Propulsió – Curs 2011-2012 Problema 8 Cuando una tobera, que

Propulsió – Curs 2011-2012
Problema 8
Cuando una tobera, que ha sido diseñada para tener condiciones uniformes y flujo axial
a la salida, opera con presión ambiente inferior de la de diseño (para la cual sería igual a
la ambiente), el flujo aguas abajo experimenta una sucesión de expansiones y
compresiones, dando lugar a una configuración de flujo que comúnmente se conoce con
el nombre de “diamantes”. Todo ello, hasta que, a suficiente distancia aguas abajo, el
flujo se estabiliza en unas condiciones transversales uniformes de presión (realmente, no
está tan claro que la velocidad sea también exactamente uniforme, si las ondas de
choque presentan una curvatura apreciable, ya que el incremento de entropía será
distinto para cada línea de corriente).
1. Haciendo uso de la ecuación de la cantidad de movimiento (formulación integral),
obtener la velocidad suficientemente aguas debajo de la tobera, donde puede suponerse
uniformidad tanto de presión como de velocidad, en función de las variables del flujo en
la sección de salida de la tobera. (1.5 P)
Considérese una tobera bidimensional diseñada para que a la salida el flujo sea axial y
uniforme, con Me = 3.
2. Indicar sobre la figura adjunta la configuración de líneas características en el chorro
de salida en condiciones de diseño. (0.5 P)
e
Plano de simetría
Supóngase ahora que la presión ambiente es !" = 0.3'!" () .
3. Indicar qué fenómeno va a tener lugar a la salida, así como las condiciones de
contorno que deben considerarse. Justificar razonadamente que, a partir de la sección de
salida e, la configuración del flujo hasta cierta distancia equivaldría a la impuesta por
una placa plana de cierta longitud, deflectada cierto ángulo *, tal como se muestra en la
figura adjunta. (1 P)
α
Plano de simetría
4. ¿Cuánto vale el ángulo *? (1 P)
5. Dibujar las líneas características, e indicar cuáles de ellas son rectas. ¿Puede tener
lugar algún tipo de incompatibilidad en alguna zona del flujo? Justificarlo. Físicamente,
¿en qué se traduciría esta incompatibilidad? (1.5 P)
Recomendación: en caso de recurrir a una solución numérica, generar la malla a partir
de sólo 2 características, numerando las características de una familia, con números, y
los de la otra, con letras.
Propulsió – Curs 2011-2012
1. Condicions a l’infinit aigües avall
De forma similar a la demostració de l’equació de l’empenta, però considerant el volum
de control, limitat per línies de corrent divisòries, i comprès entre la secció de sortida, i
una secció suficientment allunyada aigües avall, s’obté
/+, = +- + '2- − 2" (
01
2. Configuració de línies característiques per la condició de disseny
(Veure pàgina enunciat)
4 = 56789
1
= 0.3398 rad = 19.47°
;-
3. Operació per pressió ambient inferior a la de disseny
Conservació de l'invariant I-
Com la pressió ambient és menor que la de disseny, hi haurà una expansió de PrandtlMeyer. El ventall d’expansió comença amb 4 = 19.47° (; = 3(, corresponent a una
relació de pressions
K
!E
G − 1 I K89
= F1 +
; J
= 43.33
!")
2
i acaba quan s’assoleix la pressió ambient, corresponent a un número de Mach
K89
K
2
!E
;L = M
NO P
G − 1 !"
K89
K
2
!E
− 1Q = M
NO
P
G − 1 0.3!")
− 1Q = 3.63
Donat que en les expansions de Prandtl-Meyer bidimensionals la pressió és constant al
llarg de les línies característiques, el problema, a efectes pràctics, equival a considerar la
configuració de la figura
α
;L
;-
TLW
T-8
T-W
4. Valor de l’angle S
Com l’invariant T-8 es manté, llavors tindrem
U- − V- = UL − VL
Pla de simetria
Propulsió – Curs 2011-2012
Substituint U- = 0, V- = V';- ( y VL = VX;L Y, s’obté l’angle *
* = UL = 0.2534 [\] = 14.52°
5. Configuració de línies característiques per ^_ < ^_a
/b
;-
T-8
TLW
/9
M
3,0000
3,6301
3,6301
4,4191
4,4191
3,6301
A1
A2
A3
B2
B3
B4
ω
1,0369
1,2904
1,2904
1,5438
1,5438
1,2904
cb
;L
Línia de corrent divisòria
cd
/I
Pla de simetria
cI T W
θ
0,0000
0,2534
0,2534
0,0000
0,0000
-0,2534
μ
0,3398
0,2791
0,2791
0,2283
0,2283
0,2791
I+
1,0369
1,5438
1,5438
1,5438
1,5438
1,0369
IPend. m+ Pend. m-1,0369
-0,3398
0,3398
-1,0369
-0,0256
0,5325
-1,0369
-0,0256
0,5325
-1,5438
-0,2283
0,2283
-1,5438
-0,2283
0,2283
-1,5438
-0,5325
0,0256
Si es volgués més precisió, incrementant el nombre de característiques, també podríem
veure la forta convergència entre les característiques de la família T W , que fa que algunes
d’elles es creuin.
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
El creuament de característiques d’una mateixa família, en aquet cas T W , denota
l’aparició d’una ona de xoc obliqua, que comença en el punt de creuament situat més a
l’esquerra, i que té el pendent de la primera característica afectada.
Propulsió – Curs 2011-2012
A partir d’aquest punt és necessari recórrer a les equacions per ones de xoc obliqües, per
tal de conèixer les condicions del flux immediatament darrera l’ona de xoc. El
increment d’entropia en travessar l’ona de xoc, fa que el mètode de les característiques
s’hagi d’aplicar amb molt de compte, i “per zones”, i, naturalment, només allí on el
corrent segueixi sent supersònic.
Així, tindríem
/b
Expansió
;-
T-8
TLW
cb
;L
/I
cd
Línia de corrent divisòria
Ones xoc obliq.
Expansió
Pla de simetria
cI T W
-
/9
Depenent de les condicions particulars (;- i !" ⁄!"e ), podria ser que les ones de xoc
obliqües no arribessin a l’eix de simetria, sinó que aparegués una ona de xoc normal,
donant lloc a una configuració en Y. Això passarà quan l’angle que forma l’ona de xoc
obliqua amb l’eix de simetria sigui massa gran.
En el cas de tovera amb flux sobrexpansionat també podem tenir una configuració tipus
diamants. Això passarà quan la pressió de sortida sigui lleugerament inferior a la
ambient, de manera que també es formi una ona de xoc en Y just a la sortida.
Si la relació de pressions fos tal que es produís una ona de xoc normal a la sortida,
aleshores el flux darrera l’ona de xoc seria subsònic a tot arreu, i no hi hauria una
configuració de diamants, sinó la següent.
;- > 1
;<1
Propulsió – Curs 2011-2012
SR-71 Blackbird
Bell X-1