (1, 3) = 2, -5)
Por tanto
= B – A = (b1, b2) – (a1, a2 ) = (b1– a1, b2-a2)
Ejercicios: página 131 – 1 – 2 • VECTORES LIBRES EN EL PLANO
Dos vectores fijos no nulos son equipolentes si tienen
- el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Un vector libre del plano es el conjunto de vectores fijos equipolentes entre sí. Se representa por
Son vectores fijos, cuyo conjunto forma un vector libre
Ejemplo: A(0, 4); B(2, 6) ; C(8, 3) ; D(10, 5) ; ¿Qué relación existe entre
y
= B – A = (2, 6) – (0, 4) = (2, 2);
= D – C = (10, 5) – (8, 3) = (2, 2)
Los dos vectores forman el vector libre
Ejercicios: página 132 – 3 – 4 –
¿
• OPERACIONES CON VECTORES LIBRES:
a) Suma y diferencia de vectores: Se suma o resta cada coordenada con la que le corresponda (para
dibujarlo se pone uno a continuación del otro = (2, 3) = (‐1, 2) analíticamente
b) Producto de un escalar (nº real) por un vector: Se multiplican las coordenadas del vector por dicho
número.
c) Suma o resta gráficamente: Si es suma se pone uno a continuación del otro y si es resta se le suma el contrario Ejercicios: página 133 –Repasar los resueltos y hacer -5 – 6 1 • COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES: Un vector
es combinación lineal de dos vectores
y
si existen dos números reales a y b tales que
En este caso se dice que
, , son linealmente dependientes, ya que unos dependen de otros. Ejemplo:
= (2, 3) ; = (3, ‐1); = (8, 1) Halla a y b para que cumpla (8, 1) = a(2, 3) + b( 3, ‐1) ; 8 = 2a + 3b 8 = 2a + 3b 11 = 11a a = 1 1 = 3a – b 3 = 9a – 3b 1 = 3a – b; b = 2 • PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: El producto escalar de dos vectores
y se define como el producto de los módulos de ambos vectores por elcoseno del ángulo que forman
son dos vectores libres, también podemos definir el producto escalar como: Si
Ejercicios: página 135 Repasar los resueltos 6, 7 y hacer el 9 y 10
MÓDULO DE UN VECTOR:
Ejemplo:
u2 u1
• ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES:
Ejemplo: Halla el ángulo que forman los vectores
= 16 + 0 = 16 B (b1, b2 )
A(a1, a2 )
• DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS :
Ejemplo: Dados los puntos A(2, 3) y B(5, 7), halla la longitud del segmento AB
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